专题10 几何初步压轴汇编（四大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题10 几何初步压轴汇编 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】................................................1 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】..................................................3 【题型3：角的折叠综合问题】.........................................................7 【题型4：钟表问题】.................................................................14 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 1．如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 2．如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，求线段的长． 3．如图，线段，，，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 4．已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长； (2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 5．如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 6． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 7．已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 9．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是 ． 10．已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 11．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图1，过点作射线使得为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得为的角平分线，过点作射线使得为的角平分线，求的度数． 12．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系，并说明理由； (2)未旋转时． ①则当旋转时间t为6秒，求的度数； ②在旋转的过程中，若绕点O按每秒的速度逆时针旋转，当旋转一周后也同时停止旋转，旋转时是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 13．已知点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则_____． (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数． (3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 14．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如下图，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为_____； (2)如下图，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 15．点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图①，将三角板的一边与射线OB重合时，则的度数为 ； (2)如图②，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求和的度数． (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图③时，，你还能求出的度数吗？ 16．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 17．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为 　　； (2)如图2，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 【题型3：角的折叠综合问题】 18．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 19．如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． (1)直接写出，时，______；，时，______； (2)求时，的值； (3)当平分时，若，则______．（直接写出结果） 20．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 21．折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 22．如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 23．综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． (1)知识初探：如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． (2)类比探究：如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 24．综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 知识初探： (1)如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． 类比探究： (2)如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 25．综合与探究 问题情境 已知长方形纸片，点在边上，点在边上，将沿翻折到，射线与交于点．点在边上，将沿EM翻折到，射线与交于点． 初步探究 （1）现将长方形纸片按照图1所示的方式折叠，此时点F与点G重合，直接写出以E为顶点的两对相等的角，并求的度数； 深入探究 （2）若将长方形纸片按照图2所示的方式折叠，此时点F在点G的左侧，且，，请你分别求出与的度数． 类比拓展 （3）若将长方形纸片按照图3所示的方式折叠，此时点F在点G的右侧，且，请你直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【题型4：钟表问题】 26．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 27．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 28．【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 29．【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角 ； 【类比探究】 （2）①如图2，甲，乙两人分别从相距的A，B两地同时出发，若甲的速度为，乙的速度为，甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为，则可列方程为 ； ②时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？ 【深入思考】 （3）如图3，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻． 30．某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常． 【简单认识】 (1)时针每分钟转动______度，分针每分钟转动______度； 当时针与边重合时，钟面显示的时间为______． 【初步研究】 (2)爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长交于点E，某一时刻时针恰好平分． ①此时时针与分针的夹角为______度．（小于平角的角） ②求此时的度数． 【深入思考】 (3)若时针与分针同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过______分钟，时针与分针互相垂直． 31．学习了《数学实验手册》七(上)钟面上的数学后，小明制作了一个如图所示的模拟钟面，点O为模拟钟面的圆心，钟面上有一条水平线，指针每秒钟转动，指针每秒钟转动．设转动的时间为 t 秒()， (），请试着解决下列问题： (1)若指针、同时从开始顺时针旋转． 当秒时， ______； 当指针从旋转到的过程中， ______时，指针与互相垂直； (2)若指针从开始顺时针转动，同时指针从开始逆时针转动． 在与第二次重合前，求为何值时； 在与第一次重合后、第四次重合前，当 ______时，直线平分． 32．阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 33．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 几何初步压轴汇编 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】................................................1 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】..................................................6 【题型3：角的折叠综合问题】.........................................................23 【题型4：钟表问题】.................................................................36 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 1．如图所示，点在线段上，，，点，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了与线段中点有关的线段和差计算，解题的关键是根据题干信息和图形得出各线段的关系． （1）先求出的长度，根据N是的中点求出的长度即可． （2）求出和的长度，根据求出结果即可． 【详解】（1）解： ， ∴， 是的中点， ， （2）解： 点，分别是，的中点．， ， ． 2．如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离．根据线段中点的定义，线段的和差关系，根据线段中点定义得出，再根据线段间的和差关系，进行计算即可． 【详解】解：∵，P是的中点， ∴， ∵C、D分别是线段上的点，且，， ∴，， ∴． 3．如图，线段，，，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段长的计算，理解线段中点的定义，根据题目中的已知条件设置适当的未知数构造方程组是解决问题的关键． 设，根据，设，，则，根据得，则，再根据得，由此解出，，得，然后根据线段中点定义即可解答． 【详解】解：设， ， 设，， ， ， ， ， ， ， 即， 将代入，得：， 解得：， ， ，，， ， 点、分别是线段和线段的中点， ，， ． 4．已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长； (2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由计算即可得解； （2）由题意可得，，，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：如图： ， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点C恰好是的中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴． 5．如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 【答案】(1)A表示的数是，B表示的数是2 (2)7或13 (3)当时，原点O为的中点 【分析】本题主要考查数轴上的点与有理数，线段的和与差，线段中点，掌握数轴上的点与有理数的关系，能够表示出线段的和与差并分情况讨论，理解线段中点的含义是解题的关键． （1）根据点C表示的数和B，C之间的距离可求出B表示的数，然后再根据A，B之间的距离即可求出A表示的数； （2）根据M是的中点，求出的长度，然后分N点在C的左侧和右侧两种情况，当N在C左侧时，，当N在C右侧时，，最后利用即可得出答案； （3）原点O为的中点时，，分别用含t的代数式表示出，，然后建立方程，解方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：如图，∵点C表示的数是6，， ∴B表示的数是． ∵， ∴A表示的数是， ∴A表示的数是，B表示的数是2； （2）解：∵，M是的中点． ∵， 因为， 当点N在点C的左侧时，，此时； 当点N在点C的右侧时，，此时； 综上，的长7或13； （3）解：∵A表示的数是， ∴ ∵C表示的数是6， ∴， ∵点P、点Q同时出发，且运动的时间为t秒， ∴，， ∴，， 当原点O为的中点时，， ∴．解得， 故当时，原点O为的中点． 6． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 7．已知，其角平分线为，，其角平分线为，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线定义的运用能力，能考虑到在外部和内部两种情况是关键． 分在外部和内部两种情况，由、分别平分、可得、度数，在根据两种位置分别求之． 【详解】解：①如图，当在外部时， ∵，平分， ∴ ， 又∵，平分， ∴ ， ∴； ②如图，当在内部时， ∵，平分， ∴ ， 又∵，平分， ∴ ， ∴， 综上所述：为或． 故选C． 8．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 【答案】C 【分析】分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的角度是30度或120度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是 ． 【答案】30度或120度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的角度是30度或120度， 故答案为：30度或120度． 10．已知∠AOB=70°，∠BOC=50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE= ． 【答案】60°或10° 【分析】需要分类讨论：射线OC在∠AOB的内部和射线OC在∠AOB的外部两种情况．由角平分线的定义以及角的关系求解即可． 【详解】∵∠AOB=70°，∠BOC=50°，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线， ∴∠BOD=∠AOB=35°，∠EOB=∠BOC=25°， ①当OC在∠AOB内部时，如图， ∴∠DOE=∠BOD-∠EOB=35°-25°=10°； ②当OC在∠AOB外部时，如图， ∠DOE=∠BOD +∠EOB=35°+25°=60°． 综上所述，∠DOE的度数为60°或10°． 故答案是：60°或10°． 【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的运用．解题时注意结合图形求得角与角间的和差关系：∠DOE=∠BOD-∠EOB或∠DOE=∠BOD+∠EOB． 11．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得． (1)如图1，过点作射线使得为的角平分线，且，求的度数． (2)如图2，过点作射线使得为的角平分线，过点作射线使得为的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，求出，再由三角形内角和定理计算答案即可． （2）先求出，根据角平分线的定义得到 ，即可求出答案． 【详解】（1）解： 为的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， 为的角分线，为的角平分线． ，， ， ． 12．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方将直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间的数量关系，并说明理由； (2)未旋转时． ①则当旋转时间t为6秒，求的度数； ②在旋转的过程中，若绕点O按每秒的速度逆时针旋转，当旋转一周后也同时停止旋转，旋转时是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①；②的值为、10、 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角平分线的性质及角的计算， （1）由知、，根据可得答案； （2）①先求出旋转6秒时，由知，再根据角的和差关系即可求解； ②当平分时、当平分时、当平分时，分别列出关于的方程，解之可得． 根据题意全面考虑所有可能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ， ，， 平分， ， ． （2）①旋转时间为6秒， ， ， ， ； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当平分时，，即，解得； 当平分时，，即，解得：． 综上，的值为、10、． 13．已知点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则_____． (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数． (3)将三角板绕点逆时针旋转至图3所示的位置时，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，三角板的知识，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据，代入数据即可解答； （2）根据是的角平分线，得根据即可解答； （3）根据平角的定义求出，再根据角的和差即可得解 【详解】（1）解：根据题意得，，， ， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， 旋转角． （3），， ， ， ， ， ． 14．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如下图，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为_____； (2)如下图，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算，根据题目已知条件并结合图形分析解题即可． （1）根据已知可得，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用平角是进行计算即可解答 （2）利用平角是，先求出，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答． （3）当射线在射线左侧和右侧时，分别讨论，然后利用角平分线的性质即可解题 【详解】（1）解∶ 为的角平分线， ， 又， ， 故答案为：； （2）， ， 为的角平分线，平分， ，， ． （3）如图，当射线在射线左侧时， 是的角平分线， ， ， ， 是的平分线， ， ； 如图，当射线在射线右侧时， 同理可得， ， 综上，的度数为或． 15．点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图①，将三角板的一边与射线OB重合时，则的度数为 ； (2)如图②，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求和的度数． (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图③时，，你还能求出的度数吗？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟记概念并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据和的度数可以得到的度数； （2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数； （3）先求出，再根据代入数据计算即可得解． 【详解】（1），， ； 故答案为：； （2），是的角平分线， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ． 16．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 17．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得． (1)如图1，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为 　　； (2)如图2，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数； (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据已知可得，再利用角平分线的定义求出的度数，最后利用平角是进行计算即可解答； （2）利用平角是先求出，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答； （3）分两种情况，当在的内部时，当在的外部时． 【详解】（1），， ， 为的角平分线， ， ； （2）， ， 为的角平分线，平分， ，， ； （3）分两种情况： 当在的内部时，如图： ，平分， ， ， ， 平分， ， ； 当在的外部时，如图： ，平分， ， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的计算，根据题目个已知条件并结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【题型3：角的折叠综合问题】 18．数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 【答案】（1）90°；（2）①；② 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）①根据、 、即可求解；②根据题意得，结合①得推理过程即可求解； 【详解】解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； ②若， 则， ∴， ∴； 19．如图，长方形纸片中，为边上一点，为边上一点．沿折叠得，沿折叠得（、都在的内部）， 记，，． (1)直接写出，时，______；，时，______； (2)求时，的值； (3)当平分时，若，则______．（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，解题的关键是分情况讨论． （1）由折叠可得：，，则，，当，时，根据，即可求解；，时，根据，即可求解； （2）分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差求解即可； （3）由平分，可得，分两种情况：当点在的左侧时，当点在的右侧时，根据折叠的性质和角的和差列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ，， 当，时， ， 即； 当，时， ， 即； 故答案为：；； （2）当点在的左侧时， ， ，， ， ， ； 当点在的右侧时， ， ，， ， ， ， 或； （3） 平分， ， 由（2）知，当点在的左侧时，， ， ， ， ， 解得：； 由（2）知，当点在的右侧时，， ， ， 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 20．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点落在上，得出，即可得出结论； ②同①的方法求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①， 理由：由折叠知，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵点落在， ∴， ∴， ∴，即； ②由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即． 21．折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】【知识初探】，45；【类比再探】；；；【拓展探究】 【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键． 【知识初探】根据题意得出是的角平分线，和分别是与的角平分线，据此可解； 【类比再探】由沿折叠可得，同理由沿折叠可得，再根据，即可得到； 【拓展探究】由（2）知，从而得到，再用与（2）相同的方法可得． 【详解】解：【知识初探】由题意可知：是的角平分线， ∴， 同理可得：和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，45； 【类比再探】证明：沿折叠， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：；；； 【拓展探究】，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∵和分别沿和再折叠， ∴， ∴． 22．如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解； （2）由折叠知，，再根据即可求解； （3）由折叠知，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠知， 由题意得： ； 故答案为：； （2）由折叠可知： ， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知：，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键． 23．综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． (1)知识初探：如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． (2)类比探究：如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠可知，是的平分线，是的平分线，得到，，即可求出的度数； （2）由折叠可知，，设，根据角平分线的定义，得到，再利用平角的性质，求得，即为的度数． 【详解】（1）解：由折叠可知，是的平分线，是的平分线， ， ； （2）解：由折叠可知，是的平分线， ， 设， ， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义等知识，正确理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 24．综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 知识初探： (1)如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． 类比探究： (2)如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，求解即可； （2）由折叠知，再由角平分线及邻补角得出，结合图形，进行等量代换求解即可． 【详解】（1）解：由折叠知， 同理： ∴ （2）由折叠知， 又∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】题目主要考查角平分线及角度的计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． 25．综合与探究 问题情境 已知长方形纸片，点在边上，点在边上，将沿翻折到，射线与交于点．点在边上，将沿EM翻折到，射线与交于点． 初步探究 （1）现将长方形纸片按照图1所示的方式折叠，此时点F与点G重合，直接写出以E为顶点的两对相等的角，并求的度数； 深入探究 （2）若将长方形纸片按照图2所示的方式折叠，此时点F在点G的左侧，且，，请你分别求出与的度数． 类比拓展 （3）若将长方形纸片按照图3所示的方式折叠，此时点F在点G的右侧，且，请你直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1），，；（2），；（3） 【分析】本题考查折叠，角的和差，根据折叠得到角相等是解题的关键． （1）由折叠可得，，根据即可得到； （2）由折叠可得，，代入中可求出，进而得到，，根据即可求解； （3）由折叠可得，，根据，得到，进而根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠可得，， ∵， ∴， 即． （2）∵，， ∴由折叠可得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． （3）由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4：钟表问题】 26．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 【答案】（1）①，12，2；②10秒；（2）分钟 【分析】本题考查了数轴的意义，同类项，解一元一次方程，线段中点定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）①由与是同类项，可得，知，点为线段的中点，即可得； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为，点Q追上点P时，，解方程即可； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成，1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为，得，解方程即可得出结果． 【详解】（1）①∵与是同类项， ∴ 解得， ∵点为线段的中点，所表示的数为， 故答案为：，12，2； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为， 点Q追上点P时，， 解得：， ∴经过10秒后，点Q追上点P； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成， 1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为， 解得 经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 27．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【答案】 任务： 任务：点分 任务：点分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 任务：根据时针每分钟转，一大格之间是即可求解； 任务：设此时为点分，根据题意构建方程求解即可； 任务：设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作，时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数），根据题意列出，进而根据到的正整数求解即可． 【详解】解：任务： 时针每分钟转动， ， 又每一数字之间的角度为， 点分，钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务： 设此时为点分， 则， 解得：， 此时为点分； 任务： 设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作， 时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数）， ， 当，时，，此时重合，但不符合题意（舍去）； 当，时，，，即此时为点分． 28．【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【答案】（1）2；（2）①，，；②不变化，；（3）11秒或19秒；（4）分钟 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移到前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可； ②表示出，化简后即可判断； （3）分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）， ． 故可将点B向左移动2个单位长度． 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为，，． 故答案为：，，； ②点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴ ∴不变化，； （3）∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线、的夹角为， 当追上前，则 解得：． 当追上后，则， 解得：． ∴经过11秒或19秒后，射线的夹角为． （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 29．【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角 ； 【类比探究】 （2）①如图2，甲，乙两人分别从相距的A，B两地同时出发，若甲的速度为，乙的速度为，甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为，则可列方程为 ； ②时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？ 【深入思考】 （3）如图3，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻． 【答案】 （1），， （2）①，；②分钟 （3）点分或点分 【分析】（1）根据题意，可利用和来得出时针和分针每分钟所走的角度，然后根据时针、分针每分钟的转动角度可求钟面角； （2）①根据追及问题列方程并求解即可；②同理①，根据追及问题列方程并求解即可； （3）由题意，分四种情况讨论：当射线在射线的左侧，且满足射线平分时；当射线在内部，且满足射线平分时；当射线在外部，且满足射线平分时；当在外部，且满足射线平分时；然后分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： 时针每分钟转动的度数为:， 分针每分钟转动的角度为：， 当钟面显示的时间为8点15分时，则钟面角， 故答案为：，，； （2）①由题意可列方程为：， 解得：， 答：甲追上乙需花， 故答案为：； ②设经过m分钟会再次出现时针和分针重合的现象， 由题意得：， 解得：， 答：至少经过分钟会再次出现时针和分针重合的现象； （3）由题意可知：当时间为1点时，钟面角，时间为3点时，钟面角， ∴（此时皆为初始状态），如图所示， 所以，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，可把题意理解为射线是以每分钟的速度转动，射线是以每分钟的速度在转动，同时出发，设它们转动的时间为分钟，则可分四种情况讨论： 当射线在射线的左侧，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得为负数，不符合题意，故舍去； 当射线在内部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：， 此时对应的时刻为点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：， 此时对应的时刻为点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：（不符合题意，故舍去）； 综上所述：当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻为点分或点分． 【点睛】本题主要考查了钟面角，角平分线的有关计算，一元一次方程的应用（行程问题），一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握钟面角及一元一次方程的应用是解题的关键． 30．某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常． 【简单认识】 (1)时针每分钟转动______度，分针每分钟转动______度； 当时针与边重合时，钟面显示的时间为______． 【初步研究】 (2)爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长交于点E，某一时刻时针恰好平分． ①此时时针与分针的夹角为______度．（小于平角的角） ②求此时的度数． 【深入思考】 (3)若时针与分针同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过______分钟，时针与分针互相垂直． 【答案】(1)，6， (2)①60；②． (3)或 【分析】本题主要考查了钟面角、角的运算、一元一次方程的应用、对顶角等知识点，理清角之间的关系成为解题的关键． （1）直接根据钟面角的特点即可解答； （2）①先求出，再求出，进而求出此时的时刻，然再确定分钟的位置，即可确定时针与分针的夹角；②先求得，然后根据角的和差即可解答； （3）设1小时之内，经过t分钟，时针与分针互相垂直，然后根据题意可列方程或，最后求解即可． 【详解】（1）解：∵时针走动1小时，所转动的角度为， ∴时针每分钟转动， ∵分针走动1小时，所转动的角度为， ∴时针每分钟转动， ∵， ∴当时针与边重合时，走动时间为分钟， ∵边指向12点方向， ∴当时针与边重合时，钟面显示的时间为． 故答案为：，6，． （2）解：①∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴时针转动的角度为，经历时间为分钟，即10时， ∴此时分针与重合，即时针与分针的夹角为60度 故答案为：60； ②∵（对顶角相等），， ∴， ∴． （3）解：设1小时之内，经过t分钟，时针与分针互相垂直， 由题意可得：或， 解得：或分， ∴1小时之内，经过或分钟，时针与分针互相垂直． 31．学习了《数学实验手册》七(上)钟面上的数学后，小明制作了一个如图所示的模拟钟面，点O为模拟钟面的圆心，钟面上有一条水平线，指针每秒钟转动，指针每秒钟转动．设转动的时间为 t 秒()， (），请试着解决下列问题： (1)若指针、同时从开始顺时针旋转． 当秒时， ______； 当指针从旋转到的过程中， ______时，指针与互相垂直； (2)若指针从开始顺时针转动，同时指针从开始逆时针转动． 在与第二次重合前，求为何值时； 在与第一次重合后、第四次重合前，当 ______时，直线平分． 【答案】(1)①36．②5 (2)①t的值为5或7或17．②10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算，角平分线的定义，在“钟面”的背景下考查追及，相遇问题；根据题意，进行准确的分类讨论是解题关键． （1）①根据路程速度时间，可分别算出和运动的角度再作差即可；根据题意画出图形找到等量关系，建立等式再求解即可； （2）①根据题意分析需要分类讨论，第一次相重合，第一次重合后且在的右侧，第二次相遇前且在的左侧，分别列方程计算即可；先分别算出第一次重合，第二次重合，第三次重合，第四次重合的时间和位置，再根据题意画出图形进行分析列等式，进行求解． 【详解】（1）解：①当时，，， ∴， 即：， 如图，由题意可知，，， ， ， ∴，即， 解得：． （2）解：由题意可知，，， ①分情况讨论： （I）第一次重合前，如图，可得， 即，解得； （II）第一次重合后，且在的右侧时，如图， 则，解得； （III）第一次重合后，第二次重合前，且在的左侧时，如图，可得，， 即，解得； 综上，在与第二次重合前，时，的值为或或； 分别算出第一次重合，第二次重合，第三次重合，第四次重合的时间和位置，如图所示， 第一次重合时，解得，则， 第二次重合时，解得，， 第三次重合时，解得，，，重合， 第四次重合时，解得，． （I）第一次重合后，第二次重合前，如图所示， 此时，即，解得； （II）当第二次重合后，第三次重合前，从第二次重合后，记时间为，如图所示， 此时，即，解得， 则，此时和与重合，不符合题意，舍去； （III）第三次重合后，第四次重合前，记时间为，此时，，不存在使． 综上：在与第一次重合后、第四次重合前，当时，直线平分． 32．阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 【答案】（1），（2）4:00或8:00（答案不唯一），（3）或20，（4） 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用； （1）根据时，时针与分针的夹角是3.5个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）根据时针与分针的夹角是格，即可得出答案； （3）设经过分钟，钟面角为，根据时针与分针的夹角为，分类讨论，分别列出方程，解方程，即可求解； （4）设小明看了分钟电视节目，根据题意可得时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）时，时针与分针的夹角是3.5个大格， ∴， 故答案为：． （2）某个时刻的钟面角为，则时针与分针的夹角是格， ∴一个相应的时刻可以是或（答案不唯一） 故答案为：或（答案不唯一） （3）设经过分钟，钟面角为， ∴或， 解得：或； 答：经过或20分钟，钟面角为． （4）解：∵在到之间这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置． ∴时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角， 设小明看了分钟电视节目，根据题意得 解得： 故答案为：． 33．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $