专题03 旋转（期末复习知识清单，3知识&8题型&4易错&3方法清单）九年级数学上学期人教版

该初中数学专题清单系统梳理了“旋转”核心内容，涵盖旋转的定义、性质与作图，中心对称的概念、性质及判定，关于原点对称的点的坐标特征等知识范畴，搭建了从基础概念到8大题型应用的递进式学习支架。 清单以“3知识清单+8题型分类+典例变式”构建完整知识体系，突出旋转性质应用、规律探究等重点题型，通过“典例解析+变式训练”培养数学思维，设计作图题强化数学语言表达，助力学生自主高效复习，也为教师教学提供精准内容支持。

专题03 旋转（3知识&8题型&4易错&3方法清单） 【清单01】旋转的定义，性质与作图 1. 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2. 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 3. 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【清单02】 中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (1) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【清单03】 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 【题型一】生活中的旋转现象 【典例1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【分析】题目主要考查旋转的定义，旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即可． 【详解】解：旋转的定义是物体绕一个固定点或轴做圆周运动， A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心； B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移； C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移； D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，属于旋转； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解． 【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带上的物品的移动，是平移现象； ③钟摆的运动，是旋转现象； ④荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④共2个． 故选：B． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，熟知旋转的概念和性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是： 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·假期作业）对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移 C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换平移变换旋转变换． 故选：． 【题型二】找旋转中心，旋转角和对应点 【典例2】（24-25九年级上·广东揭阳·开学考试）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的旋转问题，解题的关键是掌握旋转角的定义．根据旋转角的定义即可得到答案． 【详解】解：根据旋转角的定义，，，都可以表示旋转角，不是旋转角； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可． 【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接， 设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1， 由勾股定理得，， 和的每一组对应顶点到点C的距离都相等， 两个格点和的旋转中心是点C， 故选：C. 【变式3】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形、点坐标与图形，熟练掌握旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上是解题关键．找出线段和的垂直平分线的交点即可得． 【详解】解：由题意可知，线段和的垂直平分线的交点即为旋转中心． ∵如图，线段的垂直平分线为直线，线段的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所在直线，其与轴的交点为，    ∴旋转中心的坐标是， 故选：B． 【题型三】根据旋转的性质求解 【典例3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到对应，若点恰好在边上，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，利用勾股定理求出，根据旋转的性质可得，，由，即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∵点恰好在边上， ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，，即可求解．掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点落在上．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等边对等角，根据旋转的性质，得到，平行线的性质，求出，等边对等角，求出，再根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰好落在线段上，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵ ∴， 故选：A． 【题型四】旋转中规律问题 【典例4】（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据可进行求解． 【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，顶点、在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质等，过点作轴于点，连接，可得，由矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，可得每循环次与原图形重合，得到第次旋转结束时，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同，即得第次旋转结束时，点落在第二象限，据此解答即可求解，找到旋转过程中点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，， ∴每循环次与原图形重合， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标与第次旋转结束时点的坐标相同， 即第次旋转结束时，点落在第二象限， 如图，过点作轴于点，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形；第2次将正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形……按此规律，绕点O旋转得到正方形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案．本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法． 【详解】解：∵点的坐标为，四边形是正方形， ∴点的坐标为， ， 四边形是正方形， ， 连接，如图： 由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， 将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， ，，，，，，， ， 发现是8次一循环，则余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， 点的坐标为， 故答案为：． 【题型五】旋转综合应用 【典例5】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，解题的关键是熟练运用知识点进行解题． （1）根据题中所给的信息通过证出； （2）由题意可得，，又根据，得出，再根据勾股定理的逆定理得出，等量代换得出． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是等边三角形，点D是外一点，连接，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求点E到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点E到直线的距离为3 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （）由旋转的性质得到，，由等边三角形的性质得到，，进而可得，即可由“ ”可证，可得 ； （）先证是等边三角形，可得，，进而得到，由勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：由旋转可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 答：点E到直线的距离为3． 【题型六】中心对称图形的识别 【典例6】（25-26九年级上·天津·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·贵州·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·天津·期末）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式3】（24-25九年级下·山西临汾·期中）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．如意纹B．冰裂纹C．盘长纹D．风车纹 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 【题型七】关于原点对称的点坐标 【典例7】（九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（    ） A．12 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ， ， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·重庆合川·期末）已知点关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了关于原点对称的两个点坐标特点：横纵坐标化为相反数，据此求出m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴， 得 ∴ ， 故选：A． 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，利用关于原点对称点的性质得到，的值，是解答本题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到，的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴，， ， 故答案为：． 【题型八】按图像的变换要求画出另一个图形 【典例8】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)将向下平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，连接，交点即为旋转中心点M， 由图可知，点M的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）先根据旋转额性质确定点的位置，然后连线即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，然后连线即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 【变式2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，．    (1)在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______； (2)画出将绕点顺时针旋转，得到的； (3)画出关于原点中心对称的． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质可得答案． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）根据中心对称的性质作图即可． 本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，即为所求．    （3）解：如图，即为所求．    【变式3】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)请画出将绕点A顺时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标； （2）如图，即为所求，点的坐标． 【题型一】旋转中规律问题 1.（2025·河南·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转、菱形的性质、勾股定理，根据旋转角是可知菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置，所以旋转次就是旋转了个循环后，又旋转了次，根据旋转角和旋转方向画出图形，延长交轴于点，过作轴的垂线交轴于点，利用勾股定理求出，再根据点所在的象限确定点的坐标． 【详解】解：， 菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置， ， 绕点旋转次后，菱形的位置如下图所示： 延长交轴于点，过作y轴的垂线交y轴于点， 根据题意可知，， 轴，， 是等腰直角三角形， 设， 则有， ， 解得：， ， 则， 点在第二象限， 点的坐标为， 故选：D． 2.（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：过点作轴于M，过点作轴于N， 由题意得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，则， 同上可求、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故选：B． 【题型二】根据旋转的性质求解 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，中，，，．将绕点旋转得到，其中，分别为，的对应点，若旋转后点落在边上，连接，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．由勾股定理得，由旋转得，，，，则，，则可得． 【详解】解：，，， ． 由旋转得，，，， ，， ． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则阴影部分的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了旋转的性质及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转性质转化阴影面积，并通过作高结合30°角性质求三角形的高． 由旋转性质得，故阴影面积等价于的面积；过作于，利用含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边是斜边的一半，求出高，再用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转性质，得，，，且， 故； 过作于，在中，， ∴； 则， 即阴影部分的面积为36． 故答案为：36． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在等腰直角中，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，旋转的性质．证明，推出，分两种情况讨论：过点E作于点M，求出即可解答． 【详解】解：如图，当D在线段上时，过点E作于点M，连接， ∵， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的值为或． 故答案为：或． 【题型三】关于原点对称的点坐标 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点和点关于原点中心对称，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了根据关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征“横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程求解n和m，再计算的值． 【详解】解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴，； ∴． 故答案为8． 2．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，熟练掌握关于原点对称点的横、纵坐标都是互为相反数的性质是解题的关键．关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，有理数的加法，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型四】旋转与几何综合应用 1．（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；150；（2），理由见解析过程；（3） 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证； （3）由旋转的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即，则当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积的最大值为，旋转角 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 3．（2024·吉林松原·二模）【问题情境】如图①，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点按逆时针方向旋转度，点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 (1)如图②，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图③，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)正方形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，求出即可得到答案； （2）由旋转的性质先证明四边形是矩形，再由，即可得到结论； （3）当点落在的延长线上时，此时最长求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 正方形， ， ， 由旋转的性质得：， ； （2）解：旋转的性质得到， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （3）解：点不会在线段上， 当点落在的延长线上时，， 最长． 【题型一】根据旋转性质求解 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【题型二】中心对称图形定义 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【题型三】点坐标关于原点对称 对于任意一点 P(x,y),关于原点对称P'(-x,-y） 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转（3知识&8题型&4易错&3方法清单） 【清单01】旋转的定义，性质与作图 1. 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 2. 旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 3. 旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【清单02】 中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (1) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【清单03】 关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y） 【题型一】生活中的旋转现象 【典例1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【变式1】（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）北京冬奥会于年2月4日在北京和张家口联合举行．下图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将该图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·全国·假期作业）对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移 C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称 【题型二】找旋转中心，旋转角和对应点 【典例2】（24-25九年级上·广东揭阳·开学考试）如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，三角形绕点P逆时针旋转一个角度得到三角形，则下列选项中不能表示旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式3】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【题型三】根据旋转的性质求解 【典例3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到对应，若点恰好在边上，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点落在上．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接，点恰好落在线段上，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型四】旋转中规律问题 【典例4】（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A．B．C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，顶点、在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是 ． 【变式3】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形；第2次将正方形绕点O逆时针旋转后，得到正方形……按此规律，绕点O旋转得到正方形，则点的坐标为 ． 【题型五】旋转综合应用 【典例5】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，已知是等边三角形，点D是外一点，连接，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求点E到直线的距离． 【题型六】中心对称图形的识别 【典例6】（25-26九年级上·天津·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·贵州·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【变式2】（25-26九年级上·天津·期末）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·山西临汾·期中）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A．如意纹B．冰裂纹C．盘长纹D．风车纹 【题型七】关于原点对称的点坐标 【典例7】（九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（    ） A．12 B． C．1 D． 【变式2】（24-25九年级上·重庆合川·期末）已知点关于原点对称，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【变式3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【题型八】按图像的变换要求画出另一个图形 【典例8】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． (1)将向下平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心M的坐标是 ． 【变式1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 【变式2】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，．    (1)在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______； (2)画出将绕点顺时针旋转，得到的； (3)画出关于原点中心对称的． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)请画出将绕点A顺时针旋转后的，并写出点的坐标． 【题型一】旋转中规律问题 1.（2025·河南·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型二】根据旋转的性质求解 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，中，，，．将绕点旋转得到，其中，分别为，的对应点，若旋转后点落在边上，连接，则的长是 ． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转后，得到，则阴影部分的面积为 ． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期中）在等腰直角中，，为直线上任意一点，连接．将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接．若，则的值为 ． 【题型三】关于原点对称的点坐标 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知点和点关于原点中心对称，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为________． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则 ． 【题型四】旋转与几何综合应用 1．（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 2．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 3．（2024·吉林松原·二模）【问题情境】如图①，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点按逆时针方向旋转度，点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 (1)如图②，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图③，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在直角三角形绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【题型一】根据旋转性质求解 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 【题型二】中心对称图形定义 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【题型三】点坐标关于原点对称 对于任意一点 P(x,y),关于原点对称P'(-x,-y） 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $