5.1.3 比、比例及其性质 （ 比例1） 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学下册

本讲义聚焦比例概念、比例中项及比例基本性质（若a:b=c:d则ad=bc及逆定理），构建“课前预习铺垫（化简比、概念填空）—课堂情境探究（国旗实例引入比例意义）—性质推导与应用（例题示范求未知量、判断成比例）—分层练习巩固（课内基础题到实际应用题）”的学习支架，形成从认知到应用的递进脉络。 该资料以国旗法实例引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过“等积法”验证成比例、推导性质发展推理意识（数学思维），结合农药配制、速度问题等实际情境体现模型意识（数学语言）。设计上预习-课堂-练习环环相扣，课中助力教师引导探究，课后练习覆盖基础与应用，帮助学生查漏补缺。

5.1.3《比、比例及其性质》（比例第1课时） （沪教版） 一、学习目标 1.理解比例、比例中项等概念，会检判断四个量是否成比例； 2.理解比例的基本性质，会用比例基本性质求比例式中的未知量. 二、课前预习 预习课本 P9-11 “比例” 1.化简：①144：96=______,； 【解析】：化简比（核心方法：比的前项和后项同时除以最大公因数） ① 114:96：最大公因数是48，(144÷48):(96÷48)=3:2；240:160：最大公因数是80，(240÷80):(160÷80)=3:2； ② 288:192：最大公因数是96，(288÷96):(192÷96)=3:2；192:128：最大公因数是64，(192÷64):(128÷64)=3:2； 2.观察发现规律：____________________________ 【解析】各组比化简后比值相等（如240:160、288:192化简后均为3:2），比值相等的两个比可以组成比例。 3.在a、b、c、d四个量中，如果_____________,那么就说a、b、c、d成比例. 特别地，当b和c相同时，即____________成立，那么把b叫作a和d的比例中项. 【解析】在a、b、c、d四个量中，如果a:b=c:d（或a/b=c/d），那么这四个量成比例； 特别地，当b=c时，即a:b=b:d（或a/b=b/d）成立，b叫作a和d的比例中项。 4.在（1）中，______叫作_________的比例中项. 【解析】由第1题可知：288:192=192:128，192是288和128的比例中项；答案：192是288和128的比例中项。 5.判断下面哪组中的两个比可以组成等式： (1)6：9和9：12; (2)1.4：2和28：40; (3)7.5：1.3和5.7：3.1. 【解析】判断两个比能否组成比例（方法：比值相等或外项积=内项积） (1) 6:9=2/3，9:12=3/4，2/3≠3/4，故不能组成比例； (2) 1.4:2=1.4÷2=0.7=7/5，28:40=28÷40=0.7=7/5，比值相等，故能组成比例； (3) 7.5:1.3≈5.77，5.7:3.1≈1.84，比值不相等，故不能组成比例。 6.求下列各式中x的值： (1)2：x=6：12; (2)x：0.3=0.4：0.8; 【解析】求未知量（用比例基本性质：外项积=内项积） (1) 2:x=6:12：外项积2×12=24，内项积6x，故6x=24，解得x=4； (2) x:0.3=0.4:0.8：外项积x×0.8，内项积0.3×0.4=0.12，故0.8x=0.12，解得x=0.15。 三、课堂学习 1.探究比例的意义 问题：求国旗的长宽之比 《中华人民共和国国旗法》对国旗的制作有明确规定.中华人民共和国国旗是长方形，长与宽之比为3：2,国旗的通用尺度分5种规格(单位：cm)： 1号：288×192; 2号：240×160; 3号：192×128; 4号：144×96; 5号：96×64. 288：192=3：2 240：160=3：2 192：128=3：2 144：96 =3：2 9 6：64 =3：2 比例的意义 在a、b、c、d四个量中，如果a：b=c：d,那么就说a、b、c、d成比例.特别地，当b和c相同时，即a：b=b：d成立，那么把b叫作a和d的比例中项. 例如，在上面的问题中，因为288：192=240：160所以说___和____，_____，_____成比例； 因为288：192=192：128，144：96 =96：64 ，所以____叫作_____和______的比例中项; 因为_______________中，96叫作_____和______的比例中项。 a、 b、c、d成比例记作_______=_______.或_______=_______.其中____________叫比例的外项， ______________叫做比例的内项。 【解析】因288:192=240:160，故288、192、240、160成比例； 因288:192=192:128，故192是288和128的比例中项； 因96:64=64:(128/3)（非整数），核心实例144:96=96:64，故96是144和64的比例中项。 比例定义：a:b=c:d（或a/b=c/d），记作a:b=c:d或a/b=c/d，其中a、d是比例外项，b、c是比例内项； 交流预习情况： 判断下面哪组中的两个比可以组成等式： (1)6：9和9：12; (2)1.4：2和28：40; (3)7.5：1.3和5.7：3.1. 【解析】解：（1）6：99：12 （2）∵1.4：2=7：5，28：40=7：5 ∴1.4：2=28：40 即，1.4，2，28，40四个数成比例。 （3）7.5：1.35.7：3.1 2.探究比例的基本性质—— 如果a：b=c：d或,那么ad=bc. 反之，如果b、d都不为0且ad=bc,那么a：b=c：d或. 3.探究性质的应用 例1 利用比例的基本性质求下列各式中的x. (1) 4：x= ：2 (2) = 【解析】分析：求比例中的未知量（步骤：比例式→等积式→解方程） (1)解：由比例基本性质，外项积=内项积故：x=8 → x=； (2) 解：交叉相乘（外项积=内项积），4x=20×11 → 4x=220 → x=55。 例2你能运用比例的基本性质判断30、25、12、10这四个数成比例吗?请说明理由. 【解析】分析：判断四个数是否成比例，用“等积”来验证最方便，只需要验证“最大数×最小数”=“中间数×中间数”即可。判断四个数是否成比例（便捷方法：最大数×最小数=中间两数×中间两数） 判断30、25、12、10是否成比例：解：排序后10、12、25、30，最大数30，最小数10，中间数12、25；验证：30×10=300，12×25=300，300=300，故这四个数成比例（如10:12=25:30）。 例3 求4和9的比例中项x(x>0) 【解析】求比例中项（核心：比例中项满足x²=ab） 求4和9的比例中项x（x>0）：解：由比例中项定义，4:x=x:9，故x²=4×9=36；因x>0，解得x=6（注意：比例中项可正可负，但实际问题中常取正数）。 4.课堂小结 四、课内练习 1.填空题： （1）在比例 3：4 = 6：8 中，外项积是____，内项积是_____； （2）如果 a：5 = 7：b，那么 ab = _____； （3）若 x 是 4 和 9 的比例中项，则 x² = ____，x = _____； （4）把 12：18 = 2：3 改写成等积式是_________________。 解析：(1) 比例3:4=6:8：外项积3×8=24，内项积4×6=24； (2) a:5=7:b：外项积a×b，内项积5×7=35，故ab=35； (3) x是4和9的比例中项：x²=4×9=36，x=6（x>0）； (4) 12:18=2:3改等积式：12×3=18×2。 2.判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）： （1）两个比一定能组成比例.（ ） （2）在比例里，两个内项的积减去两个外项的积，差是 0.（ ） （3）若 a：b = c：d，则 ad = bc.（ ） （4）8 是 4 和 16 的比例中项。（ ） 解析；(1) × 理由：两个比需比值相等才能组成比例（如2:3和4:5比值不同，不能组成比例）； (2) √ 理由：比例中“外项积=内项积”，差为0； (3) √ 理由：比例基本性质的正向应用； (4) √ 理由：4:8=8:16，8²=4×16=64，故8是4和16的比例中项。 3.选择题： （1）下列各组比中，能组成比例的是（ ） A. 2：3 和 4：5 B. 和 3：2 C. 0.5：0.2 和 2：5 D.2：3 和 （2）如果 x：y = 3：4，那么（ ） A. 3x = 4y B. 4x = 3y C. xy = 3×4 D. x = y （3）已知比例 2：3 = 4：x，则 x = （ ） A. 6 B. 8 C. 10 D.12 解析；(1) B 解析：A. 2:3=2/3，4:5=4/5，比值不同；B. 1/2:1/3=3/2，3:2=3/2，比值相等，能组成比例；C. 0.5:0.2=2.5，2:5=0.4，比值不同；D. 2:3=2/3，1/2:1/3=3/2，比值不同； (2) B 解析：x:y=3:4，外项积4x，内项积3y，故4x=3y； (3) A 解析：2:3=4:x，2x=3×4=12，解得x=6。 4.求x的值： （1）x：5 = 10：25 （2）24：x = 18：15 （3） （4）0.8：x = 0.2：0.5 解析：(1) x:5=10:25 → 25x=5×10 → 25x=50 → x=2； (2) 24:x=18:15 → 18x=24×15 → 18x=360 → x=20； (3) x/4=6/8 → 8x=4×6 → 8x=24 → x=3； (4) 0.8:x=0.2:0.5 → 0.2x=0.8×0.5 → 0.2x=0.4 → x=2。 5.用 4、6、8、12 四个数组成不同的比例（至少写 2 个）. 解析；4:6=8:12（验证：4×12=48，6×8=48）； 6:4=12:8（验证：6×8=48，4×12=48）。 6. 一个比例的两个外项分别是 3和 12，两个内项相等，求这个比例的内项； 解：设内项为x，则比例为3:x=x:12；由比例中项定义，x²=3×12=36，解得x=. 7. 配制一种农药，药粉和水的比是 1：500，现有药粉 3 千克，需要加水多少千克？（用比例解） 解：设需要加水x千克，药粉:水=1:500，故1:500=3:x；外项积=内项积，1×x=500×3 → x=1500；答：需要加水1500千克。 8.甲、乙两人的速度比是 3：4，相同时间内若甲走了 15 千米，乙走了多少千米？（用比例解） 解：设乙走了x千米，甲路程:乙路程=3:4，故15:x=3:4；3x=15×4 → 3x=60 → x=20；答：乙走了20千米。 五、课后练习 1.填空： （1）在比例中，外项积是______，内项积是________； （2）如果 4a = 7b（a、b≠0），那么 a：b = （ ）：（ ）； （3）若 x：y = 5：7，则 7x = ____； （4）1.5 和 6 的比例中项是______。 解析：(1) 比例3/4:1/2=3/2:1：外项积(3/4)×1=3/4，内项积(1/2)×(3/2)=3/4； (2) 4a=7b（a、b≠0）：转化为比例a:b=7:4（内项积=外项积，4a=7b）； (3) x:y=5:7：外项积7x，内项积5y，故7x=5y； (4) 1.5和6的比例中项x：x²=1.5×6=9，解得x=3（x>0）。 2.解比例： （1）18：x = 2：7 （2）x：0.6 = 1.2：0.8 （3） （4） 解析：(1) 18:x=2:7 → 2x=18×7 → x=63； (2) x:0.6=1.2:0.8 → 0.8x=0.6×1.2 → 0.8x=0.72 → x=0.9； (3) 10x=5×12 → 10x=60 → x=6； (4) x=1。 3.解决问题： （1）判断 1.2,1.5 , 0.8,1 能否组成比例; （2） 一个长方形的长和宽的比是 3：2，若长是 15 厘米，宽是多少厘米？（用比例解） （3） 求 2 和 8 的比例中项，并说明理由。 解析；(1) 判断1.2、1.5、0.8、1是否成比例：排序后0.8、1、1.2、1.5，最大×最小=0.8×1.5=1.2，中间×中间=1×1.2=1.2，故成比例（如0.8:1=1.2:1.5）； (2) 长方形长:宽=3:2，长15厘米，求宽：解：设宽为x厘米，15:x=3:2 → 3x=15×2 → x=10；答：宽是10厘米； (3) 求2和8的比例中项：解：设比例中项为x，2:x=x:8 → x²=2×8=16 → x=4。理由：比例中项满足“平方=两数乘积”，故x=4。 4. 某果园面积共1200 m².果园的种桃树，剩下的按3：2的面积比种梨树和杏树.三种果树的种植面积分别是多少? 果园面积分配（桃树占，剩余按3:2种梨、杏） 解析：桃树面积：1200×=600(m²)； 剩余面积：1200-600=600(m²)； 梨树面积：600×=360(m²)； 杏树面积：600×=240(m²)；答：桃树600m²，梨树360m²，杏树240m²。 5. 一个普通成年人，身体内的水分约占体重的,其中在细胞、血浆、组织间液内的水分质量之比大约是10：1：4.问：体重为70kg的普通成年人体内水分大约是多少?其中在细胞、血浆、组织间液内的水分大约分别是多少? 解析：水分总量：70×=56(kg)； 总份数：10+1+4=15； 细胞内水分：56×≈37.33(kg)； 血浆内水分：56×≈3.73(kg)； 组织间液水分：56×≈14.93(kg)；答：水分总量约56kg，细胞内约37.33kg，血浆内约3.73kg，组织间液内约14.93kg。 6.某一篮球场地是长为28m,宽为15m的长方形.选用1：500比例尺画出它的平面图(只画出边界). 解析：单位换算：28m=2800cm，15m=1500cm； 图上长：2800×=5.6(cm)； 图上宽：1500×=3(cm)； 绘图：画长方形，长5.6cm，宽3cm（仅画边界） 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.3 比例（1） （沪教版） 一、学习目标 1.理解比例、比例中项等概念，会检判断四个量是否成比例； 2.理解比例的基本性质，会用比例基本性质求比例式中的未知量. 二、课前预习 预习课本 P9-11 “比例” 1.化简：①114：96=______,； 2.观察发现规律：____________________________ 3.在a、b、c、d四个量中，如果_____________,那么就说a、b、c、d成比例. 特别地，当b和c相同时，即____________成立，那么把b叫作a和d的比例中项. 4.在（1）中，______叫作_________的比例中项. 5.判断下面哪组中的两个比可以组成等式： (1)6：9和9：12; (2)1.4：2和28：40; (3)7.5：1.3和5.7：3.1. 6.求下列各式中x的值： (1)2：x=6：12; (2)x：0.3=0.4：0.8; 三、课堂学习 1.探究比例的意义 问题：求国旗的长宽之比 《中华人民共和国国旗法》对国旗的制作有明确规定.中华人民共和国国旗是长方形，长与宽之比为3：2,国旗的通用尺度分5种规格(单位：cm)： 1号：288×192; 2号：240×160; 3号：192×128; 4号：144×96; 5号：96×64. 288：192=3：2 240：160=3：2 192：128=3：2 144：96 =3：2 9 6：64 =3：2 比例的意义 在a、b、c、d四个量中，如果a：b=c：d,那么就说a、b、c、d成比例.特别地，当b和c相同时，即a：b=b：d成立，那么把b叫作a和d的比例中项. 例如，在上面的问题中，因为288：192=240：160所以说___和____，_____，_____成比例； 因为288：192=192：128，144：96 =96：64 ，所以____叫作_____和______的比例中项; 因为_______________中，96叫作_____和______的比例中项。 a、 b、c、d成比例记作_______=_______.或_______=_______.其中____________叫比例的外项， ______________叫做比例的内项。 交流预习情况： 判断下面哪组中的两个比可以组成等式： (1)6：9和9：12; (2)1.4：2和28：40; (3)7.5：1.3和5.7：3.1. 解：（1）6：99：12 （2）∵1.4：2=7：5，28：40=7：5 ∴1.4：2=28：40 即，1.4，2，28，40四个数成比例。 （3）7.5：1.35.7：3.1 2.探究比例的基本性质—— 如果a：b=c：d或,那么ad=bc. 反之，如果b、d都不为0且ad=bc,那么a：b=c：d或. 3.探究性质的应用 例1 利用比例的基本性质求下列各式中的x. (1) 4：x= ：2 (2) = 分析：先利用比例的基本性质把比例式化为等积式，再求x值。 例2你能运用比例的基本性质判断30、25、12、10这四个数成比例吗?请说明理由. 分析：判断四个数是否成比例，用“等积”来验证最方便，只需要验证“最大数×最小数”=“中间数×中间数”即可。 例3 求4和9的比例中项x(x>0) 分析：根据题意得 4：x=x：9 即x2=4×9 4.课堂小结 四、课内练习 1.填空题： （1）在比例 3：4 = 6：8 中，外项积是____，内项积是_____； （2）如果 a：5 = 7：b，那么 ab = _____； （3）若 x 是 4 和 9 的比例中项，则 x² = ____，x = _____； （4）把 12：18 = 2：3 改写成等积式是_________________。 2.判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）： （1）两个比一定能组成比例.（ ） （2）在比例里，两个内项的积减去两个外项的积，差是 0.（ ） （3）若 a：b = c：d，则 ad = bc.（ ） （4）8 是 4 和 16 的比例中项。（ ） 3.选择题： （1）下列各组比中，能组成比例的是（ ） A. 2：3 和 4：5 B. 和 3：2 C. 0.5：0.2 和 2：5 D.2：3 和 （2）如果 x：y = 3：4，那么（ ） A. 3x = 4y B. 4x = 3y C. xy = 3×4 D. x = y （3）已知比例 2：3 = 4：x，则 x = （ ） A. 6 B. 8 C. 10 D.12 4.求x的值： （1）x：5 = 10：25 （2）24：x = 18：15 （3） （4）0.8：x = 0.2：0.5 5.用 4、6、8、12 四个数组成不同的比例（至少写 2 个）. 6. 一个比例的两个外项分别是 3 和 12，两个内项相等，求这个比例的内项； 7. 配制一种农药，药粉和水的比是 1：500，现有药粉 3 千克，需要加水多少千克？（用比例解） 8.甲、乙两人的速度比是 3：4，相同时间内若甲走了 15 千米，乙走了多少千米？（用比例解） 五、课后练习 1.填空： （1）在比例中，外项积是______，内项积是________； （2）如果 4a = 7b（a、b≠0），那么 a：b = （ ）：（ ）； （3）若 x：y = 5：7，则 7x = ____； （4）1.5 和 6 的比例中项是______。 2.解比例： （1）18：x = 2：7 （2）x：0.6 = 1.2：0.8 （3） （4） 3.解决问题： （1）判断 1.2,1.5 , 0.8,1 能否组成比例; （2） 一个长方形的长和宽的比是 3：2，若长是 15 厘米，宽是多少厘米？（用比例解） （3） 求 2 和 8 的比例中项，并说明理由。 4. 某果园面积共1200 m².果园的种桃树，剩下的按3：2的面积比种梨树和杏树.三种果树的种植面积分别是多少? 5. 一个普通成年人，身体内的水分约占体重的,其中在细胞、血浆、组织间液内的水分质量之比大约是10：1：4.问：体重为70kg的普通成年人体内水分大约是多少?其中在细胞、血浆、组织间液内的水分大约分别是多少? 6.某一篮球场地是长为28m,宽为15m的长方形.选用1：500比例尺画出它的平面图(只画出边界). 学科网（北京）股份有限公司 $