精品解析：江苏省南京市第九中学2025-2026学年高二上学期12月学情检测数学试题

2027届高二年级12月学情检测 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，若，则的值为（　　） A. B. 3 C. -1 D. 3或-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行公式计算求参. 【详解】当或时两直线不平行， 当且时， 因为， 所以， 故选:A． 2. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的顶点和焦点，即可写出椭圆方程. 【详解】双曲线的焦点为，，顶点为，， 所以椭圆的焦点坐标为，，顶点为，， 所依椭圆的方程为. 故选：D 3. 已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶数项等差数列的奇偶项项数相等，则即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B. 【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，偶数项和与奇数项和的关系，属于中档题. 4. 圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心，，公共弦AB的垂直平分线即为直线，利用两点式求出直线方程，化为一般式. 【详解】变形为，圆心为， 变形为，圆心为， 公共弦AB的垂直平分线即为直线， 即，整理得. 故选：D 5. 已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列求出m，然后求解圆锥曲线的离心率即可． 【详解】解：m是2与8的等比中项，可得m＝±4， 当m=4时,圆锥曲线为双曲线x2﹣＝1, 它的离心率为：, 当m=-4时，圆锥曲线x2﹣＝1为椭圆，离心率：， 故选：A． 6. 两等差数列和的前项和分别是,已知,则 A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 故选：D. 【点睛】等差数列的性质的灵活应用是解决此题的关键，等差数列是比较重要的一类数列，也是高考中考查的重点内容. 7. 双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点P的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线的斜率及直线的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率. 详解：设双曲线渐近线的方程为， 的方程为， 则设点坐标为， 则直线的斜率，直线的斜率， 由，则，即（1） 由，则，解得（2）， 联立（1）（2），整理得：， 由双曲线的离心率， 所以双曲线的离心率为2，故选B. 点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点P的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到的关系，之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果. 8. 已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】首先对两边取对数，求解出的公式，然后求解. 【详解】因为，两边取对数，解得： 所以是以为首项，以2为公比的等比数列， ，， ， 令，即 根据等比数列的求和公式， 整理得； 又因为 所以正整数的最大值为10. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为 C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由椭圆方程可确定，根据离心率，焦点三角形周长为可确定AB错误； 当为椭圆短轴端点时最大，由此可确定，知C正确； 根据可知D正确. 【详解】对于A，由椭圆方程知：，，离心率，A错误； 对于B，由椭圆定义知：，， 的周长为，B错误； 对于C，当为椭圆短轴端点时，， ，，即， ，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：CD. 10. 数列的前项和为，则下列命题正确的是（　　） A. B. C. 数列的最小项为 D. 数列为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用与的关系，将条件转化为的等差数列，求得；逐一验证各选项：分析的表达式、判断数列最小项、验证新数列的等比性. 【详解】当时，由，得， 两边除以（），得. 由此可知是首项为、公差为4的等差数列， 故，即， 也符合上式，所以，选项A正确. 选项B：时，， 但时，不满足此式，故B错误. 选项C：数列的项为：，，，，……， 时，的绝对值随增大而减小， 故是最小项，选项C正确. 选项D：，， 故， 该数列为常数列（每一项均为）， 常数列（非零）是公比为1的等比数列，选项D正确. 故选：ACD 11. 已知P(x，y)为曲线上一动点，则（ ） A. 若z＝x－y，则z的最大值为1 B. 存在一个定点和一条定直线，使得点P到该定点的距离等于点P到该定直线的距离 C. P到直线y＝－x－2的距离的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】由曲线为抛物线的右半部分（包含原点）即可判断B正确；借助二次函数的最值即可判断A正确； 数形结合判断C选项错误；利用抛物线的定义即可求出的最小值，从而判断D正确. 【详解】 由题意知：，即曲线为抛物线的右半部分（包含原点），由抛物线定义可知，B正确； ，当时，，A正确； 由图像可知，原点到直线y＝－x－2的距离最小，此时距离为，C错误； 设点，易知抛物线焦点为，准线为，设点到准线的距离为， 则，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形的几何性质得出，利用两点间的距离公式可求得结果. 【详解】在平面直角坐标系中，， 则为直角三角形，且为斜边， 故. 故答案为： 13. 已知数列满足，则数列的前9项和___________． 【答案】70 【解析】 【分析】根据题意求得，得到数列是首项为，公差为4的等差数列，数列是首项为，公差为4的等差数列，求得的通项公式，分为奇数和偶数，结合等差数列求和公式，即可求解． 【详解】由，可得， 两式相减，可得， 又由且，可得， 所以数列是首项为，公差为4的等差数列， 数列是首项为，公差为4的等差数列， 即n为奇数时，，n为偶数时，， ． 故答案为：70． 14. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 等差数列的前项和为，已知，且，在数列中依次抽取第项，第项，，第项，，构成新数列．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，进而由题知，解方程并根据通项公式求解即可； （2）结合题意得，进而结合等比数列前项和公式，根据分组求和法求解即可. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，因为，且， 所以，即，解得， 所以， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 解：由题知，， 所以 16. 在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据弦长得到圆心到直线的距离，然后分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论即可； （2）根据面积公式得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 因为圆  ，所以  ， 所以圆  的圆心为  ，半径为                           设圆心  到直线  的距离为  ，则  ，所以        当直线  的斜率不存在时，  ，此时                      当直线  的斜率存在时，设直线  的斜率为  ，则  ， 所以  ，所以  ，所以  ，即  ， 综上可知：直线  的方程为  或   【小问2详解】  的面积  ，                   由  的性质可知  ，        所以  ，                        当且仅当  时，即  时等号成立， 所以  的面积的最大值是   17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证. 【答案】（1）； （2）依题意，得， 则，， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用求通项公式，注意检验是否成立； （2）由（1）表示数列的通项公式，再由裂项相消法求其前项和，即可证明. 【详解】（1）由题意，当 时，，解得； 当时，由，， 两式相减，得，解得. 又时，， 故数列的通项公式为. （2）略 【点睛】本题主要考查数列中利用求通项公式，以及裂项相消法求数列前项和及其应用，着重考查推理与运算能力，属于中档题. 18. 已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到点F(－1，0)的距离为d2，且． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA＋∠OFB＝180º． （ⅰ）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程； （ⅱ）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）＋ y2＝1（2）（ⅰ）y＝x＋1（ⅱ）(－2，0) 【解析】 【详解】（1）设P(x，y)，则d1＝|x＋2|，d2＝， 化简得：＋y2＝1， ∴椭圆C的方程为：＋y2＝1 （2）（ⅰ）由（1）知A(0，1)，又F(－1，0)，∴kAF＝1， ∵∠OFA＋∠OFB＝180º，∴kBF＝－1， ∴直线BF方程为：y＝－1(x＋1)＝－x－1 代入＋y2＝1得：3x2＋4x＝0， 解得x＝0或x＝－， ∴B(－，)，kAB＝ ∴直线AB的方程为：y＝x＋1 （ⅱ）由于∠OFA＋∠OFB＝180º，所以kAF＋kBF＝0 设直线AB方程为：y＝kx＋b，代入＋y2＝1 得：(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 则x1＋x2＝－，x1x2＝ 所以，kAF＋kBF＝＝0 所以，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b ＝2k×－(k＋b)×＋2b＝0 ∴b－2k＝0， 所以直线AB方程为：y＝k(x＋2) 所以直线l总经过定点M(－2，0) 19. 在数列中，已知，设为的前n项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）求； （3）是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为，所以. 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为－2的等差数列. （2） （3）1，2，3 【解析】 【分析】(1)根据，得.可证是首项为1，公差为－2的等差数列； (2)由(1)得，得所以，得，运用错位相减法可求得； (3) 假设存在正整数，使成等差数列，则，即，由于当时，，可得数列单调递减．再，所以且q至少为2，所以，.讨论①当时，②当时，，可得值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，所以， 所以， 所以， 两式相减得， 所以. 【小问3详解】 假设存在正整数，使成等差数列，则，即， 由于当时，，所以数列单调递减． 又，所以且q至少为2，所以. . ①当时，，又， 所以，等式不成立． ②当时，， 所以，所以，所以单调递减，解唯一确定)． 综上可知，的值为. 【点睛】本题考查由递推式构造数列为等差数列，运用错位相减法求数列的和，是否存在数列中的项满足某些关系，解决的关键在于熟练掌握其基本方法，假设存在讨论数列的项所满足的关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二年级12月学情检测 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，若，则的值为（　　） A. B. 3 C. -1 D. 3或-1 2. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 圆：和圆：的公共弦AB的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x2﹣＝1的离心率是（　　） A. 或 B. C. D. 或 6. 两等差数列和的前项和分别是,已知,则 A. 7 B. C. D. 7. 双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 8. 已知数列的各项均为正数，且．若的前项之积为，则满足的正整数的最大值为（　　） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为 C. D. 10. 数列的前项和为，则下列命题正确的是（　　） A. B. C. 数列的最小项为 D. 数列为等比数列 11. 已知P(x，y)为曲线上一动点，则（ ） A. 若z＝x－y，则z的最大值为1 B. 存在一个定点和一条定直线，使得点P到该定点的距离等于点P到该定直线的距离 C. P到直线y＝－x－2的距离的最小值为 D. 的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为___________. 13. 已知数列满足，则数列的前9项和___________． 14. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 等差数列的前项和为，已知，且，在数列中依次抽取第项，第项，，第项，，构成新数列．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和． 16. 在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆交于两点． （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最大值． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证. 18. 已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x＝－2的距离为d1，到点F(－1，0)的距离为d2，且． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B(A，B都在x轴上方)，且∠OFA＋∠OFB＝180º． （ⅰ）当A为椭圆C与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程； （ⅱ）是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 在数列中，已知，设为的前n项和． （1）求证：数列是等差数列； （2）求； （3）是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $