第6章 幂函数、指数函数和对数函数（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

第6章 幂函数、指数函数和对数函数全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 由幂函数的图象与性质求参数 1．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【解题思路】利用幂函数的定义和单调性列式计算即得. 【解答过程】由幂函数的图象在上单调递减， 得，所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据幂函数定义确定，确定或，再根据条件：函数在上是增函数，确定，确定或，再根据函数为奇函数验证的值即可求解. 【解答过程】因为函数幂函数， 所以，解得或， 因为函数在上是增函数， 所以，解得，所以（舍去）， 因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意； 当时，幂指数，为奇函数，符合题意； 所以满足条件的为. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为 . 【答案】2 【解题思路】根据幂函数的奇偶性及单调性求出即可. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以，解得， 所以可取， 当时，为奇函数，图象关于原点对称， 当时，为偶函数，图象关于轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称， 故. 故答案为：2. 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数（）的图像关于y轴对称且在上是严格增函数.求m和k的值. 【答案】， 【解题思路】根据函数为幂函数得到方程，求出，再结合单调性得到，结合，得到m=1或m=2或m=3，去掉不满足函数奇偶性的解，得到答案. 【解答过程】因为是幂函数，所以， 解得：． 又因为幂函数在上是严格增函数，那么，解得：． 由于，则或或， 当或时，，图像关于原点对称，不合题意； 当时，，图像关于y轴对称，符合题意． 综上，，． 5．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解； （2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解. 【解答过程】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得， 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 题型2 比较幂值的大小 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【解答过程】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【解答过程】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）与的大小关系是 ． 【答案】 【解题思路】运用幂函数单调性可判定. 【解答过程】幂函数在单调递减.且 ，则. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用幂函数在上的单调性即可求得； （2）利用幂函数在上的单调性和函数为偶函数的特征分析判断即得. 【解答过程】（1）幂函数在上是严格减函数，又，则． （2）∵幂函数在上是严格增函数，且图象关于轴对称， ∴，又，则． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据在单调性比较大小； （2）根据在单调性比较大小； （3）根据函数在单调性比较大小. 【解答过程】（1）因为幂函数在定义域上单调递减， 且，所以． （2）幂函数的定义域为，且在上单调递减， 又因为，所以函数为奇函数，所以在上单调递减， 又因为，所以． （3）因为函数在上是单调递增函数，而，所以． 题型3 利用幂函数的性质解不等式 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【解答过程】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则满足的实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据幂函数的性质确定，进而利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解. 【解答过程】因为幂函数的图象关于轴对称， 且在上是减函数， ，则，当时是奇函数，不满足题意， ，时是偶函数且在上是减函数，，满足题意， 根据函数图象关于轴对称，且在上是减函数， 可得在上是增函数， 由可知定义域为， 由，可得， 所以， 即，解得或， 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【解题思路】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【解答过程】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数． (1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于原点对称进行求值； （2）利用（1）中得出的函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述，. （2）由（1）得为奇函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即， 所以满足的实数的取值范围为. 题型4 解指数不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【解答过程】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可. 【解答过程】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】按照和分类讨论，利用指数函数单调性将不等式转化为二次不等式的求解，即可得解. 【解答过程】当时，单调递增，故等价于， 即，解得或，不符合题意； 当时，单调递减，故等价于， 即，解得，符合题意，故的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）由指数函数定义求得，再由已知函数值求得； （2）由函数的单调性解不等式． 【解答过程】（1）因为函数是指数函数， 所以，又，故解得，则， 又，则（负值舍去）． （2），它是定义在R上的减函数， 不等式化为， 所以，解得． 所以不等式的解集为． 5．（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将点代入解析式中即可得解； （2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解； （3）利用指数函数的单调性可求解. 【解答过程】（1）指数函数的图象过点， ，，，； （2）由（1）知，， ，，，， ，； （3）不等式，即， 在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为． 题型5 指数型函数的图象问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【解答过程】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 2．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】根据函数图象的奇偶性和特殊位置的函数值排除、求解即可. 【解答过程】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，故B错误； 故选：A. 3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【解答过程】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 4．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析，答案见解析 (2) 【解题思路】（1）利用指数函数的图象与函数图象的变换即可作出的图象，再数形结合即可得到的单调区间及值域； （2）将问题转化为与的图象有两个交点，从而数形结合即可得解. 【解答过程】（1）因为的图象是由的图象向下平移两个单位而得， 而的图象是由的图象保留轴上方的图象， 再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得， 所以的大致图象如图， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. （2）因为函数的图象与轴有两个不同的交点， 所以有两个零点，即与的图象有两个交点， 结合图象可知，，解得， 即实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的图像. 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【解题思路】(1)根据函数的奇偶性，进行求解即可； (2)利用函数的奇偶性，即可得解； (3)根据解析式，画出图象. 【解答过程】（1）因为是定义域为上的奇函数， 则. （2）当时，，则， 则. （3）作出图形如下图所示： 题型6 指数型复合函数及其应用 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【解题思路】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【解答过程】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】讨论和的情况，根据可求得值，进而得到解析式；根据复合函数单调性和奇偶性可得单调性，利用单调性和奇偶性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【解答过程】当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 当时，（当且仅当时取等号）， ，解得：，， ，即为定义在上的偶函数； 当时，令，则， 在上单调递增，由复合函数单调性知：在上单调递增， 在上单调递增， 由得：，即，解得：， 不等式的解集为. 故选：A. 3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则m的取值范围 . 【答案】 【解题思路】令，即可判断的奇偶性与单调性，从而将问题转化为，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】令，则的定义域为， 且， 所以为奇函数， 又，，均在上单调递减，所以在上单调递减， 则在上单调递减，又为连续函数，所以在上单调递减， 又， 所以不等式，即， 即，即， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【解答过程】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，由单调性化简，然后分离参数转化求函数最值． 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即． 所以； （2）函数在上是减函数， 证明如下：由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以， 又，，所以， 即，所以函数在上是减函数； （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是减函数，故，即 ， 因为， 因为，所以有最大值9，所以， 故的取值范围为：． 题型7 指对幂比较大小 1．（24-25高一上·云南·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【解答过程】由，即. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性分别得到的范围从而判断得到结果. 【解答过程】，，， 故，，，所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 【答案】 【解题思路】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小. 【解答过程】由，，， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据的单调性比较出大小； （2）利用对数函数单调性和中间值比较出； （3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小 【解答过程】（1）因为函数在上是增函数，又，所以． （2）由于，所以． （3）因为，， 所以． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)判断并证明函数在区间上的单调性； (2)已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2)，理由见解析 【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可； （2）先比较三个数的大小，再利用函数的单调性即可比较a，b，c的大小. 【解答过程】（1）函数， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为，，， 所以， 由（1）可知函数在区间上是增函数， 所以，即. 题型8 解对数不等式 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【解答过程】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【解答过程】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集是 . 【答案】 【解题思路】根据题意，由对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【解答过程】不等式可转化为， 由对数函数单调性可得， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或. (2) 【解题思路】（1）利用对数运算将方程进行化简，然后将视作为整体，解方程即可； （2）根据函数单调性的情况，分情况讨论求解实数a的取值范围. 【解答过程】（1）时，， ， 方程，即，化简得， 所以或，解得或. （2）， ①当时，函数在上单调递减， 故，解得：，此时； ②当时，函数在上单调递增， 故，解得：， 综上可得的取值范围为. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法解方程计算即可； （2）利用对数函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）∵函数的图象过原点， 又 即，解得， 所以的值为2，的值为﹣2． （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， 即不等式的解集为 题型9 对数型复合函数及其应用 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【解题思路】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【解答过程】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析函数的对称性及其在区间上的单调性，即可得出、、的大小关系. 【解答过程】对任意的，，所以，函数的定义域为， ， 所以，函数的图象关于直线对称， 当时，， 函数在上为增函数， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为减函数， 所以，函数在上为减函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，， ，且， 因为，，则， 所以，，同理可得， 故， 所以，，即， 故选：A. 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】先根据偶函数定义得是偶函数，再根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，从而利用单调性将不等式转化为，根据和分别求解a的范围，最后求交集即可. 【解答过程】对于函数，因为， 所以恒成立，其定义域为R， 又， 且， 所以为R上的偶函数. 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以等价于，即，即. 当时，恒成立，所以； 当时，恒成立，所以. 综上，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3). 【解题思路】（1）根据对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义可得出结论； （3）由求出的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）对于函数且， 由解得，故函数的定义域为. （2）函数为偶函数.理由如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，故函数为偶函数. （3）依题意， 若，则，解得. 设，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又在其定义域内单调递增， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为，所以，解得， 所以的取值集合为. 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【解题思路】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【解答过程】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 题型10 指数函数与对数函数的综合应用 1．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】已知时，根据指数和对数函数的性质可知在上单调递增，根据零点讨论的范围，得出当时，；根据函数的奇偶性，即为定义在上的奇函数，得出当时，，合并确定不等式的解集. 【解答过程】当时，，易得在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 又为定义在上的奇函数， 所以当时，，当时，，当或时，. 综上，不等式的解集为. 故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知函数，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，探讨函数的及单调性，再利用此性质求解不等式. 【解答过程】依题意，，函数的定义域为， ， 函数是奇函数，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：C. 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用单调函数来求值域，再利用等式恒成立来研究值域的包含关系，从而可求参数范围. 【解答过程】由在区间单调递增，可知此时函数值域为， 再由， 当时，可知在区间上单调递增，所以此时函数值域为， 因为，使得， 所以有， 即，解得， 由于此时，所以有， 当时，可知在区间上单调递减，所以此时函数值域为， 因为，使得， 所以有， 即，解得， 由于此时，所以有， 当时，可知， 因为，所以对，总能使得， 即，满足题意， 综上所述可得：的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【解答过程】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. （2）由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知是定义在上的奇函数，. (1)求的值及的定义域； (2)若，求的取值范围； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）利用求得，，再用奇偶性定义检验，代入即可求出函数的定义域； （2）利用（1）已得，代入不等式，利用对数函数的单调性即可求出的取值范围； （3）将函数的解析式化简整理成，令，故，令，判断其单调性得，即得，从而有，利用对数函数单调性即得的取值范围. 【解答过程】（1）为上的奇函数，故解得， 又，解得， 当，时，， 由可得：是奇函数. 此时，由，得， 故的定义域为. （2）由可得，，故， 即，故的取值范围是. （3） 由的解析式可知，故， 令，故，令， 不妨设，则 ， 故，所以在上单调递增， 故， ， 故，解得. 即的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 幂函数、指数函数和对数函数全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 由幂函数的图象与性质求参数 1．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0 2．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为 . 4．（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数（）的图像关于y轴对称且在上是严格增函数.求m和k的值. 5．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 题型2 比较幂值的大小 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·随堂练习）与的大小关系是 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)． 题型3 利用幂函数的性质解不等式 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则满足的实数的取值范围为 ． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数． (1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 题型4 解指数不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式：的解集是，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 5．（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 题型5 指数型函数的图象问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间及值域； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)写出的解析式； (3)画出函数的图像. 题型6 指数型复合函数及其应用 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）若定义在上的函数的最小值为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数，若，则m的取值范围 . 4．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 5．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论； (3)若，使成立，求实数的取值范围． 题型7 指对幂比较大小 1．（24-25高一上·云南·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，，比较a，b，c的大小关系： ． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)，与． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数 (1)判断并证明函数在区间上的单调性； (2)已知，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由． 题型8 解对数不等式 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·阶段练习）不等式的解集是 . 4．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知且． (1)若，解关于的方程； (2)若，求的取值范围． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 题型9 对数型复合函数及其应用 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 2．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，若对于任意的，恒成立，则a的取值范围是 . 4．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数且. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)若，求满足的的取值集合. 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 题型10 指数函数与对数函数的综合应用 1．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知函数，且满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，若，使得，则实数的取值范围是 . 4．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)若，求实数x的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知是定义在上的奇函数，. (1)求的值及的定义域； (2)若，求的取值范围； (3)若恒成立，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $