第五章 分式与分式方程（单元自测·提升卷）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第五章分式与分式方程·能力提升（参考答案） 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 9 D A B A A D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.2 12.x≥1且x≠2 14.-3 16.12或√194 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：原式=-1_1）--1-1_x-x+型.x」 xx xxx x+1.3分 (2)解：原式 (m+2(m-2)51m-2 m-2m-2m-3 =m2-45）m-2 m-2m-2m-3 =m2-4-5.m-2 m-2m-3 =m2-9.m-2 m-2m-3 =m-3(m+3,m-2 m-2 m-3 =m+3.6分 18. 【详解】(1)解：x 2 =2, -11-x -1-12, 方程两边同乘(x-),得 x-2=2(x-1, x-2=2x-2, 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x-2x=-2+2, -x=0, x=0, 检验：当x=0时，x-1=-1≠0， 故原分式方程的解为x=0.3分 (2)解：1+212 x+3x-3x2-9' 方程两边同乘(x+3)x-3),得 (x-3)+2x+3=12, X-3+2x+6=12, 3x+3=12, 3x=9, x=3, 检验：当x=3时，（x+3)x-3=0, 因此x=3不是原分式方程的解. 故原分式方程无解.6分 19. 【详解】(1)解：甲或乙；1分 (2)解：选择甲时，①，填括号时，(a+1)这一项中的1未变号；3分 选择乙时，②，去括号时，aa+1)这一项中a没有与1相乘； (3)解：选择甲， 4a-5 a+1 4a-5a2-1a+1 a+1a+1a-2 4a-5-a2+1a+1 a+1 a-2 =-a-22 a-2 2/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =-a+2: 选择乙， 解： /4a-5-a+÷a-2 a+1 a+1 a+1 =4a-5a2-1 a+l a+1a+1a-2 4a-5-a2+1a+1 a+1 a-2 --a-22 a-2 =-a+2..6分 20. 3+(-2)1 【详解】(1)解：3*(-2)= 3-(-252分 (2)解：x*2=5,x*2=x+2 x-2 +2-5, x-2 解得：x=3, 检验：当x=3时，x-2=3-2=1≠0， 所列方程的解为x=3,即所求x的值为3；4分 (3)解：a*b=a+(a≠b, a-b b*a= b+aa+b a+b -a-a-ba-6a*b创 .a*b与b*a互为相反数.6分 21. 【详解】(1)解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x+10)元， 根据题意得300-250 x+10x 方程两边同乘x(x+10)得300x=250(x+10), 解得x=50, 经检验x=50是原分式方程的解，且符合题意， 3/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 则x+10=60 答：足球单价为50元，篮球单价为60元；4分 (2)解：设购买篮球m个，则购买足球(50-m)个， 根据题意得60m+50(50-m)≤2800， 化简得10m≤300， 解得m≤30， 要求尽可能多买篮球， m的最大值为30. 答：最多能购买30个篮球.8分 22. 【详解】(1)解：①解方程：1=2 1 x+1x+1 两边同乘以x+1,得：1=2-(x+) 去括号：1=2-x-1, 移项合并得：x=0, 检验：当x=0时，分母x+1=1≠0，解成立， 所以解为x=0; 故答案为：x=0; ②解方程：2：4-1， x+1x+1 两边同乘以x+1,得：2=4-(x+1) 去括号：2=4-x-1, 移项合并得：x=1, 检验：当x=1时，分母x+1=2≠0，解成立， 所以解为x=1; 故答案为：x=1; ③解方程：3-6 +1+L, 两边同乘以x+1,得：3=6-(x+), 去括号：3=6-x-1, 移项合并得：x=2, 4/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 检验：当x=2时，分母x+1=3≠0，解成立， 所以解为x=2, 故答案为：x=2;3分 (2)观察前三个方程： ①12 1, x+1x+1 ②2=4-1， x+1x+1 @1 规律：左边分子为k,右边分子为2k,且结构为无2北-， x+1x+1 因此第4个方程为：4：8-1 x+1x+1 解法同上： 两边同乘x+1:4=8-(x+), 整理，得：4=7-x, 移项合并得：x=3, 检验成立，解为x=3, 所以第4个方程是48-1，解为x=3: x+1x+1 故答案为：48 -1,X=3;2分 x+1x+1 (3)根据规律，第n个方程为：”=2”-1， x+1x+1 解方程：”=2n-1 x+1x+1 两边同乘x+1:n=2n-(x+1) 移项整理：-n=-x-1, 解得：x=n-1, 检验：当x=n-1时，x+1=n≠0（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为x=n-1.8分 23 【1D解由分知0， .x2-x+1=2, 5/9 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 x-1+1=2, x+-3;3分 （mn =3 (2)解：由 3m+2n ,知m≠0，n≠0， mn =5 、2m+3n 3m+2n1 32_10 一十一=一 2m+3视1即”03 mn 2+3-@ mn 5 n m 5 ①x2得：6+40， n m 3 ②x3得： 69-30, n m 5 ①-@存：名5解得73 =一 把m=-75代入①得，32=1， 25 n753,解得n= 3 经检验，m=-75,n= 25 是原方程组的解， 3 m=-75 :原分式方程组的解为 _25·8分 n 3 24. 【详解】问题初探：解： 11 1+3+4 = ++ V916 169 44 13 11 3×4 s1+11 34 故答案为： ,11 343分 1,1 发现规律：解： 1+ V (n-1)2n 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (n-12n2+n2+n-12 (n-12n2 n-2n3+2n2+(n-12 1 (n-12n2 n-2n2(n-1）+(n-1 (n-12n2 [n2-n+1]月 V(n-12n2 =2-n+1 (n-)n 1+、1 （n-1n 11 =1+ n-1 n 故答案为：1+1-1 n-1n36分 应用规律：(1)解： ,,11 ，11 1 1 V+2+++++…+ 20252+ 20262 =1++1+ 11 +…+1+ 11 23 34 20252026 ,11,11, =1+1+1+++2334 1 …十 2024个1相加 20252026 11 =2024+ 22026 =2024506 10139分 -+++小小2 。 =1+1-5+1+23 1 1 n-1 -6+ 6 719 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =n-7+n-1-6 6n-1 =n-7+n-7 6(n-1 当小数部分是0.1时， n-7 6(n-1 -=0.1, 解得：n=16, 经检验n=16是分式方程的根， .整数部分是16-7=9.…12分 25. 【译解)1)解：A=+2,=2x+11 x+21 :A+B==5+2x+1-3x+6.3到x+2-3, x+2x+2x+2x+2 :A与B互为“和定分式”，“和定值”k=3;4分 2)解：C=+4,D=从】 x2-16 .C+D =2x-1M x+4x2-16 -(2x-(x-4M x2-16x2-16 =2r2-9x+4+M x2-16 :C与D互为“和定分式”，且分式为真分式， ·2x2-9x+4+M是x2-16的倍数， 又：2x2-9x+4+M中，x2的系数为2，x2-16中X2的系数为1， ·k=2,-9x+4+M=-16×2, ·M=-36+9x;8分 (3)解：：E=r-4 x2-2x+11 ·E+F =ax-4.x+b x-1x2-2x+1 =(ax-4(x-+x+b (x-12(x-1 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =ax2-ax-4x+4+x+b (x-1)2 =ar+-a-3)x+4+b x2-2x+1 :E与F互为“和定分式”，分子ax2+(-a-3)x+4+b中，x2的系数为a,x2-2x+1中x2的系数为1， :分子ax2+(-a-3)x+4+b是分母x2-2x+1的a倍，即k=a, :axr2+(-a-3)x+4+b=ax2-2x+1 ax2+(-a-3)x+4+b=ax2-2ax+a, -a-3=-2a 4+b=a 解得a=3,b=-1.12分 9/9 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第五章 分式与分式方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【详解】解：∵ ① 的分母是字母，符合分式定义； ②的分母是常数，不符合分式定义； ③的分母含字母，符合分式定义； ④中是常数，分母不含字母，不符合分式定义； ∴ 是分式的是①③. 2．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 3．把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 4．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 5．已知，下列有关M的值，说法正确的是（    ） A．存在 B．存在 C．存在 D．M存在最大值 【答案】B 【分析】先根据分式运算法则化简M，结合分式有意义的条件确定x的取值范围，再逐一判断选项即可． 【详解】， 根据分式有意义的条件，得且， ∴且， 逐一判断选项： A项：若，则，得，不满足，原式无意义，故A错误； B项：若，则，得，满足且，原式有意义，故B正确； C项：若，则，得，不满足，原式无意义，故C错误； D项：∵， ∴可取任意不等于0和2的实数， ∴M没有最大值，故D错误． 6．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合分式除法法则化简原式，再将各选项代入被污染部分，判断结果是否为整式，即可得到答案． 【详解】解：根据分式除法运算法则，原式可化为： A 当时，原式，结果分母含未知数，不是整式，此选项符合题意； B 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； C 当时，原式，是整式，此选项不符合题意；. D 当时，原式，是整式，此选项不符合题意； ∴ 被墨水覆盖的部分不可能是． 7．已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程的增根会使原分式方程的分母为0，原方程分母为和， ∴增根满足， ∴增根为， 原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 将增根代入方程，得， 解得． 8．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“实际总阅读时间原计划总阅读时间多花的10天”这一等量关系，分别表示出各段时间即可列出方程． 【详解】解：∵设总页数为，原计划每天读页， ∴原计划总阅读时间为天． ∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半， ∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天． ∵ 实际比原计划多花天读完， ∴可得方程． 因此A选项正确． 9．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 10．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 【答案】B 【分析】先解分式方程，根据解为正数且不为增根得到a的取值范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到a的另一范围，找出范围内所有整数a，计算它们的绝对值之和即可. 【详解】解分式方程： 方程两边同乘得： 整理得： 解得： ∵分式方程的解为正数，且（时分母为0，是增根） ∴且 ∴且 解不等式组： 解第二个不等式得：，即 ∵不等式组有解，即两个不等式存在公共解 ∴，解得 综上，的取值范围是且，范围内的整数为： 计算绝对值之和： 故选B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：______． 【答案】 2 【分析】本题利用同分母分式减法法则计算，对结果因式分解后约分即可得到答案． 【详解】解： 12．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：二次根式有意义的条件：被开方数非负，即，解得 ； 分式有意义的条件：分母不为0，即，解得； 综上，的取值范围是且． 13．若，则的值______． 【答案】 【分析】由条件可知，将代入所求分式计算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14．关于的方程无解，则的值为___________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解确定整式方程的解为增根，代入增根即可求出参数的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 原分式方程无解， ∴是原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入得， 解得． 15．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【答案】 【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案． 【详解】解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， ∴第9个式子为． 16．若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是_____． 【答案】12或 【分析】本题主要考查分式的运算和直角三角形的边长，勾股定理，根据已知的质数和正整数将x和y分为三种情况讨论，分别求得满足题意的解或者找到矛盾排除，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵、都是质数，代数式及的值都是正整数， （1）若， ∴， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形的第三边长为或； 当时，则，此时为偶数，为奇数，故等式不成立； （2）若，则不是正整数，与已知矛盾； （3）若， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵是质数， ∴， ∴不可能是正整数，舍去． 综上可得：直角三角形的第三边长为12或． 故答案为：12或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 19．学习了分式化简后，张老师布置了这样一道化简题 ，甲、乙两位同学的计算过程分别如下： 甲同学： 化简：．                            ………第①步                        ………第②步                        ………第③步                                   ………第④步 乙同学： 化简：．                        ………第①步                            ………第②步                               ………第③步                                           ………第④步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； (2)该同学的解答过程从第 步开始出现错误（填序号）；错误的原因是 ； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲 (2)①，填括号时，这一项中的1未变号 (3) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：甲或乙； （2）解：选择甲时，①，填括号时，这一项中的1未变号； 选择乙时，②，去括号时，这一项中a没有与1相乘； （3）解：选择甲，          ； 选择乙， 解：          ． 20．[新定义阅读] 对于实数，定义一种新运算“*”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互为相反数，见解析 【分析】本题考查解分式方程，分式的化简、有理数的运算，理解新定义运算法则是解答的关键． （1）先根据新运算法则列式，然后根据有理数的运算法则求解即可； （2）先根据新运算法则列方程，然后解分式方程即可； （3）先根据新运算法则列式，再根据分式的性质化简，然后比较结果可得结论． 【详解】（1）解： （2）解：∵，， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴所列方程的解为，即所求x的值为3； （3）解：∵， ∴． 21．2026年春季，为落实“健康第一”政策，某校积极开展阳光体育运动．研究表明，每天坚持适量运动能增强心肺功能、提高免疫力、改善睡眠，还能提升学习效率．学校决定购买一批篮球和足球，供学生课余锻炼使用，让每一位学生都能享受运动的快乐．已知篮球的单价比足球的单价贵10元，用300元购买的篮球数量与用250元购买的足球数量相等． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校计划购买篮球和足球共50个，且总费用不超过2800元．因学校运动场地客观原因，学校希望尽可能多买篮球．请问最多能购买多少个篮球？ 【答案】(1)足球单价为50元，篮球单价为60元 (2)最多能购买30个篮球 【分析】（1）根据“300元购买的篮球数量等于250元购买的足球数量”的等量关系列分式方程求解； （2）根据总费用不超过2800元的不等关系列一元一次不等式，求解得到篮球的最大购买数量． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元， 根据题意得， 方程两边同乘得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：足球单价为50元，篮球单价为60元； （2）解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意得， 化简得， 解得， ∵要求尽可能多买篮球， ∴的最大值为． 答：最多能购买30个篮球． 22．探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为 【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结． （1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； ③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根； （2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可； （3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可． 【详解】（1）解：①解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ②解方程：， 两边同乘以，得： 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为； 故答案为：； ③解方程：， 两边同乘以，得：， 去括号：， 移项合并得：， 检验：当时，分母，解成立， 所以解为， 故答案为：； （2）观察前三个方程： ①， ②， ③， 规律：左边分子为，右边分子为，且结构为， 因此第4个方程为： 解法同上： 两边同乘：， 整理，得：， 移项合并得：， 检验成立，解为， 所以第4个方程是，解为； 故答案为：，； （3）根据规律，第n个方程为：， 解方程： 两边同乘： 移项整理：， 解得：， 检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立， 所以第n个方程的解为． 23．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则=______． (2)解分式方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据阅读材料中的解题方法解答即可； （2）根据阅读材料中的解题方法，用“倒数法”把分式方程组进行变形 ，再利用加减消元法解方程组，最后检验即可． 【详解】（1）解：由，知， ， ， ； （2）解：由，知，， ，即， 得：， 得：， 得：，解得， 把代入得，，解得， 经检验，，是原方程组的解， 原分式方程组的解为． 24．【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 25．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 【答案】(1)与互为“和定分式”， “和定值” (2)， (3)， 【分析】（1）求出，看和是否为定值，即可判断； （2）求出，由与互为“和定分式”且分式为真分式，得到是的倍，可得，，即可求解； （3）求出，根据题意可得分子 是分母的倍，即，推出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 与互为“和定分式”，“和定值”； （2）解：，， ， 与互为“和定分式”， 且分式为真分式， 是的倍数， 又中，的系数为，中的系数为， ，， ； （3）解：，， ， 与互为“和定分式”，分子 中，的系数为，中的系数为， 分子 是分母的倍，即， 即， ， 解得，． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第五章 分式与分式方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 2．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 4．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 5．已知，下列有关M的值，说法正确的是（    ） A．存在 B．存在 C．存在 D．M存在最大值 6．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 8．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组有解，则满足上述条件的所有整数的绝对值之和为（    ） A．14 B．16 C．18 D．21 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：______． 12．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 13．若，则的值______． 14．关于的方程无解，则的值为___________． 15．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 16．若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．学习了分式化简后，张老师布置了这样一道化简题 ，甲、乙两位同学的计算过程分别如下： 甲同学： 化简：．                            ………第①步                        ………第②步                        ………第③步                                   ………第④步 乙同学： 化简：．                        ………第①步                            ………第②步                               ………第③步                                           ………第④步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； (2)该同学的解答过程从第 步开始出现错误（填序号）；错误的原因是 ； (3)请写出正确的解答过程． 20．[新定义阅读] 对于实数，定义一种新运算“*”：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断与的关系，并说明理由． 21．2026年春季，为落实“健康第一”政策，某校积极开展阳光体育运动．研究表明，每天坚持适量运动能增强心肺功能、提高免疫力、改善睡眠，还能提升学习效率．学校决定购买一批篮球和足球，供学生课余锻炼使用，让每一位学生都能享受运动的快乐．已知篮球的单价比足球的单价贵10元，用300元购买的篮球数量与用250元购买的足球数量相等． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校计划购买篮球和足球共50个，且总费用不超过2800元．因学校运动场地客观原因，学校希望尽可能多买篮球．请问最多能购买多少个篮球？ 22．探究与应用 【特例分析】 （1）填空： ①的解为x= ； ②的解为x= ； ③的解为x= ； ...... 【总结规律】 （2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解： ． 【解决问题】 （3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程） 23．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，则=______． (2)解分式方程组：． 24．【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 25．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第五章分式与分式方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式：@2，②专，⑨2。，@2中，是分式的有() A.①③ B.③④ C.①② D.①③④ 2.若分导口+b40e+d0,则下列等式不一定成立的是() A.atb=ctd b d B.a-b=c-d C.ais dse D.bimdm atm c+m ab 3.把分式。-b的分子分母中的a,b都扩大到原来的4倍，则分式的值() A.扩大为原来的4倍 B.扩大为原来的16倍C.缩小为原来的4D.缩小为原 1 来的16 4.下列说法正确的是（) x+2 31 A.当x≠-2时，分式x有意义 B.分式2x与y2的最简公分母是2xy2 1 m2-16 C.无论x为何值，x4+1的值总为正数D.当分式m+4值为0时，m=±4 S 下列有关M的值，说法正确的是() A.存在M=4B.存在M=0 C.存在M=2 D.M存在最大值 x2-4.● 6. 新方向)已知x-3一9这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简 的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是() A.x-3 B.x-2 C.x+3 D.x+2 1/7 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.已知关于x的方程2=头 =-x有增根，则k的值是() A.k=1 B.k+3 C.k=3 D.k=3 8.小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读 量降为原来的一半，结果多花了10天才读完.设这本科普图书的总页数为x页，则下列方程正确的是 () 100+x-100=￡+10 x-100+10=100+x A.2020×】 .120 B.20× 2020 2 2 x-100 +10=x x-100-10= 100+x 1 C.20×2 20 1 D.20× 20 2 2 2++m=1的解为正数，则m的取值范围是（） 9.若关于x的方程x-i+1-x A.m<3 B.m>3 C.m>3且m≠5 D.m<3且m≠1 x>1 10.关于，的分式方指子+名=3的解为正数，且关于，的不等式组生之子有解，则满足上 7 4-xx-4 述条件的所有整数a的绝对值之和为() A.14 B.16 C.18 D.21 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 2m2 11.计算：m-1m-1 Vx-1 12.若x-2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 13.若名2，则。0的值一 a2-ab 14.关于的方程=2+写” 2+3-x无解，则m的值为 a a2 aa 15.一组按规律排列的式子：b,b,b,b”,….若ab≠0，则第9个式子是 2/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x-1 16 数学思想 若直角三角形中有两边的边长为x、y,这两边长都是质数，且使得代数式y及 2y+3 的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是· 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.计算： 0 +2-5 m-2 m-2m-3 18.解方程： +2 2 (4)x-11-x 1 212 (2)x+3+x-3x2-9· 19.学习了分式化简后，张老师布置了这样一道化简题 4a-5 a-2 -a+1 a+1 a+1’ 甲、乙两位同学的计算过程分别如下： 甲同学： 乙同学： 化简： 4a-5 a+1 a+1÷a-2 a+1 化简： 4a-5-a+1+-2 a+1 a+1 4a-5 -(a+1) a+1 「4a-5a(a+)a+1].a-2 a+1 a-2 a+1 a+1a+1 …第①步 .第①步 4a-5a2+1,a+1a+1 4a-5(a+1)21 a+1 a+1a+1a+1a-2 L a+1 a+1」a-2 …第②步 …第②步 4a-5-a2-1+a+1a+1 a+1 a-2 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4a-5-a2-2a-1 a+1 a+1 a-2 …第③步 第③步 =-a2+5a-5 a-2 =-a2+2a-6 a-2 第④步 …第④步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误.请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他 分析错因，并加以改正. ()我选择_同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）： (2)该同学的解答过程从第_步开始出现错误（填序号）；错误的原因是_； (3)请写出正确的解答过程. 20.[新定义阅读] 对于实数ab:定义一种新运算00-+名0+，例如：213。 a-b 3*(-2) (1)求 的值； (2)若x*2=5,求x的值： (3)判断a*b与b*a的关系，并说明理由. 21.2026年春季，为落实“健康第一”政策，某校积极开展阳光体育运动.研究表明，每天坚持适量运动 能增强心肺功能、提高免疫力、改善睡眠，还能提升学习效率.学校决定购买一批篮球和足球，供学生课 余锻炼使用，让每一位学生都能享受运动的快乐.已知篮球的单价比足球的单价贵10元，用300元购买的 篮球数量与用250元购买的足球数量相等. ()求篮球和足球的单价： (2)学校计划购买篮球和足球共50个，且总费用不超过2800元.因学校运动场地客观原因，学校希望尽可 能多买篮球.请问最多能购买多少个篮球？ 22.探究与应用 【特例分析】 (1)填空： 12 x+1x+11的解为： 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②2 4 x+1x+1 -1的解为： 36 x+1x+11的解为： ③ … 【总结规律】 (2)根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：-· 【解决问题】 (3)请你按照上述规律写出第n(n为正整数)个分式方程，并求出它的解.（写出解答过程） 23. 新防向) 阅读下列解题过程： 已知x1 +1求 的值 解：由知x≠0所以=3，即+3 （x -2=32-2=7 x产+的值为，的倒数，即 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做 “倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： )已知-x+2,则x+x mn -=3 3m+2n (2)解分式方程组： mn =5 2m+3n 新情境) 24. 【问题初探】 11 11-111-11 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：1×21-2,2×325,3x4号4，…，在学习二 次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过 程补充完整： 5/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 11 11 11 12+ =1+ =1+ -1+-1+ 特例1： 1×2 12;特例2： 22+32 2×323: 特例3： (填写一个符合上述运算特征的式子) 【发现规律】 1 .1 1+ (n-12n2 n≥2 且n为整数) 【应用规律】 11 11 1 (1)计算： √+2++√1+3+4+…+y 20252+ 0262: 11 1,1 1 (2)如果V 62 72+ 1+ 7t82++,1+ (n-2(n-（n≥10'且n为整数)的小数部分是0.1' 求出整数部分. 25. 新方向 根据以下素材，探索完成任务. 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k,则称P与Q互为“和定分式”，常数k称为“和定 素 一0P+0+2m-2,则p与0为“和定分式”，和 材1 值”.例如：分式P品， mm 定值”k=2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分 素 材2 12x 式，例如：分式x中，x+是真分式。 素 2x2 材3 如果分子的次数不低于分得的次数。称这样的分式为假分式。例如，分式本，本是假分式。 问题解决： 、(1)己知分武A=x+2,B-x+11 9=x+2,判断A卢B是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由：若是，请 求出， 、(2)已知分式C三+4，P随 )=-16若c与D互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”k的 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值，求代数式M(用含x的式子表示). x-I,F=-x+6 (3)已知分式E=-4 -2x+1（a'b为常数)，若E与F互为和定分式”，则。=一， b= 令学利回原创县 令学利阿层创后品 令学利回医创搞品 令学利四厚创精品 令学利网原创信品 令学利呵原创箱 7/7