湖北省十堰市八校教联体2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

2025-2026学年十堰市八校教联体12月联考 高二数学试卷 考试时间：2025年12月17日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知离心率为的椭圆的长轴长是短轴长的2e倍，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下一面上的数字，记事件为“两次记录的数字之和为奇数”；事件为“第一次记录的数字为奇数”；事件为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件是相互独立事件 B. 事件与事件是互斥事件 C. D. 10. 已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ） A. 圆的半径为3 B. 圆和圆相离 C. 的最小值为 D. 过点作圆的切线，则切线长最短为 11. 如图，棱长为1的正方体中，分别为中点，分别为线段，（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（　　） A. B. 直线与底面所成角的正切值为 C. 三棱锥的体积最大值为 D. 线段的长度最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设直线与圆相交于两点，且，则___________． 13. 已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为_________. 14. 学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是__________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 16. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 17. 已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． （1）求的方程； （2）求证：的值为定值． 18. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点.将沿折起，使得，如图2. （1）求证：平面平面； （2）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）求三棱锥的外接球的半径. 19. 已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点． （ⅰ）求证：直线l过定点； （ⅱ）若，求直线l的方程． 2025-2026学年十堰市八校教联体12月联考 高二数学试卷 考试时间：2025年12月17日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】12 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， 假设AB斜率为零，DE斜率不存在， 则，，（或）， 此时； 同理，当DE斜率为零，AB斜率不存在时，同样有； 若直线与直线的斜率都存在时，如图， 设直线的方程为，， 由，得， 所以， 所以 ， 因为，将换成，得， 所以； 综上所述，的值为定值． 【18题答案】 【答案】（1） 连接，由题意得为等边三角形，则， 在中，，，， ， 由，，，则，故. 又，则，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）存在， （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明如下： 设直线l的方程为（显然l与x轴不平行）， 与联立，得， 由题意知，，，即， 由韦达定理得，． 因为点A与A'关于x轴对称，不妨设A，B分别在第一、二象限，如图所示． 易知， 即， 化为， 即，化为， 当m变化时，该式恒成立， 所以，故直线l过定点（-3，0）． （ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $