4.5.3等边三角形的性质和判定（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质（三边相等、三角60°、三线合一等）与判定（三边相等、三角相等、等腰+60°），通过类比等腰三角形内角关系引入，推导性质定理，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于题型分层（选择、填空、解答）且融入中考题与情境应用（如衣架设计），通过推理证明（例2用平行线证等边三角形）培养数学思维，知识表格对比等腰与等边三角形强化数学语言表达，助力学生夯实基础提升推理能力，教师可高效教学贴合课标要求。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.5.3等边三角形的性质和判定 2026年8月8日 4.5.3 等边三角形的性质和判定 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册4.5.3核心知识点，聚焦等边三角形的定义、性质、三大判定方法，区分等腰三角形与等边三角形的关联与区别，涵盖概念辨析、角度计算、边长求值、几何证明、综合应用题，题型由浅入深，贴合课本重难点、课堂训练及单元检测要求，夯实特殊三角形几何解题基础。 一、核心知识梳理 1. 等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），是特殊的等腰三角形。 2. 等边三角形的性质（必考） ① 三边全部相等； ② 三个内角相等，且都等于60°； ③ 具备等腰三角形所有性质：三线合一、轴对称图形（有3条对称轴）； ④ 三条边上的中线、高、角平分线全部对应相等。 3. 等边三角形的三大判定定理 ① 定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形； ② 角判定：三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 边角判定（最常用）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 4. 核心易错点 ① 有两个角是60°的三角形一定是等边三角形； ② 普通等腰三角形只有1条对称轴，等边三角形有3条； ③ 判定关键：等腰+60°=等边三角形（万能判定公式）。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 等边三角形的每一个内角的度数是（） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 下列关于等边三角形的说法错误的是（） A. 三边相等 B. 三个角都是60° C. 只有1条对称轴 D. 是特殊的等腰三角形 3. 能判定一个三角形为等边三角形的条件是（） A. 一个角是60°的三角形 B. 两个角是锐角的三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形 D. 两边相等的三角形 4. 已知△ABC中，AB=AC，∠A=60°，则△ABC的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 5. 等边三角形的对称轴条数为（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 等边三角形的三个内角都相等，且都等于________°。 7. 判定口诀：有一个角为60°的________三角形是等边三角形。 8. 三边相等的三角形是________三角形。 9. 等边三角形每条边上的高、中线、角平分线________（填“重合”或“不重合”）。 10. 三个角都相等的三角形一定是________三角形。 四、解答题（共60分） 11. 基础计算题（每题10分，共30分） （1）已知△ABC是等边三角形，求它的三个内角的度数。 （2）等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，求证：△ABC是等边三角形。 （3）一个三角形三边长分别为5、5、5，判断该三角形的形状。 12. 基础证明题（15分） 已知：△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，∠BAD=30°，求证：AD是△ABC的中线和高。 13. 综合证明题（15分） 已知：AB=AC，∠A=60°，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC。求证：△ADE是等边三角形。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：等边三角形三内角均为60°。 2. C 解析：等边三角形有3条对称轴，等腰三角形仅有1条。 3. C 解析：单独一个60°角无法判定，等腰+60°可直接判定等边三角形。 4. C 解析：AB=AC为等腰三角形，顶角60°，满足等边三角形判定条件。 5. C 解析：等边三角形三条对称轴，分别为三条边上的三线合一所在直线。 二、填空题 6. 60 7. 等腰 8. 等边 9. 重合 10. 等边 三、解答题 11.（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°。 （2）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=180°−60°−60°=60°，三个角均为60°，故△ABC是等边三角形。 （3）解：三角形三边长度相等，根据定义可直接判定为等边三角形。 12. 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC。∵∠BAD=30°，∴AD平分∠BAC。根据等边三角形三线合一性质，可得AD既是BC边上的中线，也是BC边上的高。 13. 证明：∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∠B=∠C=60°。∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°。∴∠A=∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE是等边三角形。 核心知识点总结：等边三角形是特殊的等腰三角形，兼具所有等腰三角形性质。核心解题公式：等腰三角形+60°角=等边三角形。三大判定方法灵活选用，角度计算固定60°，几何证明常结合平行线、三线合一性质综合考查，是特殊三角形模块的必考重点。 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB = AC ∠B =∠C 等边三角形 AB = AC = BC AB = AC ∠B =∠C AC = BC ∠A =∠B 1 等边三角形的性质 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角等于 60°. A B C 推理证明 如图，△ABC 是等边三角形，则 AB = AC = BC. 由于 AB＝AC，则根据等腰三角形的性质定理得， ∠B＝∠C. 同理，由于AC＝BC，因此∠A＝∠B， 从而∠A＝∠B＝∠C. 根据三角形内角和定理得， ∠A+∠B+∠C＝180°， 因此∠A＝∠B＝∠C＝60°. 知识点1 等边三角形的性质 （第1题） 1.如图，是等边三角形，点在边 上， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 4 （第2题） 2.如图，在等边三角形中，于点 ， ，则 的长为( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 返回 举一反三 5 A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边上的高、 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 图形 等腰三角形 性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 3 条对称轴 等边三角形 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 且都是 60° 两条边相等 三条边都相等 知识要点 三个角都相等， 例1 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵ BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°. ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. A B C D E 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质等知识求解. 方法总结 （第3题） 3.［2024泰安中考］如图，直线 ，等边三角形 的两个顶点，分别落在直线， 上，若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 4.［2024宜宾中考］如图，点， 分别是等边三角形 的边，上的点，且，与 交 于点.求证： . 证明：因为 是等边三角形， 所以， . 又因为，所以 （边角边）， 所以 . 返回 举一反三 11 2 等边三角形的判定 说一说 由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？ 逆命题成立. 如图，在△ABC 中，由于∠A =∠B，则 AC = BC. 同理可由∠B =∠C 得 AB = AC. 于是AB = AC = BC. 因此△ABC 是等边三角形. A B C 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 知识要点 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形吗? 思考 如图，在△ABC 中，AB＝AC. 情形1 设∠A＝60°. 根据三角形内角和定理得 ∠B+∠C＝180°－∠A=180°－60°＝120°. 由于AB＝AC，因此∠B＝∠C＝60° 于是△ABC 是等边三角形. 情形2 设∠B＝60°. 由于AB＝AC，因此∠C＝∠B＝60°， 从而∠A＝180°－∠B－∠C=180°－60°－60°＝60° 因此△ABC 是等边三角形. A B C 情形3 设∠C＝60°. 与情形2 类似， 同理可证△ABC 是等边三角形. A B C 等边三角形的判定定理2： 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 知识点2 等边三角形的判定定理1 5.若一个三角形的三个内角的度数之比为 ，则这个三角形的形状 一定是( ) A A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 返回 举一反三 17 6.将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置 ， 已知 ，点，对应的刻度分别为，，则线段 的长为______. 返回 举一反三 18 例3 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ 为等边三角形．证明如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS). ∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ 是等边三角形. B C Q A P 7.［2025长沙期中］如图，四边形中， ， 平分， .求证： 是等边三角形. 证明：因为， ，所以 ， 因为平分 ， 所以 ，所以 ， 所以，所以 是等边三角形. 返回 举一反三 20 知识点3 等边三角形的判定定理2 8.［2025株洲期末］在中，, ，则 ______. 返回 举一反三 21 9. 小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣 服后松开即可.如图①，衣架杆 .衣架收拢时，如图 ②， ，则此时， 两点之间的距离是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 22 10.如图，已知为上一点，，，垂足分别为点， ， 且，， ，求证： 是等边三角形. 举一反三 23 证明：因为， ， 所以 . 在和中， 所以，所以，所以 . 因为 ，所以 ， 所以 是等边三角形. 返回 举一反三 24 等边 三角形 定义 底 = 腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于 60° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边法 三角法 等腰三角形+60°角 课堂小结 谢谢观看 THANKS $