精品解析：北京市平谷区第五中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024北京平谷五中初二（上）期中 数 学 一、选择题（共10道小题，每小题2分，共20分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， ∴． 故选：B． 2. 49的平方根为（ ） A. 7 B. －7 C. ±7 D. ± 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵=49，则49的平方根为±7． 故选：C． 3. 下列各数中，，，，，，，无理数的个数有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义以及求一个数的算术平方根，根据无理数的定义：无理数为无限不循环小数，逐个判断即可． 【详解】解：是无理数； 是有限小数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，是整数，是有理数； 是无理数； 是无限循环小数，是有理数． 综上，无理数的个数有个． 故选：B． 4. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段BC D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据三角形的高的定义即可得到答案． 【详解】解：由图可知： 在中，边上的高线是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键 5. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．本题考查的是分式的值为0的条件，若分式的值为0，需同时具备两个条件：分子为0且分母不为0，这两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：B． 6. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 13 B. 6 C. 7 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，先根据全等三角形的对应边相等得出，，再由，将数值代入计算即可求解． 【详解】解：，，， ，， ∴． 故选：D． 7. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简和同类二次根式的定义，根据最简二次根式与同类二次根式的定义求解． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B. 与是同类二次根式，故该选项符合题意； C. 与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； D. 与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，数轴上A，B，C，D四点中，与对应的点距离最近的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】先估算出的范围，结合数轴可得答案． 【详解】∵＜＜，即1＜＜2， ∴由数轴知，与对应的点距离最近的是点D， 故选：D． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 9. 若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m＜8 C. 2＜m＜8 D. 2≤m≤8 【答案】C 【解析】 【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】第三边m的取值范围是5-3＜m＜5+3，即2＜m＜8． 故选C． 【点睛】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 10. 当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值，数字的变化规律，通过计算发现当时与当时所得的代数式的值和为是解题的关键． 根据当时，，当时，，可得，求和即可． 详解】解：当时，， 当时，， ， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时所求的代数式的值为， 这些分式的值的和等于， 故选：D． 二、填空题（共10道小题，每小题2分，共20分） 11. 若有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：要使有意义，则被开方数， 解得． 故答案为： ． 12. 若，则=___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，负整数指数幂；根据非负数的性质，根式和绝对值均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：因为，，且， 所以且． 解得，． 因此． 故答案为． 13. 已知如图，，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 14. 对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】将4和8替换定义中的a和b即可计算． 【详解】由题意得： ==2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可． 15. 7的算术平方根是__________．的倒数是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的性质，倒数的定义及分母有理化，根据算术平方根的定义，正数7的算术平方根是平方等于7的非负数；根据倒数的定义，的倒数是与乘积为1的数，需进行分母有理化． 【详解】解：7的算术平方根是，的倒数是； 故答案为：，． 16. 计算：___________． ___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算；根据二次根式的性质以及二次根式的乘法法则进行计算即可求解． 【详解】解： ， ， 故答案为：，． 17. 比较大小：（1） ______；实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则 =___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】此题考查了实数的大小比较，二次根式的性质与化简，以及实数与数轴， （1）比较两数的平方，即可求解； （2）根据数轴上点的位置判断出，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：（1），， ∴， 故答案为：． （2）根据数轴可得， ∴， 故答案为：． 18. 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是______． 【答案】 ①. ②， ②. ASA 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，选出一块符合三角形全等的即可. 【详解】解：观察可知，只有②有完整的两个角与一条边，可以根据“角边角”配出一块全等的三角形， 故是带②去，全等的依据是ASA． 故答案为：②；ASA 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 19. 如图，已知AC与BD交于点E，且，请你再添加一个边或角的条件使，添加的条件是：________．（添加一个即可）依据是_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，本题已知条件是一条公共边BC=BC和AB=CD，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出、，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等． 【详解】解：已知条件是一条公共边和， 添加或后可分别根据、判定． 故答案为：， 20. 一组数按如下规律排列： a 照此规律，回答下列问题： （1）_____________． （2）如果记作有序数对， 记作有序数对，则 记作有序数对_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，数字类规律，有序数对表示位置，找到规律是解题的关键． （1）根据被开方数为，即可求解； （2）是第个数，进而得出位置，再用有序数对表示，即可求解． 【详解】解：（1）观察数据，被开方数为，， 故答案为：． （2） 是第个数， ∵ ∴第个数是第行第个数， ∴ 记作有序数对 故答案为：． 三、解答题（本题共12道小题， 21、22题每小题4分, 23—30题每小题5分, 31、32题每小题6分,共60分） 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算顺序进行计算即可得到答案． 【详解】解： 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则计算即可求解． 详解】 = = =. 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 23. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，零指数幂，求一个数的立方根；先根据二次根式的性质，零指数幂，化简绝对值，求立方根，再根据实数的混合运算进行计算即可求解． 详解】解： ． 24. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 25. 已知：如图，在中，，点是的中点，连接． （1）按要求补全图形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据题意画出图形，即可求解； （2）根据线段中点的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 26. 已知：如图，是的角平分线，点是上一点，点是上一点，且，连接，． （1）按要求补全图形； （2）请你猜想和的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意补全图形，即可； （2）根据角平分线的定义和已知条件，易证，再根据全等三角形的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求， 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵是的角平分线 ∴ 在中， ∴， ∴． 27. 如图，点，，，在一条直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据证明即可．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 28. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的运算法则将原式化简，再由得，整体代入进行求值． 【详解】解：∵， ∴， ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则． 29. 解分式方程： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验即可，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ． ∴． 解得， 经检验是原方程的解， ∴原分式方程的解为． 30. 列分式方程解应用题： 截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲､乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲､乙两种树苗每棵的价格． 【答案】甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． 【解析】 【分析】设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同列方程解答． 【详解】解：设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是元． 依题意有， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意．． 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． 【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键． 31. 【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明的做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． （1）补全小明的证明过程． （2）请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； 【小问1详解】 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴． 32. 我们规定正数的正分数指数幂的意义（a>0，m，n是正整数，且n.>1）如．于是，在条件a>0，m，n是正整数，且n.>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 ，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用．根据上述定义，解答下面的问题： (1)求值：=____， _____=； (2)计算：_____； (3)用分数指数幂的形式表： (4)，求的值. 【答案】（1）8；；（2）1；（3）；（4）23. 【解析】 【分析】本题是典型的指数幂的概念问题,由题意知,正数的分数指数幂是有意义的,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义,然后利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】(1)8； (2)1 (3) （4） 【点睛】本题主要是对于分数指数幂的概念的理解,注意指数幂的运算法则,做题时要熟记这些法则,为了避免出错化简时可以一步步的做,尤其对于初学者化简时更不易直接解答,本体虽简单,但很容易出错. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024北京平谷五中初二（上）期中 数 学 一、选择题（共10道小题，每小题2分，共20分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 49的平方根为（ ） A. 7 B. －7 C. ±7 D. ± 3. 下列各数中，，，，，，，无理数的个数有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段BC D. 线段 5. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 0 6. 如图，，若，，则的长为（　　） A. 13 B. 6 C. 7 D. 20 7. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上A，B，C，D四点中，与对应点距离最近的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 9. 若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m＜8 C. 2＜m＜8 D. 2≤m≤8 10. 当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（共10道小题，每小题2分，共20分） 11. 若有意义，则的取值范围是___________． 12. 若，则=___________． 13. 已知如图，，，则度数为___________． 14. 对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得_____________ ． 15. 7的算术平方根是__________．的倒数是___________． 16 计算：___________． ___________． 17. 比较大小：（1） ______；实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则 =___________． 18. 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是______． 19. 如图，已知AC与BD交于点E，且，请你再添加一个边或角的条件使，添加的条件是：________．（添加一个即可）依据是_____________． 20. 一组数按如下规律排列： a 照此规律，回答下列问题： （1）_____________． （2）如果记作有序数对， 记作有序数对，则 记作有序数对_____________． 三、解答题（本题共12道小题， 21、22题每小题4分, 23—30题每小题5分, 31、32题每小题6分,共60分） 21. 计算：． 22. 计算：． 23. 计算： 24. 计算：． 25. 已知：如图，在中，，点是的中点，连接． （1）按要求补全图形； （2）求证：． 26. 已知：如图，是的角平分线，点是上一点，点是上一点，且，连接，． （1）按要求补全图形； （2）请你猜想和的数量关系，并证明． 27. 如图，点，，，在一条直线上，，，． 求证：． 28. 已知，求代数式的值． 29. 解分式方程： ． 30. 列分式方程解应用题： 截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶贫困家庭赠送甲､乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲､乙两种树苗每棵的价格． 31. 【现场学习】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图在中，是的中线，求证：． 小明做法如下： 解：延长到点，使得，连结． ∵是的中线（已知）， ∴（三角形中线定义）， 在和中 ， ∴， ∴（ ）， ∵（三角形两边之和大于第三边）， ∴（等量代换）． （1）补全小明的证明过程． （2）请你参考小明的做法完成下题： 如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？ 32. 我们规定正数的正分数指数幂的意义（a>0，m，n是正整数，且n.>1）如．于是，在条件a>0，m，n是正整数，且n.>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 ，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用．根据上述定义，解答下面的问题： (1)求值：=____， _____=； (2)计算：_____； (3)用分数指数幂的形式表： (4)，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $