微专题01 因式分解中的参数问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题01 因式分解中的参数问题 题型01 已知因式分解的结果，求待定系数 这是该专题最基础的考法，通常以选择题或填空题形式出现。题目给出原多项式和因式分解的结果（可能含有未知参数），要求学生求出这些参数的值。 解题方法：乘开对比法（待定系数法基础） 1. 核心思路：利用“因式分解是整式乘法的逆过程”，将已知因式的一边通过多项式乘法展开，使其变为多项式的一般形式。然后根据“多项式恒等，则对应项的系数相等”的原理，列出关于未知数的方程（组）求解。 2. 关键步骤： (1) 展：把等号一边的因式全部乘开，化为的标准形式。 (2) 对：将乘开后的多项式与原多项式对齐，确保同类项上下对齐。 (3) 列：根据对应项系数相等，列出关于参数的方程组。 (4) 解：解方程组，求出参数的值。 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 2．（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 5．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若，则_____． 6．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 题型02 已知多项式能够分解，求未知参数 此类问题给出一个有缺项的多项式（含有未知参数），并告知其可以分解为某几个特定形式（如一次二项式）的乘积，求参数的值。这考查学生的逆向构造能力。 解题方法：假设构造法（待定系数法进阶） 1. 核心思路：既然多项式能分解成指定形式，我们就大胆地设出另一个未知的因式（通常利用最高次项系数和常数项先锁定部分数值），然后模仿题型01的方法，乘开对比。 2. 关键步骤： (1) 设：根据已知因式和原多项式的最高次项、常数项，设出另一部分因式（如设另一因式为）。 (2) 乘：将所设因式与已知因式相乘展开。 (3) 比：让展开后的多项式与原多项式的同类项系数一一对应，建立方程。 (4) 求：解方程求出未知参数及另一因式。 1．（25-26八年级上·山东临沂·月考）多项式可以分解得，则N等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 3．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）任何一个正整数都可以进行这样的分解：（、是正整数，且），如果（）在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成，，这三种，这时就有．给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个完全平方数，则．其中正确说法序号是_____． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：________；________． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知为等腰的三边长，且满足．求的周长． （3）已知，，求的值． 题型03 因式分解中的看错系数型问题 这是近年来非常火爆的拉分题型，常以解答题形式出现。题目设定甲、乙两人对同一多项式分解，但各自看错了不同的系数，给出了不同的错误分解结果，要求还原正确的分解式或参数。 解题方法：去伪存真法（局部利用原理） 1. 核心思路：这类题极其考验逻辑推理的严密性。核心突破口在于“一个人看错的参数，另一个人没看错，则该数据是正确的”。我们需要像侦探一样提取有效情报。 2. 关键步骤： (1) 析：明确甲乙两人分别看错了哪个字母（参数），没看错哪个字母。 (2) 提：利用没看错的字母，代入两人的分解式中，求出真实的多项式结构。 (3) 验/算：将求出的值代入原多项式，进行正确的因式分解。 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ____________，_______________ 3．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）甲、乙两名同学分解因式时，甲把看错导致分解结果为，乙把n看错导致分解结果为，求多项式分解因式的正确结果． 4．（22-23八年级上·山东烟台·期中）在分解因式时时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错的值，分解的结果是．请你把进行正确的因式分解． 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 题型04 利用因式分解求参数与代数式求值 该题型将因式分解与方程思想、非负性（偶次幂）、整体代入巧妙结合。常见于填空压轴题或解答题中，综合性极强。 解题方法：配方与非负性联用法 1. 核心思路：当题目给出含有参数的等式，并要求参数的具体值或代数式的值时，通常可以通过移项，将式子变形为“几个完全平方的和等于0”的形式。利用“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”来列方程求解。 2. 关键步骤： (1) 移：将所有项移至等号一侧，使其等于0。 (2) 配：通过分组，利用提取公因式法或公式法，将多项式分解为几个整式乘积（特别是完全平方）的形式。 (3) 定：根据平方的非负性，令每个因式等于0，求出参数的值。 (4) 代：将求得的参数代入目标代数式计算，或在求解过程中直接采用整体代入法。 1．（25-26八年级上·山西·月考）分解因式、求值 (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)先分解因式，再求值：，其中． 2．（23-24八年级上·广东汕头·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 3．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）在教科书第四章《因式分解》中，我们学会了利用提公因式法和公式法进行因式分解，课外兴趣小组活动时，数学王老师提出了如下新问题： 将因式分解． 【观察】经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用． 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （2）已知a，b，c为等腰的三边长，且，求的周长； （3）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形中，且大长方形的周长为16． 根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值．    4．（23-24八年级下·全国·单元测试）【发现问题】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【提出问题】 如何利用配方法分解因式、求值和求取值范围？ 【分析问题】 ①用配方法分解因式 分解因式： 解：． ②用配方法求值 已知，求的值． 解：原方程可化为，，即 ，，，，． ③用配方法确定范围 ，利用配方法求M的最小值． 解： ，当时，M有最小值． 【解决问题】 (1)用配方法分解因式：． (2)已知直角的三边长a，b，c，且满足，请求出的长度． (3)已知，．试比较P，Q的大小． 5．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）先分解因式，再代入求值：，其中． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 因式分解中的参数问题 题型01 已知因式分解的结果，求待定系数 这是该专题最基础的考法，通常以选择题或填空题形式出现。题目给出原多项式和因式分解的结果（可能含有未知参数），要求学生求出这些参数的值。 解题方法：乘开对比法（待定系数法基础） 1. 核心思路：利用“因式分解是整式乘法的逆过程”，将已知因式的一边通过多项式乘法展开，使其变为多项式的一般形式。然后根据“多项式恒等，则对应项的系数相等”的原理，列出关于未知数的方程（组）求解。 2. 关键步骤： (1) 展：把等号一边的因式全部乘开，化为的标准形式。 (2) 对：将乘开后的多项式与原多项式对齐，确保同类项上下对齐。 (3) 列：根据对应项系数相等，列出关于参数的方程组。 (4) 解：解方程组，求出参数的值。 1．（25-26八年级下·全国·单元测试）如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 【答案】C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 4．（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 【详解】解：， ． 6．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 题型02 已知多项式能够分解，求未知参数 此类问题给出一个有缺项的多项式（含有未知参数），并告知其可以分解为某几个特定形式（如一次二项式）的乘积，求参数的值。这考查学生的逆向构造能力。 解题方法：假设构造法（待定系数法进阶） 1. 核心思路：既然多项式能分解成指定形式，我们就大胆地设出另一个未知的因式（通常利用最高次项系数和常数项先锁定部分数值），然后模仿题型01的方法，乘开对比。 2. 关键步骤： (1) 设：根据已知因式和原多项式的最高次项、常数项，设出另一部分因式（如设另一因式为）。 (2) 乘：将所设因式与已知因式相乘展开。 (3) 比：让展开后的多项式与原多项式的同类项系数一一对应，建立方程。 (4) 求：解方程求出未知参数及另一因式。 1．（25-26八年级上·山东临沂·月考）多项式可以分解得，则N等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解的含义是关键．将分解后的多项式展开，与原多项式比较，即可求出N． 【详解】解：， 展开右边：， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 【答案】C 【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）任何一个正整数都可以进行这样的分解：（、是正整数，且），如果（）在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：、例如18可以分解成，，这三种，这时就有．给出下列关于的说法：①；②；③；④若是一个完全平方数，则．其中正确说法序号是_____． 【答案】①④ 【分析】本题考查了题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，． 把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同． 【详解】解：∵， ∴，故①是正确的； ∵，这几种分解中4和6的差的绝对值最小， ∴，故②是错误的； ∵，其中3和9的差的绝对值较小，又， ∴，故③是错误的； ∵n是一个完全平方数， ∴n能分解成两个相等的数，则，故④是正确的， ∴正确的有①④． 故答案为：①④． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【阅读材料】 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 【应用知识】 （1）因式分解：________；________． 【拓展应用】 对于四项以上的多项式，我们可以适当地将某一项拆成两项，再进行分组，从而因式分解来解决问题．此题可以通过将常数项拆成两数的和来实现分组，请你试一试． （2）已知为等腰的三边长，且满足．求的周长． （3）已知，，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法和公式法． （1）利用提公因式法和公式法即可； （2）先用公式整理后，再用非负性求出，最后根据等腰三角形这个条件分情况讨论即可； （3）先去括号，再根据提公因式法即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，； （2） 当为腰时，三边长为3，3，6，不符合三角形三边关系，舍去； 当为腰时，三边长为6，6，3，此时周长为； （3）， ． 题型03 因式分解中的看错系数型问题 这是近年来非常火爆的拉分题型，常以解答题形式出现。题目设定甲、乙两人对同一多项式分解，但各自看错了不同的系数，给出了不同的错误分解结果，要求还原正确的分解式或参数。 解题方法：去伪存真法（局部利用原理） 1. 核心思路：这类题极其考验逻辑推理的严密性。核心突破口在于“一个人看错的参数，另一个人没看错，则该数据是正确的”。我们需要像侦探一样提取有效情报。 2. 关键步骤： (1) 析：明确甲乙两人分别看错了哪个字母（参数），没看错哪个字母。 (2) 提：利用没看错的字母，代入两人的分解式中，求出真实的多项式结构。 (3) 验/算：将求出的值代入原多项式，进行正确的因式分解。 1．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了，分解结果为，乙看错了，分解结果为，则 ____________，_______________ 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了b，因此甲计算中的a值正确；乙看错了a，因此乙计算中的b值正确．分别展开甲和乙的因式分解结果，得到a和b的值． 【详解】解：甲的结果为， ∴； 乙的结果为， ∴， 故答案为：12， 3．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）甲、乙两名同学分解因式时，甲把看错导致分解结果为，乙把n看错导致分解结果为，求多项式分解因式的正确结果． 【答案】 【分析】本题考查因式分解和整式化简之间的关系，牢记各自的特点并能灵活应用是解题关键． 根据题意可知m、n是相互独立的，在因式分解中n决定常数项，m决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出m、n的值，代入原多项式进行因式分解即可． 【详解】解：∵甲同学分解因式时，把看错导致分解结果为， ， ∴是正确的， ∵乙同学分解因式时，把n看错导致分解结果为，， ∴是正确的， ∴ ． 4．（22-23八年级上·山东烟台·期中）在分解因式时时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错的值，分解的结果是．请你把进行正确的因式分解． 【答案】 【分析】根据“甲看错了的值，分解的结果是”可确定的值，根据“乙看错的值，分解的结果是”可确定的值，进而确定，再进行因式分解即可． 【详解】解：∵，甲看错了的值，∴； ∵，乙看错了的值，∴； 所以这个多项式为， 【点睛】本题考查多项式乘法，因式分解，解决此题关键是掌握公式法分解因式． 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． (1)_____，_______； (2)求这道除法计算的正确结果； (3)若，求（2）中代数式的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的运算，代数式求值，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据题意可得，据此可得a、b的值； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （3）利用提公因式法分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵， ∴ 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型04 利用因式分解求参数与代数式求值 该题型将因式分解与方程思想、非负性（偶次幂）、整体代入巧妙结合。常见于填空压轴题或解答题中，综合性极强。 解题方法：配方与非负性联用法 1. 核心思路：当题目给出含有参数的等式，并要求参数的具体值或代数式的值时，通常可以通过移项，将式子变形为“几个完全平方的和等于0”的形式。利用“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”来列方程求解。 2. 关键步骤： (1) 移：将所有项移至等号一侧，使其等于0。 (2) 配：通过分组，利用提取公因式法或公式法，将多项式分解为几个整式乘积（特别是完全平方）的形式。 (3) 定：根据平方的非负性，令每个因式等于0，求出参数的值。 (4) 代：将求得的参数代入目标代数式计算，或在求解过程中直接采用整体代入法。 1．（25-26八年级上·山西·月考）分解因式、求值 (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)先分解因式，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查因式分解与代数式求值，解题的关键在于正确的分解因式． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式可得； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式可得； （3）先分解因式，再把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 当时，原式． 2．（23-24八年级上·广东汕头·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整体代入得出答案即可． 此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 当，时，原式． 3．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）在教科书第四章《因式分解》中，我们学会了利用提公因式法和公式法进行因式分解，课外兴趣小组活动时，数学王老师提出了如下新问题： 将因式分解． 【观察】经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用． 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【应用】 （2）已知a，b，c为等腰的三边长，且，求的周长； （3）如图1，小长方形的长为a，宽为b，用5个图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形中，且大长方形的周长为16． 根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值．    【答案】（1） （2）的周长为7； （3），25 【分析】（1）根据题意用分组分解法因式分解即可； （2）用分组分解法因式分解得到，，再根据等腰三角形的性质结合三角形三边关系求出c的值，即可求出的周长； （3）将原式变形为，将看作整体，利用完全平方公式因式分解，根据图形中边关系得：，即可求解． 【详解】解：（1）原式 （2）由已知得，即， 解得：，， ∵为等腰三角形， 或， 不能构成三角形，能构成三角形， ∴，，， ∴的周长为7； （3）原式 根据图形中边关系得：，即， ∴原式． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的性质，三角形三边关系，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）【发现问题】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 【提出问题】 如何利用配方法分解因式、求值和求取值范围？ 【分析问题】 ①用配方法分解因式 分解因式： 解：． ②用配方法求值 已知，求的值． 解：原方程可化为，，即 ，，，，． ③用配方法确定范围 ，利用配方法求M的最小值． 解： ，当时，M有最小值． 【解决问题】 (1)用配方法分解因式：． (2)已知直角的三边长a，b，c，且满足，请求出的长度． (3)已知，．试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2)的长度为10或； (3) 【分析】（1）根据配方法分解因式即可； （2）把配方，根据非负数的性质得到，的值，根据函数的最值即可得到结论； （3）根据配方法即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 即， ， 当a，b是直角的两条直角边时，， 当b是直角的斜边时，， 的长度为10或； （3）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解十字相乘法，公式法和分组分解法，勾股定理以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握配方法是解题的关键． 5．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）先因式分解，然后计算求值． 已知，，求的值． 【答案】 【分析】先对待求式提取公因式，再对括号内的式子利用完全平方公式进行因式分解，最后代入已知数值计算结果． 【详解】解：． 将，代入， 原式． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）先分解因式，再代入求值：，其中． 【答案】；-5． 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法和代数式求值，掌握通过变形统一公因式，再提取公因式化简代数式是解题的关键． 先观察式子结构，通过变形将第三项的转化为，使三项都含有公因式，再提取公因式化简，最后代入的值计算． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $