精品解析：上海市金山区2025-2026学年高三上学期质量监控数学试卷

2025学年第一学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合的交集运算即可得解. 【详解】，. 故答案为：. 2. 若是第二象限角，，则______. 【答案】##-0.8 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值. 【详解】是第二象限角，，故. 故答案为： 3. 若复数满足，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 4. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出一元二次不等式，求解即得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，需使， 解得或. 故函数的定义域为. 故答案为：. 5. ，则___________. 【答案】80 【解析】 【分析】由二项式定理可得． 【详解】由题意． 故答案为：80． 6. 已知，则___________．（用和表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用对数的运算公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，可得. 故答案为：. 7. 已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式，先求出直线AC的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，可得边上的高的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意直线AC的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 8. 某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有___________种． 【答案】48 【解析】 【分析】用“捆绑法”以及全排列即可求解. 【详解】将每个班的2人捆绑，然后全排列，故总的排法有, 故答案为：48 9. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 10. 已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 11. 上海护珠塔，俗称斜塔，始建于北宋元丰年间（1078-1085年），是世界上倾斜程度最大的佛塔之一，其倾斜角（塔身所在直线与铅垂线的夹角）超过意大利比萨斜塔．如图，护珠塔前有一条笔直的山路，山路所在直线与水平面夹角为．康同学为了测量护珠塔的倾斜程度，实施如下方案：从塔底沿着山路往下走至，此时测得长度为10米，观察塔顶的仰角（视线与水平面的夹角）为，继续往下走至，测得长度为25.9米，观察塔顶的仰角为．根据康同学的数据，可得该塔的倾斜角为___________．（精确到） （参考数值：） 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立直角坐标系，根据题意，得到的坐标，设塔高，倾斜角为，则，求得，且，代入数值，列出方程组，求得的值，结合，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以水平线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，且山路所在直线与水平面夹角为， 可得， 设塔高的长为，倾斜角为，则， 因为在处观察塔顶的仰角为，可得， 在处观察塔顶的仰角为，可得， 代入， 整理得，解得， 又由，所以. 故答案为：. 12. 已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得中共8个元素，记为，假设中最大交集为，从而可得含的四元集合最多有个, 且对在中最多出现3次，求得一个四元集中出现个二元数对，从而可得，求解即可. 【详解】由题意可知共个元素， 记为， 假设中最大交集为， 所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同， 因为中共8个元素，则还剩下6个元素， 所以中，含的四元集合最多有个, 即数对在中最多出现3次， 同理任何一个二元数对可在中最多出现3次， 所以一个四元集中出现个二元数对， 所以个四元集中共出现次， 因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次， 所以，解得. 所以正整数的最大值为. 故答案为： 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 14. 已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设底面边长为a，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设底面边长为a，则正四棱锥的体积，解得. 故选：C 15. 已知正整数，满足，且，则有序数对有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件可得，利用枚举法可求有序数对的个数. 【详解】因为， 故， 所以，故即， 因为，故， 若，则，而，故， 若，则，而，故， 若，则，而，故， 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，故， 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，此时无正整数解； 若，则，而，此时无正整数解； 故有序数对的个数为4， 故选：B. 16. 记曲线且且为，称其为“超椭圆”．命题：直线与超椭圆有3个不同交点；命题：超椭圆上的点到坐标原点距离的取值范围为．则下列说法正确的是（ ） A. 命题为真命题，命题为假命题 B. 命题为假命题，命题为真命题 C. 命题均为真命题 D. 命题均为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】命题：代入，移项由绝对值范围求解的范围，分情况与直线列方程组求解，根据结果可判断命题；命题：由图形的对称性将方程降幂，写成平方和的形式，三角换元，根据权方和不等式可得出距离范围的最大值，从而判断命题. 【详解】命题：：，由可得：，同理， 当时，方程可化简为， 联立，解得：； 当时，方程可化简为， 联立，解得：（舍）或； 当时，不过第三象限，所以第三象限无交点； 当时，方程可化简为， 联立，解得：或（舍） 综上：与直线共3个交点，所以命题正确； 命题：：，由图形的对称性，不妨考虑. 即，令，则， 则， 由权方和不等式可得：， 所以，所以命题错误. 故选：A 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． （1）小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ （2）小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 【答案】（1）4； （2）①；②13个. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的特点计算即可‘ （2）①先求出克重大于20克的核桃共9个，再利用组合公式和古典概型即可得到答案； ②利用方差公式求出方差，则得到范围，再对照表格即可. 【小问1详解】 个 则应抽取类核桃4个. 【小问2详解】 ①因为克重大于20克的核桃共9个， 则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为. ②， 则标准差， ， . 对照表格可知则该20个核桃中有13个核桃的克重位于与之间. 18. 如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点落在劣弧上． （1）求证：平面平面； （2）若点平分劣弧，过点分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，然后得出面面垂直； （2）先建立空间直角坐标系，通过求平面的法向量解决二面角问题. 【小问1详解】 证明：在圆锥中，平面，∴ ∵，∴ ∵，平面，∴平面， ∵平面 ∴平面平面 【小问2详解】 以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，如图建立空间直角坐标系 由题意，，，，， 则，，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 设平面与平面夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 则根据法向量朝向可知二面角的大小为. 19. 已知（其中），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于两点，点为线段上一动点． （1）求函数的表达式，并写出其严格增区间； （2）设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）由两个相邻的极值点的距离可求得函数的最小正周期，进而确定，再由时取得极大值，且，可解得，则确定，再根据正弦型函数的单调区间，运用整体代入法求解即可； （2）先确定两点坐标，再根据以及直角三角形中的边长关系，求得，进而表示出，再令，通过求导研究其在区间内的单调性，求出的最小值，即可得到的最小值. 【小问1详解】 设的最小正周期为， 则由题可知，，而，解得，则； 在处取得极大值，，， 又因为，故， 则. 令， 解得，即的严格增区间为. 【小问2详解】 由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， 因此易知，故，则. ，，. 因此. 设，，，. 设， 则， 当时，，即，因此在上单调递减； 当时，，即，因此在上单调递增， 因此在时取到最小值，， 故的最小值. 20. 已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． （1）求椭圆的离心率； （2）已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； （3）过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式即可求解； （2）根据两点距离以及点到直线的距离公式，化简即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式以及点到直线的距离公式，可得面积的表达式，进而根据中点关系以及三角换元，根据判别式求解的范围，利用二次函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 中，，故离心率为， 【小问2详解】 设，则，则， 故到直线的距离， 所以为定值. 【小问3详解】 设，则， 由于是线段的中点，故到直线的距离与到直线的距离相等， 故， 设直线：， 联立其与椭圆的方程可得， 设，则， 故， ，故， ， 令，由于在直线上，所以， 由于，故， 化简可得， 由于该关于的方程在上有解，故，解得， 则，故当时，此时取到最大值. 21. 现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． （1）判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． （2）若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 【答案】（1）①不是；②是； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设，，由“U函数”定义，比较以及与0的大小关系，可完成判断； （2）设，由题可得，据此可得答案； （3）由题可得，，，，据此可得大致图像以及 ，设，由题可得为区间上的“U函数”.然后由题干提供信息结合取可得答案. 【小问1详解】 设，取 则，， 则， 因，则，， 从而，，则， 即，当且仅当时取等号， 则不是定义域上的“U函数”； 设，， ，， ， 当且仅当时取等号，则是定义域上的“U函数”； 【小问2详解】 设，因是上的“U函数”， 则对，， 注意到，则； 【小问3详解】 由题可得， 当时，，则； 当，，则； 当时，，则； 当，，则； 依次类推可得：，， ，. 据此可得大致图像如下： 则， 则. 设，则 取， 因，则，，， ，从而， 即为区间上的“U函数”. 由题干提供信息可得：取， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则___________． 2. 若是第二象限角，，则______. 3. 若复数满足，则____________. 4. 函数的定义域为___________． 5. ，则___________. 6. 已知，则___________．（用和表示） 7. 已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为___________． 8. 某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有___________种． 9. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 10. 已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 11. 上海护珠塔，俗称斜塔，始建于北宋元丰年间（1078-1085年），是世界上倾斜程度最大的佛塔之一，其倾斜角（塔身所在直线与铅垂线的夹角）超过意大利比萨斜塔．如图，护珠塔前有一条笔直的山路，山路所在直线与水平面夹角为．康同学为了测量护珠塔的倾斜程度，实施如下方案：从塔底沿着山路往下走至，此时测得长度为10米，观察塔顶的仰角（视线与水平面的夹角）为，继续往下走至，测得长度为25.9米，观察塔顶的仰角为．根据康同学的数据，可得该塔的倾斜角为___________．（精确到） （参考数值：） 12. 已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知某正四棱锥的高为2，体积为24，则该正四棱锥的底面边长为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 15. 已知正整数，满足，且，则有序数对有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 16. 记曲线且且为，称其为“超椭圆”．命题：直线与超椭圆有3个不同交点；命题：超椭圆上的点到坐标原点距离的取值范围为．则下列说法正确的是（ ） A. 命题为真命题，命题为假命题 B. 命题为假命题，命题为真命题 C. 命题均为真命题 D. 命题均为假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：类核桃100个，类核桃120个，类核桃80个和类核桃200个． （1）小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取类核桃多少个？ （2）小何以随机抽样的方式，从类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：克） 14.4 14.7 15.2 16.3 17.3 17.6 17.9 18.2 19.0 19.3 19.8 20.1 20.2 20.4 20.7 20.9 21.3 21.7 22.4 22.6 ①从该20个核桃中任取2个，则所取2个核桃的克重均大于20克的概率为多少？ ②记为该20个核桃的平均克重，为该20个核桃克重的标准差，则该20个核桃中有多少个核桃的克重位于与之间？ 18. 如图，已知圆锥，点在底面圆周上，，且，动点落在劣弧上． （1）求证：平面平面； （2）若点平分劣弧，过点分别作，垂足分别为两点，求二面角的大小． 19. 已知（其中），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于两点，点为线段上一动点． （1）求函数的表达式，并写出其严格增区间； （2）设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 20. 已知椭圆，点为坐标原点，点为椭圆上一点． （1）求椭圆的离心率； （2）已知点为椭圆的右焦点，直线，证明：点到点的距离与到直线的距离之比为定值； （3）过线段中点的直线交椭圆于两点，求的最大值． 21. 现给出“函数”的定义与性质． 定义：若函数在区间上连续，且对于区间内任意两数，如果都有成立，则称函数为区间上的“函数”； 性质：若函数为区间上的“函数”，则对于任意和满足的正数，有成立． （1）判断下列两个函数是否为其定义域上的“函数”（不需要说明理由） ①； ②． （2）若函数为区间上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，记为函数的图像与轴所围成的图形面积，当且时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $