专题02 二次函数（期末复习知识清单，9知识&23题型&6易错&6方法清单）九年级数学上学期人教版

该初中数学二次函数专题清单全面涵盖9大知识清单、23类典型题型、6大易错点及6种解题方法，从概念、解析式、图象性质到实际应用，搭建从基础认知到综合运用的递进式学习支架。 清单通过表格对比三种解析式特征，口诀归纳平移规律，标注重难点题型，培养学生数学眼光与思维。如“左加右减”平移口诀、最值分类讨论模型，助力学生高效掌握，教师可精准设计教学，提升课堂实效。

专题02 二次函数（9知识&23题型&6易错&6方法清单） 【清单01】 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 【清单04】二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 【清单05】二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 【清单06】二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 【清单07】二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 【清单08】二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【清单09】用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【题型一】二次函数的定义 【典例1】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）函数 的一次项系数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【变式3】（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 【题型二】特殊二次函数的图像和性质 【典例2】（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 【变式1】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【变式3】（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】（24-25九年级下·湖北黄冈·开学考试）二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．最小值为 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 【变式2】（24-25九年级上·广西钦州·期中）若在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广西崇左·期末）把二次函数化为的形式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 【变式1】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【题型六】二次函数y=ax²+bx+c的图像与各项系数符号关系 【典例6】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25九年级上·安徽黄山·期末）二次函数的部分图像如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②方程必有一个根大于且小于；③若是抛物线上的两点，那么；④； ⑤对于任意实数，都有，其中错误结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25九年级上·云南玉溪·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现有以下结论：，①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【题型七】二次函数与一次函数的图像问题 【典例7】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型八】二次函数的平移变换 【典例8】（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线向右平移2个单位后再向下平移3个单位，此时抛物线的解析式为（   ） A．B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）将携物线向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）将抛物线的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【题型九】二次函数与一次函数交点综合问题 【典例9】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级·浙江杭州·期中）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ．    【题型十】二次函数与x轴交点问题 【典例10】（24-25九年级上·全国·期末）如图，若的部分图象如图所示，则关于的方程的另一个解为 ． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是 ． 【变式2】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围为 ． 【题型十一】二次函数与不等式 【典例11】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是 ． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型十二】二次函数的应用-图形问题 【典例12】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．    (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长． (2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某饲养员想用长为的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场，在边上留一个宽为的门（门不需要栅栏），已知围墙的长度为． (1)当为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ (2)求鸡场能围成的最大面积． 【变式3】（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)设该劳动基地两边增加相同的宽度，请直接写出新劳动基地的面积与的函数关系式． (2)在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为时，求和的长． (3)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题 【典例13】（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形中，，点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动．设M，N两点运动的时间为t秒，的面积为S（平方单位），则的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 【变式3】（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【题型十四】二次函数的应用-拱桥问题 【典例14】（2025·河南南阳·三模）图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． (1)求门拱所在的抛物线表达式； (2)如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【变式2】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是． (1)求此时水面的最大高度； (2)若水面上升，则水面宽度将增加多少米？ 【变式3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计警戒线之间的宽度 素材1          图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米． 素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：米，米，米，米． 素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部在，之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米． 问题解决 任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式． 任务2 设计警戒线之间的宽度 求的最大值． 【题型十五】二次函数的应用-销售问题 【典例15】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． (1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期末）AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题． 素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________． 任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示） 任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【题型十六】二次函数的应用-投球问题 【典例16】（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【变式1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在x轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准 如表： 得分 掷远（米） 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点A旋转，从点B处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点P的坐标为． (1)求出抛物线的解析式； (2)为了检验投石器的性能，在点O的正前方3米~ 3.5米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.75米，外壁高为1米的目标箱(其中、垂直x轴)．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在x轴正方向移动投石器．（注：假设每次都以相同的角度和力度投石；以下问题的取值范围都不取端点） ①当垫高投石器时，设垫高的高度为h米，求h的取值范围； ②当在x轴正方向上移动投石器时，设向前移动的距离为m米，求m的取值范围． 【题型十七】二次函数的应用-喷水问题 【典例17】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【变式1】（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【变式2】（2024·山西·模拟预测）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【题型十八】二次函数的应用-其他问题 【典例18】（24-25九年级上·广东·期末）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．当时，． (1)求函数关系式； (2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？ (3)请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）2024年7月31日，巴黎奥运会跳水项目女子双人10米台决赛结束，中国组合陈宇汐/全红婵以359.10分领先第二名43.20分的巨大优势夺冠，获得中国代表团奥运会第7金．跳水运动员起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，跳水运动员甲从起跳到入水的过程中，她到水面的垂直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系． (1)如图2，在完成一次跳水动作的过程中，运动员甲的水平距离与到水面的垂直高度的几组数据记录如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 垂直高度 10 10 10 6.25 ①根据上述数据，直接写出该函数图象的对称轴______； ②直接写出该函数的解析式______； (2)某次跳水过程中，运动员乙到水面的垂直高度与水平距离近似满足函数关系，记她的入水点的水平距离为．若运动员甲的入水点的水平距离为，则______；（填“>”“=”或“<”） (3)在（2）的情况下，运动员乙某次起跳后到达最高点开始计时，若点到水面的垂直高度为，则她到水面的垂直高度与时间之间近似满足，如果运动员乙在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成跳水动作．请通过计算说明，她此次跳水能否成功完成此动作？ 【变式3】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【题型十九】二次函数的综合-面积问题 【典例19】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 【变式1】（九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由； 【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【题型二十】二次函数的综合-线段周长问题 【典例20】（25-26九年级上·重庆·月考）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【变式1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【变式2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【题型二十一】二次函数的综合-角度问题 【典例21】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，一次函数与二次函数交于点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，轴交于点M，，垂足为N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点P的对应点为，且新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G．H为新抛物线位于第四象限上的一动点，过H作轴，垂足为K，连接．若，直接写出新抛物线的解析式和点H的坐标． 【变式3】（24-25九年级上·天津·期末）如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此拋物线的函数解析式． (2)点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． (3)点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【题型二十二】二次函数的综合-特殊三角形问题 【典例22】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【变式4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．    (1)求抛物线解析式； (2)当，t的值为___________； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； (4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二十三】二次函数的综合-特殊四边形 【典例23】（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若连接，，并把沿翻折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出这个菱形的面积；若不存在，请说明理由； (3)当点运动到什么位置时，由，，，这四点组成的四边形的面积最大？并求出此时点的坐标和该四边形的最大面积． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型01 ：根据二次函数的定义求参数】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【题型02 ：根据二次函数的自变量取值范围求函数值取值范围】 1．（23-24八年级上·山东德州·月考）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）在二次函数中，当时，则y的取值范围是 ． 【题型03 ：根据二次函数的增减性求参数取值范围】 1．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·河南南阳·月考）二次函数，当时随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型04：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．（九年级上·浙江温州·期末）函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的二次函数在的取值范围内最大值是7，则该二次函数的最小值是 ． 【题型05：二次函数与一次函数图像的综合】 1．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·月考）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【题型06：根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点，则关于的不等式的解集是 ． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线的对称轴为，点P是抛物线与x轴的交点，若点P的坐标为，则的解集为 ． 题型1二次函数的图象与性质 1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 题型2 二次函数图象与几何变换 1.、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是： ①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。 2、 二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法 题型3 二次函数图象与系数的关系 二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 题型4 抛物线与x轴交点问题 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 题型5 二次函数与不等式 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围 题型6 利用二次函数的性质求最值 1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2.利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 学科网（北京）股份有限公16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（9知识&23题型&6易错&6方法清单） 【清单01】 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 【清单02】二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 【清单03】二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 【清单04】二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 【清单05】二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 【清单06】二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 【清单07】二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 【清单08】二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 【清单09】用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【题型一】二次函数的定义 【典例1】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别．解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．据此解答即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．该函数是二次函数，故此选项符合题意； C．若，则该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）函数 的一次项系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，把形如，（，，均为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，称为一次项系数，为常数项，即可． 【详解】解：函数的一次项系数为：． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 【题型二】特殊二次函数的图像和性质 【典例2】（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1】（22-23九年级上·北京西城·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据顶点式写顶点坐标．根据题意利用二次函数顶点式可以直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为：， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）抛物线过三点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 【变式3】（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 【题型三】与特殊二次函数有关的几何知识 【典例3】（24-25九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，点的横坐标为，则点的横坐标为（   ） A．3 B．4 C．3.5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与正方形的综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质解题的关键，根据题意求出点坐标，从而得到的长，根据正方形的性质得到长, 过点作轴于点，过点作轴于点,可证,得到,在直角中,利用勾股定理解得的长,进而得到的长,即可得到答案． 【详解】解：由题可得：设 ∵点在抛物线的第一象限的图象上， ∴ 解得：或（舍去）， ∴， ∴, ∵四边形为正方形， ∴, 过点作轴于点，过点作轴于点, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵点的横坐标为， ∴ ∴在中，, ∴, 点的横坐标为3, 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 【变式3】（2024·江苏扬州·二模）如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出，进而得解． 【详解】解：抛物线的顶点位于第二象限且在线段的垂直平分线上，且点，， ，． 抛物线与线段无公共点分两种情况： ①当点在线段下方时， 点的坐标为， ． ②当点在线段上方时， 有， 解得：． 综上所述：的取值范围为或． 故答案为：或． 【题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 【典例4】（24-25九年级下·湖北黄冈·开学考试）二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．最小值为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质并结合表格的数据逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，该二次函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，故函数图象的开口向上，A错误； 当时，随的增大而增大，B正确； 当时，或，C错误； 当时，取得最小值，这个最小值小于，D错误； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，的最大值为21 D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，把二次函数解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增减性，再求出当时的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案。 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故A、B说法正确，不符合题意； ∴当时，y随x增大而增大， 当时，， ∴当时，的最大值为21，故C说法正确，不符合题意； ∵原抛物线顶点坐标为， ∴将原抛物线的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为，即，故D说法错误，符合题意； 故选：D。 【变式2】（24-25九年级上·广西钦州·期中）若在函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，通过代入各点横坐标计算对应的函数值，比较大小即可． 【详解】解：将各点的横坐标代入二次函数中： 当时，； 当时，； 当时，． 比较得：， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·广西崇左·期末）把二次函数化为的形式，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 根据配方法，把二次函数的解析式转化成顶点式即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 【典例5】（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（    ） A．－6 B．4 C．或0 D．0或 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线 函数的最大值为2，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键． 【详解】解：二次函数 ∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2， 当时， 时， 函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去)， 当 时， 时，函数有最大值， 时，函数有最小值， ∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9， ， 解得：(舍去) ， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得：或(舍去)， 当时，时，函数有最小值，函数有最大值， ， 解得或4(舍去)， 或， 故选：D． 【变式1】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可． 【详解】 解：∵，的解集为， ∴，方程的解集为，， ∴该函数的对称轴是直线，即， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，有最小值， ∵函数最大值与最小值的差为2， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 【题型六】二次函数y=ax²+bx+c的图像与各项系数符号关系 【典例6】（24-25九年级上·湖北荆州·期末）如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识． ①根据图象与轴有两个交点，即可判断； ②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； ③根据图象可得对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，再根据抛物线增减性即可判断； ④根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断； ⑤根据图象可得，即可得出，再结合对称轴，运用二次函数增减性即可判断； ⑥对称轴为， ，运用二次函数增减性即可判断． 【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ， ，故①符合题意； ②∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴与异号，即， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ，故②不符合题意； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， ∴当时，， ，故③不符合题意； ④∵抛物线与轴的一个交点为， ， ∵抛物线对称轴为， ， ， ，故④符合题意； ∵， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， 故⑤不符合题意； ⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上， 时，有最小值， （为任意实数），故⑥符合题意； 综上所述，①④⑥符合题意，共有个； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·安徽黄山·期末）二次函数的部分图像如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②方程必有一个根大于且小于；③若是抛物线上的两点，那么；④； ⑤对于任意实数，都有，其中错误结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； 由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∵抛物线关于直线对称， ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确； ∵， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴；故③错误； ∵ ∴， 由图像知：，， ∴；故④正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为：， ∴对于任意实数m，都有， 即：， ∴；故⑤正确； 综上：错误的有2个． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·云南玉溪·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现有以下结论：，①；②；③；④；⑤，其中正确结论的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与坐标轴的交点位置可逐一判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，③错误， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 时，，④错误． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； 时取最大值， ，即，⑤正确． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 【题型七】二次函数与一次函数的图像问题 【典例7】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解答本题的关键是明确函数图象与、的关系． 根据各个选项中的函数图象可以判断函数与中、的正负，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故A选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故B选项不符合题意； C、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故C选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的性质，根据、的符号根据一次函数与反比例函数的图象，逐项分析即可作出判断． 【详解】解：A．一次函数的图象经过一、二、四象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，矛盾，故A错误； B．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故B错误； C．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向上，则，矛盾，故C错误； D．一次函数的图象经过一、二、三象限，则，，二次函数的图象开口向下，则，对称轴，则，故D正确； 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 【题型八】二次函数的平移变换 【典例8】（24-25九年级上·福建福州·期末）抛物线向右平移2个单位后再向下平移3个单位，此时抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移的“左加右减，上加下减”法则． 将原抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标；根据平移方向和距离，计算平移后抛物线的顶点坐标；依据新顶点坐标写出平移后的抛物线解析式，对比选项得出答案． 【详解】解：原抛物线可化为顶点式：其顶点坐标为．向右平移2个单位后，顶点的横坐标变为，纵坐标不变，此时顶点坐标为．再向下平移3个单位后，顶点的纵坐标变为，此时新抛物线的顶点坐标为．则平移后抛物线的解析式为． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）将携物线向右平移6个单位，所得的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移6个单位长度，所得的抛物线解析式为：． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）将抛物线的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据函数图像平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是，即， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：，即， 故选：C． 【题型九】二次函数与一次函数交点综合问题 【典例9】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 【变式1】（24-25九年级·浙江杭州·期中）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】求出二次函数与x轴相交于，先求出当经过点时m的值，再求出 与只有一个交点时m的值，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴二次函数与x轴相交于， 当经过点时，如图： 把代入得：， 解得：，    ∵将二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方， ∴当时，， 当与只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， 整理得：， 则，解得：，    ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握根据图象求一元二次方程解的方法． 【题型十】二次函数与x轴交点问题 【典例10】（24-25九年级上·全国·期末）如图，若的部分图象如图所示，则关于的方程的另一个解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此利用对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线且与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的另一个解为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据函数图象，对称轴，可得二次函数与轴的另一个交点，再利用抛物线与轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系，即可． 【详解】解：由函数图象可得，二次函数与轴的交点为，对称轴为：， ∴， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴当或时，， ∴一元二次方程的解为：，． 故答案为：，． 【变式2】（24-25九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴没有公共点， ∴关于x的一元二次方程没有实数解， ∴， 解得， 即m的取值范围为． 故答案为：． 【题型十一】二次函数与不等式 【典例11】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，或， 故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为，利用对称性可得另一个交点的坐标为，结合抛物线的开口向下，进而可得不等式的解集． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为， 另一个交点的横坐标为， 即另一个交点的坐标为， 抛物线的开口向下， 不等式的解集是， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·福建厦门·期中）抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，先利用抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 再利用图像得到时，函数图像在轴的下方，从而可得答案． 【详解】解：由抛物线的对称轴为： 且过 所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 当时，函数图像在轴的下方， 所以： 故选：C． 【题型十二】二次函数的应用-图形问题 【典例12】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完． (1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？ (2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？ 【答案】(1)的长为8厘米或12厘米． (2)10 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． （1）设的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设的长为x厘米，则有厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：的长为8厘米或12厘米． （2）解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值， ∴当的长为10厘米时，矩形面积最大． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．    (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，求剪去的正方形的边长． (2)折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有最大值吗？如有求出最大值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出方程求解即可； （2）设正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据可得可得与的函数关系式为 ，化为顶点式进行分析即可． 【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则 即 解得：(不合题意，舍去)，， 答：剪去的正方形的边长为； （2）解：有侧面积更大的情况， 设正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系式为， 即， ， 当时， 最大为， 即当剪去的正方形的边长为时，长方体盒子的侧面积最大为． 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某饲养员想用长为的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场，在边上留一个宽为的门（门不需要栅栏），已知围墙的长度为． (1)当为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ (2)求鸡场能围成的最大面积． 【答案】(1)当为米时，能围成一个面积为的鸡场； (2)鸡场能围成的最大面积是． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系列出方程与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键． （1）根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据题意求出鸡场的面积与矩形的边的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得，， ∵门的宽度是1m，围墙的长度为， ， 解得：， ， 答：当为米时，能围成一个面积为的鸡场； （2）解：设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴鸡场能围成的最大面积是， 答：鸡场能围成的最大面积是． 【变式3】（24-25九年级上·山西大同·期末）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)设该劳动基地两边增加相同的宽度，请直接写出新劳动基地的面积与的函数关系式． (2)在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为时，求和的长． (3)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）求出新劳动基地的长和宽，根据矩形的面积公式求出面积与的函数关系式即可； （2）当时，得一元二次方程，求解即可； （3）假设扩建后的劳动基地的面积可以为，设，则，根据扩建后的劳动基地的面积为，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，将其正值代入中，可求出，由该值大于52，即可得出假设不成立，即当时，扩建后的劳动基地的面积不能为． 【详解】（1）解：设将原劳动基地的长增加，则扩建后的劳动基地的长为，宽为， 所以，； （2）解：当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 所以，． （3）解：当时，扩建后的劳动基地的面积不能为，理由如下： 假设扩建后的劳动基地的面积可以为，设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，扩建后的劳动基地的面积不能为． 【题型十三】二次函数的应用-图形运动问题 【典例13】（24-25九年级上·重庆开州·期末）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线 方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】(1) (2)作图见解析，该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理， （1）首先根据勾股定理求出，然后求出，当两者相遇时，，然后分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式描点连线作图，根据图象可写出一条性质； （3）将分别代入和求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1所示，过点C作于点D， ∵ ∴ ∴当两者相遇时， ∴； 分两种情况： ①当时，点E在上，点F在上时，如图2， 由题意得，， ∴； ②当时，点E和点F都在上时，过点C作于D，如图3， 由题意得，， ∴ ∴ 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 如图，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）． （3）当时，代入函数，得， 解得（负值舍去）； 当时，代入函数，得， 解得． 综上所述，当的面积为时，或． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在矩形中，，点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动．设M，N两点运动的时间为t秒，的面积为S（平方单位），则的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，当时，当时，点M在线段上，分别根据面积公式列式化简，得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形中，，且点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动， ∴（秒），（秒）， ∴当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴， 此时它是开口向上的二次函数， 如图，当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴ ． ∴；， 此时它是开口向下的二次函数， 依题意，（秒）， ∴点P、Q从出发到相遇所用的时间是4秒， ∴当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴， ∴， 此时随着的增大而减小的一次函数， 综上，． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东中山·期中）如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： （1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程即可； （2）由题意可得：，建立函数模型，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，且， ∴， ∴， 解得：或； ∴当或3时，的面积为． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值． 【变式3】（23-24九年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴； （3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，， 当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴，则， 又∵是正方形， ∴，则， ∴，则， ∴； 当时，如图， ， ∴． 【题型十四】二次函数的应用-拱桥问题 【典例14】（2025·河南南阳·三模）图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． (1)求门拱所在的抛物线表达式； (2)如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度． 【答案】(1)抛物线的表达式为 y =+5 (2)悬挂标语框时脚手架的高度最低为米 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键；易错点是判断出悬挂位置处的点的横坐标． （1）先求出点B和点D的坐标，设抛物线解析式为：，把点B和点D的坐标代入可得a和h的值； （2）根据点A，B关于y轴对称，，求出点A的坐标，设点 E 右侧处为点I，从而得到I的坐标，求出时的高度，减去即可． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， 且 ， ， 设抛物线的表达式为， 将 分别代入得 ， ， 抛物线的表达式为； （2）由题意可知，点A，B关于y轴对称，， ， 设点 E 右侧处为点I， 则， 当时，， 米， 答：悬挂标语框时脚手架的高度最低为米． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为． (1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； (2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？ 【答案】(1) (2)这辆汽车能够通过大门 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键． （1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式 （2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为 ，，． 设抛物线的表达式为． 将点代入得 ，解得， 故此抛物线的表达式为； （2）货物顶点距地面，装货宽度为， 只要判断点或点与抛物线的位置关系即可． 将代入抛物线，得， 点和点都在抛物线内． 这辆汽车能够通过大门． 【变式2】（24-25九年级上·贵州黔南·期末）排水渠的横截面常常被设计成抛物线形状，其中蕴含的原理很多．从结构力学角度看，抛物线形状能够使排水渠更好地承受来自土壤和水的压力．从水力学角度讲，抛物线形状有利于水流的快速通过．如图，某一排水渠的横截面呈抛物线形，水面宽度，建立如图所示的平面直角坐标系，该抛物线对应的函数解析式是． (1)求此时水面的最大高度； (2)若水面上升，则水面宽度将增加多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及解一元二次工程，解答本题的关键是熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）依据题意，由，可得点的横坐标是，从而点的纵坐标是，故，即可得解； （2）依据题意，由水面上升后，水面高度变为，由，故当时，，求出后即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得点的横坐标是， 点的纵坐标是， ， 水面的最大高度是； （2）解：水面上升后，水面高度变为， ， 当时，， 解得：， 此时的水面宽度是， 水面的宽度将增加． 【变式3】（23-24九年级上·福建厦门·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计警戒线之间的宽度 素材1          图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米． 素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图3，测得相关数据如下：米，米，米，米． 素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部在，之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米． 问题解决 任务1 确定拱桥形状 在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的解析式． 任务2 设计警戒线之间的宽度 求的最大值． 【答案】【任务1】，【任务2】 【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决； 任务1：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，得到点的坐标为，顶点为，利用待定系数法求出即可； 任务2：过点作于点，得到米．由题意可知，当最大时，点的纵坐标为．令，解方程，得出，由米得到米，游船底部在，之间通行，即可求得的最大值． 【详解】解：任务1： 以D为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示． ， 点的坐标为，顶点为， 设抛物线解析式为， 把 代入得， ， ． 任务2： 过点E作于点M， ∵，米 ∴米 ∴米． 由题意可知，当最大时， 点E的纵坐标为． 令，得， 解得， ∵米， ∴米， ∵游船底部在，之间通行， ∴的最大值为（米）． 【题型十五】二次函数的应用-销售问题 【典例15】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． (1)若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 【答案】(1)30 (2)每件衬衫降价20元，利润最大是2500元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确的列方程和二次函数是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元，根据题意列方程求解，为了尽快减少库存，降价要取较大值； （2）设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，根据题意可得，再化为顶点式，根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意，得， 解得， 尽快减少库存， ， 答：每件衬衫应降价30元； （2）解：设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y， 由题意得 ， ， 当时，y有最大值，y最大， 答：每件衬衫降价20元，利润最大是2500元． 【变式1】（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 【答案】(1) (2)应将售价定为元 (3)该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法． （1）根据图表中的各数可得出与成一次函数关系，从而结合图表的数可得出与的关系式． （2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得的总利润（元售量每千克利润可表示出与之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把、代入得， ，    解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，值最大，最大值是 答：该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元． 【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期末）AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】当每间房间的定价为元时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为元 【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立二次函数关系式．根据“每天的营业额每间房间的定价房间数”建立二次函数关系式，再结合二次函数性质求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， 整理得， 有， 化为顶点式为， ， 当时，每天的营业额最大，最大营业额为元． 【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题． 素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________． 任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示） 任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键 任务1：设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程； 任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式； 任务3：利用二次函数的最值求解即可 【详解】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：； 故答案为：； 任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为； 故答案为：； 任务3：设总利润为w元，销售量为y个 ∴ ， ∴当时，元， ∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元． 【题型十六】二次函数的应用-投球问题 【典例16】（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 (3)1 【分析】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，   ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 【变式1】（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在x轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准 如表： 得分 掷远（米） 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点米处有一个身高米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强在这次训练中的成绩为米，小强的得分是分 (3)有危险，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法求解析式是关键． （1）依据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）依据题意，令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）依据题意，当 时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解:由题意可得，抛物线的顶点的坐标为 设该抛物线的解析式为 抛物线经过点 解得， 该抛物线的解析式为 （2）解:当时， 解得 点在轴的正半轴 舍去 ，即小强在这次训练中的成绩为米 ∴小强的得分是90分 （3）解:有危险;理由如下: 把代入得 ∵ ∴该小朋友有危险. 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）综合实践：怎样才能命中篮筐． 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玟发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以小玟的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玟在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． (1)小玟初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） (2)该班数学兴趣小组同学对小玟的初次投篮数据进行研究后，让小玟同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． (3)在比赛过程中，小玟在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玟此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则的取值范围是多少？ 【答案】(1)不能 (2)的值为 (3)不能，的取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点的坐标代入可得的值，取，看对应的的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的的值，进而根据的取值范围得到的值，取，得到的值，即可判断的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， 设， 经过点， ， 解得：， ， 当时，， 时，篮球命中篮筐， 小玫初次投篮时不能命中篮筐． 故答案为：不能； （2）解：向前走了米后抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：的值为； （3）解：由题意得：小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ， 解得：， 出手点的坐标为， ， ． 【变式3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点A旋转，从点B处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点P的坐标为． (1)求出抛物线的解析式； (2)为了检验投石器的性能，在点O的正前方3米~ 3.5米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.75米，外壁高为1米的目标箱(其中、垂直x轴)．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在x轴正方向移动投石器．（注：假设每次都以相同的角度和力度投石；以下问题的取值范围都不取端点） ①当垫高投石器时，设垫高的高度为h米，求h的取值范围； ②当在x轴正方向上移动投石器时，设向前移动的距离为m米，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的额应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意设抛物线的解析式为，代入数据求解即可； （2）①设垫高后的抛物线解析式为，代入数据求解即可； ②设水平平移的解析式为，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入可得， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：①设垫高后的抛物线为， 把代入可得， 把代入可得， 所以， ②设水平平移的解析式为， 把代入可得，， 把代入可得，， ∵， ∴m的取值范围是或． 【题型十七】二次函数的应用-喷水问题 【典例17】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 【变式1】（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【变式2】（2024·山西·模拟预测）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【变式3】（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【答案】（1）3；（2）①；②；（3） 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出； （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②把代入得：， 或（舍去）， ∴米； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 【题型十八】二次函数的应用-其他问题 【典例18】（24-25九年级上·广东·期末）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】（1）， （2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为 （3）若小球不能撞上小车， n的取值范围为 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）令，求得小球停下来的时间，再将代入y与x的函数关系解答即可； （3）假定经过t秒小球追上电动小车，得到关于t的一元二次方程，令，得到关于n的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系， 设v与x的函数关系为，y与x的函数关系为， 将代入，得 ， 解得， v与x的函数关系为， 将代入，得 ， y与x的函数关系为； （2）当时，则， 解得， 将代入，得 ， 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为； （3）假定经过t秒小球追上电动小车， ， ， 由题意得， ， 若小球不能撞上小车， n的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与教师讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．当时，． (1)求函数关系式； (2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？最强时y的值为多少？ (3)请你从数学角度，给老师提出一个讲授此类概念所用时间的建议，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，学生的接受能力逐步增强，最强时的值为 (3)老师在讲授此类概念所用时间应该控制在13分钟左右，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由当时，．从而，求出后即可判断得解； （2）依据题意，结合（1）．又＜，进而可以判断得解； （3）依据题意，结合（2），从而当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步减弱，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，． ． ． ． （2）由题意，结合（1）． ， 当时，学生的接受能力逐步增强，最强时的值为． （3）由题意，结合（）， 当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐步减弱． 老师在讲授此类概念所用时间应该控制在分钟左右． 【变式2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）2024年7月31日，巴黎奥运会跳水项目女子双人10米台决赛结束，中国组合陈宇汐/全红婵以359.10分领先第二名43.20分的巨大优势夺冠，获得中国代表团奥运会第7金．跳水运动员起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，跳水运动员甲从起跳到入水的过程中，她到水面的垂直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系． (1)如图2，在完成一次跳水动作的过程中，运动员甲的水平距离与到水面的垂直高度的几组数据记录如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 垂直高度 10 10 10 6.25 ①根据上述数据，直接写出该函数图象的对称轴______； ②直接写出该函数的解析式______； (2)某次跳水过程中，运动员乙到水面的垂直高度与水平距离近似满足函数关系，记她的入水点的水平距离为．若运动员甲的入水点的水平距离为，则______；（填“>”“=”或“<”） (3)在（2）的情况下，运动员乙某次起跳后到达最高点开始计时，若点到水面的垂直高度为，则她到水面的垂直高度与时间之间近似满足，如果运动员乙在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成跳水动作．请通过计算说明，她此次跳水能否成功完成此动作？ 【答案】(1)直线，； (2)<； (3)她不能成功完成此动作，见解析． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格可求函数对称轴，然后再从表格中代入三个点的坐标进行求解函数解析式即可； （2）由题意易得米，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后把代入进行求解即可 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：直线，； （2）解：∵， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴米； ∵， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故答案为：<； （3）解：， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴她不能成功完成此动作． 【变式3】（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)此时水面的直径为 (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； （2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； （3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 【题型十九】二次函数的综合-面积问题 【典例19】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）根据求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． （3）解：由（2）知， ∴ ， ∴当，最大，最大值为． 【变式1】（九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)存在点，使得四边形的面积最大，最大值是32 【分析】本题考查的是一道综合题，考查的是二次函数与一次函数的综合问题，能够熟练掌握一次函数与二次函数的相关问题是解题的关键． （1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式， （2）解出抛物线解析式是的两个根，即可得到A，B的坐标； （3）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线的解析式为，从而可求该解析式方程，假设存在点，使四边形的面积最大，设点的坐标为，然后过点作轴，交直线于点，从而可求答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）解：当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将,代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 假设存在点，使四边形的面积最大， 设点的坐标为， 如图所示，过点作轴，交直线于点， 则点的坐标为， 则， ∴ ； ∴当时，四边形的面积最大，最大值是； ∵， ∴存在点，使得四边形的面积最大． 【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数与面积的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，将的坐标代入，进行计算，得，再把化为顶点式，即可作答． （2）先求出，再运用数形结合思想进行作答即可； （3）由（2）得，则，设，则，则． 结合二次函数的图象性质得，再代入二次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 则， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得，顶点坐标为； ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 观察函数图象，得当时，； （3）解：由（2）得， ∵ ∴． 设，则， ∴． ∵抛物线的顶点坐标为，开口向上， 即当时，函数最小值为， ∴，（舍去） ∴， 解得，， ∴此时点P的坐标为或． 【题型二十】二次函数的综合-线段周长问题 【典例20】（25-26九年级上·重庆·月考）如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴； （2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线，根据待定系数法即可求得直线的表达式；设，，，进而得，由得，解，即可得解； （3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解；同理，作点关于的对称点，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵，在上， ∴， 解得， ∴直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设， ∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，，，， ∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点为， ∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接， ∴与关于直线成轴对称， ∴， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分交抛物线于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，即， 设直线为：， ∵直线为：过，， ∴， 解得， ∴直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ∴； 同理，作点关于轴的对称点， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，交于点，证明，得到等式，设，则，，将其代入等式整理得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S． ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②S存在最大值，最大值为7，此时点 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可； （2）根据是定值，可得当最小时，的周长最小，再由点A、B关于对称轴l对称，可得，从而得到的周长最小的最小值为，即可求解； （3）①先求出直线的解析式，再由点E的横坐标为m，可得点，点，从而得到，然后根据四边形的面积，得到S与m的函数关系；②根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过三点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交于点P， ∵， ∴，是定值， ∴当最小时，的周长最小， ∵点A、B关于对称轴l对称， ∴， ∴， ∴的周长最小的最小值为， ∴， ∴， ∴的周长最小的最小值为； （3）解：①∵， ∴顶点， 如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点， ∴， ∴四边形的面积 ， 即； ②存在， ， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为7，此时点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 【题型二十一】二次函数的综合-角度问题 【典例21】（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可； （3）如图1，连接，，交于点．然后分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线中 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：， 当时，， 解得：或， ∴； 设的解析式为：， ∵，， ， 解得：， ∴的解析式为：， 设， 则， ， 当时，有最大值为． （3）解：如图1，连接，交于点． ， ∴顶点， 设所在直线的解析式为：， 将代入函数解析式得， 解得， 故所在直线的解析式为：， ∵， ∴， 设所在直线的解析式为：， 将点坐标代入函数解析式，得， 故所在直线的解析式为：， 当时，， 即点的坐标为， 当点在点的右侧时， ∵，，， ，，， ， ∴是直角三角形， 是斜边， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴经过的中点， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标是． ∴综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数的综合应用，平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先得出点的坐标为，点的坐标为，结合令是该方程的根，解得，即可作答． （2）读懂题意，然后进行分类讨论，即点在轴上方，或点在轴下方，分别作图，再运用二次函数的图象性质列式计算，即可作答． （3）依题意，假设存在点．因为与互相平分，所以且，因为且轴交抛物线于点，则，得①，②，联立①②，解得：，将代入中得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，令，得，即点的坐标为， ∵， ，即点的坐标为， 令是该方程的根， ， 得， 故抛物线的解析式为：； （2）解：依题意，设点坐标为， 如图，若点在轴上方，作轴于点， 由（1）知：， ， ， 即：， 得：或（舍去）， 此时点坐标为， 若点在轴下方， 同理得：， 即：， 得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上：点的坐标为或； （3）解：依题意，假设存在点． 当四边形是平行四边形时，与互相平分， 且， 且轴交抛物线于点， 则， 故点与点是一对对称点， ①， 又， ②， 联立①②，解得：， 将代入中得：， 点的坐标为． 【变式2】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，一次函数与二次函数交于点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一动点，轴交于点M，，垂足为N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点P的对应点为，且新抛物线与x轴交于E，F两点（点E在点F的左侧），交y轴于点G．H为新抛物线位于第四象限上的一动点，过H作轴，垂足为K，连接．若，直接写出新抛物线的解析式和点H的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时，点 (3)， 【分析】（1）根据题意，先得到，把点，代入二次函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，设直线分别与x、y轴交于点T、R，可得是等腰直角三角形，由平行线的性质可得是等腰直角三角形，，设点，则点，所以，当时，有最大值，最大值为，由此即可求解； （3）根据题意可得，图象向左平移2个单位，向下平移2个单位，则得到平移后二次函数解析式，根据二次函数与坐标轴的交点可得，如图所示，设与y轴交于点W，可得，设设，则，由勾股定理可得，则可得点，联立直线与二次函数可得点H的坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：把点代入一次函数，则， ， 把，代入二次函数表达式， 得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图所示，设直线分别与x、y轴交于点T、R， 一次函数，当时，；当时，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 轴， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点P为直线下方抛物线上一动点， 设点，则点， 则， 则 ， 当时，有最大值，最大值为， ， 此时，点； （3）平移后（2）中求得的点P的对应点为， 则函数向左平移2个单位向下平移2个单位， 则新抛物线的表达式为： ， 当时，，则， 当时，， ， ， 如图所示，设与y轴交于点W， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：， ， 设直线的解析式为，把代入， ， 解得：， 直线的解析式为， ， 解得：，（不合题意舍去）， 在第四象限， ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，正弦值的计算与运用，二次函数与直线的交点解一元二次方程，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合，掌握二次函数与一次函数，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·天津·期末）如图，抛物线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此拋物线的函数解析式． (2)点P是直线上方拋物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求的最大值，及此时P点的坐标． (3)点M为该拋物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【题型二十二】二次函数的综合-特殊三角形问题 【典例22】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出新的抛物线的解析式，分分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 则：关于原点对称的点为， ∵，关于原点对称，抛物线的开口大小不变，方向相反， ∴的解析式为：， ∴，对称轴为直线， 设，， 当点为直角顶点时，则，此时不存在点在抛物线上，不符合题意， 当点为直角顶点时，则，且，点在点下方： ∴轴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴， 当点为直角顶点时，过点作于点，则：， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， 综上：点的坐标为或． 【变式1】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2） 为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 【变式2】（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 【变式4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t．    (1)求抛物线解析式； (2)当，t的值为___________； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； (4)在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)存在，，， 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可； （2）根据点，确定点，，得出，，根据题意代入求解即可； （3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接，根据（2）中代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可； （4）分两种情况分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点A的坐标为； 当时，，解得；， ∴点B的坐标为． 将，代入， 得：， 解得：， ∴这个抛物线的解析式为； （2）点，则点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或（与点B重合，舍去）， 故答案为：1； （3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值， 连接，如图所示：    ∵点B的坐标为． ∴，， 由（2）得， ∴， ∴面积最大为：8， ∵， ∴，解得：； （4）存在， ，，，理由如下： 当时，如图所示：，        过点N作轴，过点B作轴交延长线于点C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴； 当时，如图所示：，    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴或， ∵点Q在x轴下方， ∴，； 综上可得：，，． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面积问题，特殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【题型二十三】二次函数的综合-特殊四边形 【典例23】（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴ ， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式1】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若连接，，并把沿翻折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出这个菱形的面积；若不存在，请说明理由； (3)当点运动到什么位置时，由，，，这四点组成的四边形的面积最大？并求出此时点的坐标和该四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在， (3)点的坐标为，四边形的面积的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点坐标为，则有，连接，并设交于，则有于，确定在的垂直平分线上，从而知道的纵坐标，然后将纵坐标代入二次函数中，即可求得横坐标； （3）先求得直线的解析式，然后过点作轴的平行线与交于点，与交于点，又设，则点的坐标为，那么有，推出，从而知道当时，四边形的面积最大． 【详解】（1）解：将、两点的坐标代入得 解得： 所以二次函数的表达式为：； （2）解：存在点，使四边形为菱形 设点坐标为 假设四边形是菱形，则有 连接，并设交于，则有于 点的纵坐标为 解得，（不合题意，舍去） 的长为 （3）解：设直线的解析式为， 将和两点代入，得 解得 直线的解析式为 过点作轴的平行线与交于点，与交于点 又设，则点的坐标为 当时，四边形的面积最大 此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，以及图形对称变换，菱形的判定，点的坐标的确定，一元二次方程的求解，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为此时 (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可; （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解; （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴即面积的最大值为 ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求A、B 两点的坐标及直线的函数表达式； (2)P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； (3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． (1)因为抛物线与x轴相交，所以可令，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式； (2)根据P点在上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； (3)此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标． 【详解】（1）解：令，得 ， 解得或， ∴， 将C点的横坐标代入得 ， ∴， ∴设直线的函数解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的函数解析式是； （2）设P点的横坐标为， 则P、E的坐标分别为，， ∵P点在E点的上方， ∴， 由，对称轴，抛物线开口向下， ∴当时，PE的最大值为； （3）(3)存在4个这样的点F，分别是，． ①如图1， 连接C与抛物线和y轴的交点， ∴轴， ∴，， ∴F点的坐标是； ②如图2， ，A点的坐标为， ∴F点的坐标为； ③如图3， 此时C，G两点的纵坐标互为相反数， ∴G点的纵坐标为3，代入抛物线中，得 ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴直线与x轴的交点F的坐标为； ④如图4， 同③可求出F的坐标为， ∴符合条件的F点共有4个，为，，． 【题型01 ：根据二次函数的定义求参数】 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 【题型02 ：根据二次函数的自变量取值范围求函数值取值范围】 1．（23-24八年级上·山东德州·月考）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数，对称轴为y轴，得时，随的增大而减小，,与关于y轴对称，得当时，随的增大而减小，然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：，对称轴为y轴， 时，随的增大而减小， ，,与关于y轴对称， 时，的最大值； 当时，最小． 的取值范围是． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）在二次函数中，当时，则y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当时y的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，当有最大值， ∴当时，，当时，， ∵， ∴y的取值范围为， 故答案为：． 【题型03 ：根据二次函数的增减性求参数取值范围】 1．（22-23九年级上·河南驻马店·期末）已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或-3 【分析】利用二次函数图像上点的特征找出时自变量的值，结合时，函数值的最小值为1，可得到关于的一元一次方程，解即可． 【详解】解：令，则， 解得：，． 时，函数值的最小值为1 或， 或． 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图像上点的特征找出时自变量的值是解题的关键． 2．（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据顶点在轴上求出的值，再分析抛物线的性质，结合给定的的取值范围，确定函数值的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标、对称轴、开口方向以及函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． ∵顶点在轴上，轴上的点纵坐标为 ∴，解得． ∴抛物线解析式为，其对称轴为，开口向上． 当时，有最小值； 当时，； 当时，． ∵在中，时最小为，时最大为 ∴函数值的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南南阳·月考）二次函数，当时随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 【详解】解：开口向上，对称轴是直线， ∵当时随的增大而减小， ∴， ∴． 故选D． 4．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能够熟练的利用二次函数的顶点式，得到顶点坐标是解题的关键，利用，可得顶点坐标为，根据顶点在第二象限，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴顶点为， ∴顶点在第二象限， ∴，， ∴， 故选：D． 【题型04：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 1．（九年级上·浙江温州·期末）函数为常数，且在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先转化二次函数解析式为，利用二次函数的增减性即可求得a的值． 【详解】解：∵二次函数，且， ∴该函数的对称轴是直线， 该函数图象大致如下： ∴该二次函数在时，y随x的增大而减小， 又∵二次函数在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为， ∴可知当时，函数值的最大值为， ∴，解得， 则的值为． 故答案为： ． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键． 把代入中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合知区间的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可． 【详解】解：∵把代入中，得：, ∴， ∴函数解析式为：， ∵， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴， ∵， ∴，， ①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴， 解得：， 且， 则有， 解得：； ②当，即时，函数在处取得最大值， ∴， 解得：，这与矛盾，故不成立； 综上可得：． 故答案为： ． 3．（23-24九年级上·四川泸州·期中）已知关于x的二次函数在的取值范围内最大值是7，则该二次函数的最小值是 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，分当时和当时两种情况讨论，先得出对称轴为直线，再根据二次函数的图象与性质即可作答． 【详解】解：第一种情况：当时，∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵二次函数在的取值范围内最大值7， 当时，有最大值，当时，该二次函数有最小值， ∴， 解得：， ∴， 即当时，该二次函数有最小值，最小值为． 第二种情况：当时，∵， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵二次函数在的取值范围内最大值7， 当时，有最大值，当时，该二次函数有最小值， ∴， 解得：， ∴， 即当时，该二次函数有最小值，最小值为． 综上：函数的最小值为或者， 故答案为：或者． 【题型05：二次函数与一次函数图像的综合】 1．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，根据题意，分类讨论，当时；当时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 二次函数的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在轴的左边，当时，，即与轴交于点； ∴A选项的图，一次函数图象正确，二次函数图象不正确，不符合题意； B选项的图，一次函数图象不正确，二次函数图象正确，不符合题意； C、D选项均不符合该种情况； 当时，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在轴右边，与轴交于点； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据一次函数经过的象限和二次函数的开口方向分别求出两个函数中字母a的符号，再结合二者都经过进行求解即可． 【详解】解：A、图中一次函数经过第一、二、四象限，则，抛物线开口向下，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意； B、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向下，则，故此选项不符合题意； C、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，且两个函数都与y轴交于，故此选项符合题意； D、图中一次函数经过第一、二、三象限，则，抛物线开口向上，则，但是两个函数都与y轴交于，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·月考）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 【题型06：根据交点确定不等式的解集】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数图象对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性，由图象过点，对称轴为直线，可得图象与x轴的另一个交点坐标为，再由二次函数图象性质得出函数值时，自变量x的取值范围． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，且， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为， 由二次函数图象性质可知， 当函数值时， 自变量x的取值范围是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：不等式的解集是：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，抛物线的对称轴为，点P是抛物线与x轴的交点，若点P的坐标为，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，轴对称的性质，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 首先根据轴对称的性质求出点P关于直线的对称点的坐标，然后运用数形结合思想即可得出答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 根据轴对称的性质，点P关于直线的对称点的坐标为， 不等式的解集为， 故答案为：． 题型1二次函数的图象与性质 1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 题型2 二次函数图象与几何变换 1.、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是： ①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。 2、 二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法 题型3 二次函数图象与系数的关系 二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 题型4 抛物线与x轴交点问题 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 题型5 二次函数与不等式 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围 题型6 利用二次函数的性质求最值 1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2.利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 学科网（北京）股份有限公1 / 139 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $