专题04 幂函数、指数函数和对数函数（13知识&12大题型&分层验收）（期末复习讲义）高一数学上学期苏教版

该高中数学复习讲义通过表格梳理核心考点、复习目标与考情规律，以知识框架系统呈现幂函数、指数函数和对数函数的定义、图象及性质，突出参数对函数形式的影响等重难点，明晰三类函数的内在联系。 讲义亮点在于“题型+技巧+变式”分层设计，如“幂指对函数的过定点问题”题型，通过“含变量部分取定值”技巧引导学生掌握推理方法，培养数学思维与模型意识。典例覆盖选择、填空、解答题，变式题满足不同层次学生需求，助力教师实施精准复习教学。

专题04 幂函数、指数函数和对数函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂函数的概念 能根据幂函数定义判断函数类型，或结合已知点求幂函数的解析式；掌握幂函数中参数α的取值对函数形式的影响 多以选择/填空题出现，考查“判断是否为幂函数”“给定点求幂函数解析式” 幂函数的图像与性质 能独立推导常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性；会利用幂函数的单调性比较同底数幂值的大小，或求解简单的幂函数不等式 选择/填空题为主，考查“图像性质判断”“幂值大小比较”，偶尔结合其他函数出综合题 指数函数的概念 掌握指数函数定义（形如y=ax），明确底数a的取值限制及原因；能区分“指数函数”与“指数型函数（如y=kax）”；能根据指数函数定义求参数的取值范围 选择/填空题，考查“判断是否为指数函数”“给定点求指数函数解析式 指数函数的图像与性质 熟练推导指数函数的定义域、值域、单调性，能结合单调性求最值；会利用指数函数的性质解指数方程、指数不等式，或比较指数值的大小 选择/填空/解答题均会涉及，考查“图像识别”“指数值比较”“解指数不等式”，常与其他函数综合 对数函数的概念 掌握对数函数定义（形如y=logax，且），明确其定义域（x>0）的要求；能根据对数函数定义求参数的取值范围 题型：单选/填空题（1题），分值3分；判断是否为对数函数、求参数范围 对数函数的图像与性质 熟练推导对数函数的定义域、值域、单调性，能结合单调性求最值；能利用性质解对数方程/不等式（需验证定义域），或比较对数值的大小 单选/填空/解答题（1-2题），分值3-12分；利用单调性比较对数值/解不等式、结合定义域求参数；解对数不等式时忘记验证定义域应用错误 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意： ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 知识点03 指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 注意：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 知识点04 指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 注意：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象 知识点05 指数函数的图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 知识点06 指数函数复合的函数单调性 （1）一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. （2）求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 知识点07 解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解 知识点08 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 注意：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 注意：①对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. ②logax前边的系数必须是1。 ③自变量x在真数的位置上，且只有x。 知识点09 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 知识点10 当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点11 对数函数复合的函数的性质 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 知识点12 对数及对数型函数解不等式 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 知识点13 反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数； 两个函数互为反函数具有以下性质： ①一个函数的定义域和值域正好是另一个函数的值域和定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； ③互为反函数的两个函数的单调性相同．但单调区间不一定相同 题型一 幂函数的概念与求值 解｜题｜技｜巧 （1）幂函数的求值技巧 ①先通过待定系数法确定幂函数的解析式； ②将待求自变量的值代入解析式计算； ③代入前需先判断自变量是否在该幂函数的定义域内 （2）若幂函数含参数（如已知y=xm2−2m−3的性质求参数）： ①先结合幂函数的定义确定参数的初步范围； ②根据题目条件（如 “过定点”“单调性”）列方程 / 不等式求解参数； ③代入参数确定解析式后，再计算目标值 【典例1】（24-25高一上·山东济南·期末）若幂函数的图象经过点，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【典例2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数，则“”是“为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ． 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数是幂函数，一次函数（，）的图象过点，则的最小值是 . 【变式3】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 题型二 幂函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 【典例1】（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·河北张家口·期末）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·安徽池州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·福建漳州·期末）已知幂函数在区间单调递增. (1)求k的值; (2)若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 题型三 指数（型）函数的图像判断 解｜题｜技｜巧 （1）抓核心定点快速定位 指数函数y=ax(a>0且a≠1\)必过定点(0,1)；指数型函数（y=kax+b)必过定点(0,k+ b)。解题时先看图像是否经过对应定点，可快速排除不符合的选项。 （2） 由底数a的范围判断单调性 若a>1，指数（型）函数在定义域内单调递增，图像呈“上升”趋势； 若0<a<1，函数在定义域内单调递减，图像呈“下降”趋势。通过图像的增减方向，可直接确定底数a的大致范围。 （3） 用特殊点坐标验证底数 取x=1代入函数：对y=ax，x=1时y=a：若a>1，该点纵坐标>1；若0<a<1，纵坐标<1。结合定点和x=1处的坐标，可精准锁定底数a的取值，排除错误图像。 （4） 结合图像变换分析指数型函数 指数型函数是基本指数函数经平移/伸缩得到的。通过变换规律，可由基本指数函数图像推导指数型函数的图像形状 （5）根据函数的奇偶性来排除错误选项 【典例1】（24-25高一上·江苏·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C．D．   【变式1】（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．B．C．D．   【变式2】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A． B．  C． D．   题型四 指数（型）函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 （1） 基本指数函数单调性的判定核心 指数函数y=ax（a>0且a≠1）的单调性由底数a直接决定：当a>1时，函数在R单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减。解题时先锁定底数范围，即可快速确定单调性方向。 （2） 单调性应用：指数值大小比较 同底数：直接用指数函数单调性，比较指数的大小； 不同底数：借助“中间值（如1、0）”过渡 底数、指数均不同：转化为同底数/同指数（如利用幂函数性质）后再比较。 （3） 单调性应用：解指数不等式 步骤：①统一底数：将不等式两边化为同底数的指数形式 ②去指数符号：若a>1，则不等号方向不变；若0<a<1，则不等号方向反转； ③解内层不等式：同时结合内层函数的定义域限制。 【典例1】（25-26高一上·江西·期末）函数，且，则和的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【变式3】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，若且，求的取值范围. 题型五 指数函数（复合函数）及应用 解｜题｜技｜巧 （1）指数型复合函数的单调性判断（同增异减） 对于指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1）：先确定内层函数u=f(x)的单调区间；结合外层指数函数y=au的单调性：若a>1，则y与u=f(x)的单调性一致（同增同减）；若0<a<1，则y与u= f(x)的单调性相反（一增一减）。注意：需先保证内层函数f(x)的定义域有效。 （2）单调性应用：求最值/值域 用“同增异减”法确定y=af(x)的单调区间；结合f(x)的定义域，求出f(x)的取值范围；根据外层指数函数的单调性，推导y=af(x)的最值或值域。 【典例1】（24-25高一上·广东·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ，若恒成立，则的最大值为 . 【变式1】（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数，，，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 【变式3】（24-25高一上·新疆和田·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围. (2)求的单调区间. (3)当时，求的最值. 题型六 对数（型）函数的图像判断 解｜题｜技｜巧 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. （4） 根据函数的奇偶性排除错误选项 （5） 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 【典例1】（24-25高一上·宁夏银川·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【典例2】（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】（24-25高一上·重庆永川·期末）函数的大致图象是（     ） A．  B． C．  D．   【变式2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【变式3】（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   题型七 对数（型）函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 函数，且)的单调性 当0<a<1时，在(0，+∞)上是减函数。当a>1时，在(0，+∞)上是增函数 【典例1】（24-25高一上·湖南长沙·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（24-25高一上·上海长宁·期末）对数函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数为 ． 【变式1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·山东日照·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八 对数（型）复合函数及应用 解｜题｜技｜巧 （1）y＝logaf(x)型函数性质 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. （2）对数及对数型函数解不等式 形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 【典例1】（25-26高一上·贵州·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【变式1】（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的值域为 B．当时，的单调递减区间为 C．取任意实数时，均有的图象关于直线对称 D．若的定义域为全体实数，则实数的取值范围是 【变式2】（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，则 ；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 题型九 幂指对函数的过定点问题 解｜题｜技｜巧 （1）幂函数：y=xa（a为常数）必过定点(1,1)；若a>0，还过定点(0,0)。 指数函数：y=ax（a>0且a≠1）必过定点(0,1) 对数函数：y=logax（\(a>0且a≠1\)）必过定点(1,0) （2）复合型函数过定点的核心思路：让函数中“含变量的部分取定值”，消除参数（如底数、系数）的影响 ①找到函数中“随x变化的可变部分”（如指数型的指数、对数型的真数）； ②令该可变部分等于“使函数取定值的数”（指数取0、对数真数取1、幂函数底数取1）； ③解出x的值，代入函数计算对应的y值，即为定点坐标。 （3）含参数定点的验证技巧：求出定点后，代入原函数验证：无论参数（如底数:a、系数k）取何值（满足定义域），函数均经过该点，即定点与参数无关。 【典例1】（24-25高一上·江西景德镇·期末）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数且的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知幂函数在区间上单调递减，则函数且的图象过定点 . 【变式2】（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为 ． 【变式3】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 题型十 利用幂指对函数的性质比大小 解｜题｜技｜巧 （1） 幂函数y=xa：同指数：依a正负定单调性，自变量与幂值同增/同减；同自变量：看自变量区间，x>1时指数越大值越大，0<x<1时指数越大值越小。 指数函数y =ax：同底数：依a与1的大小定单调性，指数与函数值同增/同减。 对数函数y=logax：同底数：依a与1的大小定单调性，真数与函数值同增/同减； 同真数：用“底大图低”规律，结合真数区间判断大小。 （2） 混合函数类型比较逻辑用“中间值分层法”： ①以0、1为分界，先将各数归为“<0”“0~1”“\>1”三类； ②同类内再用单一函数的性质细化比较； ③整合各类结果得到最终大小顺序。 （3）复杂数值比较逻辑分步拆解：先通过中间值粗分类，再在同类内用幂/指/对的单调性逐步递推，最终整合排序。 【典例1】（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·山东潍坊·期末）设，，，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·贵州黔南·期末）设则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·山东威海·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型十一 指数函数与对数函数的情境应用 【典例1】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：） 【变式2】（24-25高一上·湖南永州·期末）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【变式3】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 题型十二 幂指对函数的综合应用 【典例1】（25-26高一上·吉林·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)若，求范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围. 【典例2】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是幂函数. (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数有两个零点，，且，求实数的取值范围； (3)请问是否存在实数，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求出实数，的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【变式3】（25-26高一上·江西·期末）已知函数，. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若， ①求证：； ②求的值； (3)令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 2．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数且的图像经过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，则下列各式中恒等的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 8．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ． 10．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 12．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (3)已知，若，当且仅当，求实数、的值. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）如果函数满足，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·期末）任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知点在幂函数的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期末）空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则函数的零点为 C．若，则函数的最小值为2 D．为奇函数，且，使得成立，则的最小值为 9．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数若的最小值为，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 11．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 12．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂函数、指数函数和对数函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂函数的概念 能根据幂函数定义判断函数类型，或结合已知点求幂函数的解析式；掌握幂函数中参数α的取值对函数形式的影响 多以选择/填空题出现，考查“判断是否为幂函数”“给定点求幂函数解析式” 幂函数的图像与性质 能独立推导常见幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性；会利用幂函数的单调性比较同底数幂值的大小，或求解简单的幂函数不等式 选择/填空题为主，考查“图像性质判断”“幂值大小比较”，偶尔结合其他函数出综合题 指数函数的概念 掌握指数函数定义（形如y=ax），明确底数a的取值限制及原因；能区分“指数函数”与“指数型函数（如y=kax）”；能根据指数函数定义求参数的取值范围 选择/填空题，考查“判断是否为指数函数”“给定点求指数函数解析式 指数函数的图像与性质 熟练推导指数函数的定义域、值域、单调性，能结合单调性求最值；会利用指数函数的性质解指数方程、指数不等式，或比较指数值的大小 选择/填空/解答题均会涉及，考查“图像识别”“指数值比较”“解指数不等式”，常与其他函数综合 对数函数的概念 掌握对数函数定义（形如y=logax，且），明确其定义域（x>0）的要求；能根据对数函数定义求参数的取值范围 题型：单选/填空题（1题），分值3分；判断是否为对数函数、求参数范围 对数函数的图像与性质 熟练推导对数函数的定义域、值域、单调性，能结合单调性求最值；能利用性质解对数方程/不等式（需验证定义域），或比较对数值的大小 单选/填空/解答题（1-2题），分值3-12分；利用单调性比较对数值/解不等式、结合定义域求参数；解对数不等式时忘记验证定义域应用错误 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征 ①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意： ①单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数． 当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 知识点03 指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 注意：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 知识点04 指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 性质 过定点（0，1），即时， 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是增函数 在上是减函数 注意：（1）当时，指数函数的图象是“上升”的；当时，指数函数的图象是“下降”的． （2）指数函数且)的图象恒过点，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数且)的大致图象 知识点05 指数函数的图象位置关系 底数的大小决定了图象相对位置的高低． （1）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序． （2）在轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为 知识点06 指数函数复合的函数单调性 （1）一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. （2）求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 知识点07 解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解 知识点08 对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 注意：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 注意：①对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1. ②logax前边的系数必须是1。 ③自变量x在真数的位置上，且只有x。 知识点09 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的增函数 知识点10 当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 知识点11 对数函数复合的函数的性质 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. 知识点12 对数及对数型函数解不等式 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 知识点13 反函数 一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数； 两个函数互为反函数具有以下性质： ①一个函数的定义域和值域正好是另一个函数的值域和定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； ③互为反函数的两个函数的单调性相同．但单调区间不一定相同 题型一 幂函数的概念与求值 解｜题｜技｜巧 （1）幂函数的求值技巧 ①先通过待定系数法确定幂函数的解析式； ②将待求自变量的值代入解析式计算； ③代入前需先判断自变量是否在该幂函数的定义域内 （2）若幂函数含参数（如已知y=xm2−2m−3的性质求参数）： ①先结合幂函数的定义确定参数的初步范围； ②根据题目条件（如 “过定点”“单调性”）列方程 / 不等式求解参数； ③代入参数确定解析式后，再计算目标值 【典例1】（24-25高一上·山东济南·期末）若幂函数的图象经过点，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】求出函数的解析式，再求值即可. 【详解】因为为幂函数，所以设， ，解得， 所以，所以. 故选：B 【典例2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数，则“”是“为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由为幂函数，可得或，然后根据逻辑命题判断即可. 【详解】函数为幂函数， 所以或， 则“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ． 【答案】 【详解】由已知得，解得，所以在区间上单调递增，则． 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数是幂函数，一次函数（，）的图象过点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出，从而，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，解得， 将代入一次函数得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 题型二 幂函数的图象与性质 解｜题｜技｜巧 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 【典例1】（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·河北张家口·期末）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义求得或，进而分析奇偶性、单调性、最值即可判断各选项. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为，为奇函数， 且在上均为减函数，在定义域上不单调，无最值； 当时，，定义域为，为奇函数， 且在定义域上为增函数，无最值. 综上所述，结合选项可知，ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·上海·期末）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域、单调性列不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】函数的定义域为， 且为偶函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以，等价于， 所以， 即 即且， 故实数a的取值范围是， 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·安徽池州·期末）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象与性质分析的符号，结合幂函数的性质判定选项即可. 【详解】由图象可知，所以， 根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确. 故选：B 【变式3】（24-25高一上·福建漳州·期末）已知幂函数在区间单调递增. (1)求k的值; (2)若函数，则是否存在实数m，使得的最小值为4?若存在，求m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)1 (2)存在m=3 【分析】（1）根据幂函数的定义，可求得k值，根据的单调性，分析判断，即可得答案. （2）由（1）得，则，分别讨论对称轴、和三种情况，根据二次函数的性质，求解即可得答案. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 当时，在区间单调递减，不符合题意， 当时，在区间单调递增，符合题意， 所以. （2）由 （1） 函数的解析式为， 由函数，得， 函数为开口向上，对称轴为的抛物线， ①当即时，则，解得，满足题意； ②当时，即时，则，无解，舍去； ③当时，即时，则，解得，不满足，舍去； 综上所述，存在使得的最小值为4. 题型三 指数（型）函数的图像判断 解｜题｜技｜巧 （1）抓核心定点快速定位 指数函数y=ax(a>0且a≠1\)必过定点(0,1)；指数型函数（y=kax+b)必过定点(0,k+ b)。解题时先看图像是否经过对应定点，可快速排除不符合的选项。 （2） 由底数a的范围判断单调性 若a>1，指数（型）函数在定义域内单调递增，图像呈“上升”趋势； 若0<a<1，函数在定义域内单调递减，图像呈“下降”趋势。通过图像的增减方向，可直接确定底数a的大致范围。 （3） 用特殊点坐标验证底数 取x=1代入函数：对y=ax，x=1时y=a：若a>1，该点纵坐标>1；若0<a<1，纵坐标<1。结合定点和x=1处的坐标，可精准锁定底数a的取值，排除错误图像。 （4） 结合图像变换分析指数型函数 指数型函数是基本指数函数经平移/伸缩得到的。通过变换规律，可由基本指数函数图像推导指数型函数的图像形状 （5）根据函数的奇偶性来排除错误选项 【典例1】（24-25高一上·江苏·期末）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，又， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D； 当时，，，所以，故排除C. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可． 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，∴函数为奇函数，故C错误； 又∵，故D错误； 当时，，故B错误,A正确. 故选：A． 【变式2】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 题型四 指数（型）函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 （1） 基本指数函数单调性的判定核心 指数函数y=ax（a>0且a≠1）的单调性由底数a直接决定：当a>1时，函数在R单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调递减。解题时先锁定底数范围，即可快速确定单调性方向。 （2） 单调性应用：指数值大小比较 同底数：直接用指数函数单调性，比较指数的大小； 不同底数：借助“中间值（如1、0）”过渡 底数、指数均不同：转化为同底数/同指数（如利用幂函数性质）后再比较。 （3） 单调性应用：解指数不等式 步骤：①统一底数：将不等式两边化为同底数的指数形式 ②去指数符号：若a>1，则不等号方向不变；若0<a<1，则不等号方向反转； ③解内层不等式：同时结合内层函数的定义域限制。 【典例1】（25-26高一上·江西·期末）函数，且，则和的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，分，和，三种情况讨论，结合指数函数的单调性判断正负，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 当时，可得，，则，即； 当时，，，则，即； 当时，，，则，即， 综上可得，. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：D 【变式2】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为函数在上单调递减， ∵，解得 ∴实数a的取值范围为 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数. (1)若存在，使得不等式有解，求的取值范围； (2)对于定义域内的，若且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分析的单调性并将问题转化为“存在，使得不等式有解”，根据二次函数的最值可求解出结果. （2）求出函数，再借助基本不等式求出的范围，进而用表示出，由此求的范围. 【详解】（1）函数， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，由存在，不等式有解， 得存在，不等式有解，即存在，不等式有解， 而当时，，则，所以实数的取值范围为. （2）依题意，， 由，得， 而，即，当且仅当时取等号， 解得，即，又， 则，即， 因此，而，则， 于是， 所以的取值范围为. 题型五 指数函数（复合函数）及应用 解｜题｜技｜巧 （1）指数型复合函数的单调性判断（同增异减） 对于指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1）：先确定内层函数u=f(x)的单调区间；结合外层指数函数y=au的单调性：若a>1，则y与u=f(x)的单调性一致（同增同减）；若0<a<1，则y与u= f(x)的单调性相反（一增一减）。注意：需先保证内层函数f(x)的定义域有效。 （2）单调性应用：求最值/值域 用“同增异减”法确定y=af(x)的单调区间；结合f(x)的定义域，求出f(x)的取值范围；根据外层指数函数的单调性，推导y=af(x)的最值或值域。 【典例1】（24-25高一上·广东·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ，若恒成立，则的最大值为 . 【答案】 6 【分析】探讨函数的奇偶性及单调性，再利用此性质解不等式求出的范围；换元并利用基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数是偶函数， 当时，令， 由于函数在上单调递增，而函数是增函数， 所以函数在上单调递增， 由于， 所以， 所以，整理得，解得或， 所以的取值范围为； 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 不等式可化为， 所以恒成立， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为6. 故答案为：；6 【变式1】（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2】（多选）（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数，，，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 【答案】ABC 【分析】求得函数的解析式，结合指数函数的性质，可判定A正确；求得，可判定B正确；由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定C正确；把不等式转化为，得到，求得不等式的解集，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为， 则的单调递减区间为，所以A正确； 对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确； 对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 可得，解得，所以D错误. 故选：ABC. 【变式3】（24-25高一上·新疆和田·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围. (2)求的单调区间. (3)当时，求的最值. 【答案】(1). (2)单调递增区间为：，单调递减区间为：. (3)最小值4，最大值64. 【分析】（1）由，得，根据指数函数的单调性可得，即可求解的取值范围； （2）由二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增；又指数函数在上单调递增，根据复合函数单调性即可求解； （3）当，，所以，即可求解函数的最值. 【详解】（1）因为，所以，根据指数函数的单调性可得，即，解得或. 所以的取值范围为. （2）已知函数的对称轴：，由二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增； 又指数函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性可知 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当，，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值. 题型六 对数（型）函数的图像判断 解｜题｜技｜巧 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. （4） 根据函数的奇偶性排除错误选项 （5） 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 【典例1】（24-25高一上·宁夏银川·期末）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 【典例2】（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·重庆永川·期末）函数的大致图象是（     ） A．  B． C．  D．   【答案】D 【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断. 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·山西·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用函数奇偶性、函数值的正负，并结合排除法即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除BD. 又当时，，故排除A. 故选：C. 题型七 对数（型）函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 函数，且)的单调性 当0<a<1时，在(0，+∞)上是减函数。当a>1时，在(0，+∞)上是增函数 【典例1】（24-25高一上·湖南长沙·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由在单调递增，得可以推出，反之不成立，进而求解. 【详解】由在单调递增，所以， 当时，没有意义，所以不能推出， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·上海长宁·期末）对数函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，对数函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大2， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由指数函数及对数函数的单调性判断即可； 【详解】因为，由的单调性可得：， 由，易得， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 【变式2】（24-25高一上·山东日照·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和讨论求解. 【详解】当时，由，可得，即，解得， 当时，由，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：B. 题型八 对数（型）复合函数及应用 解｜题｜技｜巧 （1）y＝logaf(x)型函数性质 ①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域. ②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域. ③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定) ④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定. ⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值. （2）对数及对数型函数解不等式 形如logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 【典例1】（25-26高一上·贵州·期末）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数定义域，然后由复合函数单调性可得答案. 【详解】令，求得，故函数的定义域为 ，且.要求函数的单调递增区间 ，即求函数在内的增区间，因在上单调递增， 则函数的单调递增区间是. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 【变式1】（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，的值域为 B．当时，的单调递减区间为 C．取任意实数时，均有的图象关于直线对称 D．若的定义域为全体实数，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，利用配方法整理内函数，根据对数函数的单调性，可得答案； 对于B，令内函数大于零，根据一元二次不等式解得函数的定义域，利用二次函数与指数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案； 对于C，判断与的等量关系，结合对数运算，可得答案； 对于D，将问题等价于一元二次不等式恒成立，利用分离参数与配方法，可得答案. 【详解】对于A，当时，函数，由，则，故A正确； 对于B，当时，函数，令，则，解得或， 所以函数的定义域为， 由函数的对称轴为直线，则该函数在上单调递减， 由函数在上单调递增，则函数的单调递减区间为，故B错误； 对于C，由，， 则，即， 所以函数的图象关于直线成轴对称，故C正确； 对于D，由的定义域为全体实数，则在上恒成立， 可得，所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式2】（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，则 ；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得的值，进而计算可得的值，可得第一空答案；对于，设，则，求得的取值范围，结合函数的图象分析解的情况即可求解． 【详解】依题意，，； 令，，当且仅当时取等号， 则或，当或时，方程有两个相等的根， 当或时，方程有两个同号且不相等的实根， 方程化为，而， 当时，在上递减；当时，在上递减， 因此由方程有4个不等的实数根，得方程在上各有一个实根， 则函数在的图象与直线有两个交点，如图： 观察图象知，当时，直线与在的图象有两个交点， 所以的取值范围是. 故答案为：； 【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知函数，． (1)直接写出时，的最小值． (2)若，求证：在上存在唯一零点． (3)若，有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据基本不等式可求得的最小值； （2）先判断的单调性，再证，根据零点存在性定理即可得证； （3）由题意，求出的值，令，将存在两个个零点转化为在上存在一个零点或两个零点为和2，再结合二次函数分情况讨论即可. 【详解】（1）根据题意，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的最小值为2 （2）当时，， 令， 所以函数在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在区间上单调递减 又， 而，， 且 所以 又，， 则，所以． 又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点 （3）由，解得，则， 令，则 ∴有且仅有两个零点等价于在上有且仅有一个零点或两个零点为和2 令，则在上有且仅有一个零点或两个零点为和2. （ⅰ）若零点为和2，则无解； （ⅱ）若，则，令可得，故满足题意； （ⅲ）若，图象的对称轴为， 由在上有且仅有一个零点，则有 ①或 整理得或 解得， ②，解得. 综上，的取值范围为 题型九 幂指对函数的过定点问题 解｜题｜技｜巧 （1）幂函数：y=xa（a为常数）必过定点(1,1)；若a>0，还过定点(0,0)。 指数函数：y=ax（a>0且a≠1）必过定点(0,1) 对数函数：y=logax（\(a>0且a≠1\)）必过定点(1,0) （2）复合型函数过定点的核心思路：让函数中“含变量的部分取定值”，消除参数（如底数、系数）的影响 ①找到函数中“随x变化的可变部分”（如指数型的指数、对数型的真数）； ②令该可变部分等于“使函数取定值的数”（指数取0、对数真数取1、幂函数底数取1）； ③解出x的值，代入函数计算对应的y值，即为定点坐标。 （3）含参数定点的验证技巧：求出定点后，代入原函数验证：无论参数（如底数:a、系数k）取何值（满足定义域），函数均经过该点，即定点与参数无关。 【典例1】（24-25高一上·江西景德镇·期末）幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数 函数的图象过定点问题，得出结论. 【详解】幂函数在上单调递增， ，且， 求得， 故， 令， 求得， 可得的图象过定点， 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数且的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先求出，从而可求幂函数，故可求. 【详解】因为，故， 设，故，故，故， 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·内蒙古·期末）已知幂函数在区间上单调递减，则函数且的图象过定点 . 【答案】 【分析】由幂函数的定义和性质求解a的值，代入解析式，再结合指数函数的性质求解. 【详解】幂函数在区间上单调递减， 则且， 解得， 所以， 令得，此时， 故的图象过定点 故答案为： 【变式2】（24-25高一上·河北廊坊·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数（，且）的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对数函数的性质求出点坐标，从而得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】对于函数（，且），令，即， 此时， 即函数（，且）的图象恒过定点， 则（，且）， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】先根据对数函数的性质求出点的坐标，再求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质可得答案. 【详解】由，得，则， 所以函数（且）恒过定点， 设过点的幂函数为，则，得， 所以过点的幂函数为， 此幂函数的图象只经过第一、二象限， 故选：A 题型十 利用幂指对函数的性质比大小 解｜题｜技｜巧 （1） 幂函数y=xa：同指数：依a正负定单调性，自变量与幂值同增/同减；同自变量：看自变量区间，x>1时指数越大值越大，0<x<1时指数越大值越小。 指数函数y =ax：同底数：依a与1的大小定单调性，指数与函数值同增/同减。 对数函数y=logax：同底数：依a与1的大小定单调性，真数与函数值同增/同减； 同真数：用“底大图低”规律，结合真数区间判断大小。 （2） 混合函数类型比较逻辑用“中间值分层法”： ①以0、1为分界，先将各数归为“<0”“0~1”“\>1”三类； ②同类内再用单一函数的性质细化比较； ③整合各类结果得到最终大小顺序。 （3）复杂数值比较逻辑分步拆解：先通过中间值粗分类，再在同类内用幂/指/对的单调性逐步递推，最终整合排序。 【典例1】（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【详解】由，即. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·山东潍坊·期末）设，，，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·贵州黔南·期末）设则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性,选取中间值和即可比较. 【详解】因为指数函数在上为减函数, 所以, 因为指数函数在上为增函数, 所以, 因为对数函数在上为减函数, 所以, 所以. 故选: D 【变式3】（24-25高一上·山东威海·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数及指数函数的单调性计算判断即可. 【详解】在上单调递减，则； 单调递增，所以；又单调递减，所以， 所以. 故选：B. 题型十一 指数函数与对数函数的情境应用 【典例1】（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，利用对数的运算可求得的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 【变式2】（24-25高一上·湖南永州·期末）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【答案】C 【分析】由条件可得时，，由此可求，再由列方程求判断结论. 【详解】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半， 所以可近似认为时，， 又与死亡年数之间的函数关系式为， 所以，故， 所以， 令，可得， 两边取以为底数的对数可得，又， 所以， ， 所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 题型十二 幂指对函数的综合应用 【典例1】（25-26高一上·吉林·期末）已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且. (1)求函数和的解析式； (2)若，求范围； (3)若关于的方程有实根，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果； （2）可化为可解得结果； （3）转化为有实根，令，则转化为即有正根，令设，则，则转化为有大于的实根，讨论，根据对勾函数的单调性可得结果. 【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数， 所以，， 则，解得. （2）不等式可化为，即， 所以，则，得， 所以不等式的解集为. （3）关于x的方程有实根，即有实根， 所以有实根， 令，则有正根， 所以有正根， 因为， 设，则，， 当时，， 当且时，， 所以或，且， 所以或， 综上所述：. 【典例2】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是幂函数. (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)若，且关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数定义列式求解； （2）由得，而，运算得解； （3）由（1）结合求得，不等式有解化简等价于有解，利用求得答案. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得. （2）由（1）知， 因为，所以， 所以， 即. （3）由（1）知，因为，所以，即，所以. 所以关于的不等式有解，等价于有解， 因为函数在上单调递增，所以有解，即有解， 所以，解得. 所以，实数的取值范围为. 【变式1】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数. (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数有两个零点，，且，求实数的取值范围； (3)请问是否存在实数，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求出实数，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）令，换元可得，利用二次函数求值域； （2）设，，由，可得，是方程的两个不等的根，由韦达定理列式运算得解； （3）由复合函数的单调性可得的减区间为，增区间为，由，可得，即，即是方程在区间上的两个不相等的实数根，转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，数形结合得解. 【详解】（1）设，因为，所以， 所以， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以函数的值域为. （2）设，，若函数有两个零点，则函数有两个零点， 由，则， 令，可得是方程的两个不等的根， 则，， 所以， ，解得， 所以实数的取值范围为. （3）由函数在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递减， 由复合函数的单调性可得的减区间为，增区间为， 由，必有，可得， 由函数的减区间为，则， 可得是方程在区间上的两个不相等的实数根， 方程，即， 可化为，又，有，， 方程可化为，即， 又由函数和函数单调递增， 结合图象可知，方程在区间上的两个不相等的实数根， 又由和满足方程，故方程的根为，即，， 故存在，满足题意. 【变式2】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知． (1)求证：； (2)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)在R上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论； （2）结合函数解析式判断其单调性，利用函数单调性定义即可证明； （3）判断函数的奇偶性，化简，并转化为，令，可得，继而化为对于恒成立，利用函数单调性即可求解. 【详解】（1）由题意可知； ， 故. （2）由题意得，其定义域为R， 在R上单调递增， 证明：任取，不妨设， ， 因为，故， 又，故，即得， 故在R上单调递增； （3）由题意知的定义域为R，，即为奇函数； 可化为， 即，即， 令，因为，故，则， 由于在R上单调递增，可得， 结合题意可得对于恒成立， 而，， 结合对勾函数在上单调递增，可得， 即，故. 【变式3】（25-26高一上·江西·期末）已知函数，. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若， ①求证：； ②求的值； (3)令，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）化简得二次函数，利用二次函数单调性求最值； （2）①由指数运算性质化简证明；②用倒序相加法求解； （3）设，则问题等价于在区间上有解，分离参数转化为最值问题求解. 【详解】（1） ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为； （2）①证明：若，则， ， ②设+ ， 则， 两式相加得，由即得， 故. + ； （3）， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点， 则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则，令， 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 1．（24-25高一上·江苏镇江·期末）式子的值为（    ） A． B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意利用指数与指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得到结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质及指数函数的性质判断的范围即可. 【详解】易知， 又因为，即，所以， 所以. 故选：A 4．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数且的图像经过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数，令解出，进而得的定点. 【详解】令，，所以过定点. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，则下列各式中恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则，对选项中的等式，逐一验证是否恒等即可 【详解】对于A，，所以A错； 对于B，，所以B错； 对于C，，所以C错； 对于D，，所以D对； 故选：D 7．（多选）（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 【答案】ABD 【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误； 【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C错误； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则，故D正确. 故选：ABD 8．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，若存在四个不同的值，使得，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作出的图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，再根据对称性和对数运算逐一判断即可. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 所以直线与的图象4个交点的横坐标分别为， 选项A：因为关于对称，所以，A说法错误； 选项B：因为，由图象可得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由图象可得，所以，C说法正确； 选项D：由图象可知， 所以，D说法正确. 故选：AB 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知幂函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【分析】由题意得，求出，再把点的坐标代入函数中可求出，从而可求出的值. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，得，所以， 因为幂函数的图象过点， 所以，则，得，解得， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 . 【答案】 －2 －1 【分析】根据幂函数的定义和偶函数的性质即可解出，令，将不等式转化为恒成立问题，即可求解. 【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或， 又，则指数须为偶数，所以. 所以，则， 不等式可化为，令， 则，时取等号，不等式变为. 当时，不等式不成立； 当时，令二次函数，其对称轴为，， 要使在时恒成立， 则且，解得，所以的最大值为. 故答案为：－2；－1. 11．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)；函数在上单调递增 (2)答案见解析 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，再由复合函数的单调性可得判断的单调性； （2）由函数的单调性解抽象函数不等式，再利用换元法结合对数的运算对讨论即可； 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增. （2）由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 12．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. (1)求实数的值； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； (3)已知，若，当且仅当，求实数、的值. 【答案】(1)选①，或选②， (2)选①或选②，个 (3)选①，，；选②，， 【分析】（1）若选①，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；若选②，由，结合对数的运算性质可求得实数的值； （2）若选①或②，当时，求出函数的解析式，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）若选①或②，分、两种情况解不等式，根据其解集为，由此可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）若选①，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以； 若选②，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以. （2）若选①，当时，函数. 因为在上单调递减， 且在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 又因为在定义域上单调递减， 所以函数在上单调递减. 又因为的图象连续不间断， 且，，则， 所以在区间上有唯一的零点. 若选②，（2）当时，函数. 因为在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增， 又因为在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又因为的图象连续不间断， 且，， 所以在区间上有唯一的零点. （3）若选①，因为，若， 当且仅当，所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，解得， 所以，则，解得，； 若选②，因为，若，当且仅当， 所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，所以， 所以，所以，则， 解得，. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）如果函数满足，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出，再代入计算可得. 【详解】因为，令，则， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用对数函数单调性以及三角函数周期性对取特殊值，可判断得出结论. 【详解】根据对数函数单调性由可知，不妨取， 此时，不满足，即充分性不成立； 若，不妨取， 此时，不满足，即必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象性质，先可得，从而可判断，，，从而得解. 【详解】根据函数为增函数， 由于，则， 所以，即， 因为，所以，即， ，所以. 故选：B 4．（24-25高一上·江苏南通·期末）任何一个正实数N可以表示成的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 【答案】B 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【详解】， 是610位数. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知点在幂函数的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、幂函数、对数函数、三角函数等知识来确定正确答案. 【详解】由于点在幂函数的图象上， 所以， 在上单调递减， 由于，所以， ， 所以，即. 故选：D 6．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性、在上的函数值符号以及函数的零点个数，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意的，，则恒成立， 由可得，解得， 故函数的定义域为， 因为， 所以，函数为奇函数，排除D选项， 由得，可得， 故函数有无数个零点，排除B选项， 当时，，，则， 则，此时，，排除A选项. 故选：C. 7．（多选）（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】构造函数函数，可得函数在是增函数，从而可得，再对选项中结论逐一分析即可. 【详解】对于A，因为，由对数函数的定义域可得， ，，A正确； 对于BD，， 即， 构造函数， 因为在都是增函数， 所以函数在是增函数， 由可得， ，，B错误，D正确， 对于C，因为，，C正确， 故选：ACD. 8．（多选）（23-24高一上·江苏南通·期末）空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（    ） A．若，则为奇函数 B．若，则函数的零点为 C．若，则函数的最小值为2 D．为奇函数，且，使得成立，则的最小值为 【答案】AD 【分析】由奇偶性判断A，直接解出零点判断B，利用基本不等式求值域判断C，由奇函数求得，对不等式能成立，进行分离参数转化为求函数的最值得参数范围，从而判断D． 【详解】对于A，当时，，函数定义域为R， 所以，，为奇函数，故A正确； 对于B，若，，， 则函数，整理得，即， 解得，，所以函数的零点为0和，故B错误； 对于C，若，则， 当时，，当且仅当，即时等号成立, 当时，，当且仅当，即时等号成立； 所以，故C错误； 对于D，若为奇函数，则， 所以， 所以，则， 若使成立， 则， 若，则，， 所以，即能成立， 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，则的最小值为，故D正确. 故选：AD 9．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数若的最小值为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由分段函数确定每段的最小值，再通过大小比较即可求解； 【详解】依题意，的最小值为. 因为当时，，此时最小值为， 所以必有，即. 再保证时，的最小值为， 令，可知等价于当时，的最小值为， 由对勾函数的单调性可知：，在单调递减，在单调递增； 故，即. 综上，. 故答案为： 10．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数，则的值域为 .若函数满足为奇函数，且函数与的图象有个交点，记为，则 . 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合指数函数的值域与不等式的基本性质可求得函数的值域；推导出函数、的图象关于点对称，结合对称性可求得的值. 【详解】因为，由于，则，则， 所以，，即函数的值域为， 因为， ， 所以，， 所以，函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，则， 所以，，则函数的图象关于点对称， 因为函数与的图象有个交点，记为， 不妨设， 所以，点与点关于点对称，且有，， 所以，，， 因此，. 故答案为：；. 11．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数的单调性判断函数的单调性，由得出，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知在上的最小值不小于在上的最小值，求出函数在上的最小值，对实数的取值进行分类讨论，求出函数在上的最小值，结合题意可得出关于实数的不等式，综合求出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，令，， 对任意的，则， 内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 所以在上单调递增， 所以不等式得到， 所以，解得，所以实数的取值范围是． （2）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为直线，， 当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是． 12．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数，的解析式； (2)求函数的值域； (3)若（）在上有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，即可求解； （2）化简可得的表达式，结合对数函数的单调性即可求得值域； （3）化简得到解析式，讨论脱去绝对值符号，继而讨论a的取值范围，判断函数的单调性，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，。 因为函数为奇函数，为偶函数， 故，， 可得，； （2）对于，当时，， 则，此时 。 由于，则； 当时，，，则， 当时，， 则，此时 ， 由于，则； 综合上述可知； （3）， 当时，， 当时，，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 即，解得； 当时，，在上不可能有三个零点； 当时，，故在上单调递增，在单调递减， 要满足题意，需满足，其中， 由于，故解集为； 综合以上可得实数a的取值范围为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $