精选母题第8讲：一次函数的8种类型应用 2025-2026学年苏科版八年级上学期数学精选母题系列

该初中数学讲义聚焦一次函数应用，通过分类梳理行程、利润、计价等8种典型问题，以母题引领知识脉络，用表格对比不同场景下函数关系的构建方法，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于母题与变式结合，如行程问题通过图像分析培养几何直观，利润问题引导建立函数模型发展模型意识，古代漏壶问题渗透数学眼光观察传统文化。分层练习设计适配不同学生，助力教师精准复习教学。

2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第8讲：一次函数的8种类型应用 母题1：一次函数与行程问题 甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． ▋▎解答区 【答案】(1)60，120 (2) (3)或或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （1）根据速度路程时间求解即可； （2）用返回时行驶的速度表示即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时）， 甲车从A地到B地的速度是（千米/时）， 甲车返回时的速度是（千米/时）； （2）解：根据题意得，， （小时）， ∴（小时）， ∴自变量的取值范围是； （3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）； 当4小时时，甲车到达B地， 当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）； 当甲返回时，， 解得（小时）， 综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米． 1．甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 2．如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00 从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发 后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ； (2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由． 【答案】(1)80 (2) (3)不能，速度至少提高到，理由见解析 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用，从图象中获取正确的信息是解题的关键 （1）由图象可知，休息前汽车行驶的路程为千米，时间为小时，根据速度路程时间解题． （2）先求出点G的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）由题意知，接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程总时间为小时，由，判断并求出速度即可． 【详解】（1）解：由图象可知，休息前汽车行驶的速度为：（千米/小时）． （2）解：休息后按原速度继续前进行驶的时间为：， 点的坐标为， 设线段所表示的与之间的函数关系式为， 则：，解得， 线段所表示的与的函数关系式为：． （3）解：若汽车按原速行驶，则不能按时到达，速度至少提高到 ． 理由如下：由（1），得接到通知前汽车行驶的速度为． 接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶， 则行完全程所需时间为 ． 因为，且， 所以若汽车仍按照原来的速度行驶，则不能按时到达． 若要使其能按时到达，则速度至少提高到 ． 3．已知A，B两地公路长，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两车同时到达B地．两车的速度始终保持不变，设两车出发后，甲、乙距离A地的距离分别为和，它们的函数图象分别是折线和线段． (1)求A、C两地之间的距离； (2)甲、乙两车在途中相遇时，距离A地多少千米？ 【答案】(1)A、C两地之间的距离是 (2)甲、乙两车在途中相遇时，距离A地144千米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）由图象和题意可得，甲行驶的总的路程，从而可以求得甲接到电话返回C处的距离，从而可以得到A、C两地之间的距离； （2）根据题意和图象，可以得到的解析式和的解析式，从而可以求得两车相遇时的时间和距离A地的距离． 【详解】（1）解：由图象可知， 甲车行驶的路程是，可以得到甲行驶的速度是， 甲行驶的总路程是， 故甲从接到电话到返回C处的路程是， 故A、C两地之间的距离是， 即A、C两地之间的距离是； （2）解：由图象和题意可得，甲从接到电话返回C处用的时间为：小时， 故点Q的坐标为， 设过点的直线解析式为， 则， 解得， 即直线的解析式为， 设过点，的直线的解析式为， 则，得， 即直线的解析式为， 则， 解得． 即甲、乙两车在途中相遇时，距离A地144千米． 4．一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 【答案】(1)60；80 (2) (3)见解析 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、用描点法画函数图象 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度； （2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解； （3）求出，时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为， 轿车的速度为； （2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了， 轿车修好后到达甲地所需时间为， ， ， 货车2小时行驶的路程为， ， ， 设线段的函数表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 线段的函数表达式为； （3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为， 时，， 时，， 货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数． 图象如图②： 母题2：一次函数与最大利润问题 为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进 A、B两种艺术节纪念品，若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元． (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元，那么该商店共有几种进货方案？并指出哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ ▋▎解答区 【答案】(1)购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元 (2)该商店共有种进货方案，该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品件，获利最大，最大利润是元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据“购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意列出一元一次不等式组，求得，设销售完这件纪念品获得的总利润为，则，再结合一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元， 由题意可得：， 解得：， ∴购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元； （2）解：设该商店购进种纪念品件，则购进种纪念品件， 由题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴可以取、、42、43、44、45、46、47、48、49、50， ∴共有种进货方案， 设销售完这件纪念品获得的总利润为，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最大，为元， 故该商店共有种进货方案，购进种纪念品件，则购进种纪念品件，获利最大，最大利润是元． 1．为了增强青少年体质，某校响应“足球进校园”的号召，计划购买一批足球．已知购买5个甲品牌足球和1个乙品牌足球共需330元；购买1个甲品牌足球和3个乙品牌足球共需290元． (1)求甲、乙两种品牌足球的单价． (2)若学校准备购买甲、乙这两种品牌的足球共60个，且甲品牌足球数不超过乙品牌足球数的．设购买这两种品牌足球所需的总费用为元，其中购买甲品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需的总费用最低，并求出最低总费用． 【答案】(1)甲品牌足球单价为50元，乙品牌足球单价为80元 (2)，当甲品牌足球购买了24个，乙品牌足球购买了36个时所需的总费用最低，最低费用4080元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设甲、乙两种品牌足球的单价分别为a元，b元，根据题意，列二元一次方程组即可； （2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种品牌足球的单价分别为a元，b元， 根据题意，得， 解得：， ∴甲品牌足球单价为50元，乙品牌足球单价为80元； （2）解：根据题意可知，乙品牌足球个， ∵甲品牌足球数不超过乙品牌足球数的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最小，此时． 综上，，y取得最小值4080元，此时甲品牌足球购买了24个，乙品牌足球购买了36个． 2．某商场计划购进两种商品进行销售，商品每件进价30元，原定售价48元，商品每件进价40元，原定售价60元，设购进商品件，商场总利润为元． (1)一月份计划购进两种商品共20件，商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元，有几种进货方案？ (2)若按（1）中方案进货，实际销售中由于某原因，决定降价销售，每件降价元，每件降价2a元，全部售完，可获得最大利润350元，求的值． 【答案】(1)三种；即：①商品10件，商品10件；②商品11件，商品9件；③商品12件，商品8件． (2)的值为1． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用． （1）先求得，再根据“商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元”列出不等式组，求解即可； （2）设降价后的总利润为元，求得，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购进商品件，则购进商品件，由题意得 ， 商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元， ， 解得， 为整数， 或或， 故有三种进货方案， 即：①商品10件，商品10件；②商品11件，商品9件；③商品12件，商品8件； （2）解：设降价后的总利润为元，则 ， ，即时，此时随的增大而减小， ， 当时，，即， 解得．故的值为1． 3．某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元． (1)求每台A型自行车和B型自行车的销售利润； (2)该商行计划一次购进两种型号的自行车共100台，设购进A型自行车x台，这100台自行车的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，该商行购进A型、B型自行车各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每台A型自行车销售利润为100元，每台B型自行车的销售利润为150元 (2) (3)商店购进34台A型自行车、66台B型自行车，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一次函数关系式；（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台A型自行车销售利润为a元，每台B型自行车的销售利润为b元，根据某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据（1）的结果列出一次函数关系式即可； （3）设购进A型自行车x台，则购进B型自行车台，根据B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，列出一元一次不等式，解不等式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每台A型自行车销售利润为a元，每台B型自行车的销售利润为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台A型自行车销售利润为100元，每台B型自行车的销售利润为150元； （2）解：根据题意得：， 即y关于x的函数关系式为； （3）解：设购进A型自行车x台，则购进B型自行车台， 根据题意得：， 解得：， 由（2）可知，， ， 随x的增大而减小， 为正整数， 当时，y取最大值，最大值， 此时，， 答：商店购进34台A型自行车、66台B型自行车，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元． 4．为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 【答案】(1)种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元 (2)A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案； （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元，根据题意得出，根据一次函数的性质可得出答案． 【详解】解：（1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元． （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元， 根据题意得：， ∵要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍， ∴， 解得：， 又，， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w取得最大值，（万元）， ∴A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 答：A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 母题3：一次函数与购物方案问题 某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． ▋▎解答区 【答案】(1)活动一：；活动二： (2)当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两种活动情况计算即可； （2）比较两个函数值的大小即可． 【详解】（1）解：活动一：y与x之间的函数关系数式为， 活动二：y与x之间的函数关系数式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠． 1．某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计 1760元． (1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？ (2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元． ①其中m的值为 ； ②求y关于x的函数解析式及x的取值范围； ③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由． 【答案】(1)甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元 (2)①6；②（或）；③租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元，理由见解析 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、分配方案问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金用y的函数关系是解决问题的关键． （1）甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元，根据题意，列出方程进行计算即可； （2）①根据租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆得出结果； ②根据题意可列出y与x的等式关系，再化简整理得出x，y的表达式；再根据共有师生240人，费用不超过2300元，列不等式组求解出x的取值范围； ③由②中结论计算比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元； （2）①需要运送的总人数为（人）， ， 则租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆，即， 故答案为：6； ②设租甲种客车x（辆）、学校租车所需的总费用y（元），依题意， 得 整理，得． 所以y与x的函数关系式为：； 由题意得， 解得， 为整数， 的值为4或5， （或）； ③则有两种租车方案： 甲种客车4辆，乙种客车2辆，租车需花费：（元）； 甲种客车5辆，乙种客车1辆，租车需花费：（元）． ， ∴最少租车费用是2160元， 则租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元． 2．春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． (1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． (2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 【答案】(1)256，270 (2)活动一：；活动二： 当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据活动一的八折规则和活动二每满200减50的规则，分别计算购买原价320元商品的实付金额． （2）先分别写出两种活动实付金额与原价x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种活动更省钱． 【详解】（1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元）， ， 则选择活动二时需付（元）， 故答案为：256，270； （2）当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为， 活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， ∴当时，选择活动一更省钱； 当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可； 当时，选择活动二更省钱． 3．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、二元一次方程的解、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 4．某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． (1)求两种型号充电桩的单价； (2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 【答案】(1)A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元 (2)①10 ②最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价为y万元，根据“A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据两种方案的最终费用相同，可列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设购买a台A型充电桩，台B型充电桩，总费用为w万元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，由购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的充电桩的单价分别是x、y万元， 根据题意得， 解得： 答：A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元； （2）解：① ， 解得：， 答：的值为10； ②设购买A型充电桩台，则购买B型充电桩台，购买充电桩的总费用为万元， 购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的， ， 解得． 的取值范围为，且为正整数， 根据题意，可得， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时． 答：最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 母题4：一次函数与梯度计价问题 某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． ▋▎解答区 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【知识点】从函数的图象获取信息、梯度计价问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 1．每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【答案】(1) (2)50957.1元 【知识点】求自变量的值或函数值、梯度计价问题 【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键： （1）根据计算公式计算即可； （2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当时，求出对应的x的值即可 【详解】（1）解：， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：因为根据李师傅纳税2575.71元，， 所以李师傅纳税适用级数为2级，关于的函数表达式为． 当时，． 解得． 答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元． 2．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 【答案】(1)y与x的关系式为； (2)应缴纳电费129元； (3)小亮家7月份用电量为． 【知识点】梯度计价问题、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一次函数及一元一次方程的应用，能根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准，得出y与x的关系式即可； （2）根据所给收费标准及用电量进行计算即可； （3）根据所给收费标准及电费进行计算即可； 【详解】（1）解：当时，月用电量属于第二组， 则， 所以y与x的关系式为； （2）解：将代入得， 元， 所以应缴纳电费129元； （3）解：因为，，且， 则将代入得， ， 解得， 所以小亮家7月份用电量为 3．阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 【答案】(1)该交183元电费 (2)y＝ (3)该居民家10月份的用电量为360度 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、梯度计价问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接列式进行求解； （2）根据题意可分当时，当时和当时，然后分类求解即可； （3）先判断出该居民家10月份的电费为第二档，再根据（2）中函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： （元）； 答：该交183元电费； （2）解：设电费为y元， ①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，y关于x的函数表达式为； （3）解：当时，； 当时，； ∵， ∴该居民家10月份的电费为第二档， 当时，则， 解得； 答：该居民家10月份用电360度． 4．某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如表所示： 月用电量 每月用电不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时，不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时的部分 计费单价 元/千瓦时 元/千瓦时 元/千瓦时 设每月用电量为千瓦时，应交电费元． (1)当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________；当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________． (2)小新家十月份的用电量为千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费元，求他家十月份用电多少千瓦时． 【答案】(1)； (2)元 (3)千瓦时 【知识点】梯度计价问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数的应用． （1）根据题意分别列出两个函数关系式即可； （2）根据题意将其代入（1）中第二个函数关系式即可； （3）根据题意得出用电量超过了千瓦时，然后代入（1）中第二个函数关系式即可；理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． 【详解】（1）解：当时，与的函数关系式为； 当时，与的函数关系式为，即． 故答案为：；． （2）解：， （元） 答：他家十月份应交电费元． （3）解：当时，（元） ， 小明家十月份的用电量超过了千瓦时． 把代入中，得． 答；他家十月份用电千瓦时． 母题5：一次函数与古代文化问题 “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 ▋▎解答区 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用描点法画函数图象 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 1．漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 【答案】(1)， (2)200 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求出函数解析式是关键． （1）分析表格中数据即可得到结论；利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴y的值记录错误的数据是； 设， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为； （2）解：将代入函数解析式得：， 解得． 答：对应的时间是200分钟． 2．【问题背景】杆秤是我国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．使用时，将被测物挂在秤钩上，一手提起称纽，一手移动秤砣，使秤杆平衡，观察称星，就可以读出物体的质量数．（如图）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（千克）． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． x/厘米 0 1 2 3 4 y/千克 0.5 0.75 1.00 1.25 1.5 【探索发现】 （1）在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是________函数的关系（请选填“一次”，“二次”，“反比例”）； （2）求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】 （3）当秤钩所挂物重由6.5千克变为8千克时，直接写出秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？    【答案】（1）图象见解析，一次；（2）；（3）秤杆上秤砣移动的水平距离是． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用描点法画函数图象、求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】此题是一次函数的应用题，考查了一次函数的图象、待定系数法求函数解析式、求自变量的值等知识，准确判断和求出函数解析式是关键． （1）根据在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是一次函数即可； （2）利用待定系数法求出答案即可； （3）分别求出当和时的自变量的值，作差即可得到答案． 【详解】解：描点并连线，如图所示，    ∵这些点分布在同一条直线上， ∴y与x是一次函数关系， 故答案为：一次 （2）设， 把，和，代入可得： ， 解得， 即． （3）当时，，解得， 当时，，解得， 答：秤杆上秤砣移动的水平距离是． 3．综合与实践 【项目介绍】图1是我国古代的计时工具吕才漏刻，我们能不能也制作一个计时工具，让“1分钟”看得见． 【实践操作Ⅰ】图2是数学实践小组甲利用日常生活中的物品制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3，最后流入纸杯4，小组记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的数据（如表1所示），同时又记录了流入纸杯4的水的体积与流水时间的数据（如表2所示）． 表1 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水面高度 0.3 0.7 1.05 1.35 1.6 1.8 1.95 表2 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水的体积 6 10.8 15.6 20.4 25.2 30 34.8 【任务一】（1）通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现________与流水时间t是一次函数关系； 【实践操作Ⅱ】通过对小组甲数据的分析，为让时间“看得见”，数学实践小组乙改进了实验装置，将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，如图3所示，小组乙记录了仪表盘刻度值y与流水时间的数据（如表3所示）． 表3 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 仪表盘刻度值y 0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 2.5 2.9 【任务二】（2）根据表3数据求仪表盘刻度值y与流水时间的函数解析式； （3）求时，仪表盘的刻度值； （4）自实验开始，在液面不超过纸杯4的高度时，先后两次测量时差为，所得的两次仪表盘的刻度值之和为11.4，则这两次测量的仪表盘的刻度值分别是_____和_____． 【答案】（1）水的体积V；（2）；（3）4.1；（4）， 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）观察表格可知，表1中流水时间每增加，水面高度增加不固定，不符合一次函数关系；由表2可知，流水时间每增加，水的体积增加，符合一次函数关系； （2）设仪表盘刻度y与流水时间t的函数解析式为，选取表3中的2组数据代入求解即可； （3）当时代入（1）中的关系式求解即可； （4）由题意得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）观察表格可知，表1中流水时间每增加，水面高度增加不固定，不符合一次函数关系；由表2可知，流水时间每增加，水的体积增加，符合一次函数关系； 则小组同学发现水的体积V与流水时间t是一次函数关系； 故答案为：水的体积V； （2）设仪表盘刻度y与流水时间t的函数解析式为． 将和代入， 得， 解得， ； （3）当时，，即仪表盘的刻度值为； （4）1.7；9.7． 设分钟时，仪表盘的刻度值为，分钟时，仪表盘的刻度值为． 则①，②， ②①，得． ， ． ， ∴， 解得． 故答案为：，． 4．古时候没有时钟，人们是怎么记时的呢？水钟在中国又叫作“刻漏”、“漏壶”，是古代一种极为重要的计时器具，其原理是利用漏壶记录把水漏完的时间．青铜漏壶（如图），汉代文物，现藏于中国国家博物馆，它的运行由一块浮标控制，当水从底部的一个小出口慢慢流出时，浮标也一点点地下沉．浮标与一根圆杆相连接．圆杆在下沉时指示柄随之移动． 安安同学根据漏壶原理制作了一个简易漏壶，记录数据如下： 时间 0 1 2 3 4 5 壶底到水面高度 48 46 44 42 40 38 (1)壶底到水面高度与时间的关系是什么？请你求出关系式． (2)若开始记录的时间是上午8时，那什么时刻水面高度达到？ 【答案】(1) (2)晚上点时水面高度达到． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由表中数据可知，与满足一次函数关系，设，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）当时，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由表中数据可知，与满足一次函数关系，设， 将和代入； 得，解得， ，经检验符合题意； （2）解：当时，， 解得， ∴， 晚上点时水面高度达到． 母题6：一次函数与打出租车问题 新能源出租车具有节能环保、运营成本低、科技感强、乘客体验更舒适等优点．为了调研新能源出租车的收费标准，某校七（2）班调研得知，其收费标准按实际里程计算， 即起步价为10元（含3千米），超过3千米后，每千米收费2元，调研结果如下： 乘车里程 0 1 2 3 5 收费元 0 10 10 10 13 请回答下列问题： (1)七（2）班所绘制表格中的值为______，的值为______； (2)直接写出当时，与之间的关系式； (3)小李乘坐新能源出租车从甲社区到乙社区，到达目的地后付费21元，请问小李此次的行程有多远？ ▋▎解答区 【答案】(1)11，14 (2) (3)小李此次的行程为千米 【知识点】梯度计价问题、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意，得，，解答即可； （2）当时，； （3）根据付费21元，大于10元，令代入解析式求自变量的值即可． 本题考查了一次函数的应用，求函数的解析式，求函数自变量的值，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故答案为：11,14； （2）解：当时，． （3）解：根据付费21元，大于10元， 令代入解析式中，得， 解得， 故小李此次的行程为千米． 1．从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟：高峰时段（时和时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图像如图所示）， (1)请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内． 时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式 时 高峰段 时 非高峰段 时 高峰段 (2)游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7~12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由． 【答案】(1)，， (2)当时，选择地铁：当时，两种皆可：当时，选择出租 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，截图的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出非高峰时段地铁出行为20分钟分钟，再求出高峰时段7~10时地铁出行和出租车用时相等对应的时刻，最后分情况讨论结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解∶ 时 设， 把，代入，得， 解得， ∴； 当时，； 当时， 设设， 把，代入，得， 解得， ∴； （2）解：非高峰时段地铁出行：分钟分钟 高峰时段7~10时，当地铁出行的时间与出租车的时间相等时， 则， 解得， 综上，当时，选择地铁：当时，两种皆可：当时，选择出租． 2．据了解，市城区出租车的收费标准如下： ●起步价格：7元（包含3公里）． ●超过3公里后：每公里1.5元． ●远程行驶费：超过8公里后，每公里加收的空驶费，即按每公里2.25元计费． ●等候费：本题暂不考虑． ●夜间收费：本题暂不考虑． 设行驶里程为公里，总费用为元． (1)写出与之间的函数关系式（分两段写出）． (2)如果一位乘客在市城区乘坐出租车，支付了22元，请你估算一下他乘坐了多少公里？（结果保留一位小数） (3)如果从市火车站打车到某牡丹园，路程大约为8公里，请你计算一下应付多少车费？ 【答案】(1)， (2)11.3公里 (3)14.5元 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． （1）分和，写出乘车费用y（元）与路程x（公里）之间的函数关系式； （2）设他的工作单位离家的距离为x公里，先判断里程一定大于8公里，再代入计算即可； （3）将代入，进行计算即可． 【详解】（1）解：当行驶里程在3公里到8公里（含）之间时：， 化简得：； 当行驶里程超过8公里后： 前8公里的费用为：元， 超过8公里部分的费用为：， 所以总费用为：，化简得：． （2）解：假设，代入第一段函数：， ， 解得． ，这与假设矛盾， 里程一定大于8公里． 代入第二段函数（）：，即， ． 答：这位乘客大约乘坐了11.3公里． （3）解：路程为8公里，属于第一段函数的末端（）． 代入，得． 答：从火车站到牡丹园大约需要14.5元． 3．小明从家乘出租车前往学校，出发后，发现自己未带数学作业，于是立即让司机掉头按原路原速返回（不计掉头时间），到家后，司机在小区门口等候，小明回家寻找作业，后重新上车，由于时间原因，故以原先速度的1.5倍赶往学校（匀速），最终到达，出租车行驶路程与行驶时间）的函数图象如图所示． (1)填空：______，______，______； (2)写出小明取到作业重新上车后，出租车行驶路程s与行驶时间t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)已知出租车收费情况如下： 里程费：3公里以内，车费8元；3公里以上，超过3公里的部分，每公里2元； 等候费：5分钟内不收费，超过5分钟的部分每分钟1元． 则小明应付多少元车费？ 【答案】(1)4；20；10 (2) (3)22元 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，正确理解题意和函数图象是解题的关键； （1）根据题中条件，结合图象，可求a，b，c的值； （2）根据题中条件，求出小明重新上车后，出租车的速度，再求出租车行驶路程s与行驶时间t之间的函数关系式； （3）先求出租车行驶的总路程，再计算车费． 【详解】（1）解：由题知，小明从乘出租车前往学校，到返回家找作业，用时，所以， 小明回家寻找作业，后重新上车，所以， 小明到达学校，所以． 故答案为：4；20；10． （2）出租车原先的速度为， 小明重新上车后，出租车的速度为． 重新上车后，与之间的函数关系式为． （3）将代入， 得． 车费为元． 答：小明应付车费22元． 4．某市出租车计费方法如图所示，表示行驶距离，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是 元； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的距离． 【答案】(1)8 (2)这位乘客乘车的距离是 【知识点】梯度计价问题、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，由函数值求自变量的值． （1）根据函数图象可以得出出租车的起步价． （2）设时，y与x的函数关系式为 ，运用待定系数法求解解析式；将解析式即可求出x的值． 【详解】（1）解：由图象得：出租车的起步价是8元． （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 由函数图象，得 ， 解得：， 故y与x的函数关系式为：， 当时，， ∴， 答：这位乘客乘车的距离是． 母题7：一次函数与摞盘高度问题 小明以如图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y（）与纸杯的个数x（个）之间是一次函数关系，有关数据如表． 纸杯个数x（个） 1 2 3 4 … 纸杯高度y（） 9 10 … (1)求y与x之间的函数表达式． (2)小明把杯子叠成如图1的一摞，放入高的柜子里（如图2）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ ▋▎解答区 【答案】(1) (2)67个 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设y与x之间的函数表达式为，分别将，和，代入计算即可； （2）根据题意得到，解不等式求出最大整数即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）， 分别将，和，代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）根据题意，得， 解得， ∵x为非负整数， ∴一摞最多能叠67个杯子，可以竖着一次性放进柜子里． 1．综合与实践 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装．一种规格的碗要装入包装盒，各类信息如下： 信息1 信息2 碗以及叠放后的尺寸（单位：） 两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元） 盒：成本：3元/个 盒：成本：2元/个 问题解决： (1)将个这样的碗叠放后，直接写出总高度的值（用含的式子表示）． (2)叠放后的碗可横放也可竖放，则盒最多可放入______个，盒最多可放入______个． (3)若要买若干个盒或盒分装95个上述规格的碗（、盒都刚好装满），最少要花多少钱？ 【答案】(1) (2)叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入5个碗． (3)费用最小为元. 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的是列一次函数关系式，不等式的应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意列不等式进行解答即可； （3）设购买A盒x个，B盒y个，可得，可得，的最大整数值为，设总的购买费用为元，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设关系式为：， 将代入上式得： 解得： 则； （2）解：当时， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大整数解为 叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入个碗， 同理：， 解得：， ∴的最大整数解为， ∴B盒（竖放）最多可放入个碗． （3）解：由（2）可得：A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入5个碗． 设购买A盒个，B盒个，分装95个碗， ∴， ∴， ∴， ∴的最大整数值为， 设总的购买费用为元， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，费用最小为（元）. 2．如图（单位：），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起． (1)设个这种盘子摞在一起的高度为，求与之间的关系式； (2)求2025个这种盘子摞在一起的高度； (3)在方格纸中画出（1）关系式的图象（假设 不超过 10）． 【答案】(1) (2) (3)作图见详解 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求自变量的值或函数值、求一次函数解析式、画一次函数图象 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及求一次函数关系式、求函数值、画函数图象等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）先由图求出最底层的盘子高度，再计算每增加一个盘子增加的高度，进而得到答案； （2）由（1）中求得的函数关系式，令，代入关系式求值即可得到答案； （3）由（1）中求得的函数关系式，结合自变量的实际意义，先列表，再描点即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 则摞在一起，每增加一个盘子增加高度为（）， 最底层的盘子高度为（）， 设个这种盘子摞在一起的高度为， 则与之间的关系式为； （2）解：由（1）知与之间的关系式为， 当时，， 答：2025个这种盘子摞在一起的高度为； （3）解：列表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 描点，如图所示： 3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： (1)像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式； (2)把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ (3)如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 【答案】(1) (2) (3)13个 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设函数解析式为， 根据题意得：当时，；当时，， ∴，解得：， ∴该函数解析式为； （2）解：当时，， 即这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是； （3）解：当时，， 解得：， ∵x为正整数， ∴x取13， ∴一摞最多能放13个碗． 4．小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为cm的柜子里她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如表： 碗的个数（个） 这擦碗的总高度（厘米） (1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； (2)观察上述各点的分布规律，描述出这摞碗的总高度（）随碗的个数（个）的变化规律，并求出所对应的函数表达式； (3)请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 【答案】(1)k见解析 (2)增加个碗，这摞碗的总高度增加厘米， (3) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、用描点法画函数图象 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断方法及待定系数法求一次函数的判断方法、一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据表格中的数据对描点即可； （2）将这些点连线，描述随的变化规律，判断函数类型并利用待定系数法求出函数关系式即可； （3）根据列关于的一元一次不等式并求其解集，从而求出的非负整数最大值即可． 【详解】（1）描点如图所示： （2）由图象可知，这些点分布在同一条直线上，增加个碗，这摞碗的总高度增加厘米， 与之间是一次函数的关系， 设与之间的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． （3）当时，得， 解得， 为非负整数， 的最大值为， 一摞最多能叠个碗可以一次性放进柜子里． 母题8：一次函数与项目学习问题 某学校实践活动小组进行了项目化学习． 【项目主题】电影票购买方案的选择 【项目背景】《哪吒之魔童闹海》自春节放映以来，热度居高不下．某校综合实践活动小组以探究“电影票的购买方案”为主题开展项目化学习． 【驱动任务】探究电影票的付款金额与购买量之间的函数关系． 【研究步骤】 ①收集区域内某影院销售电影票的信息； ②对收集的信息进行整理、描述； ③进行信息分析，形成结论． 【数据信息】 信息一：电影院普通票价45元/张，无论购买多少均不打折． 信息二：电影院为了促销，推出两种优惠卡信息如下： ①金卡售价600元/张，每次观影凭卡不再收费；②银卡售价300元/张，每次观影凭卡另收15元． 信息三：普通票正常销售，两种优惠卡使用时不限次数． 根据上述信息，回答以下问题： (1)请分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式； (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算． ▋▎解答区 【答案】(1)， (2)，， (3)当时，选择普通票消费合算；当时，选择银卡和普通票消费一样；当时，选择银卡消费合算；当时，选择金卡和银卡消费一样；当时，选择金卡消费合算 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）分别根据相关信息解答即可； （2）联立交点所在的两个函数，分别建立关于x和y的二元一次方程组并求解，从而求出点A、B、C的坐标即可； （3）根据图象比较三个函数的函数值即可． 【详解】（1）解：选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为， 选择普通卡消费时，y与x之间的函数关系式为 （2）解：对于，当时，， ∴， 与联立， 得， 解得， ∴， 对于，当时，得， 解得， ∴． （3）根据图象，当时，选择普通票消费合算； 当时，选择银卡和普通票消费一样； 当时，选择银卡消费合算； 当时，选择金卡和银卡消费一样； 当时，选择金卡消费合算． 1．项目化学习·数学与生活融合 项目主题 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度 素材1 如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调整调节扣的位置加长或缩短单层部分和双层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）（图1）    素材2 对该单肩包的背带长度进行测量，记双层部分的长度为，单层部分的长度为与满足一次函数关系，其部分数据如下表： 双层部分的长度 2 6 10 14 单层部分的长度 116 108 100 92 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然站立，此时背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样（如图2），且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．    任务1 直接写出与的函数表达式并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包的背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式 任务3 当小明爸爸的单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式，求出函数解析式是本题的关键． 任务1：利用待定系数法求出函数关系式； 任务2：先求出单肩包背带总长度为，根据“单肩包的最佳背带总长度与身高比例为”列式求出这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式； 任务3：求出小明爸爸身高，再求出的值即可． 【详解】解：任务1：设这条直线的解析式为（k、b为常数，且）， 将和代入, 得， 解得， ∴该函数的表达式是的取值范围是， 任务2：单肩包背带总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时， 任务3：小明爸爸身高为，根据题意得， 解得，即小明爸爸身高为 ． 即小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，双层部分的长度为． 2．项目式学习 项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题：选燃油车还是电动车？ 项目目的 经历收集、整理、描述、分析数据的过程，感知大数据时代特征． 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用（型电动车每百公里耗电度电，每度电元；型燃油车每百公里耗油，每升油元） 注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 每公里耗能费用（元） 型电动车 型燃油车 数据描述 行驶公里数（公里） 用车费用y（元） 型电动车 型燃油车 项目任务 计算回答表中第一行的项目问题； 追加任务 追加任务目的 小明爸爸计划购买一辆型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，至少需要投入多少费用？ 政策法规 行驶路程超过万公里，网约车强制报废． 数据收集 网约车每年平均行程万公里 电动车保险费：元/年 电动车保养费：元/万公里 根据上述信息解答下列问题： (1)表中______、______、______、______； (2)请完成“项目任务”； (3)请计算“追加任务目的”中的费用． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)至少需要投入的费用是元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一次函数的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，找出用车费用关于行驶公里数之间的函数关系式是解题的关键． （1）利用每公里耗能费用=每百公里耗能费用，即可求出，的值，利用用车费用每公里耗能费用行驶公里数购车费用，即可找出（）关于的函数关系式； （2）令，求出的值，结合，即可找出结论； （3）利用使用年限报废公里数网约车每年平均行驶公里数，可求出使用年限，再利用投入的总费用每公里耗能费用行驶公里数购车费用每年保险费用使用年限每次保养费保养次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ，． 故答案为：，，，； （2）令，即， 解得：， ， 当时，燃油车用车费用较低，选择传统燃油车划算； 当时，燃油车用车费用与新能源电动车费用一样； 当时，新能源电动车用车费用较低，选择新能源电动车划算； （3）根据题意得：使用年限为（年）， （元）． 答：至少需要投入的费用是元． 3．项目式学习 项目主题：深圳地铁票价探究 素材 深圳地铁实行里程分段计价票制．普通车厢起步价：首公里人民币元；公里至公里部分，每人民币元可乘坐公里；公里至公里部分，每人民币元可乘坐公里；超过公里，每人民币元可乘坐公里． 备注：两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度．例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为公里和公里，则此两站之间的里程为公里，票价为元． 素材 深圳地铁的部分线路图如下（经过变形处理，并省略部分站点），标注了部分站点之间的地铁线路及里程．    素材 深圳市深圳通有限公司与手机公司合作推出深圳通互联互通卡业务，该卡是通过芯片绑定在手机上的一张虚拟公交卡．手机用户支付元不可退服务费用后办理此卡，可在乘坐地铁普通车厢使用此卡刷卡出闸时享受票价折优惠． 问题解决 任务 小达乘坐地铁从站到站，票价为元，则两站之间的最长里程为______． 任务 小达从布心站出发，乘坐号线前往临海站并出站游玩，游玩后再从临海站出发，依次乘坐号线、号线、号线、号线和号线回到布心站，求全程的地铁票价． 任务 小达以任务的方式在布心站和临海站之间往返，设其往返的来回数为，办理深圳通互联互通卡出行相比不办理节省的费用为，请求出与的关系式，并计算至少往返几个来回时，办理深圳通互联互通卡出行比不办理更划算？ 【答案】任务：；任务：元；任务：，至少往返个来回时，办理深圳通互联互通卡更划算 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【详解】任务：根据题意求解即可； 任务：先计算去和回来的路程，再根据题意求解即可； 任务：先求得与的关系式为，再利用一次函数的性质求解即可； 本题考查了一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【解答】解：任务：由题意得，两站之间的最长里程为， 故答案为：； 任务：去程的路线长度为，返程的路线长度为， ∴布心站到临海站的票价为（元）， 同理，临海站到布心站的票价为（元）， ∴全程的地铁票价为（元）， 答：全程的地铁票价为元； 任务：由任务和素材可知，办理深圳通互联互通卡往返一次相比不办理节省的费用为（元）， ∴与的关系式为， 令，则， 解得， ∴至少往返个来回时，办理深圳通互联互通卡更划算． 4．项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： (1)根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； (2)如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： (3)“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 【答案】(1)一次， (2)，25 (3)长方形空地的长约为，宽约为 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据表中数据呈现的规律判断出为一次函数，设，把和代入解出即可； （2）设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为，把，代入解出人的身高y和脚长x之间的函数解析式为，再把，代入求解即可； （3）将代入，求解出长方形空地的长，再将代入即可求解出长方形空地的宽． 【详解】（1）解：根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的一次函数， 设， 把和代入得， 解得， 指间距离d与身高y的函数解析式为， 故答案为：一次，； （2）解：设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 故答案为：，25； （3）解：将代入，得， 解得， 所以长方形空地的长为， 将代入，得， 所以长方形空地的宽为， 答：长方形空地的长约为，宽约为． 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级上学期数学精选母题系列 精选母题第8讲：一次函数的8种类型应用 母题1：一次函数与行程问题 甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． ▋▎解答区 1．甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 2．如图①，一条直的公路上依次有A，B，C三个汽车站，，，一辆汽车上午8：00 从距离A站的P地出发，匀速向C站行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当到达B站时接到通知，要求中午12：00前到达C站．设汽车出发 后离A站，图②中折线表示接到通知前y与x之间的函数关系． (1)根据图象可知，接到通知前汽车行驶的速度为 ； (2)求线段 对应的函数表达式（不写自变量的取值范围）； (3)接到通知后，若汽车仍按照原来的速度行驶，则能否按时到达？如果不能按时到达，那么速度至少提高到多少可按时到达？请说明理由． 3．已知A，B两地公路长，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上的C处取回货物，于是甲车立即原路返回C地，取了货物又立即赶往B地（取货物的时间忽略不计），结果两车同时到达B地．两车的速度始终保持不变，设两车出发后，甲、乙距离A地的距离分别为和，它们的函数图象分别是折线和线段． (1)求A、C两地之间的距离； (2)甲、乙两车在途中相遇时，距离A地多少千米？ 4．一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 母题2：一次函数与最大利润问题 为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进 A、B两种艺术节纪念品，若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元． (1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7500元，那么该商店共有几种进货方案？并指出哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ ▋▎解答区 1．为了增强青少年体质，某校响应“足球进校园”的号召，计划购买一批足球．已知购买5个甲品牌足球和1个乙品牌足球共需330元；购买1个甲品牌足球和3个乙品牌足球共需290元． (1)求甲、乙两种品牌足球的单价． (2)若学校准备购买甲、乙这两种品牌的足球共60个，且甲品牌足球数不超过乙品牌足球数的．设购买这两种品牌足球所需的总费用为元，其中购买甲品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需的总费用最低，并求出最低总费用． 2．某商场计划购进两种商品进行销售，商品每件进价30元，原定售价48元，商品每件进价40元，原定售价60元，设购进商品件，商场总利润为元． (1)一月份计划购进两种商品共20件，商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元，有几种进货方案？ (2)若按（1）中方案进货，实际销售中由于某原因，决定降价销售，每件降价元，每件降价2a元，全部售完，可获得最大利润350元，求的值． 3．某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元． (1)求每台A型自行车和B型自行车的销售利润； (2)该商行计划一次购进两种型号的自行车共100台，设购进A型自行车x台，这100台自行车的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，该商行购进A型、B型自行车各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 4．为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 母题3：一次函数与购物方案问题 某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． ▋▎解答区 1．某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计 1760元． (1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？ (2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元． ①其中m的值为 ； ②求y关于x的函数解析式及x的取值范围； ③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由． 2．春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． (1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． (2)若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 3．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 4．某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． (1)求两种型号充电桩的单价； (2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 母题4：一次函数与梯度计价问题 某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． ▋▎解答区 1．每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 2．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 3．阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 4．某市居民用电收费采用分段计费，计费方式如表所示： 月用电量 每月用电不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时，不超过千瓦时的部分 每月用电超过千瓦时的部分 计费单价 元/千瓦时 元/千瓦时 元/千瓦时 设每月用电量为千瓦时，应交电费元． (1)当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________；当月用电量千瓦时时，与的函数关系式为___________． (2)小新家十月份的用电量为千瓦时，求他家十月份应交电费多少元． (3)小明家十月份交电费元，求他家十月份用电多少千瓦时． 母题5：一次函数与古代文化问题 “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 ▋▎解答区 1．漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 2．【问题背景】杆秤是我国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．使用时，将被测物挂在秤钩上，一手提起称纽，一手移动秤砣，使秤杆平衡，观察称星，就可以读出物体的质量数．（如图）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（千克）． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． x/厘米 0 1 2 3 4 y/千克 0.5 0.75 1.00 1.25 1.5 【探索发现】 （1）在坐标系中描出数据所表示的点，判断y与x是________函数的关系（请选填“一次”，“二次”，“反比例”）； （2）求出y与x之间的函数关系式； 【结论应用】 （3）当秤钩所挂物重由6.5千克变为8千克时，直接写出秤杆上秤砣移动的水平距离是多少？ 3．综合与实践 【项目介绍】图1是我国古代的计时工具吕才漏刻，我们能不能也制作一个计时工具，让“1分钟”看得见． 【实践操作Ⅰ】图2是数学实践小组甲利用日常生活中的物品制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3，最后流入纸杯4，小组记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的数据（如表1所示），同时又记录了流入纸杯4的水的体积与流水时间的数据（如表2所示）． 表1 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水面高度 0.3 0.7 1.05 1.35 1.6 1.8 1.95 表2 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水的体积 6 10.8 15.6 20.4 25.2 30 34.8 【任务一】（1）通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现________与流水时间t是一次函数关系； 【实践操作Ⅱ】通过对小组甲数据的分析，为让时间“看得见”，数学实践小组乙改进了实验装置，将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，如图3所示，小组乙记录了仪表盘刻度值y与流水时间的数据（如表3所示）． 表3 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 仪表盘刻度值y 0.5 0.9 1.3 1.7 2.1 2.5 2.9 【任务二】（2）根据表3数据求仪表盘刻度值y与流水时间的函数解析式； （3）求时，仪表盘的刻度值； （4）自实验开始，在液面不超过纸杯4的高度时，先后两次测量时差为，所得的两次仪表盘的刻度值之和为11.4，则这两次测量的仪表盘的刻度值分别是_____和_____． 4．古时候没有时钟，人们是怎么记时的呢？水钟在中国又叫作“刻漏”、“漏壶”，是古代一种极为重要的计时器具，其原理是利用漏壶记录把水漏完的时间．青铜漏壶（如图），汉代文物，现藏于中国国家博物馆，它的运行由一块浮标控制，当水从底部的一个小出口慢慢流出时，浮标也一点点地下沉．浮标与一根圆杆相连接．圆杆在下沉时指示柄随之移动． 安安同学根据漏壶原理制作了一个简易漏壶，记录数据如下： 时间 0 1 2 3 4 5 壶底到水面高度 48 46 44 42 40 38 (1)壶底到水面高度与时间的关系是什么？请你求出关系式． (2)若开始记录的时间是上午8时，那什么时刻水面高度达到？ 母题6：一次函数与打出租车问题 新能源出租车具有节能环保、运营成本低、科技感强、乘客体验更舒适等优点．为了调研新能源出租车的收费标准，某校七（2）班调研得知，其收费标准按实际里程计算， 即起步价为10元（含3千米），超过3千米后，每千米收费2元，调研结果如下： 乘车里程 0 1 2 3 5 收费元 0 10 10 10 13 请回答下列问题： (1)七（2）班所绘制表格中的值为______，的值为______； (2)直接写出当时，与之间的关系式； (3)小李乘坐新能源出租车从甲社区到乙社区，到达目的地后付费21元，请问小李此次的行程有多远？ ▋▎解答区 1．从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟：高峰时段（时和时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图像如图所示）， (1)请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内． 时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式 时 高峰段 时 非高峰段 时 高峰段 (2)游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7~12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由． 2．据了解，市城区出租车的收费标准如下： ●起步价格：7元（包含3公里）． ●超过3公里后：每公里1.5元． ●远程行驶费：超过8公里后，每公里加收的空驶费，即按每公里2.25元计费． ●等候费：本题暂不考虑． ●夜间收费：本题暂不考虑． 设行驶里程为公里，总费用为元． (1)写出与之间的函数关系式（分两段写出）． (2)如果一位乘客在市城区乘坐出租车，支付了22元，请你估算一下他乘坐了多少公里？（结果保留一位小数） (3)如果从市火车站打车到某牡丹园，路程大约为8公里，请你计算一下应付多少车费？ 3．小明从家乘出租车前往学校，出发后，发现自己未带数学作业，于是立即让司机掉头按原路原速返回（不计掉头时间），到家后，司机在小区门口等候，小明回家寻找作业，后重新上车，由于时间原因，故以原先速度的1.5倍赶往学校（匀速），最终到达，出租车行驶路程与行驶时间）的函数图象如图所示． (1)填空：______，______，______； (2)写出小明取到作业重新上车后，出租车行驶路程s与行驶时间t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)已知出租车收费情况如下： 里程费：3公里以内，车费8元；3公里以上，超过3公里的部分，每公里2元； 等候费：5分钟内不收费，超过5分钟的部分每分钟1元． 则小明应付多少元车费？ 4．某市出租车计费方法如图所示，表示行驶距离，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是 元； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的距离． 母题7：一次函数与摞盘高度问题 小明以如图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y（）与纸杯的个数x（个）之间是一次函数关系，有关数据如表． 纸杯个数x（个） 1 2 3 4 … 纸杯高度y（） 9 10 … (1)求y与x之间的函数表达式． (2)小明把杯子叠成如图1的一摞，放入高的柜子里（如图2）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？ ▋▎解答区 1．综合与实践 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装．一种规格的碗要装入包装盒，各类信息如下： 信息1 信息2 碗以及叠放后的尺寸（单位：） 两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元） 盒：成本：3元/个 盒：成本：2元/个 问题解决： (1)将个这样的碗叠放后，直接写出总高度的值（用含的式子表示）． (2)叠放后的碗可横放也可竖放，则盒最多可放入______个，盒最多可放入______个． (3)若要买若干个盒或盒分装95个上述规格的碗（、盒都刚好装满），最少要花多少钱？ 2．如图（单位：），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起． (1)设个这种盘子摞在一起的高度为，求与之间的关系式； (2)求2025个这种盘子摞在一起的高度； (3)在方格纸中画出（1）关系式的图象（假设 不超过 10）． 3．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： (1)像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式； (2)把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ (3)如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 4．小丽在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为cm的柜子里她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．小丽测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如表： 碗的个数（个） 这擦碗的总高度（厘米） (1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示碗的个数，纵轴表示这摞碗的总高度，请根据表中信息描出对应点； (2)观察上述各点的分布规律，描述出这摞碗的总高度（）随碗的个数（个）的变化规律，并求出所对应的函数表达式； (3)请帮小丽算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？ 母题8：一次函数与项目学习问题 某学校实践活动小组进行了项目化学习． 【项目主题】电影票购买方案的选择 【项目背景】《哪吒之魔童闹海》自春节放映以来，热度居高不下．某校综合实践活动小组以探究“电影票的购买方案”为主题开展项目化学习． 【驱动任务】探究电影票的付款金额与购买量之间的函数关系． 【研究步骤】 ①收集区域内某影院销售电影票的信息； ②对收集的信息进行整理、描述； ③进行信息分析，形成结论． 【数据信息】 信息一：电影院普通票价45元/张，无论购买多少均不打折． 信息二：电影院为了促销，推出两种优惠卡信息如下： ①金卡售价600元/张，每次观影凭卡不再收费；②银卡售价300元/张，每次观影凭卡另收15元． 信息三：普通票正常销售，两种优惠卡使用时不限次数． 根据上述信息，回答以下问题： (1)请分别写出选择银卡、普通票消费时，与之间的函数关系式； (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算． ▋▎解答区 1．项目化学习·数学与生活融合 项目主题 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度 素材1 如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调整调节扣的位置加长或缩短单层部分和双层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）（图1） 素材2 对该单肩包的背带长度进行测量，记双层部分的长度为，单层部分的长度为与满足一次函数关系，其部分数据如下表： 双层部分的长度 2 6 10 14 单层部分的长度 116 108 100 92 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然站立，此时背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样（如图2），且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 直接写出与的函数表达式并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包的背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式 任务3 当小明爸爸的单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 2．项目式学习 项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题：选燃油车还是电动车？ 项目目的 经历收集、整理、描述、分析数据的过程，感知大数据时代特征． 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用（型电动车每百公里耗电度电，每度电元；型燃油车每百公里耗油，每升油元） 注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 每公里耗能费用（元） 型电动车 型燃油车 数据描述 行驶公里数（公里） 用车费用y（元） 型电动车 型燃油车 项目任务 计算回答表中第一行的项目问题； 追加任务 追加任务目的 小明爸爸计划购买一辆型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，至少需要投入多少费用？ 政策法规 行驶路程超过万公里，网约车强制报废． 数据收集 网约车每年平均行程万公里 电动车保险费：元/年 电动车保养费：元/万公里 根据上述信息解答下列问题： (1)表中______、______、______、______； (2)请完成“项目任务”； (3)请计算“追加任务目的”中的费用． 3．项目式学习 项目主题：深圳地铁票价探究 素材 深圳地铁实行里程分段计价票制．普通车厢起步价：首公里人民币元；公里至公里部分，每人民币元可乘坐公里；公里至公里部分，每人民币元可乘坐公里；超过公里，每人民币元可乘坐公里． 备注：两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度．例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为公里和公里，则此两站之间的里程为公里，票价为元． 素材 深圳地铁的部分线路图如下（经过变形处理，并省略部分站点），标注了部分站点之间的地铁线路及里程．    素材 深圳市深圳通有限公司与手机公司合作推出深圳通互联互通卡业务，该卡是通过芯片绑定在手机上的一张虚拟公交卡．手机用户支付元不可退服务费用后办理此卡，可在乘坐地铁普通车厢使用此卡刷卡出闸时享受票价折优惠． 问题解决 任务 小达乘坐地铁从站到站，票价为元，则两站之间的最长里程为______． 任务 小达从布心站出发，乘坐号线前往临海站并出站游玩，游玩后再从临海站出发，依次乘坐号线、号线、号线、号线和号线回到布心站，求全程的地铁票价． 任务 小达以任务的方式在布心站和临海站之间往返，设其往返的来回数为，办理深圳通互联互通卡出行相比不办理节省的费用为，请求出与的关系式，并计算至少往返几个来回时，办理深圳通互联互通卡出行比不办理更划算？ 4．项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： (1)根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； (2)如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： (3)“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 2 / 2 ★学科网•数学梦工厂★精心打造，祝您梦想成真★ 学科网（北京）股份有限公司 $