专题10 因式分解重难点题型汇编(九大题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题10 因式分解重难点题型汇编 【题型01：判断是否是因式分解】.............................................................................................1 【题型02：已知因式分解的结果求参数】.................................................................................2 【题型03：公因式】...................................................................................................................2 【题型04：提公因式法分解因式】............................................................................................2 【题型05：公式法分解因式】....................................................................................................2 【题型06：综合提公因式和公式法分解因式】..........................................................................3 【题型07：十字相乘法】...........................................................................................................3 【题型08：分组分解法】...........................................................................................................5 【题型09：因式分解的应用】....................................................................................................7 【题型01：判断是否是因式分解】 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列由左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【题型02：已知因式分解的结果求参数】 1．若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 2．已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 3．若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 4．若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【题型03：公因式】 1．多项式的公因式是 ． 2．多项式的最大公因式是 ． 3．多项式的公因式是 ． 4．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是 ． 5．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【题型04：提公因式法分解因式】 1．分解因式： ． 2．因式分解： 3．因式分解： ． 4．因式分解： ． 【题型05：公式法分解因式】 1．下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 2．将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．分解因式： ． 5．因式分解： ． 【题型06：综合提公因式和公式法分解因式】 1．因式分解： ． 2．分解因式： ． 3．分解因式： ． 4．分解因式： ． 5．分解因式： ． 6．分解因式： ． 7．因式分解： ． 【题型07：十字相乘法】 1．因式分解：＝ ． 2．把关于的多项式分解因式，得，则 ． 3．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 4．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 5．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 6．因式分解： ． 【题型08：分组分解法】 1．因式分解： ． 2．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 3．乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 4．阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 5．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【题型09：因式分解的应用】 1．已知，且，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 2．已知，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 3．将多项式分解因式为：，则（   ） A． B．8 C． D．6 4．如果把多项式分解因式得，那么 ． 5．已知：则 6．已知，则的值是 ． 7．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 8．在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形，卡片②是长为b，宽为a的长方形，卡片③是边长为b的正方形． (1)小明用2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，观察图形，通过面积的等量关系，发现代数式可以因式分解为 ； (2)小刚用1张卡片①，4张卡片②，4张卡片③无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长．（请用因式分解的方法解答） 9．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 因式分解重难点题型汇编 【题型01：判断是否是因式分解】.............................................................................................1 【题型02：已知因式分解的结果求参数】.................................................................................3 【题型03：公因式】...................................................................................................................4 【题型04：提公因式法分解因式】............................................................................................5 【题型05：公式法分解因式】....................................................................................................6 【题型06：综合提公因式和公式法分解因式】..........................................................................8 【题型07：十字相乘法】...........................................................................................................10 【题型08：分组分解法】...........................................................................................................14 【题型09：因式分解的应用】....................................................................................................17 【题型01：判断是否是因式分解】 1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 2．下列由左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A左边为多项式，右边为乘积形式，符合定义；选项B是整式乘法；选项C右边不是纯乘积；选项D左边是单项式，不是多项式． 【详解】解： A、，左边为多项式，右边为整式乘积，符合定义．   B、，是整式乘法，不是因式分解．   C、，右边有“”，不是纯乘积，因此不是因式分解．     D、，左边是单项式，不是多项式，因此不是因式分解．   ∴只有选项A正确． 故选：A． 3．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 4．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法运算，故本选项不符合题意； B、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； C、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； D、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【题型02：已知因式分解的结果求参数】 1．若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 2．已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据题意将展开，即可得到k的值． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 故选：C． 3．若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 4．若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故选：D． 【题型03：公因式】 1．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 2．多项式的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查公因式的确定，根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式解答即可． 【详解】解：8、6的最大公约数为2，公因式a的最低次数为1，公因式b的最低次数为2， 所以的最大公因式为． 故答案为：． 3．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，理解公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义解题即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： ． 4．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：， 故多项式各项的公因式是． 故答案为：． 5．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故答案为：． 【题型04：提公因式法分解因式】 1．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查因式分解，通过提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，提取公因式即可． 【详解】解：． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了提取公因式法，正确掌握相关运算法则是解题关键，提取公因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 4．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的步骤．找到公因式，再提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型05：公式法分解因式】 1．下列多项式中，是完全平方式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，是完全平方式，符合题意 B选项=，不是完全平方式，不合题意误 C选项=，不是完全平方式，不合题意 D选项=，不是完全平方式，不合题意 故选：A 2．将多项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键． 直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 3．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，如果选项满足平方差公式进行因式分解：两数的平方差等于两数的和与两数的差的乘积，则该选项即为符合题意，进行作答． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； 故选：D 4．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 根据平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．该多项式为完全平方式，可直接应用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型06：综合提公因式和公式法分解因式】 1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是找公因式，注意分解到不能再分解为止． 先将转化为，然后提取公因式，再对应用平方差公式因式分解． 【详解】解： 故答案为：． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 3．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 答案为：． 4．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式y，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先提公因式，再用公式法分解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 6．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据平方差公式分解即可. 【详解】解： . 故答案为：. 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：. 【题型07：十字相乘法】 1．因式分解：＝ ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．把关于的多项式分解因式，得，则 ． 【答案】6 【分析】先进行多项式乘多项式计算，然后求出，的值即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ，， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了因式分解十字相乘法，解题的关键是根据题目的已知计算多项式乘多项式，求出，的值． 3．等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 4．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． ，得． 利用这个式子可以将某些二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法” 例如：将式子分解因式． 解：． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)若可进行因式分解，求整数所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)8或 【分析】本题考查了提公因式法、“十字相乘法”进行因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）利用“十字相乘法”即可求解； （2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解； （3）先把原式整理得，再将常数3进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解：依题意，， ∴， ∴或 ∴或， 因此整数p的值可能为8或． 5．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解： ，常数项， 画“十字图”如下：    ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 6．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： 【题型08：分组分解法】 1．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了运用分组法和公式法进行因式分解的能力，先将该多项式分组，再运用公式法进行因式分解，关键是能准确确定分解方法． 【详解】解：， 故答案为：． 2．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 3．乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 4．阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【详解】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 5．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（）利用分组分解法因式分解即可； （）利用分组分解法因式分解可得，即得到，，进而得到，即可判断求解； 本题考查了因式分解及其应用，掌握分组分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得， ∴是等边三角形． 【题型09：因式分解的应用】 1．已知，且，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先将两式相减，再运用分组分解法和平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：， 由得，， ， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 3．将多项式分解因式为：，则（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，将右边因式展开后与左边多项式对应系数比较，求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．如果把多项式分解因式得，那么 ． 【答案】400 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后进行化简，进而可得m、n的值，最后代值求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为400． 5．已知：则 【答案】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，通过对完全平方公式变形得出，再把代数式进行因式分解，然后将已知式子的值代入因式分解后的式子计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 7．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） (2)若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】(1) (2) (3)，图见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想进行因式分解． （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）由得，，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可． 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． 故答案为：． （2）， ． ． ， ． （3）如图所示． ． 故答案为：． 8．在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形，卡片②是长为b，宽为a的长方形，卡片③是边长为b的正方形． (1)小明用2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，观察图形，通过面积的等量关系，发现代数式可以因式分解为 ； (2)小刚用1张卡片①，4张卡片②，4张卡片③无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若，求正方形M的边长．（请用因式分解的方法解答） 【答案】(1) (2)正方形的边长为7.2 【分析】本题考查了因式分解法，数形结合思想，用不同方式表示矩形面积是解题关键． （1）图2面积可以用表示，即可得到，问题得解； （2）正方形的面积为，即可得到正方形的边长为，把代入即可求解． 【详解】（1）解：图2面积可以用表示， ∴． 故答案为：； （2）解：根据题意得，正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 当时，， ∴正方形的边长为7.2． 9．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的分组分解法及应用，解题的关键是根据式子特点合理分组，再运用公式或提取公因式进行因式分解，以及利用因式分解结果结合已知条件求值． （1）先将式子分组，把含的二次项放在一组，常数项放在另一组，再对分组后的式子分别用完全平方公式和平方差公式因式分解． （2）先将代数式分组并提取公因式，再调整项的符号，再次提取公因式因式分解，最后代入已知条件求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 已知，把值代入上式： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $