5.1.3《 比、比例及其性质》（ 比例2）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学下册

本讲义为沪教版初中数学《比、比例及其性质》（比例第2课时）资料，核心围绕比例的意义、基本性质及实际应用展开。以课前预习回顾性质与解比例为基础，课堂通过整体思维灵活运用性质，再分类解决浓度、行程、工程等实际问题，构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于“四步走”步骤总结培养模型意识，结合买牛肉、清洁剂稀释等生活实例发展应用意识，题型分类覆盖多情境。课中助力教师系统授课，课后分层练习巩固，帮助学生用数学眼光观察现实世界，提升解决实际问题能力。

5.1.3 《比、比例及其性质》（比例第2课时） （沪教版） 一、学习目标 1.进一步理解比例的意义和基本性质，能熟练判断比例是否成立，准确解各类比例式； 2.掌握列比例解决实际问题的核心方法，能识别情境中的 “成比例关系”，找准对应量并列出比例； 3.能解决工程、行程、浓度、比例尺、按比例分配等常见类型的比例实际问题，规范解题步骤。 二、课前预习 预习课本 P11-13“比例” 1. 比例的基本性质是：________________________________________； 2.求下列格式中的x： (1)5:（x+1） = 4:(2x-1) (2) 3.判断：如果 ad = bc 那么a:b = c:d是否成立？（ ） 4.一辆汽车 3 小时行驶 180 千米，照这样的速度，5 小时行驶多少千米？ 5.判断下列情境中，哪两个量成比例关系（成正比例打 “√”，不成打 “×”）： （1）单价一定，总价和数量（ ）； （2）正方形的边长和周长（ ）； （3）工作效率一定，工作总量和工作时间（ ）； （4）速度一定，汽车行驶的路程和时间（ ）. 三、课堂学习 1.灵活运用比例的基本性质——整体思维 例1求下列格式中的x： (1)5:（x+1） = 4:(2x-1) (2) 2.解决实际生活中的比例问题 例2某顾客买了6kg牛肉，付款406.8元.按照如此售价，339元可以购买多少牛肉? 步骤总结——列比例解决实际问题的 “四步走”： 第一步：审题，找 “不变量”（比值一定），判断哪两个量成比例关系 第二步：设未知数（设要求的量为 x）； 第三步：找对应量，列出比例（关键：确保 “前项对应前项，后项对应后项”）； 第四步：解比例，检验并作答。 3.题型分类 （1）浓度问题 例：某清洁剂浓缩液可以根据需要按照不同的浓缩液与水的体积之比配制出不同浓度的稀释液.如果浓缩液与水的体积按1:4配制一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少? （2）行程问题（速度一定）： 例：暑假小明全家开车从甲地到乙地游玩，上午行驶了 6 小时走了540千米，下午速度不变，行驶了 5 小时，问下午行驶了多少千米？ 解析： 分析：速度一定，路程和时间成比例；设返回时行驶 x 千米， 由题意，得360:6 = x:5或_______：_______=6:5； 解答独立完成. （3）工程问题（工作效率一定）： 例：某工程队 4 天修路 200 米，照这样计算，修 350 米需要多少天？ 解析： 分析：工作效率一定，工作总量和工作时间成比例； 设修 350 米需要 x 天，由题意，得200:4 = 350:x或200:350=4：x. 解答独立完成. （4）比例尺问题（比例尺一定）： 例：一幅地图的比例尺是 1:2000000，量得 A、B 两地图上距离是 4 厘米，实际距离是多少千米？ 解析： 分析：比例尺一定，图上距离和实际距离成比例； 设实际距离为 x 千米即100000x厘米，由题意得1:2000000 = 4:100000x. 四、课堂练习 1.填空题： （1）一辆汽车匀速行驶，________和_______成比例； （2）比例尺 1:500000 表示_____和_____的比是 1:500000； （3）若x:(x+2)=24:26,则x=___________. 2.小明买 3 支钢笔花了 27 元，照这样计算，买 15 支钢笔需要多少钱？ 3.一台织布机 5 小时织布 25 米，照这样的速度，织布 40 米需要多少小时？ 4.一幅地图的比例尺是 “1：4000000”，量得甲、乙两地图上距离是 3 厘米，实际距离是多少千米？ 5.将12本相同厚度的书叠起来，它们的高度为30 cm.如果将20本这样相同厚度的书叠起来，那么它们的高度是多少? 6.用电饭煲煮饭时，某品牌的大米经过多次实验，得到的结论是：当米和水的质量之比是1:1.2时，煮出米饭的软硬度比较合适.如果有400g大米，配比多少水比较合适? 7.用280 cm长的铁丝做一个长方体的框架，其长、宽、高的比是4:2:1.要使铁丝恰好用完，这个长方体的长、宽、高分别是多少?(接头处的损耗忽略不计) 五、课后练习 1.求比例中的x： （1）x:(12-x) = 2:4 （2） （3） 2.列比例解决问题： （1）某果园面积共1200m².果园的种桃树，剩下的按3:2的面积比种梨树和杏树.三种果树的种植面积分别是多少? （2）一种蜂蜜水，蜂蜜和水的比是 1:8，现有蜂蜜 20 克，能配制多少克蜂蜜水？ （3）在比例尺 1:50000 的地图上，量得一条公路长 4 厘米，这条公路实际长多少千米？ （4） 甲、乙两辆汽车同时从相距 480 千米的两地相对开出，4 小时后相遇，甲、乙两车的速度比是 3:5，甲车每小时行驶多少千米？ （5）一个长方形的周长是 48 厘米，长和宽的比是 5:3，求长方形的实际面积； （6）某工程队修一条公路，已修的和未修的比是 2:3，再修 150 米后，已修的和未修的比是 3:2，这条公路全长多少米？ （7）甲、乙两人的钱数比是 5:3，甲给乙 10 元后，两人钱数比是 3:2，原来甲有多少钱？ （8）一批货物，按 2:3:5 分配给甲、乙、丙三个车队运输，乙、丙两个车队分配了1600吨货物，那么甲车队分得多少吨货物？ （9）一个普通成年人，身体内的水分约占体重的,其中在细胞、血浆、组织间液内的水分质量之比大约是10:1:4.问：体重为70 kg的普通成年人体内水分大约是多少?其中在细胞、血浆、组织间液内的水分大约分别是多少? 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.3 《比、比例及其性质》（比例第2课时） （沪教版） 一、学习目标 1.进一步理解比例的意义和基本性质，能熟练判断比例是否成立，准确解各类比例式； 2.掌握列比例解决实际问题的核心方法，能识别情境中的 “成比例关系”，找准对应量并列出比例； 3.能解决工程、行程、浓度、比例尺、按比例分配等常见类型的比例实际问题，规范解题步骤。 二、课前预习 预习课本 P11-13“比例” 1. 比例的基本性质是：________________________________________； 解析：两个外项的积等于两个内项的积（若a:b = c:d，则ad = bc，其中b、d≠0） 比例基本性质是解比例和判断比例是否成立的核心依据，需注意比例中后项不能为0，避免出现分母为0的情况。 2.求下列格式中的x： (1)5:（x+1） = 4:(2x-1) (2) 解析：利用比例基本性质“外项积=内项积”转化为整式方程求解，注意分母不能为0，需检验解的合理性。 解：由比例的基本性质，得5(2x-1) = 4(x+1) 展开括号：10x - 5 = 4x + 4 移项合并：10x - 4x = 4 + 5 → 6x = 9 系数化为1：x = 9/6 = 3/2 检验：x+1 = 3/2 + 1 = 5/2 ≠ 0，2x-1 = 3 - 1 = 2 ≠ 0，解有效。 (2) (x+2)/4 = 9/12 解析：分数形式的比例，交叉相乘（即外项积=内项积）转化方程，也可先化简右边比例再求解。 解：方法一：交叉相乘，得12(x+2) = 4×9 展开：12x + 24 = 36 移项：12x = 36 - 24 = 12 → x = 1 方法二：化简右边9/12 = 3/4，原比例变为(x+2)/4 = 3/4，两边同乘4得x+2 = 3 → x=1。 3.判断：如果 ad = bc 那么a:b = c:d是否成立？（ ） 解析：判断：如果 ad = bc 那么a:b = c:d是否成立？（×） 解析：比例成立的前提是“比的后项不为0”。由ad=bc转化为比例时，需保证b≠0且d≠0。若b=0或d=0，a:b或c:d无意义，因此该命题不成立。例如：取a=2、b=0、c=3、d=0，满足ad=bc=0，但a:b和c:d均无意义，无法构成比例。 4.一辆汽车 3 小时行驶 180 千米，照这样的速度，5 小时行驶多少千米？ 解析：解析：“照这样的速度”说明速度不变，速度=路程÷时间，因此路程和时间成正比例关系，可列比例求解。 解：设5小时行驶x千米。根据速度不变，得180:3 = x:5 外项积=内项积：3x = 180×5 → 3x = 900 → x = 300 答：5小时行驶300千米。 5.判断下列情境中，哪两个量成比例关系（成正比例打 “√”，不成打 “×”）： （1）单价一定，总价和数量（ ）； （2）正方形的边长和周长（ ）； （3）工作效率一定，工作总量和工作时间（ ）； （4）速度一定，汽车行驶的路程和时间（ ）. 解析：正比例关系的核心是“两个相关联的量，比值一定（y/x = k，k为常数）”，据此判断： （1）单价一定，总价和数量（√）；解析：总价÷数量=单价（定值），比值一定，成正比例。 （2）正方形的边长和周长（√）；解析：周长÷边长=4（定值），比值一定，成正比例。 （3）工作效率一定，工作总量和工作时间（√）；解析：工作总量÷工作时间=工作效率（定值），比值一定，成正比例。 （4）速度一定，汽车行驶的路程和时间（√）；解析：路程÷时间=速度（定值），比值一定，成正比例。 三、课堂学习 1.灵活运用比例的基本性质——整体思维 例1求下列格式中的x： (1)5:（x+1） = 4:(2x-1) (2) 解：（1）因为5:（x+1） = 4:(2x-1)， 所以5（2x-1）= 4(x+1) (比例的基本性质) 解之得 x= (2)因为， 所以12（x+2）= 4×9 (比例的基本性质) 解之得 x=1 总结：四个量成比例，这里的“量”可以是一个“数”，一个“字母”，也可以是一个“代数式” 2.解决实际生活中的比例问题 例2某顾客买了6kg牛肉，付款406.8元.按照如此售价，339元可以购买多少牛肉? 分析：按照“如此售价”说明牛肉的单价前后不变， (1)因为“单价=”，所以单价相同就意味着“总价与购买的牛肉数量”的前后之比相等； (2)因为在单价相同的情况下，牛肉总价与购买数量成比例，所以前后总价之比等于牛肉数量之比. 解法一： 设339元可以购买牛肉x kg.根据题意，可得 由比例的基本性质，可得：406.8x=339×6. x=2034÷406.8 x=5. 解法二： 设339元可以购买牛肉x kg.根据题意，可得 由比例的基本性质，可得：406.8x=339×6. x=2034÷406.8 x=5. 答：339元可以购买牛肉5 kg. 步骤总结——列比例解决实际问题的 “四步走”： 第一步：审题，找 “不变量”（比值一定），判断哪两个量成比例关系 第二步：设未知数（设要求的量为 x）； 第三步：找对应量，列出比例（关键：确保 “前项对应前项，后项对应后项”）； 第四步：解比例，检验并作答。 3.题型分类 （1）浓度问题 例：某清洁剂浓缩液可以根据需要按照不同的浓缩液与水的体积之比配制出不同浓度的稀释液.如果浓缩液与水的体积按1:4配制一瓶500 mL的稀释液，其中浓缩液和水的体积分别是多少? 分析 根据题意，可知 浓缩液体积：水体积=1:4,浓缩液体积+水体积=500(mL). 解 方法一：设浓缩液的体积为x mL,则水的体积为4x mL.根据题意， 可得 x+4x=500. x=100. 于是，得到 4x=4×100=400. 答：浓缩液和水的体积分别为100 mL和400 mL. 方法二：设浓缩液的体积为x mL,则水的体积为(500—x)mL.根据题意， 可得 x:(500-x)=1:4. 500-x=4x x=100 于是，得到 500—x=400. 答：浓缩液和水的体积分别为100 mL和400 mL. （2）行程问题（速度一定）： 例：暑假小明全家开车从甲地到乙地游玩，上午行驶了 6 小时走了540千米，下午速度不变，行驶了 5 小时，问下午行驶了多少千米？ 解析： 分析：速度一定，路程和时间成比例；设返回时行驶 x 千米， 由题意，得360:6 = x:5或_______：_______=6:5； 解答独立完成. 分析：速度一定，路程和时间成正比例；设下午行驶x千米，由题意，得540:6 = x:5或540:x=6:5； 解析：速度=路程÷时间，速度不变即路程与时间的比值一定，成正比例。比例对应关系：上午路程:上午时间=下午路程:下午时间（540:6=x:5），或上午路程:下午路程=上午时间:下午时间（540:x=6:5），两种比例均正确。 解答：设下午行驶x千米。根据题意，得540:6 = x:5 外项积=内项积：6x=540×5 → 6x=2700 → x=450 答：下午行驶了450千米。 （3）工程问题（工作效率一定）： 例：某工程队 4 天修路 200 米，照这样计算，修 350 米需要多少天？ 解析： 分析：工作效率一定，工作总量和工作时间成比例； 设修 350 米需要 x 天，由题意，得200:4 = 350:x或200:350=4：x. 解答独立完成. 分析：工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例；设修350米需要x天，由题意，得200:4 = 350:x或200:350=4：x。 解析：工作效率=工作总量÷工作时间，效率不变即工作总量与时间比值一定，成正比例。比例对应关系：前次总量:前次时间=本次总量:本次时间（200:4=350:x），或前次总量:本次总量=前次时间:本次时间（200:350=4:x）。 解答：设修350米需要x天。根据题意，得200:4 = 350:x 外项积=内项积：200x=4×350 → 200x=1400 → x=7 答：修350米需要7天。 （4）比例尺问题（比例尺一定）： 例：一幅地图的比例尺是 1:2000000，量得 A、B 两地图上距离是 4 厘米，实际距离是多少千米？ 解析： 分析：比例尺一定，图上距离和实际距离成比例； 设实际距离为 x 千米即100000x厘米，由题意得1:2000000 = 4:100000x. 解答独立完成. 分析：比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例；设实际距离为x千米即100000x厘米，由题意得1:2000000 = 4:100000x。 解析：比例尺=图上距离:实际距离，比例尺一定即图上距离与实际距离比值一定，成正比例。注意单位统一：1千米=100000厘米，需将实际距离x千米转化为厘米，避免单位混淆。 解答：设实际距离为x千米，则实际距离为100000x厘米。根据比例尺定义，得1:2000000 = 4:100000x 外项积=内项积：1×100000x=2000000×4 → 100000x=8000000 → x=80 答：实际距离是80千米。 四、课堂练习 1.填空题： （1）一辆汽车匀速行驶，________和_______成比例； （2）比例尺 1:500000 表示_____和_____的比是 1:500000； （3）若x:(x+2)=24:26,则x=___________. 解析：1）一辆汽车匀速行驶，路程和时间成比例； 匀速行驶即速度一定，路程÷时间=速度（定值），比值一定，成正比例。 （2）比例尺1:500000表示图上距离和实际距离的比是1:500000； 解析：比例尺的定义是“图上距离与实际距离的比”，需牢记定义的前后顺序。 （3）若x:(x+2)=24:26，则x=___________； 解析：利用比例基本性质转化方程：26x=24(x+2)，展开得26x=24x+48，移项合并得2x=48，解得x=24。检验：x+2=26≠0，解有效。答案：24。 2.小明买 3 支钢笔花了 27 元，照这样计算，买 15 支钢笔需要多少钱？ 解析：解析：“照这样计算”说明钢笔单价不变，单价=总价÷数量，总价与数量成正比例。设买15支需要x元，列比例：27:3=x:15。 解答：设买15支钢笔需要x元。根据题意，得27:3 = x:15 3x=27×15 → 3x=405 → x=135 答：买15支钢笔需要135元。 3.一台织布机 5 小时织布 25 米，照这样的速度，织布 40 米需要多少小时？ 解析：解析：速度不变（织布效率一定），织布总量与时间成正比例。设需要x小时，列比例：25:5=40:x。 解答：设织布40米需要x小时。根据题意，得25:5=40:x 25x=5×40 → 25x=200 → x=8 答：织布40米需要8小时。 4.一幅地图的比例尺是 “1：4000000”，量得甲、乙两地图上距离是 3 厘米，实际距离是多少千米？ 解析：解析：比例尺=图上距离:实际距离，设实际距离为x千米（转化为厘米是100000x），列比例：1:4000000=3:100000x。 解答：设实际距离为x千米，则实际距离为100000x厘米。根据题意，得1:4000000=3:100000x 100000x=4000000×3 → 100000x=12000000 → x=120 答：实际距离是120千米。 5.将12本相同厚度的书叠起来，它们的高度为30 cm.如果将20本这样相同厚度的书叠起来，那么它们的高度是多少? 解析：解析：每本书厚度不变，总高度÷书的本数=每本书厚度（定值），总高度与本数成正比例。设20本书高度为x cm，列比例：30:12=x:20。 解答：设20本这样的书叠起来高度为x cm。根据题意，得30:12=x:20 12x=30×20 → 12x=600 → x=50 答：它们的高度是50 cm。 6.用电饭煲煮饭时，某品牌的大米经过多次实验，得到的结论是：当米和水的质量之比是1:1.2时，煮出米饭的软硬度比较合适.如果有400g大米，配比多少水比较合适? 解析：解析：米和水的质量比固定为1:1.2，设需要x g水，列比例：1:1.2=400:x。 解答：设配比x g水比较合适。根据题意，得1:1.2=400:x x=1.2×400 → x=480 答：配比480g水比较合适。 7.用280 cm长的铁丝做一个长方体的框架，其长、宽、高的比是4:2:1.要使铁丝恰好用完，这个长方体的长、宽、高分别是多少?(接头处的损耗忽略不计) 解析：解析：长方体框架的棱长和=4×(长+宽+高)，先求出长+宽+高的和，再按4:2:1分配各棱长。总份数=4+2+1=7份。 解答：长+宽+高=280÷4=70(cm) 长=70×(4/7)=40(cm)，宽=70×(2/7)=20(cm)，高=70×(1/7)=10(cm) 答：长方体的长是40 cm，宽是20 cm，高是10 cm。 五、课后练习 1.求比例中的x： （1）x:(12-x) = 2:4 （2） （3） 解析：利用比例基本性质转化方程，注意后项12-x≠0。 解：4x=2(12-x) → 4x=24-2x → 6x=24 → x=4 检验：12-x=8≠0，解有效。答案：x=4。 （2）2.4/(x-1) = 6/15 解析：先化简右边6/15=2/5，再交叉相乘转化方程，注意分母x-1≠0。 解：6(x-1)=2.4×15 → 6(x-1)=36 → x-1=6 → x=7 检验：x-1=6≠0，解有效。答案：x=7。 （3）(1/3):(1/4) = (1-x):(3/8) 解析：先计算左边比例(1/3):(1/4)=4/3，再转化方程求解。 解：(1/4)(1-x)=(1/3)×(3/8) → (1-x)/4=1/8 → 1-x=0.5 → x=0.5（或1/2） 答案：x=1/2。 2.列比例解决问题： （1）某果园面积共1200m².果园的种桃树，剩下的按3:2的面积比种梨树和杏树.三种果树的种植面积分别是多少? 解析：先求桃树面积，再求剩下的面积，最后按3:2分配剩下的面积给梨树和杏树。总份数=3+2=5份。 解答：桃树面积=1200×(1/3)=400(m²)，剩下面积=1200-400=800(m²) 梨树面积=800×(3/5)=480(m²)，杏树面积=800×(2/5)=320(m²) 答：桃树400m²，梨树480m²，杏树320m²。 （2）一种蜂蜜水，蜂蜜和水的比是 1:8，现有蜂蜜 20 克，能配制多少克蜂蜜水？ 解析：蜂蜜:水=1:8，设需要水x克，先求水的质量，再求蜂蜜水总质量（蜂蜜+水）。 解答：设需要水x克。1:8=20:x → x=160，蜂蜜水总质量=20+160=180(克) 答：能配制180克蜂蜜水。 （3）在比例尺 1:50000 的地图上，量得一条公路长 4 厘米，这条公路实际长多少千米？ 解析：设实际距离为x千米（转化为厘米是100000x），列比例1:50000=4:100000x。 解答：设实际距离为x千米，则实际距离为100000x厘米。1:50000=4:100000x → 100000x=200000 → x=2 答：这条公路实际长2千米。 （4）甲、乙两辆汽车同时从相距 480 千米的两地相对开出，4 小时后相遇，甲、乙两车的速度比是 3:5，甲车每小时行驶多少千米？ 解析：相遇问题中，时间相同，速度比=路程比。两车速度和=480÷4=120(千米/时)，再按3:5分配速度和。 解答：速度和=480÷4=120(千米/时)，总份数=3+5=8份，甲车速度=120×(3/8)=45(千米/时) 答：甲车每小时行驶45千米。 （5）一个长方形的周长是 48 厘米，长和宽的比是 5:3，求长方形的实际面积； 解析：长+宽=48÷2=24(厘米)，总份数=5+3=8份，长=24×(5/8)=15(厘米)，宽=24×(3/8)=9(厘米)，面积=15×9=135(平方厘米) 答：长方形实际面积是135平方厘米。 （6）某工程队修一条公路，已修的和未修的比是 2:3，再修 150 米后，已修的和未修的比是 3:2，这条公路全长多少米？ 解析：公路全长不变，先将已修比例转化为占全长的比例。原来已修占全长2/(2+3)=2/5，再修150米后已修占全长3/(3+2)=3/5，150米对应全长的(3/5-2/5)=1/5。 解答：全长=150÷(3/5-2/5)=150÷(1/5)=750(米) 答：这条公路全长750米。 （7）甲、乙两人的钱数比是 5:3，甲给乙 10 元后，两人钱数比是 3:2，原来甲有多少钱？ 解析：两人总钱数不变，设总钱数为x元。原来甲占总钱数5/(5+3)=5/8，给乙10元后甲占总钱数3/(3+2)=3/5，10元对应总钱数的(5/8-3/5)=1/40。 解答：总钱数x=10÷(5/8-3/5)=10÷(1/40)=400(元)，原来甲的钱数=400×(5/8)=250(元) 答：原来甲有250元。 （8）一批货物，按 2:3:5 分配给甲、乙、丙三个车队运输，乙、丙两个车队分配了1600吨货物，那么甲车队分得多少吨货物？ 解析：乙、丙的份数和=3+5=8份，对应1600吨，先求1份的量，再求甲的2份。 解答：1份=1600÷(3+5)=200(吨)，甲车队分得=200×2=400(吨) 答：甲车队分得400吨货物。 （9）一个普通成年人，身体内的水分约占体重的,其中在细胞、血浆、组织间液内的水分质量之比大约是10:1:4.问：体重为70 kg的普通成年人体内水分大约是多少?其中在细胞、血浆、组织间液内的水分大约分别是多少? 解析：先求体内总水分，再按10:1:4分配总水分。总份数=10+1+4=15份。 解答：总水分=70×(3/5)=42(kg)，1份=42÷15=2.8(kg)，细胞内水分=2.8×10=28(kg)，血浆内水分=2.8×1=2.8(kg)，组织间液内水分=2.8×4=11.2(kg) 答：体内水分大约42 kg，细胞内28 kg，血浆内2.8 kg，组织间液内11.2 kg。 学科网（北京）股份有限公司 $