4.5 等腰三角形 随堂练习-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版 湖南专版）

4.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.一个等腰三角形的底角为70°，则它的顶角为 A.100° B.140° C.50° D.40° 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD=BD,则∠DBC的度数是 ) A.18° B.24° C.36° D.48° (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，BD=4,AD=10,则△ABC的 面积为 4.如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上.若∠1=50°，则∠2的度数为 5.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，连接AD.若∠B=50°，求∠CAD的度数， 6.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD=AB,连接BD,BD=DC,DE为边BC上 的高.若∠ABD=50°，求∠BDE的度数. ·34· 第2课时等腰三角形的判定 1.在△ABC中，下列能判定△ABC是等腰三角形的是 A.∠A=30°，∠B=60° B.∠A=70°，∠B=50° C.∠A=40°，∠B=70° D.∠A=60°，∠B=80° 2.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB.若OD=3,则CD的长为 A.3 B.4 C.1.5 D.2 D B B D D (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分∠BAC.若AB=5,BC=6,则BD的长为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，D是AC上一点，连接BD,∠DBC=60°， BD=4,则AD长是· 5.如图，已知B,D,E,C四点在同一直线上，且AD=AE,∠1=∠2.求证：△ABC是等腰 三角形 6.如图，在△ABC中，AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.求证：OB=OC. ·35· 第3课时等边三角形的性质和判定 1.如图，△ABC为等边三角形，则∠1的度数为 ) A.60° B.90° C.120° D.150° B B D (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第5题图) 2.如图，△ABC为等边三角形，BD∥AC,则∠CBD的度数为 A.30° B.60 C.120° D.180° 3.如图，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是等边三角形的是 ( A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD 4.在△ABC中，AB=AC=8,∠A=60°，则BC的长为· 5.如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC的中线，E为边AC上一点，且AE=AD,则 ∠ADE的度数为 6.如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB,分别交AO,BO的延长线于点C,D.求证： △OCD是等边三角形. 7.如图，在等边三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且AD=BE=CF. 求证：△ADF≌△BED. ·36·以△DEB2△ABC(边角边)， 4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 1.C2.A3.D 4.证明：因为AC是∠BAE的平分线，所以∠BAC=∠DAE.在△BAC和△DAE中， ∠BAC=∠DAE, ∠C=∠E, 所以△BAC≌△DAE(角角边).所以BC=DE. AB=AD, 5.证明：因为BC⊥AC,DE⊥AC,所以∠BCA=∠AED=90°.所以∠B+∠BAC=90, 因为∠BAD=90°，所以∠BAC+∠EAD=90°.所以∠B=∠EAD.在△BAC和△ADE (∠BCA=∠AED, 中，BC=AE, 所以△BAC≌△ADE(角边角). C∠B=∠EAD, 4.3.4全等三角形的判定定理（边边边） 1.A2.C3.稳定性4.甲和乙5.25 6.(1)证明：因为AD=CF,所以AD+CD=CF+CD,即AC=DF.在△ABC和△DEF (AB=DE, 中，BC=EF,所以△ABC≌△DEF(边边边).(2)解：由(1)知△ABC≌△DEF,所以 LAC-DF, ∠ACB=∠F.因为∠A=55°，∠B=88°，所以∠ACB=180°-（∠A+∠B)=37°.所以 ∠F=37° 4.3.5全等三角形的应用 1.A2.53.8 ∠AMB=∠DMC, 4.解：在△ABM和△DCM中，∠ABM=∠DCM,所以△ABM≌△DCM(角角边).所 AB-DC, 以CM=BM=6m,AM=DM=8m.所以AC=AM一CM=2m.答：梯子下滑的高度是 2m. 5.解：合适.理由如下：因为E是线段BC的中点，所以BE=CE.因为AB∥CD,所以 (AB=CD, ∠B=∠C.在△AEB和△DEC中，∠B=∠C,所以△AEB≌△DEC(边角边).所以 BE=CE, AE-DE. 4.4尺规作图 第1课时利用尺规作图作三角形(1)、角 1.B2.边角边 3.解：如图，△ABC即为所求 B A十十十 第2课时利用尺规作图作三角形(2)、平行线 1.C 2.解：(1)如图所示.(2)CD∥BA(3)全等角边角 D 4.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.D2.C3.404.85° 5.解：因为D是BC的中点，AB=AC,所以AD⊥BC,AD平分∠BAC.所以∠ADB= -49 90°，∠BAD=∠CAD.所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=40°.所以∠CAD=40°. 6.解：因为AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=50°.所以∠BDC=180°-∠ADB=130°. 因为BD=DC,DE为边BC的高，所以DE平分∠BDC所以∠BDE=?∠BDC=65. 第2课时等腰三角形的判定 1.C2.A3.A4.4 5.证明：因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED.因为∠ADE=∠1十∠B,∠AED=∠2 十∠C,∠1=∠2，所以∠B=∠C.所以△ABC是等腰三角形. 6.证明：因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BP,CQ是△ABC两腰上的高，所 以∠BPC=∠BQC=90°.所以∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC.所以 ∠OBC=∠OCB.所以OB=OC. 第3课时等边三角形的性质和判定 1.C2.C3.C4.85.75 6.证明：因为△ABO是等边三角形，所以∠A=∠B=∠AOB=60°.因为CD∥AB,所 以∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°，又因为∠COD=∠AOB=60°，所以∠C=∠D= ∠COD.所以△OCD是等边三角形. 7.证明：因为△ABC是等边三角形，所以AC=AB,∠A=∠B=60°.因为AD=CF,所 (AD=BE, 以BD=AF.在△ADF和△BED中，∠A=∠B,所以△ADF≌△BED(边角边). AF=BD, 4.6线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 1.B2.A3.24.3 5.证明：因为∠C=90°，∠A=30°，所以∠ABC=180°-∠C-∠A=60°.因为BE平分 ∠ABC,所以∠ABE=号∠ABC=30°，所以∠A=∠ABE.所以EA=EB.所以点E在 线段AB的垂直平分线上， 6.解：1)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=(180°-∠A)=70.因为DE是AB的 垂直平分线，所以AD=BD.所以∠DBE=∠A=40°.所以∠DBC=∠ABC一∠DBE =30°，(2)因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD.所以△BDC的周长为BD十 CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC=9+5=14. 第2课时作线段的垂直平分线 1.C2.B3.74.14 5.解：如图，△ABC即为所求. E (第5题图) (第6题图) 6.(1)解：如图，AE即为所求.(2)证明：因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠DAE.在 (AB-AD, △BAE和△DAE中，∠BAE=∠DAE,所以△BAE≌△DAE(边角边).所以DE=BE. AE=AE, 第5章直角三角形 5.1直角三角形的性质定理 第1课时直角三角形的性质和判定 1.D2.D3.C4.直角三角形5.20° 6.解：(1)因为AB=AD,F是BD的中点，所以AF⊥BD,∠DAF=∠BAF=20°.所以 50— ∠AFD=90°.所以∠ADB=90°-∠DAF=70°.(2)在Rt△ACF中，因为∠AFC=90°， E是AC的中点，所以EF=言AC=3 第2课时含30°角的直角三角形的性质及其应用 1.D2.C3.94.3 5.解：因为AD⊥AB,所以∠BAD=90°.因为DE垂直平分AC,所以AD=CD=2.因 为BD=BC-CD=4,所以BD=2AD.所以∠B=30°. 6.解：因为∠C=90°，∠B=30°，所以∠CAB=90°-∠B=60°.因为AD是∠CAB的平 分线，所以∠CAD=∠BAD-=号∠CAB=30=∠B.所以AD=BD,AD=2CD.所以 BC=CD+BD=3CD=6cm.所以CD=2cm. 5.2勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理 1.B2.A3.C4.√65.7.2 6.解：因为∠C=90°，所以a2+6=c2.(1)因为a=16,b=12,所以c=√a2+6=20. (2)因为c=41,b=9,所以a=√c2-b6=40. 7.解：因为△ABC是等边三角形，所以BC=AB=2cm.因为AD是△ABC的高，所以 ∠ADB=90,BD-合BC=1cm在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD=√AB-BD =√Bcm所以SaAc=2BC·AD=V3cm. 第2课时勾股定理的应用 1.C2.B3.A4.105 5.解：(1)根据题意，得AB⊥BC,AB=5m,AC=13m.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=√AC-AB=12m.(2)12÷1=12m/s=43.2km/h<60km/h,所以这辆小汽 车未超速. 第3课时勾股定理的逆定理 1.B2.B3.96 4.解：由题意，得AB2=22+12=5,AC=42+22=20,BC2=52=25,所以AB2+AC= BC.所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， 5.(1)证明：由题意，得AC=3km,CD=4km,AD=5km,所以AC+CD=AD2.所以 △ACD是直角三角形，且∠C=90°.(2)解：因为CD=4km,BD=2km,所以BC=CD +BD=6km.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC=3√5km.所以石子 路AB的长为3√5km. 5.3直角三角形全等的判定 1.D2.A3.2 4.解：如图，Rt△ABC即为所求 A b -N B 三.①D证明在R△ABD和R△CBD中BA_C,所以R△ABD≌R△CBDC斜边、 直角边).(2)解：因为Rt△ABD≌Rt△CBD,∠ABC=70°，所以∠ABD=∠CBD= 号∠ABC=35.所以∠BDC=90-∠CBD=5 5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质与判定 1.C2.33.65 4.证明：过点D作DELAB于点E,因为AB=6,SAD=合AB,DE=6,所以DE= 2.因为CD=2,所以CD=DE.因为∠C=90°，所以CD⊥AC.所以AD平分∠BAC. —51