第04讲 二次根式（复习讲义，2考点6题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次根式”核心考点，覆盖概念、性质与运算三大模块，结合近三年山东中考真题分析考情，构建“知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破-分层练习”的系统复习框架，通过考点梳理、题型归类及真题训练，帮助学生突破化简求值、分母有理化等难点。 亮点在于“命题点精准分类+重难分层突破”策略，如将二次根式性质细化为非负性、化简、规律问题三类题型，配合典例精讲与变式训练，培养学生运算能力与推理意识。特设基础巩固、能力提升、全国新趋势三级练习，助力教师把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 二次根式的性质 题型01二次根式的非负性 题型02利用二次根式的性质化简 题型03 二次根式规律性问题 命题点二 二次根式的运算 题型01 同类为二次根式 题型02 二次根式化简求值 题型03 比较二次根式大小 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 复合二次根式的化简 突破二 分母有理化 06·优题精选·练能提分 24 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式的相关概念 山东德州 T11 山东烟台 T11 山东济宁T4 了解二次根式、最简二次根式的概念 二次根式的性质与化简 山东威海 T11 山东济宁 T3 山东潍坊 T1 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 二次根式的运算 山东德州 T16 山东济南T16 山东青岛T17 山东济宁 T3 山东淄博T11 山东青岛T10 山东泰安T19 山东威海T11 山东青岛T7 山东淄博T16 山东潍坊T11 山东济南T17 山东聊城T13 山东临沂T8 山东烟台T2 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 命题预测 二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。 考点一 二次根式相关概念 1、二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2、最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3、同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 1．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 2．（2025·山东·二模）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟悉掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的非负性运算求解即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， ， 把代入可得：， ， 故答案为：1． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 考点二 二次根式的性质与化简 1、二次根式的性质 2、二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 3、化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，二次根式，三角函数，零指数幂． 先计算负整数指数幂，二次根式，三角函数，零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】 ， 故答案为：． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用零次幂、二次根式的性质化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 考点三 二次根式的乘除 1、乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2、除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 1．（2025·山东德州·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，直接根据乘法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的加减法法则和二次根式的乘除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：B． 3．（2025·山东威海·一模）下列运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的减法，二次根式的乘法运算，根据算术平方根的含义可判断A，B，根据二次根式的减法可判断C，根据二次根式的乘法可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A． ，不符合题意； B． ，不符合题意； C． ，符合题意； D． ，不符合题意； 故选C． 考点四 二次根式的加减 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 1．（2025·山东淄博·三模）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 首先化简二次根式，进而进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算 ． 【答案】4 【分析】本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算．直接将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，负整数指数幂；根据负整数指数幂、二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 考点五 二次根式的混合运算 1、分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 2、分母有理化方法 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 3、二次根式的混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）计算：   【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先利用二次根式的性质化简，计算二次根式的除法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，解题关键是理解二次根式的加减乘除法则． 先化简小括号里的，再计算乘法． 【详解】解：原式= =， 故答案为：1 ． 3．（2025·山东淄博·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，根式的乘法，解题的关键是掌握平方差公式，直接利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 命题点一 二次根式的性质 ►题型01 二次根式非负性 / 【典例】（2025·山东临沂·一模）要使式子有意义，x的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中被开方数为非负数，根据二次根式有意义的条件可知被开方数为非负数，可得，解不等式即可得到x的取值范围. 【详解】解：根据题意：， 则， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东威海·一模）在函数中，的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了函数有意义的条件，二次根式的性质和分式的定义．根据二次根式中被开方数非负及分式中分母不为零的性质进行解答即可． 【详解】解：要使函数有意义， 则，， ∴且， 故答案为：且． 2．（2025·山东德州·模拟预测）当实数x 时，有意义． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，不等式的解法，由有意义，可得，进一步可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：； 故答案为： ►题型02利用二次根式的性质化简 / 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．利用二次根式的除法法则，将原式拆分为两个二次根式相减的形式，分别化简后计算得出结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东枣庄·一模）已知，则实数m的整数部分是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二根式的化简及无理数的算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质，根据题意，先化简m，得，然后再根据估算无理数的方法求出m的整数部分即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴m的整数部分为3． 故答案为：3． 2．（2025·山东威海·三模）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂，特殊角的三角形值，二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． ►题型03 二次根式规律性问题 / 1. 理解基本概念：首先确保你理解了什么是二次根式（形如√a的表达式），以及如何进行基本的加减乘除运算。 2. 识别模式：观察题目给出的一系列二次根式或其运算结果，寻找它们之间的联系或变化规律。这可能包括数值的变化趋势、系数与指数的关系等。 3. 尝试归纳总结：基于观察到的现象，尝试归纳出一般性的结论或公式。例如，如果发现某些特定条件下两个二次根式的差总是某个固定值，那么可以试图证明这一结论并推广到更广泛的情况。 4. 验证猜想：通过具体例子检验自己得出的结论是否正确。有时候看似合理的假设实际上并不成立，因此必须经过严格的逻辑推理和实践检验才能确认无误。 【典例】（2025·山东济宁·三模）将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ． 第一行           第二行       2       第三行                      …… 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出前五行共有个数，第个数为，从而可得第六行左起第1个数是第个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：前五行共有个数，第个数为， 则第六行左起第1个数是， 故答案为：． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、、、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出，，，进而得，，，，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 故选：C． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 同类二次根式 / 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义； 先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：，， 与是同类二次根式的是， 故答案为：． 【变式】1．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的判断，先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可． 【详解】解：A、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； B、与的被开方数不同，故不是同类二次根式； C、与的被开方数相同，故是同类二次根式； D、与的被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选C． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）若与最简二次根式能合并，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得． 【详解】解：∵，与最简二次根式能合并， ∴ ∴ 故答案为：3． ►题型02 二次根式化简求值 / 1. 利用二次根式的性质：熟练掌握二次根式的基本性质，根据这些性质对二次根式进行化简。 2. 运用乘法公式：平方差公式和完全平方公式在二次根式化简求值中经常用到。通过观察式子的结构特点，合理运用这些公式可以简化计算过程。 3. 因式分解：将二次根式中的被开方数进行因式分解，提取公因式或运用其他因式分解方法，使式子变得更简单，便于计算。 4. 分母有理化：如果二次根式的分母含有根号，需要通过乘以适当的有理化因式，将分母化为有理数。5. 整体思想：把某个式子看成一个整体，先求出这个整体的值，再代入原式进行计算。这种方法可以避免复杂的局部运算，简化解题过程。 【典例】（2025·山东青岛·三模）（1）解不等式组：； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键；分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）本题考查了分式的化简求值和二次根式的运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简代数式，进而代入a进行计算即可求解． 【详解】（1）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为：． （2） ， 当时，原式． 【变式】1．（2025·全国·一模）已知，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次根式的运算，分式的求值，将分式变形后，代值计算即可． 【详解】解：∵ ； ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 2．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的运算 ，二次根式的化简求值；先根据分式的运算法则再结合完全平方公式和平方差公式进行化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， ， ； 当时，原式． ►题型03 比较二次根式大小 / 1. 平方法：对于两个非负数,先将要比较大小的二次根式进行平方，然后比较平方后的结果，从而得出原二次根式的大小关系。 2. 作差法：设两个二次根式分别为 和，计算 -的值。若结果大于 0，则 >；若结果小于 0，则 <；若结果等于 0，则 =。 3. 作商法：当比较的两个二次根式都为正数时，可以将它们相除，通过判断商与 1 的大小关系来确定两个二次根式的大小。若商大于 1，则被除数大于除数；若商小于 1，则被除数小于除数；若商等于 1，则两者相等。 4. 分子有理化法：对于形如 -与 -（n 为正整数）的二次根式比较大小，可以采用分子有理化的方法。将它们的分子化为相同的形式，再根据分母的大小来判断整个式子的大小。 5. 倒数法：先求出两个二次根式的倒数，然后比较倒数的大小，再根据倒数大的原数小，倒数小的原数大这一性质来确定两个二次根式的大小关系。 6. 放缩法：通过对二次根式中的数值进行适当的放大或缩小，使其便于比较大小。 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，把两个二次根式分别平方，谁平方的结果大，则谁大，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式】1．（2025·河北邯郸·一模）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键．先平方，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 故答案为：． 2．（2025·河北唐山·二模）如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解：    ①     ②                 ③ 第2题： 解：    ①                  ②                        ③ (1)指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； (2)比较（1）问中所得结果与的大小关系． 【答案】(1)第1题第③步错误，第2题第①步错误，正确解答过程见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． （2）根据二次根式比较大小的方法解答即可． 【详解】（1）解：第1题第③步错误；第2题第①步错误； 第1题：      ；   第2题： ； （2）解：① ， ， ， ， ． ②，， ， ． 突破一 复合二次根式的化简 【典例】 ． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式对根号内的式子进行因式分解，再通过二次根式的性质进行化解即可．本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【变式】1．设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 突破二 分母有理化 【典例】计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、分母有理化、负整数次幂化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【变式】1．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（2025·山东临沂·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加法、乘法，算术平方根以及同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据二次根式的加法、乘法，同底数幂的除法运算法则，算术平方根的知识点判断即可． 【详解】解：A、与不能合并，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，写法正确，符合题意， 故选：D． 2．（2025·山东潍坊·二模）如图，点、、、在数轴上表示的数分别为、、、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的特征和应用，二次根式的性质，根据数轴上的点表示的数可知，，，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是实数的混合运算，包括根式的化简、三角函数的计算、以及负整数指数幂的处理，关键在于正确化简根式和处理指数运算． 首先化简根式，再代入三角函数值，处理负整数指数幂，最后合并结果． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：6． 4．（2025·山东聊城·二模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如： ，那么 ． 【答案】 【分析】根据定义计算即可． 本题考查了实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积． 设正方形的边长为a，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，再证得和都是等腰直角三角形，，从而得到，然后根据概率公式计算，即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴小鸟不落在花圃上的概率为． 故答案为： 6．（2025·山东淄博·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 7．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值的化简等运算在二次根式计算中的综合运用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值的化简等法则计算，再按照二次根式的加减运算计算即可． 【详解】解： ． 8．（2025·山东枣庄·三模）解下列各题： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，负整数指数幂的性质，绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． （1）利用负整数指数幂的性质以及零次幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案； （2）直接将括号里面进行通分运算，然后利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） 当时， 原式 1．（2025·山东临沂·二模）已知，为实数，若满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，由，，得，代入可得，最后代入得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，与都是等边三角形，，，连接，，若将绕点逆时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，根据△是等边三角形，可得，由点、、在同一条直线上，需要分2种情况①当点在延长线上时；②当点在延长线上时，分别画出对应的图形，然后过点作边的垂线（或，利用含角的（或）求得垂线（或的长，最后利用勾股定理即可求解的长．熟练掌握以上知识点，学会分类讨论多种情况的图形，能够结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ①当点在延长线上时，作交于，连接，如图1， ，是等边三角形， ，， ，， 在中，， ； ②当点在延长线上时，作交于，如图2， 同理①可得，，， ，， 在中，由勾股定理得：； 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 3．（2025·山东威海·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的运算法则等计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 4．（2025·山东日照·二模）若点是一次函数上的两点，对于任意，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．根据一次函数的性质知，，进行解答即可． 【详解】解：∵点是一次函数上的两点，对于任意，都有， 该函数图象是随的增大而增大， ∴， 解得． 故答案为：． 5．（2025·山东威海·三模）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查分式的化简求值，求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分后再进行加法运算，最后代值计算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：（1）， ． ； 当时，原式； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 2．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 3．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 4．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 5．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 6．（2025·上海·中考真题）在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得，设，则，由菱形的性质得到，证明，利用勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解；∵关于直线的对称点为， ∴， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 8．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 10．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)四边形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 二次根式的性质 题型01二次根式的非负性 题型02利用二次根式的性质化简 题型03 二次根式规律性问题 命题点二 二次根式的运算 题型01 同类为二次根式 题型02 二次根式化简求值 题型03 比较二次根式大小 05·重难突破·思维进阶难 11 突破一 复合二次根式的化简 突破二 分母有理化 06·优题精选·练能提分 12 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式的相关概念 山东德州 T11 山东烟台 T11 山东济宁T4 了解二次根式、最简二次根式的概念 二次根式的性质与化简 山东威海 T11 山东济宁 T3 山东潍坊 T1 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 二次根式的运算 山东德州 T16 山东济南T16 山东青岛T17 山东济宁 T3 山东淄博T11 山东青岛T10 山东泰安T19 山东威海T11 山东青岛T7 山东淄博T16 山东潍坊T11 山东济南T17 山东聊城T13 山东临沂T8 山东烟台T2 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 命题预测 二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。 考点一 二次根式相关概念 1、二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2、最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3、同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 1．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 2．（2025·山东·二模）已知，则 ． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 考点二 二次根式的性质与化简 1、二次根式的性质 2、二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 3、化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 考点三 二次根式的乘除 1、乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2、除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 1．（2025·山东德州·二模）计算： ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·一模）下列运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 考点四 二次根式的加减 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 1．（2025·山东淄博·三模）计算： ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算 ． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： 考点五 二次根式的混合运算 1、分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 2、分母有理化方法 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 3、二次根式的混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）计算：   2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 3．（2025·山东淄博·二模）计算： ． 命题点一 二次根式的性质 ►题型01 二次根式非负性 / 【典例】（2025·山东临沂·一模）要使式子有意义，x的取值范围是 【变式】1．（2025·山东威海·一模）在函数中，的取值范围 ． 2．（2025·山东德州·模拟预测）当实数x 时，有意义． ►题型02利用二次根式的性质化简 / 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）化简： ． 【变式】1．（2025·山东枣庄·一模）已知，则实数m的整数部分是 ． 2．（2025·山东威海·三模）计算：= ． ►题型03 二次根式规律性问题 / 1. 理解基本概念：首先确保你理解了什么是二次根式（形如√a的表达式），以及如何进行基本的加减乘除运算。 2. 识别模式：观察题目给出的一系列二次根式或其运算结果，寻找它们之间的联系或变化规律。这可能包括数值的变化趋势、系数与指数的关系等。 3. 尝试归纳总结：基于观察到的现象，尝试归纳出一般性的结论或公式。例如，如果发现某些特定条件下两个二次根式的差总是某个固定值，那么可以试图证明这一结论并推广到更广泛的情况。 4. 验证猜想：通过具体例子检验自己得出的结论是否正确。有时候看似合理的假设实际上并不成立，因此必须经过严格的逻辑推理和实践检验才能确认无误。 【典例】（2025·山东济宁·三模）将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ． 第一行           第二行       2       第三行                      …… 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 同类二次根式 / 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【变式】1．（2025·上海青浦·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·一模）若与最简二次根式能合并，则m的值为 ． ►题型02 二次根式化简求值 / 1. 利用二次根式的性质：熟练掌握二次根式的基本性质，根据这些性质对二次根式进行化简。 2. 运用乘法公式：平方差公式和完全平方公式在二次根式化简求值中经常用到。通过观察式子的结构特点，合理运用这些公式可以简化计算过程。 3. 因式分解：将二次根式中的被开方数进行因式分解，提取公因式或运用其他因式分解方法，使式子变得更简单，便于计算。 4. 分母有理化：如果二次根式的分母含有根号，需要通过乘以适当的有理化因式，将分母化为有理数。5. 整体思想：把某个式子看成一个整体，先求出这个整体的值，再代入原式进行计算。这种方法可以避免复杂的局部运算，简化解题过程。 【典例】（2025·山东青岛·三模）（1）解不等式组：； （2）化简求值：，其中． 【变式】1．（2025·全国·一模）已知，则 ． 2．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中． ►题型03 比较二次根式大小 / 1. 平方法：对于两个非负数,先将要比较大小的二次根式进行平方，然后比较平方后的结果，从而得出原二次根式的大小关系。 2. 作差法：设两个二次根式分别为 和，计算 -的值。若结果大于 0，则 >；若结果小于 0，则 <；若结果等于 0，则 =。 3. 作商法：当比较的两个二次根式都为正数时，可以将它们相除，通过判断商与 1 的大小关系来确定两个二次根式的大小。若商大于 1，则被除数大于除数；若商小于 1，则被除数小于除数；若商等于 1，则两者相等。 4. 分子有理化法：对于形如 -与 -（n 为正整数）的二次根式比较大小，可以采用分子有理化的方法。将它们的分子化为相同的形式，再根据分母的大小来判断整个式子的大小。 5. 倒数法：先求出两个二次根式的倒数，然后比较倒数的大小，再根据倒数大的原数小，倒数小的原数大这一性质来确定两个二次根式的大小关系。 6. 放缩法：通过对二次根式中的数值进行适当的放大或缩小，使其便于比较大小。 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【变式】1．（2025·河北邯郸·一模）比较大小： （填“>”“<”或“=”） 2．（2025·河北唐山·二模）如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解：    ①     ②                 ③ 第2题： 解：    ①                  ②                        ③ (1)指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； (2)比较（1）问中所得结果与的大小关系． 突破一 复合二次根式的化简 【典例】 ． 【变式】1．设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 2．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 突破二 分母有理化 【典例】计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【变式】1．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 2．观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 1．（2025·山东临沂·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·二模）如图，点、、、在数轴上表示的数分别为、、、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 4．（2025·山东聊城·二模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下：，如： ，那么 ． 5．（2025·山东济南·模拟预测）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ． 6．（2025·山东淄博·二模）计算：． 7．（2025·山东济南·模拟预测）计算：． 8．（2025·山东枣庄·三模）解下列各题： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 1．（2025·山东临沂·二模）已知，为实数，若满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，与都是等边三角形，，，连接，，若将绕点逆时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·山东威海·一模）计算： ． 4．（2025·山东日照·二模）若点是一次函数上的两点，对于任意，都有，则的取值范围是 ． 5．（2025·山东威海·三模）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组：，并把解集表示在数轴上 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 5．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 6．（2025·上海·中考真题）在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为 ． 7．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 8．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 9．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中． 10．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $