专题12 解分式方程及分式方程应用重难点汇编(七大题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题12 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型01 解分式方程】.................................................................1 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】.................................................2 【题型03 分式方程应用-工程问题】......................................................3 【题型04 分式方程应用-行程问题】......................................................5 【题型05 分式方程应用-销售问题】......................................................7 【题型06 分式方程应用-方案问题】......................................................9 【题型07 分式方程应用-其他问题】......................................................12 【题型01 解分式方程】 1．解方程：． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解分式方程： (1) (2) 4．解分式方程：． 5．解方程： (1) (2) 6．解方程． (1) (2) 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】 1．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 2．若分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 5．若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 6．若分式方程无解，则k的值是 ． 7．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【题型03 分式方程应用-工程问题】 1．某化工厂要在规定时间内搬运千克化工原料，现有，两种机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成工作量的倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少小时，如果设型机器人每小时搬运千克化工原料，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某工程队改造一条长3500米的人行道，为尽量缩短施工时间，施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成．设计划每天改造人行道x米，则可得方程（    ） A． B． C． D． 3．某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 4．某市计划对道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造20米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米？ 5．某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数．（列分式方程求解） 6．宇树科技公司研发的新款型搬运机器人，凭借人工智能技术显著提升了仓储搬运效率．在每天工作时间相同的情况下，每台旧款型机器人每天比新款型机器人少搬运20吨货物，且3台型机器人搬运2400吨货物的时间与4台型机器人搬运2400吨货物的时间相同，求新款型机器人每天搬运的货物量． 7．截至2025年3月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还大大提高了配送效率，某邮政快递运营站在配送高峰期，揽投员原来平均每天配送600件快递，使用无人配送车协助后，每天的快递配送量比原来提高了20%．揽投员每小时的配送量达到了原来的1.5倍，每天的工作时间比原来减少了2小时．求揽投员现在每天需要工作几小时？ 【题型04 分式方程应用-行程问题】 1．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？ 2．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 3．某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 4．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科．实验中学为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行50米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，且“领航号”比“致远号”每秒多行驶，求“致远号”的行驶速度．（列分式方程解答） 5．从成都站到重庆北站铁路里程约为320千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)成都市某校共有50名师生前往重庆参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为150元，学校预计提供交通补助费单程不超过10100元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 6．为弘扬晋商文化，某校组织八年级学生前往104千米外的平遥古城开展研学活动．师生统一乘坐大巴车从学校先行出发，王老师因处理学校紧急事务，比车队推迟16分钟才驾驶私家车从学校启程，私家车的平均速度是大巴车平均速度的1.2倍，王老师与大巴车竟同时抵达古城．大巴车的平均速度是多少千米/时？ 7．学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 根据以上信息求小明骑自行车的速度． 【题型05 分式方程应用-销售问题】 1．某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 2．年月1日是中华人民共和国成立周年纪念日，某商家用元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的倍，但每件贵了元，求该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？ 3．年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 4．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 5．一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 6．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ． (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．若建造这90个摊位的费用不低于10300 元，该社区共有几种建造方案？ 7．市面上出现了一款热销玩具．某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具．已知第二次购进的数量是第一次的2倍．且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元． (1)求该超市两次购进这款玩具各多少个？ (2)第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完．若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？ 【题型06 分式方程应用-方案问题】 1．某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 2．学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 3．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 4．2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 5．某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 6．为鼓励购买和使用新能源汽车，某停车场加快公共区域充电基础设施建设，计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买个、型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，则共有几种购买方案？哪种购买方案所需总费用最少？ (3)在“2024年元旦”促销活动中，每购买一个型充电桩厂家对顾客让利万元，在（2）的条件下，直接写出当为何值时，满足条件的上述购买方案所需费用均相同． 【题型07 分式方程应用-其他问题】 1．深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． (1)求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ (2)如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 2．某公司使用A、B两种型号的机器人运送货物．已知每台A型机器人的载货量比每台B型机器人的载货量多，A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人的载货量分别是多少千克？ (2)现在需要同时使用A、B两种型号机器人共10台，运送不少于的货物，该公司至少需要使用A型机器人多少台？ 3．2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． (1)每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 4．为了进一步弘扬和传承我国悠久而丰富的传统节日文化，在端午节即将来临之际，滨海学校精心策划并成功举办了富有意义的包粽子活动．已知包1个大粽子比包1个小粽子多用50克糯米，用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同． (1)求包1个大粽子和1个小粽子分别需用多少克糯米？ (2)八年级8班计划包大、小粽子共60个，且所用糯米总量不超过5000克，那么该班级最多可以包多少个大粽子？ 5．跳绳是一项高效且易行的运动，能带来多重健康益处：增强心肺功能，促进血液循环，提升身体协调性．某商店计划购进，两款跳绳，款的进价为元/根，款的进价为元/根 (1)若商店计划用不超过元的价格购进，两款跳绳共根，则商店至少购进款跳绳多少根? (2)甲、乙两名同学进行跳绳训练，甲计划跳个，乙计划跳个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因跳绳打结耽搁了秒钟，最后甲比乙提前秒完成跳绳训练，问甲平均每秒跳绳多少个？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型01 解分式方程】.................................................................1 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】.................................................5 【题型03 分式方程应用-工程问题】......................................................8 【题型04 分式方程应用-行程问题】......................................................12 【题型05 分式方程应用-销售问题】......................................................16 【题型06 分式方程应用-方案问题】......................................................22 【题型07 分式方程应用-其他问题】......................................................29 【题型01 解分式方程】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键． 先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可． 【详解】解： 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查的是分式方程的解法； （1）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案； （2）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故方程无解． 3．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 4．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是去分母时不要漏乘及检验是否为增根． 根据去分母转换成整式方程，解分式方程，检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边都乘，得：， 解这个方程得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤进行求解即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程无解． （2） 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 6．解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验为解题关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程无解． 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】 1．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键． 先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：解方程得：， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴，解得：； ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且 ． 故选：A． 2．若分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程是解题关键．把分式方程化为整式方程，先令分母求增根，最后把增根代入整式方程求出k． 【详解】解：， 去分母，得， ，解得， 代入整式方程得：， 解得． 故选：B． 3．关于x的分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键．根据解分式方程的方法解分式方程，可得，再根据分式方程有增根，可得，即，即，进而得出答案． 【详解】解∶ ， 方程两边同时乘，得． 解得． 分式方程有增根， ，即． ，解得． 故选∶ B． 4．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为非负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得，解得， 分式方程的解为非负数， ，， 又分母不为0， ，即， ， 综上可知，且． 故选：D． 5．若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，能根据不等式组解集情况与分式方程解的情况确定出值是解题的关键．先求解不等式组，再根据不等式组有且仅有3个整数解，求出的取值范围，然后解分式方程，根据分式方程的解是整数解，求出的取值范围，最后根据两取值范围求整数的值，即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：； 解得：， ∵分式的解是整数且， ∴需为偶数且， ∴为奇数且， ∵， ∴整数的值为， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故选：B． 6．若分式方程无解，则k的值是 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键．先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值． 【详解】解：原方程两边同乘（需），得， 化简得，即， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根，则， 解得， 故或时方程无解， 故答案为：1或2． 7．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程、分式有意义的条件，正确求解分式方程是解题关键． 先解分式方程得到的表达式，再根据解为负数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程，两边乘（注意），得， 即，解得， 由解为负数，得，即，解得， 又分母 ，即，代入，得，解得． 故答案为：且． 【题型03 分式方程应用-工程问题】 1．某化工厂要在规定时间内搬运千克化工原料，现有，两种机器人可供选择，已知型机器人每小时完成的工作量是型机器人每小时完成工作量的倍，型机器人单独完成所需的时间比型机器人单独完成所需的时间少小时，如果设型机器人每小时搬运千克化工原料，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据工作时间与效率的关系建立方程，即可求解． 【详解】解：设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克 根据题意得： 故选：B． 2．某工程队改造一条长3500米的人行道，为尽量缩短施工时间，施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成．设计划每天改造人行道x米，则可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设计划每天改造人行道x米，根据“施工时每天比计划多改造15米，结果提前8天完成”列分式方程即可． 【详解】解：设计划每天改造人行道x米，列方程得， 故选：D． 3．某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 【答案】甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米，根据“甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 则乙工程队平均每天修复公路千米， 答：甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米． 4．某市计划对道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．已知甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造20米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米？ 【答案】甲工程队每天改造道路的长度是120米，乙工程队每天改造道路的长度是100米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设甲工程队每天改造道路的长度是米，则乙工程队每天改造道路的长度是米，根据甲工程队改造480米的道路与乙工程队改造400米的道路所用时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲工程队每天改造道路的长度是米，则乙工程队每天改造道路的长度是米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队每天改造道路的长度是120米，乙工程队每天改造道路的长度是100米． 5．某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数．（列分式方程求解） 【答案】实际每天生产240个零件，实际完成任务的天数为20天． 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天生产x个零件，则实际每天生产个零件，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产x个零件，则实际每天生产个零件， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原分式方程的解． ∴（个）， （天）， ∴实际每天生产240个零件，实际完成任务的天数为20天． 6．宇树科技公司研发的新款型搬运机器人，凭借人工智能技术显著提升了仓储搬运效率．在每天工作时间相同的情况下，每台旧款型机器人每天比新款型机器人少搬运20吨货物，且3台型机器人搬运2400吨货物的时间与4台型机器人搬运2400吨货物的时间相同，求新款型机器人每天搬运的货物量． 【答案】型机器人每天搬运的货物量为80吨 【分析】本题考查列分式方程解应用题，找出等量关系并列出分式方程是解题的关键． 基本关系式为，设型机器人每天搬运的货物量为吨，用含的代数式表示工作时间，利用工作时间相等建立方程，求解即可． 【详解】解：设型机器人每天搬运的货物量为吨，则型机器人每天搬运的货物量为吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：型机器人每天搬运的货物量为80吨． 7．截至2025年3月，中国邮政已在全国多个省份、地区开展了无人车配送的试点工作，不仅减少了揽投员的往返次数，还大大提高了配送效率，某邮政快递运营站在配送高峰期，揽投员原来平均每天配送600件快递，使用无人配送车协助后，每天的快递配送量比原来提高了20%．揽投员每小时的配送量达到了原来的1.5倍，每天的工作时间比原来减少了2小时．求揽投员现在每天需要工作几小时？ 【答案】揽投员现在每天需要工作8小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设揽投员现在每天需要工作小时，则原来揽投员每天工作小时，根据揽投员原来平均每天配送600件快递，使用无人配送车协助后，每天的快递配送量比原来提高了．揽投员每小时的配送量达到了原来的1.5倍，列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：设揽投员现在每天需要工作小时，则原来揽投员每天工作小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：揽投员现在每天需要工作8小时． 【题型04 分式方程应用-行程问题】 1．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？ 【答案】(1)无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时 (2)无人机的速度还要至少增加千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找出等量关系式及不等关系式是解题的关键． （1）等量关系式：传统车辆匀速配送路程为30千米的所用时间无人机飞行路程为16千米的所用时间小时，据此列方程，即可求解； （2）不等关系式：小时无人机的增速后的速度千米，据此列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设无人机的配送速度分别是千米/时，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； （千米/时）， 答：无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时； （2）解：设无人机的速度还要增加千米/时，由题意得 ， 解得：， 答：无人机的速度还要至少增加千米/时． 2．王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校． (1)求王老师驾车的平均速度； (2)据测算，王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量约为2.4千克，按这样计算，王老师一天（按一个往返计算）可以减少多少碳排放量？ 【答案】(1)48千米/小时 (2)千克 【分析】本题考查了分式方程的应用、有理数乘法的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时，根据王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达学校，建立方程，解方程即可得； （2）先求出王老师驾车往返学校所需的时间，再乘以王老师的汽车在上下班行驶过程中平均每小时碳排放量即可得． 【详解】（1）解：设王老师骑自行车的平均速度为千米/小时，则王老师驾车的平均速度为千米/小时， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：王老师驾车的平均速度为48千米/小时． （2）解：王老师驾车往返学校所需的时间为（小时）， 则（千克）， 答：王老师一天（按一个往返计算）可以减少千克碳排放量． 3．某旅行社组织游客从甲地到乙地的航天科技馆参观，已知甲地到乙地的路程为300千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的倍，求B型车的平均速度． 【答案】B型车的平均速度是80千米小时 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是通过时间差建立方程，并注意单位的统一及解的合理性验证．设B型车的平均速度为x千米/时，则A型车的平均速度为千米/时．根据题意，A型车比B型车少用小时，可建立方程求解． 【详解】解：设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：B型车的平均速度是80千米/小时． 4．人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科．实验中学为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行50米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，且“领航号”比“致远号”每秒多行驶，求“致远号”的行驶速度．（列分式方程解答） 【答案】“致远号”的行驶速度为每秒 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为每秒，则“领航号”的行驶速度为每秒，可得，再解方程即可. 【详解】解：设“致远号”的行驶速度为每秒x m，则“领航号”的行驶速度为每秒， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际， 故“致远号”的行驶速度为每秒． 5．从成都站到重庆北站铁路里程约为320千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)成都市某校共有50名师生前往重庆参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为150元，学校预计提供交通补助费单程不超过10100元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 【答案】(1)高铁的平均速度为240千米/小时 (2)学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可； （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，根据“学校预计提供交通补助费单程不超过10100元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，依题意，得 ， 解得， ∴（千米/小时）． 答：高铁的平均速度为240千米/小时． （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得 ， 解得 ， 答：学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票． 6．为弘扬晋商文化，某校组织八年级学生前往104千米外的平遥古城开展研学活动．师生统一乘坐大巴车从学校先行出发，王老师因处理学校紧急事务，比车队推迟16分钟才驾驶私家车从学校启程，私家车的平均速度是大巴车平均速度的1.2倍，王老师与大巴车竟同时抵达古城．大巴车的平均速度是多少千米/时？ 【答案】 65千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设大巴车平均速度x千米每小时，根据题意列出分式方程，解分式方程，检验即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度是千/时． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是所列方程的根． 答：大巴车的平均速度是65千米/时． 7．学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 根据以上信息求小明骑自行车的速度． 【答案】明骑自行车的速度是15千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时，根据题意列方程即可得到解答． 【详解】解：设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列方程的解． 答：小明骑自行车的速度是15千米/小时． 【题型05 分式方程应用-销售问题】 1．某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用元购进A型文具袋的数量与用元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题： (1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元? (2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过个，该超市最多购进B型文具袋多少个? 【答案】(1)A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； (2)该超市最多购进B型文具袋个； 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元，由题意得：，即可求解； （2）由题意得：该超市购进型文具袋个．则，即可求解； 【详解】（1）解：设每个A型的进价是元，则B型文具袋的进价为元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 故：A型文具袋进价为8元，B型文具袋进价为元； （2）解：由题意得：该超市购进型文具袋个． 则，解得； 故：该超市最多购进B型文具袋个； 2．年月1日是中华人民共和国成立周年纪念日，某商家用元购进了一批纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的倍，但每件贵了元，求该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元？ 【答案】80元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元，根据购进第二批这种纪念衫数量是第一批购进量的2倍列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设该商家购进的第一批纪念衫单价是x元，则第二批纪念衫单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则该商家购进的第一批纪念衫单价是80元． 3．年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 【答案】(1)每副甲种春联的进价为元，每副乙种春联的进价为元； (2)商家最多可以购买副甲种春联． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握列分式方程和一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）通过设甲种春联进价为未知数，依据两种春联购进数量相同这一条件，列分式方程求解进价． （2）设购进甲种春联数量，进而表示出乙种春联数量，根据利润不低于给定值的条件，列一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元； （2）解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为150． 答：商家最多可以购买150副甲种春联． 4．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 【答案】(1)A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模型的单价为900元 (2)有3种购买方案：①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架；②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架；③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，根据用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架，根据购买费用18000元，列出方程，得出答案即可． 【详解】（1）解：设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，由题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：A款无人机模型的单价为1 500元，B款无人机模型的单价为900元． （2）解：设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架．由题意得： ， 整理得：， ∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架； ②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架； ③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架． 5．一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1支乙种灭火器的采购价比1支甲种灭火器采购价的2倍多5元，花300元采购甲种灭火器的支数和花650元采购乙种灭火器的支数相同． (1)采购1支甲种灭火器和1支乙种灭火器分别需要多少元？ (2)若该公司准备采购这两种灭火器共50支，总费用不超过2550元，并且以每支甲种灭火器58元和每支乙种灭火器98元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元 (2)能，共有3种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支；方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支；方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数即可解答． 【详解】（1）解：设采购1支甲种灭火器需要元，则采购1支乙种灭火器需要元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 则， 答：采购1支甲种灭火器需要30元，采购1支乙种灭火器需要65元． （2）解：设采购甲种灭火器支，则采购乙种灭火器支， 由题意得， 解得：， ∵是整数， ∴， ∴该公司能实现利润不少于1540元的目标，共有3种采购方案： 方案1：采购甲种灭火器20支，乙种灭火器30支； 方案2：采购甲种灭火器21支，乙种灭火器29支； 方案3：采购甲种灭火器22支，乙种灭火器28支． 6．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的 ． (1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？ (2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．若建造这90个摊位的费用不低于10300 元，该社区共有几种建造方案？ 【答案】(1)A类5平方米，B类3平方米 (2)3种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，由题意：用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的．列出分式方程，解方程即可； （2）设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个，由题意：B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10300元，列出一元一次不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：每个类摊位占地面积为5平方米，每个类摊位占地面积3平方米． （2）解：设类摊位的数量为个，则类摊位的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴或21或22． ∴或69或68， 方案一：建造A类摊位20个，建造B类摊位70个； 方案二：建造A类摊位21个，建造B类摊位69个； 方案三：建造A类摊位22个，建造B类摊位68个． ∴该社区共有3种建造方案． 答：社区共有3种建造方案． 7．市面上出现了一款热销玩具．某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具．已知第二次购进的数量是第一次的2倍．且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元． (1)求该超市两次购进这款玩具各多少个？ (2)第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完．若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？ 【答案】(1)该超市第一次购进200个，第二次购进400个 (2)第一次销售时每个玩具的售价是8元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设该超市第一次购进这款玩具x个，则第二次购进这款玩具个，根据每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个玩具的售价是m元，根据要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进这款玩具x个，则第二次购进这款玩具个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该超市第一次购进200个，第二次购进400个； （2）解：设第一次销售时每个玩具的售价是m元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次销售时每个玩具的售价是8元． 【题型06 分式方程应用-方案问题】 1．某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 【答案】(1)一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； (2)该校至少需要租用辆大型客车； 学校有种租车方案：方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案花费最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用. （1）设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元，根据用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，师生共人，列出一元一次不等式，解不等式即可； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据租车费用的预算为元，运用（1）的结论，列出一元一次不等式，再结合的结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； （2）设至少租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 答：该校至少需要租用辆大型客车； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 由得：，且为正整数， 或， 当时，，费用为：； 当时，，费用为：； 学校有种租车方案： 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； ， 方案花费最低． 2．学校为了丰富学生的课外活动，准备购买一些运动器材．经过市场调查得知一副乒乓球拍和一副羽毛球拍共130元，用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)现从某商家购买两种球拍，总数为25副（两种都要购买），某种球拍超过12副时，则该球拍打八折，当总费用不超过1460元，通过计算说明有多少种购买方案？ 【答案】(1)乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元 (2)共有14种方案 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元，根据“用250元购买的乒乓球拍数量和用400元购买的羽毛球拍数量正好相同”，可列出关于的分式方程，求解并检验即可得出结论； （2）设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副，分和两种情况，根据“总费用不超过1460元”，分别列出一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价是元，则羽毛球拍的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 当时，（元）， 答：乒乓球拍单价为50元，则羽毛球拍单价为80元； （2）解：设乒乓球拍有m副，则羽毛球拍有副， 根据题意，得： 当时， 解得 ， 又∵， ∴，即； 当时，， 解得 ， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴； ∴（种）， 答：共有种方案． 3．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 【答案】(1)采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，理解题意合理列出关系式是解题的关键． （1）设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需万元，根据题意列出分式方程求解，即可解题； （2）设采购A种机器人a台，则采购B种机器人台，根据题意列出不等式组求解，即可解题． 【详解】（1）解：设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需万元， 由题意得，， 解得，， 经检验是原分式方程的解， 答：采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a台，则采购B种机器人台， 根据题意得， 解得， 因为a为正整数，所以一共有4种方案， 答：该公司共有4种采购方案． 4．2025年春晚《秧BOT》节目中的机器人舞蹈，体现了我国人工智能领域的飞速发展．某物流公司采用、型机器人打包物品，某天共有11个机器人运作，型机器人共打包1080件物品，型机器人共打包750件物品，已知型机器人比型机器人每天多打包30件物品． (1)一个、型机器人每天分别打包多少件物品？ (2)“618”期间，物流公司每天使用、型机器人共同完成2460件物品的打包，请你求出所有的安排方案． 【答案】(1)一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； (2)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设型机器人有个，则型机器人有个，根据“型机器人比型机器人每天多打包30件物品”列分式方程，求解即可； （2）设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个，根据“共同完成2460件物品的打包”列出二元一次方程，利用和都是正整数，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人有个，则型机器人有个， 依题意有， 整理得， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解， ∴一个型机器人每天打包件物品， 一个型机器人每天打包件物品； 答：一个、型机器人每天分别打包180件和150件物品； （2）解：设“618”期间，使用型机器人个，使用型机器人个， 依题意有， 整理得， ∵和都是正整数， ∴当时，；时，；时，； 综上，共有三种方案，方案一，使用型机器人2个， 型机器人14个；方案二，使用型机器人7个， 型机器人8个；方案三，使用型机器人12个， 型机器人2个． 5．某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款n盒，则购进A款盒， 款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ，解得：， 根据题意得：，解得：， ，n取整数为50，51，52， 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）． 因为，所以购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大． 6．为鼓励购买和使用新能源汽车，某停车场加快公共区域充电基础设施建设，计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买个、型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，则共有几种购买方案？哪种购买方案所需总费用最少？ (3)在“2024年元旦”促销活动中，每购买一个型充电桩厂家对顾客让利万元，在（2）的条件下，直接写出当为何值时，满足条件的上述购买方案所需费用均相同． 【答案】(1)种型号充电桩的单价为万元，种型号充电桩的单价为万元 (2)共有 种方案，费用最少的是购买 型充电桩个，购买型充电桩个，费用 万元 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，整式的乘法无关类型的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设种型号充电桩的单价为万元，则种型号充电桩的单价为万元 根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购买 型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意列出不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据题意，购买方案与无关，即可得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：设种型号充电桩的单价为万元，则种型号充电桩的单价为万元 根据题意得， 解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴种型号充电桩的单价为万元 答：种型号充电桩的单价为万元，种型号充电桩的单价为万元； （2）解：设购买 型充电桩个，则购买型充电桩个，根据题意得， 解得： ∵为正整数，则 对应方案：购买 型充电桩个，购买型充电桩个，费用：万元 购买 型充电桩个，购买型充电桩个，费用： 万元 购买 型充电桩个，购买型充电桩个，费用： 万元 共有 种方案，费用最少的是购买 型充电桩个，购买型充电桩个，费用 万元； （3）解：依题意， ∵购买方案所需费用均相同 ∴ 解得： 【题型07 分式方程应用-其他问题】 1．深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． (1)求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ (2)如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 【答案】(1)人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． (2)至少要开通8条通道 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，根据通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时建立方程求解即可； （2）设开条通道，则开条人工收费通道，根据2个小时的时间段内要至少通过5000辆车建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车． 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的根，且符合题意， ∴， 答：人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． （2）解：设开条通道，则开条人工收费通道． 根据题意得： 解得：． ∵为整数， ∴的最小值是8． 答：至少要开通8条通道． 2．某公司使用A、B两种型号的机器人运送货物．已知每台A型机器人的载货量比每台B型机器人的载货量多，A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人的载货量分别是多少千克？ (2)现在需要同时使用A、B两种型号机器人共10台，运送不少于的货物，该公司至少需要使用A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台A型机器人的载货量是，每台B型机器人的载货量是 (2)公司至少安排A型机器人5台 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，列出方程与不等式是解题的关键； （1）设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是．根据等量关系：A型机器人载货所用的台数与B型机器人载货所用的台数相同，列出分式方程，求解并检验即可； （2）设A型机器人有m台，则B型机器人有台．根据数量关系：10台机器人运送不少于的货物，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型机器人的载货量是，则每台B型机器人的载货量是． 由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：每台A型机器人的载货量是，每台B型机器人的载货量是． （2）解：设A型机器人有m台，则B型机器人有台． 由题意得：， 解不等式得：． 公司至少安排A型机器人5台． 3．2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． (1)每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ (2)如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 【答案】(1)每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件； (2)至少需要安排6台A型机器． 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，根据一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，列出分式方程，即可解答； （2）设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，依题意，得 解得： 经检验：是原方程的解， ∴ 答：每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件． （2）解：设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据题意得 解得： 答：至少需要安排6台A型机器． 4．为了进一步弘扬和传承我国悠久而丰富的传统节日文化，在端午节即将来临之际，滨海学校精心策划并成功举办了富有意义的包粽子活动．已知包1个大粽子比包1个小粽子多用50克糯米，用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同． (1)求包1个大粽子和1个小粽子分别需用多少克糯米？ (2)八年级8班计划包大、小粽子共60个，且所用糯米总量不超过5000克，那么该班级最多可以包多少个大粽子？ 【答案】(1)包1个大粽子和1个小粽子分别需用100克和50克糯米 (2)该班级最多可以包40个大粽子 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程，再根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设包1个小粽子需用克糯米，则包1个大粽子需用克糯米，根据用800克糯米包大粽子的数量与用400克糯米包小粽子的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即包1个小粽子所需糯米质量），再将其代入中，即可求出包1个大粽子所需糯米质量； （2）设该班级可以包个大粽子，则包个小粽子，根据所用糯米总量不超过5000克，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设包1个小粽子需用克糯米，则包1个大粽子需用克糯米．根据题意，得 ． 解得 经检验是原方程的根 ． 答：包1个大粽子和1个小粽子分别需用100克和50克糯米． （2）解：设八年级8班计划包大粽子个，根据题意，得 解得． 答：该班级最多可以包40个大粽子. 5．跳绳是一项高效且易行的运动，能带来多重健康益处：增强心肺功能，促进血液循环，提升身体协调性．某商店计划购进，两款跳绳，款的进价为元/根，款的进价为元/根 (1)若商店计划用不超过元的价格购进，两款跳绳共根，则商店至少购进款跳绳多少根? (2)甲、乙两名同学进行跳绳训练，甲计划跳个，乙计划跳个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均每秒跳绳个数的倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因跳绳打结耽搁了秒钟，最后甲比乙提前秒完成跳绳训练，问甲平均每秒跳绳多少个？ 【答案】(1)商店至少购进根款跳绳； (2)甲平均每秒跳绳个． 【分析】（1）设该商店购进根款跳绳，则购进根款跳绳，根据题意列出一元一次不等式后即可得解； （2）设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳个，根据题意列出分式方程后求解即可． 【详解】（1）解：设该商店购进根款跳绳，则购进根款跳绳， 根据题意可得， 解得， 为正整数， ． 答：商店至少购进根款跳绳． （2）解：设乙平均每秒跳绳个，则甲平均每秒跳绳个， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲平均每秒跳绳个． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用、分式方程的实际应用，解题关键是正确理解题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $