专题05 三角函数的图像与性质（6知识&14大题型&分层验收）（期末复习讲义）高一数学上学期苏教版

该高中数学三角函数复习讲义通过核心考点表格与知识点对比表格系统构建知识体系，涵盖正弦余弦正切函数图像性质、y=Asin(ωx+φ)解析式与图像变换等内容，用表格归纳定义域值域等性质，清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，每个考点配套典例与变式题，如“由图像求解析式”题型结合五点法技巧培养数学思维，基础题巩固知识，综合题提升应用能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习效率高。

专题05 三角函数的图像与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正弦、余弦、正切函数的基本图像与性质 熟记y=sinx、y=cosx、y=tanx的图像形状，明确其定义域、值域、周期；能独立推导三者的奇偶性、单调性（单调区间）、对称中心/对称轴；会利用基本性质判断简单三角函数的取值范围 题型以单选/填空题为主；高频必考点，常考“性质判断”“函数值比较”，易错点是混淆正切函数的定义域限制 三角函数的单调性与最值 能结合定义域求三角函数的最值，解决含参数的最值问题；会利用单调性比较三角函数值大小 题型为单选/填空/解答题；高频考点，常考“求单调区间”“区间内最值”，易错点是忽略ω正负或定义域限制 三角函数的周期性与对称性 掌握三角函数周期的求解方法；能求三角函数的对称轴方程、对称中心坐标；会利用周期性简化计算 题型多为单选/填空题；中频考点，常考“求周期”“找对称特征”，易错点是忽略ω的绝对值对周期的影响 由三角函数图像求解析式 会从图像提取振幅A、周期T（求ω）；掌握用特殊点（结合单调性）求初相φ的方法；能验证解析式与图像的匹配性 题型以解答题为主，高频核心考点，常考“已知图像求y=Asin(ωx+φ)+b解析式”，易错点是求φ时符号错误 三角函数的图像变换（平移、伸缩） 掌握平移、伸缩变换的具体规则；区分 “先平移后伸缩” 与 “先伸缩后平移” 的平移量差异；会根据变换步骤写目标函数解析式 题型为单选/填空/解答题，高频考点，常考“变换步骤与函数互推”，易错点是平移时忽略横坐标伸缩对平移量的影响 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质 掌握该函数的振幅、周期、相位等含义；能结合图像分析其定义域、值域、单调性、对称性、最值；会解决该函数的综合问题（如与不等式、最值结合） 题型以解答题为主，分值8-12分；期末核心综合考点，常结合多知识点命题，是区分度较高的题目 知识点01 周期函数的概念 （1）周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 注意：定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. （2）最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. （3）周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 求三角函数周期的方法 ①定义法：利用周期函数的定义求解． ②公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, ③图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 知识点02 正（余）弦函数的图象 （1）正（余）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, （2）用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤 （1）确定五个关键点：最高点、最低点、与轴的三个交点（三个平衡点）； （2）列表：将五个关键点列成表格形式； （3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点； （4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征； （5）平移：将所作的上的曲线向左、向右平行移动（每次平移个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线． 知识点03 正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点04 正切函数的图象与性质 （1）定义域：， （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 知识点05 函数y＝Asin（ωx＋φ）图象 （1）A、φ、ω的含义 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 （2）用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识点06 三角函数图象变换 （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 （5）三角函数图象变换中的三个注意点 ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位 题型一 同角三角函数关系 解｜题｜技｜巧 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【典例1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】先由条件得到，结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，求 . 【答案】 【分析】切弦转化，将分子分母同时除以，从而将原式化为仅含有的表达式，再代入已知值计算. 【详解】． 故答案为：. 【变式2】（多选）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】（24-25高一上·江苏·期末）已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 题型二 诱导公式的应用 解｜题｜技｜巧 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 （3）诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【典例1】（24-25高一上·福建莆田·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求，再利用诱导公式求的值. 【详解】因为，所以. 又根据诱导公式，. 故选：D 【变式1】（多选）（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】已知及的范围，结合同角三角函数的基本关系可以求出，进而可得，再结合诱导公式对选项进行验证即可. 【详解】因为，所以，则． 则，， ，． 故选：AC 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义先求，再利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式列式计算得解. （2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法计算得解. 【详解】（1）依题意，，由是第二象限角，得， 又，解得，所以. （2）． 题型三 三角函数的周期 解｜题｜技｜巧 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期 【典例1】（24-25高一下·广东茂名·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用周期计算公式判断ABC中函数的周期，根据的图像判断其周期. 【详解】的最小正周期为，的最小正周期为， 的最小正周期为，的最小正周期为但不是奇函数. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·吉林·期末）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦型函数周期公式计算作答. 【详解】 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·北京西城·期末）若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数． (1)判断是否是好函数，证明你的结论； (2)对任意实数，函数满足．若是好函数， （i）当时，求； （ii）求证：不是周期函数； （iii）求证：是好函数． 【答案】(1)是好函数，不是好函数，证明见解析； (2)（i）（ii）证明见解析（iii）证明见解析 【分析】（1）根据好函数的定义直接判断即可； （2）（i）由所给条件直接得出（ii）假设函数为周期函数，推出矛盾可证明函数不是周期函数（iii）证明函数为好函数转化为证明为周期函数，再由函数周期的性质化简即可得证. 【详解】（1）因为，其中为周期函数，所以为好函数，、 若为好函数，则存在实数和周期函数，使得， 所以为周期函数，又由二次函数性质知当且仅当时， 取最小值，这与是周期函数矛盾， 所以不是好函数. （2）（i）由，， 可得. （ii）若是周期函数，设是的一个周期， 则，这与矛盾， 所以不是周期函数. (iii) 因为是好函数，所以存在实数和周期函数，使得， 由(ii)知，否则是周期函数，矛盾. 令， 以下证是以为周期的周期函数，是的周期， 假设存在，使得， 则 ，矛盾. 所以 ， 所以. 所以是好函数. 题型四 正弦函数、余弦函数的图像及应用 解｜题｜技｜巧 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. （2）余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. 【典例1】（24-25高一上·辽宁·期末）已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 【答案】A 【分析】画出在区间内的图象，可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，从而得到，求出答案. 【详解】当时，，当时，，当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图象， 可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同， 所以需满足，所以. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期末）设函数，则曲线与所有交点的横坐标之和为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据已知函数图象数形结合及已知函数的对称性求解横坐标之和即可. 【详解】曲线与的交点， 如图函数有7个交点， 因为与， 所以曲线与都关于对称， 所以所有交点的横坐标之和为. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ． 【答案】6 【分析】利用正弦型函数的周期，结合图形求解即可. 【详解】函数的最小正周期为， 显然，即是函数的周期， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图， 观察图象知，函数的周期相同，所以函数的最小正周期是6. 故答案为：6 【变式3】（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解. 作出与在给定区间上的图象，根据图象交点个数来确定函数的零点个数. 【详解】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 题型五 三角函数的定义域与值域 解｜题｜技｜巧 （1）三角函数的定义域求解技巧 ①结合函数结构限制：偶次根式：被开方数（含三角函数）≥0；分式：分母（含三角函数）≠0；对数：真数（含三角函数）>0；注意三角函数本身的定义域（如(tanx)要求。 （2）三角函数的值域求解技巧 ①利用有界性②换元法③配方法④单调性法 【典例1】（23-24高一上·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C 【典例2】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）已知，且． (1)求； (2)当时，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数值计算； （2）利用整体法结合正弦函数的性质计算即可. 【详解】（1），由，所以. （2）由（1）可知，因为，所以， 所以，故值域为 【变式1】（24-25高一上·山西·期末）若函数的定义域为，则的值域为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以的值域为， 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）下列说法不正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数在时的值域为 C．若，则的值为0 D．函数的单调递增区间是 【答案】D 【分析】对于A：根据根式以及余弦函数性质分析求解；对于B：以为整体，结合正弦函数分析求解；对于C：根据周期性和对称性分析求解；对于D：取特值结合单调性的定义分析判断. 【详解】对于选项A：令，则， 可得，解得， 所以函数的定义域是，故A正确； 对于选项B：因为，则， 可知，则，故B正确； 对于选项C：因为的最小正周期， 又因为，可知为的对称中心， 则， 即，且， 所以，故C正确； 对于选项D：当时，；当时，； 可知函数在不单调，故D错误； 故选：D. 【变式3】（24-253高一上·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)由题意可得，结合余弦函数的图象求解即可； (2)由题意可得，将所求式子重新结合，即可得答案. 【详解】（1）解：由题知：， ∴， 所以， ∴， 其定义域为. （2）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，，…，， 所以. 题型六 求三角函数的单调性与单调区间 解｜题｜技｜巧 三角函数单调性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性 【典例1】（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三角函数的周期性定义和三角函数图象逐选项判断即可. 【详解】对于A，，结合正弦函数图象可知，时，单调递增，时，单调递减，故A错误； 对于B，，，所以周期为， 因为，所以，所以， 结合正弦函数图象，函数在上单调递增，故B正确； 对于C，，因为，所以，结合余弦函数图象可知， 函数在单调递减，在单调递增，故C错误； 对于D，，当时，函数无意义，所以在上不单调递增，故D错误， 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的值域及单调递增区间. 【答案】(1) (2)值域为，增区间为 【分析】（1）由两角差的余弦定理结合辅助角公式可得，据此可得周期； （2）由正弦函数值域及单调区间可得答案. 【详解】（1）因为 所以 因为，所以的最小正周期为π； （2）当，时，，则，，有最大值为， 当，时，，则，，有最小值为， 所以的值域为 当时，解得 得的单调递增区间为. 【变式1】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调性的判定，求解内层函数的定义域，进而再求出单调性即可. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取，且的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得， 即， 解得 . 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．的单调递减区间为 D．在上的值域为 【答案】ABD 【分析】结合周期公式判断A，求函数的单调区间判断BC，结合不等式性质和正弦函数性质判断D. 【详解】函数的最小正周期为，A正确. 由，得， 所以的单调递增区间为，B正确. 由，得， 所以的单调递减区间为，C错误. 由，得，故， 所以，， 则在上的值域为，D正确. 故选：ABD. 【变式3】（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)；单调递减区间是， (2)，；， (3) 【分析】（1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间； （2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值； （3）由余弦函数的性质解不等式． 【详解】（1）的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. （2）∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． （3），即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 题型七 由三角函数的单调性或值域求参 解｜题｜技｜巧 已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【典例1】（24-25高一上·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）（24-25高一上·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 【变式2】（25-26高一上·全国·期末）已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的最值及对称中心得出周期进而得出的关系，再结合单调性得出的范围即可得出最大值. 【详解】因为， 所以时，取得最值,是图象的对称中心，则， 所以， 又因为在区间上单调，所以， 所以当时，取得最大值为． 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2)或5； (3) 【分析】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； （3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可； 【详解】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. （3）因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 【变式4】已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为， (2)． (3)． 【详解】解：（1）由题可得，所以函数的最小正周期为．由，可得，所以函数的图象的对称中心是． （2）因为在上单调递增，所以当时，，所以，解得．又．所以． （3）因为，所以，则，所以．又至少存在3022个根，所以可得至少包含3021个周期，即，所以的最小值为．又的最小值不小于3022，所以，所以． 题型八 三角函数的奇偶性与对称性 解｜题｜技｜巧 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. （3）三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0 ①若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. ②若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). （4）函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（24-25高一上·江苏扬州·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】先应用诱导公式化简得出，进而得出最小正周期及奇偶性即可判断. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为，函数是偶函数. 故选：D. 【典例2】（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的图象和性质即得. 【详解】令，，解得， 图象的对称轴是． 故选：C． 【变式1】（多选）（24-25高一上·广东·期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据三角函数的性质及复合函数的性质判断． 【详解】在区间上单调递增，但是奇函数，故A错误； 在上单调递增，且是偶函数，故B正确； 在上单调递减，是偶函数，故C错误； 在上单调递增，是偶函数，故D正确. 故选：BD. 【变式2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，验证可得答案. 【详解】根据题意，是奇函数，其定义域为， 则有，必有， 当时，，其定义域为， ， 为奇函数，符合题意. 故答案为：. 【变式3】（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象： ①关于点对称；②关于直线对称； ③关于点对称；④关于直线对称． 正确的序号为 ． 【答案】①④ 【分析】由条件根据正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】关于函数的图象， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故①正确； 令，求得，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故②不正确； 令，求得，可得它的图象不关于点对称，故③不正确； 令，求得，可得它的图象关于直线对称，故④正确， 故答案为：①④． 题型九 利用三角函数的奇偶性与对称性求参 【典例1】（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的性质，列式求解并赋值得答案. 【详解】由函数为上的奇函数，得， 解得，当时，，所给其他均不存在整数使其成立. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·江苏·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，可得，并代入求定义域检验即可. 【详解】由题意可得： ， 若是奇函数，则， 即恒成立，则，解得， 若，则， 显然，且，即， 可知的定义域为，关于原点对称， 此时为定义在上的奇函数，即符合题意. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由奇函数的定义求解即可. 【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以， 所以， 即， 所以，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用奇函数的性质建立方程，直接求解即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，所以，所以， 又，所以时，. 故答案为： 题型十 三角函数的零点问题 【典例1】（24-25高一上·江苏·期末）若函数在区间上恰有两个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，可得 ，由可求得，根据三角函数的图象及性质可求得，从而可求解. 【详解】因为 ， 所以，当 时， ，则 ． 令，可得 ， 要使得在区间[0,2]上恰有两个零点， 则，解得， 故的最小值为． 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则 . 【答案】66 【分析】易知在中恰有2个零点，由，分析中的零点数量即可. 【详解】由已知最小正周期为，故，在中恰有2个零点. 因为， 而区间中恰有个零点， 只需分析区间中的零点数量， 注意到相邻零点间的距离交替为，，而开区间长度为， 所以该区间中至少0个零点，至多2个零点，所以，， 所以. 故答案为：66 【变式1】（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合余弦函数的图象可得，解不等式组可求得正数的取值范围. 【详解】为使函数满足有且仅有三个零点，根据余弦函数的图象可得， 解得，故的取值范围是． 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·江苏·期末）已知函数在上有两个不同的零点，则 . 【答案】/ 【分析】由得，令，则，有两个不同的解，易得关于对称，所以，即得，由可得答案. 【详解】由，得， 则在上有两个不同的解. 当时，， 令，则，有两个不同的解. 易得关于对称， 所以，即， 所以，即，所以， 所以 . 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)设，证明：函数在上必有零点. 【答案】(1) (2)和 (3)证明过程见解析 【详解】（1）因为图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，， 所以该函数的最小正周期为，且， 又因为， 所以由， 把代入解析式中，得， 又因为，所以令，即，因此； （2）由， 因为， 所以令，得，即，而， 所以； 令，得，即，而， 所以 所以函数在上的单调增区间为，和； （3）， 当时，， 则，且在上的图象为一条连续不间断的曲线， 所以根据函数零点存在原理，函数在上必有零点. 【变式4】（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数的定义域为R，且，． (1)若，求A与； (2)证明：函数既是偶函数又是周期函数； (3)若为的一个周期，且在上单调递减，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明：在区间上有4048个需点，且． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1） 根据函数值计算求出余弦函数的参数值； （2）应用偶函数定义证明，应用周期定义证明； （3）赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式. 【详解】（1）因为， ① 令，可得，， 因为，所以， 由，得． 由，得， 解得． 因为，所以， 所以. （2）由（1）得，， ①中，令可得，， 即，所以函数为偶函数； 令得，， 即有， 从而可知，， 故， 即． 所以函数是一个周期为的周期函数． （3）由（1）得，， 在中， 令，可得， 因为，所以， 所以，又因为在上是减函数， 所以在上有且仅有一个零点． 中，令，得． 所以在区间上有且仅有一个零点． 又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点． ， 所以在内的零点为和． ，，． 因此，对任意，在上有且仅有两个零点： ，． 在上有4048个零点： ，，，，，，， 其中，． 题型十一 三角函数的图像变换问题 解｜题｜技｜巧 (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 【典例1】（24-25高一上·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【分析】先应用平移规则得出的解析式，再结合余弦函数的单调性判断各个选项即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当，则在区间上单调递减，A选项正确；B选项错误； 当， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减，C选项错误；D选项错误； 故选：A. 【变式1】（多选）（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 【答案】AB 【分析】根据选项中的平移单位和平移方向，进行验证即可. 【详解】，； 因为，所以将函数的图象右移个单位可得的图象，A正确； 因为，所以将函数的图象左移个单位可得的图象，B正确； 将函数的图象右移个单位, 得到的图象，C不正确； 将函数的图象左移个单位， 得到的图象，与目标函数的图象不符，D不正确； 故选：AB 【变式2】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的伸缩、平移变换可得结果. 【详解】由题可知：. 故选：B 【变式3】（多选）（24-25高一上·内蒙古包头·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】BC 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换即可求解. 【详解】对于A，将先向右平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故A错误； 对于B，将先向左平移个单位长度，可得， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，故B正确； 对于C，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故C正确； 对于D，将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得， 再向左平移个单位长度得，故D错误. 故选：BC. 题型十二 由图像求三角函数的解析式 解｜题｜技｜巧 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【典例1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用周期公式结合函数图象求出和的值，即，再找一点坐标代入函数解析式即可求值，再根据平移变换求出即可. 【详解】由函数图象可知，即，解得， 函数的最大值为，则， 所以函数解析式为， 将点代入解析式得，则, 解得， 又因为，所以时，， 所以函数解析式为， 将函数图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：A 【典例2】（24-25高一上·河南·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)， (2)（），对称中心为（）. (3) 【分析】（1）首先根据图象的最值确定，然后根据图象求出最小正周期，进而可求出，然后根据图象经过的点的坐标求出，从而得到函数的解析式；根据图象的变化和平移求出的解析式. （2）根据正弦函数的单调性和对称中心公式求出结果. （3）根据的范围和正弦函数的性质求出函数的值域. 【详解】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为， 所以，解得， 所以，所以， 又的图象过点，所以， 所以，解得， 又，所以，所以． 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到. （2）令，，解得，， 即函数的单调递增区间为（）， 令，，解得，， 所以函数的对称中心为（）. （3）当时，，所以， 所以，即函数在区间上的值域为． 【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）    A．B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图象，得，再根据图象平移求解. 【详解】根据图象，，， 所以，则， 则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【详解】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据图象上的最值、周期和点的坐标，结合正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先根据三角函数图象的伸缩变换得到，再求出在上的值域，将原问题转化为即可求解. 【详解】（1）根据图象可得，，则， 因为，所以， 将代入的解析式，得， 结合图象知，解得， 因为，所以， 所以． （2）由（1）知， 将的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍得的图象， 因为，所以，则， 所以， 故在上的值域为， 对任意的，，则只需即可， 所以，即实数的最小值为12． 题型十三 三角函数图像与性质的综合应用 【典例1】（多选）（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】AD 【分析】根据正弦型函数经过的特殊点，结合正弦型的对称性、单调性、周期性、图象平移的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的图象可知，且图象的最高点坐标为，与它相邻的零点为， 设函数的最小正周期为，则有，故A正确； 因为，由. 又由， 因为，所以时，，因此. 因为，故函数的图象不关于点中心对称，即B错误； 当时，设，因在没有单调性， 故函数在不是单调递减函数，故C错误； 该图象向右平移个单位可得，故D正确； 故选：AD 【典例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【详解】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 解得或， 即的取值范围为． 【变式1】（多选）（25-26高一上·广东·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B． C．若，则将的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数的图象重合 D．若关于的方程在区间内有两个实数解，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】A计算即可；B根据周期公式，代入计算函数值；C得出平移后的函数解析式，再利用诱导公式化简；D解方程，再求出符合题意的根，进而约束范围即可. 【详解】若，则，则为函数的最小值， 即直线为函数的一条对称轴，A正确； 因为，所以，B正确； 若，则将的图象向右平移个单位后， 所得的图象对应的函数为， 而，C错误； 由，得，，即，， 当时；当时；当时；当时； 若在区间内有两个实数解，则，解得，D正确． 故选：ABD． 【变式2】（24-25高一上·江苏·期末）已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为， (2)． (3)． 【详解】解：（1）由题可得，所以函数的最小正周期为．由，可得，所以函数的图象的对称中心是． （2）因为在上单调递增，所以当时，，所以，解得．又．所以． （3）因为，所以，则，所以．又至少存在3022个根，所以可得至少包含3021个周期，即，所以的最小值为．又的最小值不小于3022，所以，所以． 【变式3】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先解方程得出，或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围． 【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称． 又，所以的图象关于点对称， 则有，即， 又因为，所以． （2）因为，即在处取得最大值2，所以， 则，即，又，所以， 所以．令，可得， 由，可得，则， 所以在区间上的单调递减区间为． （3）方程可化为， 则，或． 由（2）可知，在区间上的图象如图所示， 因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解， 所以或 解得或． 所以实数的取值范围是． 【变式4】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求实数的值； (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数证明：有且只有一个零点，且． 【答案】(1)4 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由三角函数周期计算公式可得答案. （2）由题可得零点表达式，要使最小，则，n均为零点，据此可得答案； （3）由题可得，由单调性，正负情况结合零点存在性定理可得零点情况，然后由单调性可完成证明. 【详解】（1）的最小正周期为 ． （2）当时，令，解得 ，则或， 则或，.要使最小，则均为零点. 若，则大于的7个零点为：， 得，则此时，； 若，则大于的7个零点为：，， 得，则此时，，因， 则的最小值为； （3）由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为 所以根据零点存在定理，使得 故在上有且只有一个零点． ②当时，因为单调递增，单调递减， ，所以， 所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且 因为，所以， 所以 在上单调递减，，所以． 题型十四 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【典例1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【答案】 4 6 【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】对于，其最小正周期， 故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差， 又，故，解得， 令，即，， 由，得， 所以或，解得， 则一天中需要降温的时长为， 故答案为：4；6 【变式1】（24-25高一上·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为 ．若，则关于t的一个函数解析式为 ． 【答案】 （或2） （答案不唯一）． 【分析】做圆周运动的质点在相同时间内运动的弧长相等，通过计算可求的角速度之比，利用待定系数法设，利用周期、振幅、相位等概确定三角函数表达式中的参数即可求得结果. 【详解】因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长，且和在相同时间内运动的弧长相等，所以和在运动的角速度之比等于运动半径之比的倒数，即， 所以周期之比为二者的旋转方向相反． 设，由可知． 又因为的值域为，所以齿轮A的半径为1，的取值范围为． 所以，解得． 当时，，得， 所以．． 故答案为：（或2）；（答案不唯一）． 【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【答案】(1)米 (2) (3)或 【分析】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解； （2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （3）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； （2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中）， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． （3）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 【变式4】（24-25高一上·云南昭通·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 【答案】(1)； (2)14或22； (3). 【分析】（1）设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为根据已知得，，再由周期性及初始点求、，即可得解析式； （2）根据（1）及已知得，结合求解，即可得答案； （3）根据解析式，两座舱高度差绝对值为，结合正弦型函数的性质求取得最大值时的值. 【详解】（1）设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为 由题意知，，则， 依题意，则， 当时，，可得，故. （2）令，即，整理得， 由，则，所以或，解得或， 所以或时，1号座舱与地面的距离为16米． （3）依题意，， 所以 ， 令，解得， 所以当，取得最大值． 1．（23-24高一上·江苏·期末）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用正弦函数的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得； 反之，取满足，而， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立， 若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立， ∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件. 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 4．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意分析判断即可. 【详解】把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得， 再将图象向左平移个单位长度，得. 故选：B 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象， 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象， 将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象， 由于曲线恰好是函数的图象，故， 由得， 故， 故选：B 6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由弧长公式得到每段的弧长，相加后得到答案. 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为，第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为，第五段圆弧长度为， 所以“蚊香”的长度为. 故选：B. 7．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．的图象可由的图象向左平移个单位得到 B．的最小正周期是的2倍 C．与的单调性一致，且零点相同 D．正切函数是增函数，且是奇函数 【答案】AC 【分析】由平移规则以及诱导公式可得A正确，根据周期公式可得B错误，由余弦函数性质可判断C正确，利用正切函数定义域以及图象可判断D错误. 【详解】对于A，将的图象向左平移个单位可以得到，即A正确； 对于B，的最小正周期是，而的最小正周期是； 因此的最小正周期是的倍，即B错误； 对于C，根据余弦函数图象性质可知与的单调性一致，且零点相同，即C正确； 对于D，正切函数在区间上单调递增，不是增函数， 其图象关于原点对称，是奇函数，因此D错误. 故选：AC 8．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BC 【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A不正确； 对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得函数在单调递减，故B正确； 对于C，因为，故是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，显然不关于轴对称，故D不正确 故选：BC. 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】由，得 . 故答案为： 10．（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】由，所以， 依题意可得，解得，所以的最小值为. 故答案为： 11．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知为第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解； （2）利用齐次式以及弦切互化即可求解． 【详解】（1）因为为第三象限角，且， 所以，解得（正值舍去）， 所以； （2）． 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. (1)求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求得，根据当时，的最小值为，可得，即可求得； （2）根据三角函数的变换规则得到解析式，再由的取值范围，求出的范围，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以、， 依题意可得得， 又∵当时，的最小值为， ∴，又，即， ∴. （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到， 再向左平移个单位得到， 当，所以， 因为在区间上有最大值没有最小值，所以， 解得， 即实数的取值范围为. 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】首先利用诱导公式化简已知条件，得到，再结合同角三角函数的基本关系，将进行化简，将代入即可求解. 【详解】根据诱导公式可得 ， 即 ，所以 ， 则， 因为，则，而又因为， 所以， 将 代入得： ； 故选：D 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为， 所以由图象可得， 解得. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“同族函数”的定义，结合各选项函数的性质判断即可. 【详解】对于A，函数是定义域为R上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，A不是； 对于B，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，B不是； 对于C，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，C不是； 对于D，函数与函数的解析式相同，值域都为， 因此函数能被用来构造“同族函数”，D是. 故选：D 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定函数的性质，利用函数的奇偶性及函数取值情况判断即可. 【详解】函数中， ，，即函数定义域为， ， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除BD； 当时，，即，排除A. 故选：C 5．（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【详解】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 6．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数，.甲：当时，函数单调递减；乙：函数关于直线对称；丙：当时，函数单调递增；丁：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先根据正切函数单调性、复合函数单调性以及对称轴情况推翻甲乙，得到丙丁正确，根据丙的说法可以推出的取值范围为，根据丁的说法可以得到，两者结合即可得解. 【详解】对于甲：因为的单调递增区间为，关于单调递增， 所以不存在任何区间使得单调递减，故甲错误； 对于乙：因为的图象不存在对称轴， 而函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的， 所以函数的图象也不存在对称轴，故乙错误； 由题意甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确， 故只能丙丁论述正确， 若丙论述正确，即当时，函数单调递增， 则当时，关于单调递增， 由复合函数单调性可知此时应该有 ，解得， 所以此时满足题意， 当时，关于单调递增， 但，即存在使得，无意义， 所以此时不满足题意， 综上所述，满足题意的的取值范围为， 若丁论述正确，则，解得， 结合的取值范围为可知，只能. 综上所述，实数的值为. 故选：B. 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 【答案】ABD 【分析】求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的周期公式求出的值，可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的最值可得出关于的不等式组，结合可得出的取值范围，可判断C选项；由可求出的取值范围，分、两种情况讨论，结合正弦型函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，设函数的最小正周期为，由题意可知，则，故，A对； 对于B选项，由A选项可知，， 若是图象的一条对称轴，则，可得， 因为，则，B对； 对于C选项，因为，当时，， 因为函数在内无最大值，则， 所以，解得， 令，，则， 所以，，C错； 对于D选项，若，即， 当时，则， 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心； 当时，，此时函数上有且只有一个对称中心. 综上所述，当时，函数的图象在内有且仅有一个对称中心，D对. 故选：ABD. 8．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．的最小正周期是 C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 【答案】ACD 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，利用函数周期性的定义可判断；对于C，利用正弦型函数的对称性可判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：，，得，或， 因为，所以， 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以，所以，故A正确； 对B，， 因为， ， 故函数的最小正周期不是，结合图象可知，函数的最小正周期为，故B错误； 对C，， 由可得， 因此，函数的对称中心为，故C正确； 对D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第个根为，，故D正确． 故选：ACD. 9．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 . 【答案】10 【分析】分析函数的性质，再确定交点个数，进而求得答案. 【详解】函数在上单调递减，当时，， ，则的图象关于点对称， 的最小正周期为2，，的图象关于点对称， 因此函数与的图象有相同的对称中心，它们的交点关于点对称， 当时，，即当时，函数与的图象没有交点， 根据对称性，时两者没有交点， 当时，在上递增，在上递减，， ，， 当时，，因此当时，函数与的图象有2个交点， 根据对称性，时，两图像也有交点. 所以函数与的图象共有5个交点，. 故答案为：10 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，且，则， 由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单增区间为，取得最大值时的集合 (3) 【分析】（1）根据振幅和周期可得，代入最值点即可求， （2）利用整体法即可求解， （3）根据三角恒等变换可将问题转化为在上有四个不同的实数根，利用换元以及三角函数的图象，进一步将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可分离常数，结合对勾函数的图象求解. 【详解】（1）由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， （2）,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 （3）由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故，则， 令则且，故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 12．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． （2）， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． （3），设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数的图像与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正弦、余弦、正切函数的基本图像与性质 熟记y=sinx、y=cosx、y=tanx的图像形状，明确其定义域、值域、周期；能独立推导三者的奇偶性、单调性（单调区间）、对称中心/对称轴；会利用基本性质判断简单三角函数的取值范围 题型以单选/填空题为主；高频必考点，常考“性质判断”“函数值比较”，易错点是混淆正切函数的定义域限制 三角函数的单调性与最值 能结合定义域求三角函数的最值，解决含参数的最值问题；会利用单调性比较三角函数值大小 题型为单选/填空/解答题；高频考点，常考“求单调区间”“区间内最值”，易错点是忽略ω正负或定义域限制 三角函数的周期性与对称性 掌握三角函数周期的求解方法；能求三角函数的对称轴方程、对称中心坐标；会利用周期性简化计算 题型多为单选/填空题；中频考点，常考“求周期”“找对称特征”，易错点是忽略ω的绝对值对周期的影响 由三角函数图像求解析式 会从图像提取振幅A、周期T（求ω）；掌握用特殊点（结合单调性）求初相φ的方法；能验证解析式与图像的匹配性 题型以解答题为主，高频核心考点，常考“已知图像求y=Asin(ωx+φ)+b解析式”，易错点是求φ时符号错误 三角函数的图像变换（平移、伸缩） 掌握平移、伸缩变换的具体规则；区分 “先平移后伸缩” 与 “先伸缩后平移” 的平移量差异；会根据变换步骤写目标函数解析式 题型为单选/填空/解答题，高频考点，常考“变换步骤与函数互推”，易错点是平移时忽略横坐标伸缩对平移量的影响 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质 掌握该函数的振幅、周期、相位等含义；能结合图像分析其定义域、值域、单调性、对称性、最值；会解决该函数的综合问题（如与不等式、最值结合） 题型以解答题为主，分值8-12分；期末核心综合考点，常结合多知识点命题，是区分度较高的题目 知识点01 周期函数的概念 （1）周期函数的定义：函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 注意：定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. （2）最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. （3）周期函数的周期公式 （1）一般地，函数的最小正周期 （2）若函数的周期是，则函数的周期为, 求三角函数周期的方法 ①定义法：利用周期函数的定义求解． ②公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：若函数的周期是，则函数的周期为, ③图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可． 知识点02 正（余）弦函数的图象 （1）正（余）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, （2）用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤 （1）确定五个关键点：最高点、最低点、与轴的三个交点（三个平衡点）； （2）列表：将五个关键点列成表格形式； （3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点； （4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征； （5）平移：将所作的上的曲线向左、向右平行移动（每次平移个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线． 知识点03 正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点04 正切函数的图象与性质 （1）定义域：， （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即． （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 知识点05 函数y＝Asin（ωx＋φ）图象 （1）A、φ、ω的含义 ①A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. ②φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. ③ω决定了函数的周期 （2）用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 知识点06 三角函数图象变换 （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 （5）三角函数图象变换中的三个注意点 ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位 题型一 同角三角函数关系 解｜题｜技｜巧 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【典例1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则 . 【变式1】（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，求 . 【变式2】（多选）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·江苏·期末）已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 题型二 诱导公式的应用 解｜题｜技｜巧 (1)诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 七 八 角 正弦 余弦 正切 余切 口诀 函数名不变，符号看象限. 函数名改变，符号看象限. (2)诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0～2π的角求值 公式二 将0～2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将～π的角转化为0～的角求值 公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化 （3）诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 【典例1】（24-25高一上·福建莆田·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点在角的终边上，则=（ ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·陕西渭南·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【变式3】（24-25高一上·河北保定·期末）已知． (1)若是第二象限角，求的值； (2)求的值． 题型三 三角函数的周期 解｜题｜技｜巧 (1)公式法； (2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期 【典例1】（24-25高一下·广东茂名·期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·吉林·期末）函数的最小正周期为 . 【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【变式3】（23-24高一下·北京西城·期末）若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数． (1)判断是否是好函数，证明你的结论； (2)对任意实数，函数满足．若是好函数， （i）当时，求； （ii）求证：不是周期函数； （iii）求证：是好函数． 题型四 正弦函数、余弦函数的图像及应用 解｜题｜技｜巧 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象，如图所示. （2）余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. 【典例1】（24-25高一上·辽宁·期末）已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 【变式1】（24-25高一上·四川眉山·期末）设函数，则曲线与所有交点的横坐标之和为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的最小正周期是 ． 【变式3】（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五 三角函数的定义域与值域 解｜题｜技｜巧 （1）三角函数的定义域求解技巧 ①结合函数结构限制：偶次根式：被开方数（含三角函数）≥0；分式：分母（含三角函数）≠0；对数：真数（含三角函数）>0；注意三角函数本身的定义域（如(tanx)要求。 （2）三角函数的值域求解技巧 ①利用有界性②换元法③配方法④单调性法 【典例1】（23-24高一上·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）已知，且． (1)求； (2)当时，求的值域． 【变式1】（24-25高一上·山西·期末）若函数的定义域为，则的值域为 ． 【变式2】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）下列说法不正确的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数在时的值域为 C．若，则的值为0 D．函数的单调递增区间是 【变式3】（24-253高一上·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求的值 题型六 求三角函数的单调性与单调区间 解｜题｜技｜巧 三角函数单调性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解； (2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性 【典例1】（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的值域及单调递增区间. 【变式1】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．的单调递减区间为 D．在上的值域为 【变式3】（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 题型七 由三角函数的单调性或值域求参 解｜题｜技｜巧 已知三角函数的单调性求参数的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 【典例1】（24-25高一上·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东揭阳·期末）（24-25高一上·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·全国·期末）已知函数，，且在区间上单调，则的最大值为 ． 【变式3】（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【变式4】已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 题型八 三角函数的奇偶性与对称性 解｜题｜技｜巧 (1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可. (2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可. （3）三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0 ①若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数. ②若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z). （4）函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【典例1】（24-25高一上·江苏扬州·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【典例2】（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（24-25高一上·广东·期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知是奇函数，则 . 【变式3】（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象： ①关于点对称；②关于直线对称； ③关于点对称；④关于直线对称． 正确的序号为 ． 题型九 利用三角函数的奇偶性与对称性求参 【典例1】（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则 ． 【变式3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则 . 题型十 三角函数的零点问题 【典例1】（24-25高一上·江苏·期末）若函数在区间上恰有两个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）设，当实数变化时，在区间中至少有个零点，至多有个零点，则 . 【变式1】（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·江苏·期末）已知函数在上有两个不同的零点，则 . 【变式3】（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)设，证明：函数在上必有零点. 【变式4】（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数的定义域为R，且，． (1)若，求A与； (2)证明：函数既是偶函数又是周期函数； (3)若为的一个周期，且在上单调递减，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明：在区间上有4048个需点，且． 题型十一 三角函数的图像变换问题 解｜题｜技｜巧 (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象； (2)变同名：函数的名称要变得一样； (3)选方法：即选择变换方法. 【典例1】（24-25高一上·北京顺义·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【变式1】（多选）（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 【变式2】（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高一上·内蒙古包头·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 题型十二 由图像求三角函数的解析式 解｜题｜技｜巧 由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ. (2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求. 【典例1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·河南·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求函数和的解析式； (2)求函数的单调递增区间和对称中心； (3)求函数在区间上的值域． 【变式1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（   ）    A．B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 题型十三 三角函数图像与性质的综合应用 【典例1】（多选）（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（    ）    A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【典例2】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式1】（多选）（25-26高一上·广东·期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B． C．若，则将的图象向右平移个单位后，所得的图象与函数的图象重合 D．若关于的方程在区间内有两个实数解，则的取值范围为 【变式2】（24-25高一上·江苏·期末）已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 【变式3】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 【变式4】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求实数的值； (2)若函数在上恰有8个零点，求的最小值； (3)设函数证明：有且只有一个零点，且． 题型十四 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 三角函数的常见应用类型 ①三角函数在物体简谐运动问题中的应用 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态. ②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. ③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解 决这些问题. 【典例1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h． 【变式1】（24-25高一上·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【变式2】（24-25高一上·福建厦门·期末）如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度之比为 ．若，则关于t的一个函数解析式为 ． 【变式3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【变式4】（24-25高一上·云南昭通·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 1．（23-24高一上·江苏·期末）“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 4．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 5．（23-24高一上·江苏常州·期末）将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）如图所示，省锡中数学社团用数学软件制作的“蚊香”图.画法如下：作一个边长为1的等边，然后以B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……，以此类推，当得到的“蚊香”恰好有5段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．的图象可由的图象向左平移个单位得到 B．的最小正周期是的2倍 C．与的单调性一致，且零点相同 D．正切函数是增函数，且是奇函数 8．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知，则 ． 10．（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 . 11．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知为第三象限角，且． (1)求的值； (2)求的值． 12．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为. (1)求的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，则（    ） A． B． C．4 D．6 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数，.甲：当时，函数单调递减；乙：函数关于直线对称；丙：当时，函数单调递增；丁：函数图象的一个对称中心为.甲、乙、丙、丁四人对函数的论述中有且只有两人正确，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若是图象的一条对称轴，则 C．若在区间内无最大值，则 D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心 8．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．的最小正周期是 C．的对称中心， D．若方程在上有且只有个根，则 9．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则 . 10．（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 . 11．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当，方程有解，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $