4.5.2等腰三角形的判定（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形判定，核心为“等角对等边”。通过海上救生船情境、画图测量探究活动导入，衔接等腰三角形性质（等边对等角），构建性质与判定的逻辑对比，形成知识支架帮助学生理解。 其亮点在于以情境化问题（如救生船救援）培养数学眼光，通过折叠推理证明发展数学思维，结合生活应用（平板保护套）和中考题实现分层训练。课堂小结明确判定方法，助力学生掌握逻辑推理，教师可直接用于课堂教学与检测。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第4章 三角形 4.5.2等腰三角形的判定 2026年8月8日 4.5.2 等腰三角形的判定 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册4.5.2等腰三角形的判定核心知识点，围绕等腰三角形判定定理、性质与判定的区别、几何证明、角度推导、综合应用展开，题型由基础辨析到综合证明层层递进，贴合课本重难点、课堂训练及单元检测要求，帮助学生熟练掌握“等角对等边”的核心判定方法，区分性质与判定的逻辑关系。 一、核心知识梳理 1. 判定定理（核心考点）：等角对等边。在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。 2. 几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AC=AB，△ABC为等腰三角形。 3. 性质与判定的区别（必考易错点） 性质：由边相等→角相等（等边对等角）； 判定：由角相等→边相等（等角对等边）。 4. 常用辅助判定思路：通过平行线性质、三角形内角和、外角性质推导两角相等，进而证明三角形为等腰三角形。 5. 拓展结论：三角形的外角平分线平行于一边，则该三角形为等腰三角形。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的判定定理是（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三线合一 D. 轴对称图形 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，则△ABC是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 3. 下列说法正确的是（） A. 有一个角相等的三角形是等腰三角形 B. 等角对等边是等腰三角形的性质 C. 等边对等角是等腰三角形的性质 D. 两边相等的三角形不是等腰三角形 4. 已知△ABC中，∠A=40°，∠C=70°，则相等的边是（） A. AB=BC B. AC=BC C. AB=AC D. 三边都相等 5. 不能判定三角形是等腰三角形的条件是（） A. 两个内角相等 B. 两边长度相等 C. 三个内角都相等 D. 一个角为60° 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 等腰三角形的判定口诀：________。 7. 在△ABC中，若∠A=∠B，则________=________，△ABC是等腰三角形。 8. 性质是边等推角等，判定是________推________。 9. 三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形是________三角形。 10. 在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则△ABC是________三角形。 四、解答题（共60分） 11. 基础判定计算题（每题10分，共30分） （1）在△ABC中，∠A=30°，∠B=120°，判断△ABC的形状。 （2）已知△ABC中，∠A=70°，∠B=40°，求证：AB=AC。 （3）一个三角形三个内角的度数之比为2:2:5，判断该三角形是否为等腰三角形。 12. 基础证明题（15分） 已知：如图，AB∥CD，CA平分∠BCD。求证：△ABC是等腰三角形。 13. 综合应用题（15分） 已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AD∥EC，求证：△ACE是等腰三角形。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：等腰三角形判定定理为等角对等边，等边对等角是性质定理。 2. B 解析：∠C=180°−50°−65°=65°，∠B=∠C，根据等角对等边，三角形为等腰三角形。 3. C 解析：等边对等角是等腰三角形性质，等角对等边是判定，两角相等才可判定等腰三角形。 4. B 解析：∠B=180°−40°−70°=70°，∠B=∠C，∴AC=BC。 5. D 解析：仅一个角为60°，无法判定两角相等或两边相等，不能判定等腰三角形。 二、填空题 6. 等角对等边 7. BC；AC 8. 角等；边等 9. 等腰 10. 等腰直角 三、解答题 11.（1）解：∠C=180°−30°−120°=30°，∠A=∠C，∴AB=BC，△ABC是等腰三角形。 （2）证明：∠C=180°−70°−40°=70°，∴∠A=∠C，根据等角对等边，可得AB=AC。 （3）解：设三个角为2x、2x、5x，2x+2x+5x=180°，解得x=20°，三个角为40°、40°、100°，有两个角相等，是等腰三角形。 12. 证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠DCA。∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，△ABC是等腰三角形。 13. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵AD∥EC，∴∠BAD=∠AEC，∠CAD=∠ACE。∴∠AEC=∠ACE，∴AC=AE，△ACE是等腰三角形。 核心知识点总结：本节核心为等角对等边判定定理，务必区分性质与判定的逻辑方向。解题常用思路：利用平行线、角平分线、三角形内角和、外角定理推导两角相等，进而判定等腰三角形。这是几何证明中线段相等转化的重要方法，是后续几何综合题的基础。 A B C 如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 等腰三角形的判定 1 探究：任意画∠EBC，在线段 BC 的同侧，以 C 为顶点作∠FCB，使∠FCB =∠EBC，BE 与 CF 交于点A，得到△ABC，如图所示. 用圆规量一量 AB 和 AC，它们相等吗？由此，你能发现什么? A F E C B 猜想：可以发现 AB = AC，从而△ABC 是等腰三角形. 以过点 A 的一条直线为折痕对折，使得射线 AC 与射线 AB 重合，折痕与 BC 的交点记作 D，则 AD 为∠BAC 的平分线. A B C D 推理证明 如图，在∠ABC 中，∠B =∠C， 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD， 所以△ABD≌△ACD (角角边). 从而 AB = AC，因此△ABC 是等腰三角形 所以 AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. 因为∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简称“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 知识要点 A B C D 2 1 因为∠1 =∠2， 所以 BD = DC (等角对等边). 因为∠1 =∠2， 所以 DC = BC A B C D 2 1 (等角对等边). 错，因为两角都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图，下列推理正确吗? 知识点 等角对等边 1. 将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意 图如图所示，若，，则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.下列三角形中，不是等腰三角形的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 8 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC. 求证：△ADE 为等腰三角形. 证明：因为 AB = AC， 所以∠B =∠C (等边对等角). 又因为 DE∥BC， 所以∠ADE =∠B，∠AED =∠C. 因此∠ADE =∠AED. 于是△ADE 为等腰三角形(等角对等边). 典例精析 证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB =∠DBC. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD =∠DBC. ∴∠ABD =∠ADB， ∴ AB = AD. 例2 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC. 求证：AB = AD. B A D C 总结：角平分线 + 平行线，可得等腰三角形. 例3 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC. 分析 要证明 AB = AC，可先证明∠B =∠C. 因为∠1 =∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2 的关系. A B C D E 1 2 证明：因为 AD∥BC， 所以∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等). 又因为∠1 =∠2， 所以∠B =∠C. 因此 AB = AC (等角对等边). A B C D E 1 2 （第3题） 3.［2025长沙月考］如图，已知平分 ， ，若，则 的长为( ) A A.4 B.5 C.3 D.2 返回 举一反三 13 （第4题） 4.［教材例3变式］如图，是 的外角， ，.求证 .以下是打乱的证明过 程：①又因为，②所以 ，③因为 ，④所以，，⑤所以 . 证明步骤正确的顺序是( ) B A.③②①④⑤ B.③④①②⑤ C.①②④③⑤ D.①④③②⑤ 返回 举一反三 14 例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O. 过 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F. 探究 EF、BE、CF 之间的关系. 解：EF = BE + CF. 理由如下：∵ EF∥BC， ∴∠EOB =∠CBO，∠FOC =∠BCO. ∵ BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO， ∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴ EF＝OE + OF＝BE + CF. A B C O E F 若 AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 5.如图，， ，下列等式不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 16 6.［2024重庆中考］如图，在 中， ， ，平分交 于 点.若，则 的长度为___. 2 返回 举一反三 17 7.如图，在中，，过上一点作的垂线，交 的 延长线于点，交于点，试判断 的形状，并证明你的结论. 举一反三 18 解： 是等腰三角形.证明如下： 因为，所以 . 所以 , . 因为,所以，所以 . 又因为,所以 . 所以,所以 为等腰三角形. 返回 举一反三 19 8.［2025岳阳期中］如图， ， ， 则图中的等腰三角形有( ) D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 返回 举一反三 20 9.［2024常州中考］如图，，，，是直线 上的四点，，相交于点， ， ， . （1）求证： 是等腰三角形； 证明：在和中， 所以，所以，所以 ，所以 是等腰三角形. （2）连接，则与 的位置关系是______. 平行 返回 举一反三 21 10. 探索并完成相应的任务. 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 项目情境与 背景 如图①，小明站在凉亭点处，正对他的点（ 与堤岸 垂直）停有一艘游艇，他想测量凉亭与这艘游艇之间的距 离，可使用工具如下：测量角度的仪器，标杆，卷尺. ________________________________________________ 举一反三 22 课题 测量凉亭与游艇之间的距离 素材 测量 方案 如图②，小明从凉亭点向西（平行于堤岸）走到 点，此 时恰好测得 . ___________________________________________________ 任务一 理解测量方案 小明认为要知道 的距离，只需要测量____的长度. 续表 举一反三 23 任务二 设计测量方案 结合已学知识，设计一种与小明不同的测量距离 的方案（仅限以上工具），请写出测量方案，并画出示意图. 解：（答案不唯一）找到堤岸与的交点，从点 出发，沿堤岸向西 走到点，此时恰好测得 ，要知道 的距离，只需要测 量出与 的长度即可，如图. 返回 举一反三 24 等腰(边)三角形的判定 等腰三角形的判定 等角对等边 (注意是指同一个三角形中) 等边三角形的判定 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 课堂小结 谢谢观看 THANKS $