专题11 几何初步重难点题型汇编-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题11 几何初步重难点题型汇编 【题型1：从不同方向看几何体】............................................................1 【题型2：由展开图计算几何体的表面，体积】................................................2 【题型3：正方体的展开图】................................................................4 【题型4：线段的和与差】..................................................................5 【题型5：线段中点的有关计算】............................................................6 【题型6：线段 n 等分点的有关计算】.......................................................7 【题型7：与线段有关的动点问题】..........................................................9 【题型8：与方向角有关的计算题】.........................................................12 【题型9：三角板中角度的有关计算问题】...................................................13 【题型10：几何图形中的有关角度的计算问题】..............................................16 【题型11：实际问题中的角度计算】........................................................20 【题型12：角度的四则运算】..............................................................22 【题型13：角 n分线的有关计算】.........................................................23 【题型1：从不同方向看几何体】 1．从上面看如图所示的几何体，得到的形状图为（   ） A． B． C． D． 2．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从正面看到的形状图与从左面看到的形状图相同的是 A．B． C． D． 3．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体从上面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 4．用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的块数至少为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型2：由展开图计算几何体的表面，体积】 1．树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 2．如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 3.正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 4．如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)求该几何体的表面积（结果保留） (2)求该几何体的体积（结果保留）． (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是 ． 5．综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【题型3：正方体的展开图】. 1．下列选项中不是正方体的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 2．国庆节快到了，准备一个正方体礼盒，六个面分别写有“祝”“福”“祖”“国”“万”“岁”，其中“祝”的对面是“祖”，“万”的对面是“岁”，则它的平面展开图可能是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A．设 B．丽 C．江 D．油 4．小丽制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（   ） A．B．C． D． 【题型4：线段的和与差】 1．如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 2．点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 3．如图，延长线段到点，使，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 4．如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【题型5：线段中点的有关计算】 1．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： (1)试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P是线段的中点，，，求线段的长． 2．如图，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，，，求线段的长度． 3．已知点为线段的中点．点为线段上的点，点为线段的中点． (1)如图1，若线段，，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长． 【题型6：线段 n 等分点的有关计算】 1．如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 3．在线段上选取种点，第1种是将线段等分的点；第2种是将线段等分的点；第3种是将线段等分的点，这些点连同线段的端点可组成线段的条数是（　　） A．350 B．595 C．666 D．406 4．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 【定义】在数轴上，如果线段间从左往右的点，…，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，…是靠近的第个等分点，则记为． 【探究一】 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为． 【探究二】 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为 ． 【应用一】 如图3，（1）在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 ； （2）数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 ； （3）若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，请求出的值． 【应用二】 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 ． 【题型7：与线段有关的动点问题】 1．例：数轴上有点和点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可化简为；线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有、两点，分别表示的数为、，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位的速度向左匀速运动． 【综合运用】 (1)运动开始前，、两点的距离为 个单位长度；线段的中点所表示的数是 ． (2)点运动秒后所在位置的点表示的数为 （用含的式子表示）． (3)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 2．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 3．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 4．如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 5．如图，已知线段． (1)如图，点P沿线段自点A向点B以2厘米/秒运动，点P出发2秒后，点Q沿线段自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后； (2)如图，，，，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自点B向A点运动，假若P，Q两点能相遇，求点Q运动的速度． 6．如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【题型8：与方向角有关的计算题】 1．如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一艘轮船在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和东北方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，货轮在航行的过程中，发现灯塔在它北偏西的方向上，同时，在它南偏东的方向上又发现了小岛，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型9：三角板中角度的有关计算问题】 1．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 2．如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上．若，则（   ） A． B． C． D． 3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直尺上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．在，，， 的角中，不能用一副三角尺画出来的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 7．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_____； 【探究发现】 （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，当在内部时（图②），请问：与两角间有什么数量关系？请说明理由；并求出为多少度时，． 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 8．以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 9．点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 10．有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 【题型10：几何图形中的有关角度的计算问题】 1．已知：如图，平分，，，求的度数． 2．如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 3．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 4．【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 5．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 6．互为余角的两个角的差为，求： (1)较大角的补角的度数； (2)较小角的补角与较大角的补角的差． 7．将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 8．已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 9．已知，O为直线上的一点，，射线在的内部，且平分． (1)如图1，当，在直线上方时，若，求和的度数； (2)图1中，若，直接写出的度数（用含a的式子表示）； (3)如图2，当，在直线的上方和下方时，经探究，小王得到的结论是：，他的结论是否正确，请说明理由． 【题型11：实际问题中的角度计算】 1．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 2．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 3．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【题型12：角度的四则运算】 1．计算． (1)； (2)． 2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 3．计算： (1)； (2) 4．计算： (1)； (2)． 【题型13：角 n分线的有关计算】 1．如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 2．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 3．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 4．【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 的“三等分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且 ，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点M，N分别在的边上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线与边重合后，射线都停止运动．设运动时间为t秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出t的值． 5．类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 6．已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． (1)如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ①补全图形； ②填空：∠MON的度数为 ． (2)探求∠MON和∠AOB的等量关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 几何初步重难点题型汇编 【题型1：从不同方向看几何体】............................................................1 【题型2：由展开图计算几何体的表面，体积】................................................4 【题型3：正方体的展开图】................................................................7 【题型4：线段的和与差】..................................................................9 【题型5：线段中点的有关计算】...........................................................11 【题型6：线段 n 等分点的有关计算】......................................................13 【题型7：与线段有关的动点问题】.........................................................16 【题型8：与方向角有关的计算题】.........................................................26 【题型9：三角板中角度的有关计算问题】...................................................28 【题型10：几何图形中的有关角度的计算问题】..............................................39 【题型11：实际问题中的角度计算】........................................................49 【题型12：角度的四则运算】..............................................................56 【题型13：角 n分线的有关计算】.........................................................58 【题型1：从不同方向看几何体】 1．从上面看如图所示的几何体，得到的形状图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． 画出从上面看到简单几何体的图形即可求解． 【详解】 解：从上面看简单几何体所看到的图形为． 故选：C． 2．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从正面看到的形状图与从左面看到的形状图相同的是 A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从不同方向看几何体，分别画出各选项中，从正面和从左面看到的形状图进行判断即可． 【详解】 解：A、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； B、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； C、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，符合题意； D、从正面看到的图形为，从左面看到的图形为，不符合题意； 故选：C． 3．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体从上面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 本题考查了从不同方向看几何体，具备良好的空间想象能力是解答本题的关键． 【详解】解：从上面看到的图形是： 故选：D． 4．用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，那么组成这个几何体的小正方体的块数至少为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体；从上面看可以看出最底层小正方体的个数，从正面看可以看出每一层小正方体的个数，从而算出总的个数． 【详解】解：从上面看有个正方形， 最底层有个正方体， 从正面看可得第层最少有个正方体， 从正面看可得第层最少有个正方体， 该组合几何体最少有个正方体， 故答案为：． 【题型2：由展开图计算几何体的表面，体积】 1．树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 树体的涂白面积约为： 故选：B． 2．如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图的面积，掌握“圆柱侧面积底面周长高”是解题的关键． 根据“圆柱侧面积底面周长高”即可求解． 【详解】解：由题意得，侧面展开图的面积为． 故答案为：． 3.正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了正三棱柱（底面为正三角形）的展开图和侧面积，根据题意求解即可． 【详解】根据题意得，该正三棱柱的侧面积为． 故答案为：． 4．如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)求该几何体的表面积（结果保留） (2)求该几何体的体积（结果保留）． (3)和这个圆柱等底等高的圆锥体积是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查根据展开图求几何体的表面积和体积，熟练掌握圆柱体的表面积和体积的计算公式，圆锥的体积的计算公式是解题的关键： （1）由展开图可知，几何体为圆柱体，根据圆柱体的表面积等于展开图的侧面积加上两个底面圆的面积，进行计算即可； （2）根据圆柱体的体积公式进行计算即可； （3）根据圆柱体和圆锥的体积的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，几何体为底面直径为4，高为5的圆柱体， ∴表面积为：； （2）圆柱体的体积为： （3）圆锥体的体积为圆柱体体积的，即为． 故答案为： 5．综合与实践 【问题情境】在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动 （1）图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图3，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 （2）①图2中的长方体纸盒的底面周长为______； ②图3中的长方体纸盒的体积为______； 【问题解决】 （3）请你利用边长为的正方形纸板制作一个长方体纸盒（无盖，有盖均可），仿照图2，图3的绘图方式，画出2种不同的裁剪设计图． 【答案】（1）①；（2）①40；②294；（3）见解析 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据裁剪方法得出底面是边长为的正方形即可；②得出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积的计算方法进行计算即可； （3）根据棱柱的展开与折叠的方法进行解答即可． 【详解】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，是无盖正方体的表面展开图的是①， 故答案为：①； （2）①图1中的正方体的底面是边长为的正方形，因此底面周长为， 故答案为：40； ②由折叠可知，图2中长方体纸盒的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：294； （3）利用边长为的正方形纸板，利用按照图3的裁剪方法可制作一个有盖的长方体纸盒，利用按照图4的裁剪方法可制作一个无盖的长方体纸盒． 【题型3：正方体的展开图】. 1．下列选项中不是正方体的平面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方体的展开图，掌握正方体的展开图特征是解决问题的关键． 正方体表面展开图有“”型、“”型、“”型，“”型等，且展开图中不会出现“田”字格，“凹”字形等结构． 根据正方体表面展开图的特征来判断各选项是否为正方体表面展开图即可． 【详解】解：选项C中出现了“田”字格结构，不是正方体表面展开图， 故选：C． 2．国庆节快到了，准备一个正方体礼盒，六个面分别写有“祝”“福”“祖”“国”“万”“岁”，其中“祝”的对面是“祖”，“万”的对面是“岁”，则它的平面展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的侧面展开图，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；因此此题可根据正方体的侧面展开图可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知该正方体的侧面展开图为C选项； 故选C． 3．如图，是一个正方体的表面展开图，原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A．设 B．丽 C．江 D．油 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题关键．根据正方体的平面展开图特点求解即可得． 【详解】解：由题意得：设与丽是相对面，美与江是相对面， ∴建与油是相对面， 故选：D． 4．小丽制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方体的展开图，根据展开图中“相邻必不相对”分析求解，即可解题． 【详解】解：因为正方体礼品盒，其对面图案都相同， 根据展开图中“相邻必不相对”即可排除B、C、D， 故选：A． 【题型4：线段的和与差】 1．如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，弄清楚线段的和差关系是解题的关键． 根据线段中点的定义可求解，结合可求解，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点M、N分别是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．点，，在同一条直线上，，，则的长为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，解题的关键是根据题意分类讨论． 根据点的位置关系进行分类讨论，计算每种情况对应的线段长度即可． 【详解】解：若点在点左侧，， 若点在点右侧，， 故选：． 3．如图，延长线段到点，使，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差定义、线段的中点等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想求解． 根据，得出即可解决问题． 【详解】解：，， 则， ， 故选：D． 4．如图，已知线段上有两点C，D，且，E，F分别为的中点，，，则（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差，线段中点的定义解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵E，F分别为的中点， ∴， ∴． 故选：D． 【题型5：线段中点的有关计算】 1．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： (1)试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P是线段的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据M、N分别是线段、的中点，得到，，根据，代入计算即可； （2）先求出，根据中点定义得到，再求出，根据中点定义得到，根据计算即可． 本题主要考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义，线段的加减计算，是解决问题的关键． 【详解】（1），理由： ∵M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∴， ∵N是线段的中点， ∴， ∴． 故线段的长为． 2．如图，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，，，求线段的长度． 【答案】线段的长度为 【分析】本题考查了线段的中点与线段之间的比例关系，解题的关键是设，然后将所有有关的线段都表示成x的代数式，解得x的值，再计算的长度． 设，依据题意所给条件，分步可推得，于是求得，再由的表达式即可得出答案． 【详解】∵D为的中点， ∴设．则， ∵ ∴． ∴． ∴ 解得： ∵E为的中点， ∴． ∴， 即线段的长度为 3．已知点为线段的中点．点为线段上的点，点为线段的中点． (1)如图1，若线段，，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查线段中点有关的计算． （1）由中点，求出和的长，再利用中点的意义即可求解； （2）根据题意求得，，再根据中点的意义计算即可． 【详解】（1）解：因为，点为线段的中点， 所以． 因为， 所以， 因为点为线段的中点， 所以； （2）解：因为点为线段的中点， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 因为，点为线段的中点， 所以， 所以， 所以． 【题型6：线段 n 等分点的有关计算】 1．如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出-6与6两点间的线段的长度为12，再求出六等分后每个等分的线段的长度为2，从而求出，，，，表示的数，然后判断各选项即可． 【详解】解：∵-6与6两点间的线段的长度=6-（-6）=12， ∴六等分后每个等分的线段的长度=12÷6=2， ∴，，，，表示的数为：-4，-2，0，2，4， A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项错误，符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，两点间的距离，求出，，，，表示的数是解题的关键． 2．下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段，根据题意可知别以为端点、个单位长度的线段有条，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，分别以为端点、个单位长度的线段有条， ∴可行性方案有个， 故选：． 3．在线段上选取种点，第1种是将线段等分的点；第2种是将线段等分的点；第3种是将线段等分的点，这些点连同线段的端点可组成线段的条数是（　　） A．350 B．595 C．666 D．406 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是找出所有的端点个数． 先找出重复的点，再求出所有的点的个数，即可求出线段的条数． 【详解】解：的最小公倍数为，重复的点的个数， 除端点外的点的个数为：， ∴连同线段的端点共个端点， ∴29个点可组成的线段的条数是， 故选：D． 4．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 【定义】在数轴上，如果线段间从左往右的点，…，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，…是靠近的第个等分点，则记为． 【探究一】 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为． 【探究二】 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为 ． 【应用一】 如图3，（1）在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 ； （2）数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 ； （3）若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，请求出的值． 【应用二】 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 ． 【答案】[探究二] [应用以]（1） （2） （3） [应用二]秒或秒 【分析】[探究二]根据“探究一”的计算方法求值即可； [应用一]（1）根据两点之间距离的计算方法计算即可； （2）根据两点之间距离的计算方法计算即可； （3）根据题意，点表示的数为，点表示的数为，由此列式即可求解； [应用二]分别表示表示的数，点表示的数，的值，由线段三等分点的计算方法得到线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为，三等分的第二个点表示的数为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：[探究二]， 故答案为：； [应用一] （1）点、表示的数分别为、， ∴， 故答案为：； （2）点、表示的数分别为、4， ∴， 故答案为：； （3）线段上靠近的四等分点表示的数为， 线段上靠近的十等分点表示的数为， ∴， 解得：； [应用二] 数轴上两点、表示的数分别为和，点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，出发时间为秒， 线段上靠近的等分点 表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 第一种情况，点在点左边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 第二种情况，点在点右边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 综上所述，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，此时的为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题主要考查数轴上点与有理数的对应，数轴上两点之间距离的计算，等分点的概念及计算方法，一元一次方程的运用等知识的综合，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用方法是解题的关键． 【题型7：与线段有关的动点问题】 1．例：数轴上有点和点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可化简为；线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有、两点，分别表示的数为、，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位的速度向左匀速运动． 【综合运用】 (1)运动开始前，、两点的距离为 个单位长度；线段的中点所表示的数是 ． (2)点运动秒后所在位置的点表示的数为 （用含的式子表示）． (3)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【答案】(1)， (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点间距离，中点表示的数，用代数式表示线段的长，一元一次方程，数轴上的点表示数，数轴上两点间距离，中点表示的数，用代数式表示线段的长，一元一次方程是解题关键． （1）根据数轴两点距离求的距离，利用数轴中点坐标公式计算即可； （2）先求距离，再利用起点表示的数加或减距离即可求解； （3）根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：运动开始前， A、B两点的距离为， ∵， ∴M表示的数是， 故答案为：，； （2）解：根据题意，点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 故答案为：； （3）解：设A、B两点经过t秒会相距4个单位长度， 点A运动t秒后所在位置的点表示的数为，点B运动t秒后所在位置的点表示的数为， 当点A在点B左侧时：， 解得； 当点A在点B右侧时： 解得， 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过秒或秒会相距4个单位长度． 2．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【答案】(1)6，11． (2)①，，．②．③的值不变，为30． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，列代数式，整式的加减，线段中点的有关计算，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； （2）①根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； ②先求出，当动点M是线段的中点时，，列方程求解即可； ③将代入，根据整式的加减进行化简，即可解答． 【详解】（1）解：∵A，B，C，表示的数分别是，，7， ∴． 故答案为：6，11． （2）①∵点B表示的数是，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，点M表示的数为， ∵点C表示的数是7，动点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，N表示的数为， ∵点A表示的数是，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动， ∴t秒后，P表示的数为． 故答案为：，，． ②∵点M，N，P分别表示的数是，，，且点P在点M的左边，点N在点M的右边， ∴， 当动点M是线段的中点时，， ∴， 解得． 答：当时，动点M是线段的中点． ③∵， ∴ ． 答：的值不变，为30． 3．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 4．如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差，等分线段的计算．设运动时间为t，， ，， ，再加上已知条件，就可以得到，再分两种情况讨论计算，当N在线段上时，N在线段延长线上时，分别求出比值即可． 【详解】解：设运动时间为t， ∵， ， ， ， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 综上所述，或1． 故答案为：或1． 5．如图，已知线段． (1)如图，点P沿线段自点A向点B以2厘米/秒运动，点P出发2秒后，点Q沿线段自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后； (2)如图，，，，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自点B向A点运动，假若P，Q两点能相遇，求点Q运动的速度． 【答案】(1)再经过4秒后 (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的和差运算，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设再经过秒后，根据建立方程，解方程即可得； （2）要使得相遇，则必然要在线段上，此时点旋转的时间2秒或5秒，再分别求出的长，利用速度等于路程除以时间求解即可得． 【详解】（1）解：设再经过秒后， 由题意得：， 解得， 答：再经过4秒后． （2）解：要使得相遇，则必然要在线段上，此时点旋转的时间为秒或秒， ①当点旋转秒时，相遇， 则此时， 所以此时点运动的速度为； ②当点旋转5秒时，相遇， 则此时， 所以此时点运动的速度为； 综上，点运动的速度为或． 6．如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②是，定值；③的值为或或或或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点、点表示的数，再计算即可； ③分三种情况：相遇前；相遇后；点返回到，；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ， 故答案为：；； （2）①由（1）知：点表示的数为，点表示的数为， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为， ∵点运动到线段上， ∴，， 当时，有， 解得：， ∴的值为； ②当点在线段上时， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数是，，， 又∵的中点表示的数是，+ ∴， ∴， 即的值是定值，定值为； ③∵点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止， ∴运动秒后，点对应的数为， 当时，点在线段上向左运动，点对应的数为， 当时，点在线段上向右运动，点对应的数为， 当相遇前时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向左运动时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向右运动时，， 解得：或（舍去）； 点返回到，， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，当时，的值为或或或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式，一元一次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【题型8：与方向角有关的计算题】 1．如图，某海域有三个小岛A、B、O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：表示北偏东方向的一条射线，表示南偏东方向的一条射线， ． 故选：D． 2．如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方位角，理解相关概念是解决问题的关键．根据表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，可知的度数，进而可求得题目所求的． 【详解】解：∵表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线， ∴， ， ． 故选：D． 3．如图，一艘轮船在处同时测得小岛的方向分别为北偏西和东北方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．东北方向即为北偏东，然后求出与的和即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 4．如图，货轮在航行的过程中，发现灯塔在它北偏西的方向上，同时，在它南偏东的方向上又发现了小岛，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，根据题意可得：，，，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∴， 故选：A． 【题型9：三角板中角度的有关计算问题】 1．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．在及中，可求出及的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意，，， 在中，， 故选：B． 2．如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角，度、分、秒的换算．熟练掌握，，是解题的关键． 根据，代入数据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放在直尺上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的角度计算问题． 直接根据平角的定义计算即可． 【详解】， 故选：C． 4．在，，， 的角中，不能用一副三角尺画出来的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角尺角度，利用和、差关系解答即可． 本题考查了角的计算，熟记三角尺的角度，利用和、差关系求解是解答此题的关键． 【详解】解：， 不能画出， ， ， 所以不能用一副三角尺画出来的有共1个， 故选：A． 5．如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 ． 【答案】75° 【分析】本题考查三角尺角度与平行线性质的结合，掌握利用三角尺的已知角度和平行线的相关性质计算角的度数是解题的关键； 利用三角尺的角度以及平行线的性质，求出的度数． 【详解】解：由三角尺的角度可知，一个三角尺的角为，另一个三角尺的角为和． 根据平行线的性质，可得． 故答案为：． 7．在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_____； 【探究发现】 （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，当在内部时（图②），请问：与两角间有什么数量关系？请说明理由；并求出为多少度时，． 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析，；（3）的度数为或． 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）结合图形求解即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）根据题意得：， 时，．理由如下： 如图， ∵，， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 8．以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）把数值代入，进行计算，求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于进行列式计算，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴所在射线是的平分线； （3）解：设， 则， ∵，， ∴或 ∴或， 即或 ∴或． 9．点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程，角平分线的定义，正确认识图形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，可得到的度数； （2）①根据图2，结合角平分线，得到的度数，从而得到结果； ②根据旋转的不同位置，得到角度之间的数量关系，得到结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， 即； （2）解：①如图2，当未旋转到时， ， ， 平分， ， ， ； ②如图2，当旋转到，且未到的延长线时，， 设，则， ， ， 解得， ， 如图3，设，则， ， ， ， 解得， 即， 当旋转超过延长线时，不存在，故不符合题意， 综上所述，的度数为或． 【题型10：几何图形中的有关角度的计算问题】 1．已知：如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的定义，角的和差计算，首先求出，，然后由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以． 2．如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 3．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同（1）计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4．【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1）24；（2）①；② 【分析】本题考查了线段中点以及角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可得，再由线段中点的定义可得，即可求解； （2）①根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点和点分别是和的中点， ，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， ； ②∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， 5．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 6．互为余角的两个角的差为，求： (1)较大角的补角的度数； (2)较小角的补角与较大角的补角的差． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了余角和补角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设较大角为x，则较小角为，根据题意列方程求解求出较大角的度数为，然后根据补角的定义求解即可； （2）首先求出较小角的度数，然后求出较小角的补角的度数，进而求解即可． 【详解】（1）解：设较大角为x，则较小角为， 根据题意得， 解得， ∴较大角的度数为， ∴较大角的补角的度数为； （2）解：∵较大角的度数为， ∴较小角的度数为， ∴较小角的补角的度数为， ∴较小角的补角与较大角的补角的差为． 7．将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，熟知三角板中的角度是解题的关键． （1）由三角板的信息可知，再由角的和差关系即可得出． （2）设，则，由题意可知，即可得出，解出x即可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴． （2）解： 设，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴ 8．已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)19 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． （1）根据 计算即可； （2）先利用角平分线的定义求得，再利用求解即可； （3）根据题意可得，，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴    ． （2）解：∵平分，平分，，， ∴，， ， ∴． （3）解：由题意可知，， ， ∵， ， ． 9．已知，O为直线上的一点，，射线在的内部，且平分． (1)如图1，当，在直线上方时，若，求和的度数； (2)图1中，若，直接写出的度数（用含a的式子表示）； (3)如图2，当，在直线的上方和下方时，经探究，小王得到的结论是：，他的结论是否正确，请说明理由． 【答案】(1) ； (2) (3)正确，详见解析 【分析】本题主要考查与角平分线有关的角的计算，余角和补角，灵活运用余角和补角的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：由已知得， ∵， ∴， ，平分， . （2）解：由已知得， ，平分， . （3）解：设，则，平分， ， ， ， ， 即 ． 【题型11：实际问题中的角度计算】 1．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能 (2)见解析 (3)选用，理由见解析 (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）解：如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 2．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 3．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 【题型12：角度的四则运算】 1．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分，秒与秒相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查以度、分、秒为单位的角的度量；掌握度、分、秒是60进制是解题关键． （1）根据，计算求值； （2）先算乘法，再根据，计算求值 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了度分秒之间的计算． （1）按照度分秒之间的计算法则进行计算即可； （2）先计括号内的加法，再计算减法即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型13：角 n分线的有关计算】 1．如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，邻补角性质，掌握角的和差计算，角平分线定义，邻补角性质是解题的关键． 设，根据邻补角性质可得，由角平分线定义可得：，即可得到，求出x的值，进而得出答案． 【详解】解：， 可设，则，， ， ， 又平分， ， ，即， ， 解得：， 2．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或 ，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 4．【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 的“三等分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且 ，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点M，N分别在的边上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线与边重合后，射线都停止运动．设运动时间为t秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）t值为s或9s 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和差倍分是关键． （1）根据题意解答即可； （2）根据三等分线列出等式计算即可． （3）先计算出，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ∴是的三等分线， 故答案为：是； （2）， ， ， ； （3）当与第二次重合时，从转向，此时，， ，， ∴当后， 当时，此时，向转动，此时，， 当 时， ， ∴， 当时， ， ． 综上，t值为或． 5．类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解； （2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解． 【详解】（1）解：，OC是的一条三等分线，且， ； （2）解：，OC是的一条三等分线，且， ，． ∵OE是的角平分线，OF是∠AOB的角平分线， ∴，， ， ． 设旋转后的角为，旋转的时间为t秒， 如图2-1，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)； 如图2-2，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)， 当秒或秒时，射线OB恰好是的一条三等分线． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提． 6．已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． (1)如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ①补全图形； ②填空：∠MON的度数为 ． (2)探求∠MON和∠AOB的等量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】（1）①根据∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，先求出∠BOC=∠AOC=，    在根据OM是∠AOC靠近OA的三等分线，求出∠AOM=，根据ON是∠BOC靠近OB的三等分线，∠BON=，然后在∠AOB内部，先画∠AOC=60°，在∠AOC内部，画∠AOM=20°，在∠BOC内部，画∠BON即可； ②根据∠AOM=，∠BON=，∠AOB＝120°，可求∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=120°-20°-20°=80°即可； （2）根据OM是∠AOC靠近OA的三等分线， ON是∠BOC靠近OB的三等分线．可求∠AOM=，∠BON=，可得 ． 【详解】（1）①∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠BOC=∠AOC=，     ∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线， ∴∠AOM=， ∵ON是∠BOC靠近OB的三等分线， ∴∠BON=， 在∠AOB内部，先画∠AOC=60°，在∠AOC内部，画∠AOM=20°，在∠BOC内部，画∠BON， 补全图形； ②∵∠AOM=，∠BON=，∠AOB＝120°， ∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=120°-20°-20°=80°， ∴∠MON的度数是80°， 故答案为：80° （2）∠MON=∠AOB． ∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线， ON是∠BOC靠近OB的三等分线． ∴∠AOM=，∠BON=， ∴ ， ， ， ． 【点睛】本题考查画图，角平分线定义，等分角，掌握角平分线定义，等分角，根据角的度数画角是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $