专题12 线段与角压轴汇编（五大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题12 线段与角压轴汇编 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】................................................1 【题型2：与线段有关动点问题】.......................................................1 【题型3：角平分线模型-分类讨论】....................................................7 【题型4：角的折叠综合问题】.........................................................11 【题型5：钟表问题】.................................................................13 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 1．若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 2．已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 3．点A、B、C在直线l上，，，点M是的中点，则线段的长度是（） A． B． C．或 D．或 4．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 5．已知点、、在同一直线上，若，，点，分别是线段、中点，则线段的长是 ． 【题型2：与线段有关动点问题】 1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 2．如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 3．已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 4．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 5．已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位． （1）点A表示的数是：　 　；点B表示的数是：　 　． （2）A，B两点间的距离是　 个单位，线段AB中点表示的数是　 　． （3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数． 6．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 7．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 8．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 9．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 10．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 11．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【题型3：角平分线模型-分类讨论】 1．已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 2．已知，平分，，则的大小是 ． 3．已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ． 4．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 5．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 6．如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，则 ； (2)在图①中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的直角三角尺绕顶点O旋转至图②的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系． 7．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 8．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 9．点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 10．如图1，点为直线上一点；在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，度数为 　 　°； (4)在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 11．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，若经过t秒后，线段恰好平分，此时______°；______°；______秒； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由； (3)如图3，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间射线平分？请直接写出旋转时间t的值． 【题型4：角的折叠综合问题】 1．已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 2．【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 3．利用折纸可以作出角平分线．如图1，通过折叠、展开，则为的平分线． 折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． (1)如图2，当点在上时，判断与的关系，并说明理由； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【题型5：钟表问题】 1．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 2．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 3．【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 4．【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角 ； 【类比探究】 （2）①如图2，甲，乙两人分别从相距的A，B两地同时出发，若甲的速度为，乙的速度为，甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为，则可列方程为 ； ②时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？ 【深入思考】 （3）如图3，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻． 5．某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常． 【简单认识】 (1)时针每分钟转动______度，分针每分钟转动______度； 当时针与边重合时，钟面显示的时间为______． 【初步研究】 (2)爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长交于点E，某一时刻时针恰好平分． ①此时时针与分针的夹角为______度．（小于平角的角） ②求此时的度数． 【深入思考】 (3)若时针与分针同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过______分钟，时针与分针互相垂直． 6．学习了《数学实验手册》七(上)钟面上的数学后，小明制作了一个如图所示的模拟钟面，点O为模拟钟面的圆心，钟面上有一条水平线，指针每秒钟转动，指针每秒钟转动．设转动的时间为 t 秒()， (），请试着解决下列问题： (1)若指针、同时从开始顺时针旋转． 当秒时， ______； 当指针从旋转到的过程中， ______时，指针与互相垂直； (2)若指针从开始顺时针转动，同时指针从开始逆时针转动． 在与第二次重合前，求为何值时； 在与第一次重合后、第四次重合前，当 ______时，直线平分． 7．阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 8．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 线段与角压轴汇编 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】................................................1 【题型2：与线段有关动点问题】.......................................................5 【题型3：角平分线模型-分类讨论】....................................................22 【题型4：角的折叠综合问题】.........................................................41 【题型5：钟表问题】.................................................................45 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 1．若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，结合题意分情况求解是解题的关键．分靠近和靠近两种情况，结合线段中点定义求解即可． 【详解】解：点是线段中点， ， 点、点是线段上的三等分点， 分靠近和靠近两种情况， 当靠近时，如图，， ， ， ， 当靠近时，如图，，则， ， ， ， 故的长为或． 故选：D ． 2．已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键．分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解． 【详解】解：当点在点右侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ； 当点在点左侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ． 综上所述：线段MN的长度为5 cm． 故选：B． 3．点A、B、C在直线l上，，，点M是的中点，则线段的长度是（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点C在点A和点B之间和点C在点A和点B外侧两种情况，分别根据中点的定义以及线段的和差求解即可． 【详解】解：①如图：点C在点A和点B之间时， ∴， ∵点M是的中点， ∴． ∴． ②如图：点C在点A和点B外侧时， ∴， ∵点M是的中点， ∴． ∴． 综上，的长度可能为或． 故选D． 4．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据点的位置分两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 如图，当点在上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 综上可知，线段 或， 故答案为：或． 5．已知点、、在同一直线上，若，，点，分别是线段、中点，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差并分类讨论是解题关键．分类讨论：点在线段上时或点在线段的延长线上时，根据中点定义，可得与的关系，与的关系，可根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当点在线段上时， 、分别为线段、的中点， ，， ； 当点在线段的延长线上时， 、分别为线段、的中点， ，， ； 故答案为：或． 【题型2：与线段有关动点问题】 1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：． (1)直接写出：____________，_____________； (2)若，当点C、D运动了，求的值； (3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系． 【答案】(1)1，3 (2)8cm (3)或 【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可； （2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可； （3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0 ∴a-1=0，b-3=0， ∴a=1，b=3， 故答案为：1；3； （2）当C、D运动时，，， ∴ ． （3）当点N在线段上时， ∵， 又∵， ∴， ∴． 当点N在线段的延长线上时， ∵， 又∵， ∴． 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键． 2．如图，P是线段上一点，，C，D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为t． (1)当时，，请求出的长； (2)当时，，请求出的长； (3)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出长； 【答案】(1)4cm (2)4cm (3)4cm 【分析】（1））根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此求得AP的值； （3）结合（1）、（2）进行解答； 【详解】（1）解：依题意知，当时，， ∴   ∵， ∴ 即， ∴ 又， ∴； （2）解：当时，， ∴ 又， ∴， 即， ∴ 又， ∴ （3）解：当运动时间为t时，， ∴ 又， ∴， 即 ∴ 又， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．已知：如图1，是定长线段上一定点，两点分别从，出发以，的速度沿向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上） (1)若，当点运动了，求的值； (2)若点运动时，总有，试说明； (3)如图2，已知，是线段所在直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)2cm (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据运动的时间为2s，结合图形可得出，，即可得出，再由，即得出AC+MD的值； （2）根据题意可得出，．再由，可求出，从而可求出，即证明； （3）①分类讨论当点在线段上时、②当点在线段的延长线上时和③当点在线段的延长线上时，根据线段的和与差结合，即可求出线段MN和AB的等量关系，从而可求出的值，注意舍去不合题意的情形． 【详解】（1）∵时间时， ，， ∴ ； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ③如图，当点在线段的延长线上时， ，这种情况不可能， 综上可知，的值为或． 【点睛】本题考查线段的和与差、与线段有关的动点问题．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键． 4．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm． 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可． 【详解】解：（1）图形补充完整如图， ∵CB＝AB， ∴CA＝， ， 故答案为：； （2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒， cm，cm， ， ②当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， cm， 运动时间为：18÷3=6（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， 运动时间为：36÷3=12（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 综上，MN的长是12cm或24cm． 【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． 5．已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位． （1）点A表示的数是：　 　；点B表示的数是：　 　． （2）A，B两点间的距离是　 个单位，线段AB中点表示的数是　 　． （3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数． 【答案】（1）-20，100．（2）120，40；（3）28． 【分析】（1）根据点的位置确定符号和值即可； （2）用两个点表示的数相减即可，求出中点到A的距离，再求中点表示的数； （3）求出相遇的时间，再求出C点与A的距离，即可求出C点表示的数． 【详解】解：（1）∵点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位， ∴点A表示的数是：-20；点B表示的数是：100． 故答案为：-20，100． （2）A，B两点间的距离是100-（-20）=120； 线段AB中点到A的距离是120÷2=60， 线段AB中点表示的数为-20+60=40； 故答案为：120，40； （3）两只电子蚂蚁在数轴上相遇的时间为120÷（4+6）=12（秒） 点C距A的距离为12×4=48， 点C表示的数为-20+48=28． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是理解数轴上点表示的数的意义，会求两点间的距离． 6．如图，点，在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为），是，间一点，，两点分别从点，出发，以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），运动的时间为． （1）______． （2）若点，运动到任一时刻时，总有，请求出的长． （3）在（2）的条件下，是数轴上一点，且，求的长． 【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或 【分析】（1）由两点间的距离，即可求解； （2）由线段的和差关系可求解； （3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点在的延长线上时，可得． 【详解】解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7， ∴线段AB的长度为：7-（-5）=12； 故答案为：12 （2）根据点，的运动速度知． 因为，所以，即， 所以． （3）分两种情况： 如图，当点在线段上时， 因为，所以． 又因为， 所以，所以； 如图，当点在的延长线上时， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 7．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 8．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 9．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 10．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 11．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型3：角平分线模型-分类讨论】 1．已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在外，射线在内，两种情况分别求解即可. 【详解】解：当射线在内时，如图1， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴. 当射线在外时，如图2， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴. 综上所述：或 故答案为：或． 2．已知，平分，，则的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角的平分线和角的运算，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．需要分两种情况讨论：射线位于内部；射线位于内部分别进行求解． 【详解】解：∵，平分， ∴． ①如图所示，射线位于内部， ∴； ②如图所示，射线位于内部时， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 3．已知，是的平分线，，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，先根据角平分线的定义得出，，再分当在内部时，当在外部时两种情况，结合角平分线定义及各角之间的数量关系得出答案，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：当在内部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 当在外部时，如图， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：或． 4．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 5．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 6．如图，点O为直线上一点，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，则 ； (2)在图①中，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图①中的直角三角尺绕顶点O旋转至图②的位置，若边在直线的上方，另一边在直线的下方，试探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是角的和差、角平分线的定义的运用． （1）根据角平分线的定义和角的和差运算即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差运算即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，进一步可得，于是得到结论． 【详解】（1）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由已知得， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：结论：， 理由如下：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 【答案】（1）①16；②不变，的长度始终等于 （2）①90；②，理由见解析 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可；②设，则，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，， ①由，可得，即可求解； ②设，则，结合，即可求解． 【详解】解：（1）① ，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②不变，的长度始终等于， 设， ， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ① ，， ，即， ， ； 故答案为：； ②，和之间的数量关系是：，理由如下： 设， 则， ， ， ． 9．点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ； （2）解： 平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 10．如图1，点为直线上一点；在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，度数为 　 　°； (4)在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2) (3)30 (4)与的数量关系有三种或或 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）由，，可得，，然后作差即可； （4）分三种情况：当在内部，在下方时，当都在内部时，当在内部，在内部时，分别结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：， ， 又平分， ， ， ； （3）解：，理由如下： ，， 、， ， 即； 故答案为：； （4）当在内部，在下方时，如图， ， 即， ； 当都在内部时，如图： ，即， ； 当在内部，在内部时，如图所示： ∴， ． 综上：或或． 11．如图1，O为直线上一点，过点O作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．现将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图2，若经过t秒后，线段恰好平分，此时______°；______°；______秒； (2)在（1）的条件下，线段是否平分？请说明理由； (3)如图3，若三角板在转动的同时，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间射线平分？请直接写出旋转时间t的值． 【答案】(1)78，12，4 (2)平分，理由见解析 (3)t的值为7或113 【分析】本题考查角的计算、角平分线的定义、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． （1）根据角平分线的定义计算即可； （2）求出的值即可判断； （3）设根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2中，∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴s, 故答案为：78，12，4； （2）解：结论：平分． 理由：∵， ∴， ∴． ∴平分． （3）解：∵平分， ∴， ∵三角板绕点O以每秒的速度，射线也绕O点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周， ∴设 ∵ ∴ 解得 ∴经过7秒平分． 当停止时，旋转时，平分， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为7或113． 【题型4：角的折叠综合问题】 1．已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了折叠的性质、平角的定义及垂直的定义，熟记折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠可得，再根据平角的定义得到得到，即可得到； （2）由折叠得到，再由平角得到求出，即可得到； （3）由折叠得到，，再由平角求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ∴， ； （2）解：由折叠得到， ， ，且， ， ； （3）解：，， ∴由折叠得到，， ， ， ． 2．【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【答案】【理解】（）或；（）；（）或； 【拓展】或． 【分析】【理解】（）根据“好友角”定义，分情况讨论即可； （）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可； （）连接，由三角形内角和得出，由折叠性质可知，然后根据外角性质得出，由题意分情况讨论即可； 【拓展】由平分，，得，，从而可得，再根据与互为“好友角”进行分类讨论即可； 本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】【理解】（）根据“好友角”定义可得： 的“好友角”的度数为或， 故答案为：或； （）∵和互为“好友角”，， ∴， ∵和互补， ∴， 联立， 解得， 故答案为：； （）如图，连接， ∵，， ∴， ∴由折叠性质可知， ∵，， ∴， 即， ∵和互为“好友角”， ∴或， ∴或； 【拓展】∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵与互为“好友角”， ∴或， 则或， ∵， ∴或． 3．利用折纸可以作出角平分线．如图1，通过折叠、展开，则为的平分线． 折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． (1)如图2，当点在上时，判断与的关系，并说明理由； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）本题考查有关角平分线的计算，根据折叠得到平分，平分，从而得到，，结合即可得到答案； （2）本题考查有关角平分线的计算，根据折叠得到平分，平分，从而得到，，结合平角求出即可得到答案； 【详解】（1）解：由折叠可得， 平分，平分， ∴，， ∵， ∴； （2）解：根据折叠得， 平分，平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型5：钟表问题】 1．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，已知与是同类项，点是线段的中点． ①_______，_______，点表示的数是_______； ②若点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点从点出发，以每秒7个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，点追上点？ 【拓展运用】 （2）一天早上，小明看到家里闹钟钟面显示3点整（如图2，时针指向3，分针指向12），经过多少分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 【答案】（1）①，12，2；②10秒；（2）分钟 【分析】本题考查了数轴的意义，同类项，解一元一次方程，线段中点定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）①由与是同类项，可得，知，点为线段的中点，即可得； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为，点Q追上点P时，，解方程即可； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成，1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为，得，解方程即可得出结果． 【详解】（1）①∵与是同类项， ∴ 解得， ∵点为线段的中点，所表示的数为， 故答案为：，12，2； ②设，运动秒，则表示的数为，表示的数为， 点Q追上点P时，， 解得：， ∴经过10秒后，点Q追上点P； （2）设经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成， 1分钟时针旋转，分针旋转，3点整时，时针分针夹角为， 解得 经过分钟后，该闹钟的分针与时针所成的角首次变成． 2．根据以下素材，探索完成任务 探究钟面上的数学 素材1 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，即为某时刻的钟面角，通常． 素材2 时针和分针在绕点一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为，由此可知：时针每分钟转动，分针每分钟转动． 问题解决 任务1 由时刻算角度 钟面显示的时间是6点20分，求钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务2 由角度算时刻 在某一天的下午2点到3点之间，时针与分针恰好在同一直线上，且方向相反，求此时对应的时刻； 任务3 趣算钟面角 大物理学家爱因斯坦在闲暇时发现时钟上的针指向12时，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的．但是在有的时候，比如6时，时针和分针就不能对调，否则会出现时针指12时，而分针指6，这种情况是不可能的．据此某校“数学兴趣小组”操作钟表盘发现：在下午2点分到2点20分之间某一时刻，如果时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上的时刻．请你帮助该小组求出此时具体的时刻． 【答案】 任务： 任务：点分 任务：点分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 任务：根据时针每分钟转，一大格之间是即可求解； 任务：设此时为点分，根据题意构建方程求解即可； 任务：设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作，时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数），根据题意列出，进而根据到的正整数求解即可． 【详解】解：任务： 时针每分钟转动， ， 又每一数字之间的角度为， 点分，钟表的时针和分针所成钟面角的度数； 任务： 设此时为点分， 则， 解得：， 此时为点分； 任务： 设此时为点分，分针从点走过个刻度，时针的速度为，记作， 时针、分针对调以后点分，此时（、取到的正整数）， ， 当，时，，此时重合，但不符合题意（舍去）； 当，时，，，即此时为点分． 3．【材料阅读】 如图1，数轴上有三个点，表示的数分别是，，1． （1）若要使两点的距离与两点距离相等，则可将点向左移动______个单位长度． （2）若动点分别从点、点出发，以每秒5个单位长度和每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点，同时出发，设运动时间为秒． ①秒后，点表示的数分别为______，______，______（用含的代数式表示）； ②记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【方法迁移】 （3）如图2，，平分．现有射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线、的夹角为？ 【生活运用】 （4）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为，经过______分钟后，分针与时针的夹角首次变成 【答案】（1）2；（2）①，，；②不变化，；（3）11秒或19秒；（4）分钟 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式的加减，数轴，一元一次方程的应用，线段的计算，以及钟面角等问题，根据题意列出方程是解决问题的关键． （1）根据中点坐标公式求出中点表示的数，再用移到前点B表示的数减去中点表示的数即可得到答案； （2）①根据左减右加（路程）的规律求解即可； ②表示出，化简后即可判断； （3）分追上前和追上后两种情况分别建立方程解答即可； （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成，分别求出时针和分针每一分钟所走的路程，再列方程解答即可． 【详解】解：（1）， ． 故可将点B向左移动2个单位长度． 故答案为：2； （2）①t秒后，点P，Q，R表示的数分别为，，． 故答案为：，，； ②点P与点Q之间的距离， 点Q与点R之间的距离， ∴ ∴不变化，； （3）∵，平分， ∴． （秒）． 设经过x秒后，射线、的夹角为， 当追上前，则 解得：． 当追上后，则， 解得：． ∴经过11秒或19秒后，射线的夹角为． （4）设经过y分钟后，分针与时针的夹角首次变成， ∵分针每分钟旋转，时针每分钟旋转， ∴， 解得：， ∴经过分钟后，分针与时针的夹角首次变成． 4．【基本概念】 钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，一般地，． 【简单认识】 时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 ，分针每分钟转动 ，钟面显示的时间是8点15分，此时钟面角 ； 【类比探究】 （2）①如图2，甲，乙两人分别从相距的A，B两地同时出发，若甲的速度为，乙的速度为，甲追上乙需花多长时间？设甲追到乙所花时间为，则可列方程为 ； ②时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？ 【深入思考】 （3）如图3，记钟面上刻度为3的点为C，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请求出此时对应的时刻． 【答案】 （1），， （2）①，；②分钟 （3）点分或点分 【分析】（1）根据题意，可利用和来得出时针和分针每分钟所走的角度，然后根据时针、分针每分钟的转动角度可求钟面角； （2）①根据追及问题列方程并求解即可；②同理①，根据追及问题列方程并求解即可； （3）由题意，分四种情况讨论：当射线在射线的左侧，且满足射线平分时；当射线在内部，且满足射线平分时；当射线在外部，且满足射线平分时；当在外部，且满足射线平分时；然后分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： 时针每分钟转动的度数为:， 分针每分钟转动的角度为：， 当钟面显示的时间为8点15分时，则钟面角， 故答案为：，，； （2）①由题意可列方程为：， 解得：， 答：甲追上乙需花， 故答案为：； ②设经过m分钟会再次出现时针和分针重合的现象， 由题意得：， 解得：， 答：至少经过分钟会再次出现时针和分针重合的现象； （3）由题意可知：当时间为1点时，钟面角，时间为3点时，钟面角， ∴（此时皆为初始状态），如图所示， 所以，在某天的点到点之间，当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，可把题意理解为射线是以每分钟的速度转动，射线是以每分钟的速度在转动，同时出发，设它们转动的时间为分钟，则可分四种情况讨论： 当射线在射线的左侧，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得为负数，不符合题意，故舍去； 当射线在内部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：， 此时对应的时刻为点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：， 此时对应的时刻为点分； 当射线在外部，且满足射线平分时，即：， 则有：， 解得：（不符合题意，故舍去）； 综上所述：当钟面角的两条边时针、分针所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻为点分或点分． 【点睛】本题主要考查了钟面角，角平分线的有关计算，一元一次方程的应用（行程问题），一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握钟面角及一元一次方程的应用是解题的关键． 5．某校举办创意钟面设计大赛，七（1）班数学兴趣小组设计了以一副三角板为背景的圆形钟面．如图①，点O为钟面的圆心，，且点A、O、C在同一直线上，边指向12点方向，边指向6点方向，记时针为线段，分针为线段，时钟运行正常． 【简单认识】 (1)时针每分钟转动______度，分针每分钟转动______度； 当时针与边重合时，钟面显示的时间为______． 【初步研究】 (2)爱钻研的梅梅根据该钟面，结合正在学习的角和相交线的知识，提出了如下问题，请你帮她解答：如图②，延长交于点E，某一时刻时针恰好平分． ①此时时针与分针的夹角为______度．（小于平角的角） ②求此时的度数． 【深入思考】 (3)若时针与分针同时从（2）中时刻出发，1小时之内，经过______分钟，时针与分针互相垂直． 【答案】(1)，6， (2)①60；②． (3)或 【分析】本题主要考查了钟面角、角的运算、一元一次方程的应用、对顶角等知识点，理清角之间的关系成为解题的关键． （1）直接根据钟面角的特点即可解答； （2）①先求出，再求出，进而求出此时的时刻，然再确定分钟的位置，即可确定时针与分针的夹角；②先求得，然后根据角的和差即可解答； （3）设1小时之内，经过t分钟，时针与分针互相垂直，然后根据题意可列方程或，最后求解即可． 【详解】（1）解：∵时针走动1小时，所转动的角度为， ∴时针每分钟转动， ∵分针走动1小时，所转动的角度为， ∴时针每分钟转动， ∵， ∴当时针与边重合时，走动时间为分钟， ∵边指向12点方向， ∴当时针与边重合时，钟面显示的时间为． 故答案为：，6，． （2）解：①∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴时针转动的角度为，经历时间为分钟，即10时， ∴此时分针与重合，即时针与分针的夹角为60度 故答案为：60； ②∵（对顶角相等），， ∴， ∴． （3）解：设1小时之内，经过t分钟，时针与分针互相垂直， 由题意可得：或， 解得：或分， ∴1小时之内，经过或分钟，时针与分针互相垂直． 6．学习了《数学实验手册》七(上)钟面上的数学后，小明制作了一个如图所示的模拟钟面，点O为模拟钟面的圆心，钟面上有一条水平线，指针每秒钟转动，指针每秒钟转动．设转动的时间为 t 秒()， (），请试着解决下列问题： (1)若指针、同时从开始顺时针旋转． 当秒时， ______； 当指针从旋转到的过程中， ______时，指针与互相垂直； (2)若指针从开始顺时针转动，同时指针从开始逆时针转动． 在与第二次重合前，求为何值时； 在与第一次重合后、第四次重合前，当 ______时，直线平分． 【答案】(1)①36．②5 (2)①t的值为5或7或17．②10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算，角平分线的定义，在“钟面”的背景下考查追及，相遇问题；根据题意，进行准确的分类讨论是解题关键． （1）①根据路程速度时间，可分别算出和运动的角度再作差即可；根据题意画出图形找到等量关系，建立等式再求解即可； （2）①根据题意分析需要分类讨论，第一次相重合，第一次重合后且在的右侧，第二次相遇前且在的左侧，分别列方程计算即可；先分别算出第一次重合，第二次重合，第三次重合，第四次重合的时间和位置，再根据题意画出图形进行分析列等式，进行求解． 【详解】（1）解：①当时，，， ∴， 即：， 如图，由题意可知，，， ， ， ∴，即， 解得：． （2）解：由题意可知，，， ①分情况讨论： （I）第一次重合前，如图，可得， 即，解得； （II）第一次重合后，且在的右侧时，如图， 则，解得； （III）第一次重合后，第二次重合前，且在的左侧时，如图，可得，， 即，解得； 综上，在与第二次重合前，时，的值为或或； 分别算出第一次重合，第二次重合，第三次重合，第四次重合的时间和位置，如图所示， 第一次重合时，解得，则， 第二次重合时，解得，， 第三次重合时，解得，，，重合， 第四次重合时，解得，． （I）第一次重合后，第二次重合前，如图所示， 此时，即，解得； （II）当第二次重合后，第三次重合前，从第二次重合后，记时间为，如图所示， 此时，即，解得， 则，此时和与重合，不符合题意，舍去； （III）第三次重合后，第四次重合前，记时间为，此时，，不存在使． 综上：在与第一次重合后、第四次重合前，当时，直线平分． 7．阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 【答案】（1），（2）4:00或8:00（答案不唯一），（3）或20，（4） 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用； （1）根据时，时针与分针的夹角是3.5个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）根据时针与分针的夹角是格，即可得出答案； （3）设经过分钟，钟面角为，根据时针与分针的夹角为，分类讨论，分别列出方程，解方程，即可求解； （4）设小明看了分钟电视节目，根据题意可得时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）时，时针与分针的夹角是3.5个大格， ∴， 故答案为：． （2）某个时刻的钟面角为，则时针与分针的夹角是格， ∴一个相应的时刻可以是或（答案不唯一） 故答案为：或（答案不唯一） （3）设经过分钟，钟面角为， ∴或， 解得：或； 答：经过或20分钟，钟面角为． （4）解：∵在到之间这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置． ∴时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角， 设小明看了分钟电视节目，根据题意得 解得： 故答案为：． 8．知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $