精品解析：福建省厦门市同安区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学

2025-2026学年第一学期初二期中练习 数 学 (满分: 150分 时长: 120分钟) 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷共三大题，25 小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确) 1. 剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 同安银湖大桥全长约为 米，是连接同安老城与城南片区的交通要道．其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全．这么做的依据是（ ） A. 三角形的内角和是 B. 外形美观 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 3. 如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，O是的重心．若的面积是6，则阴影部分的面积的和是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 6. 在中， ， ， 则这个三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 如图，点D 为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 14 B. 15 C. 19 D. 23 8. 如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，，轴．若， ， ， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 根据下列已知条件，能组成并确定它的形状和大小的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 点在线段上， 点在射线上， 连接，以为边向右作等边，连接．点从点 出发，沿方向运动，长度的变化规律是（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11. 化简：______． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为____________． 13. 如图，上午6时，一条船从海岛A 出发，以15 海里/时的速度向正北航行，8时到达海岛B 处． 分别从A， B 望灯塔 C， 测得．则海岛 B 与灯塔C的距离是_______ 海里． 14. 如图， ，点D 在边上，若，则的度数为__________． 15. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角______． 16. 如图，在中，，点D为中点，平分．点M，N在线段上运动．连接．当的值最小时，______ 三、解答题(本题有9 小题，共86分) 17. 计算 ． 18. 解方程组 19. 如图，已知平分，，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于x轴对称的其中点A的对称点是，点B的对称点是．点C的对称点是． （2）点是内部一点，点P在内部的对应点是点Q．若的面积为6，求a的值． 21. 如图，在中，AD是的角平分线，点E在的延长线上，．垂足为，，．求的度数． 22. 如图，在 中， 点D在上， 且． （1）尺规作图：在上求作一点 P，使 (保留作图痕迹，不写作法)； （2）在 (1) 的条件下， 连接， 求证：． 23. 我们生活在一个充满对称的世界中，对称给我们带来很多美的感受！轴对称是一种重要的对称．生活中有许多轴对称图形，如交通标志中的警告标志通常采用等腰三角形的形状．学校需要用一些硬纸板做一些校内指示牌．指示牌也采用等腰三角形的形状，但现在学校里只有一些形状不同的硬纸板，老师让同学们在劳动课上制作指示牌，要求不浪费硬纸板． （1）学校里有一部分硬纸板的形状是含角的直角三角形(如图所示)．小安只需要沿着裁剪一刀就能得到2个指示牌，请你说明小安的具体做法并说明理由． （2）是否存在一种直角三角形的硬纸板，至少可以用两种方法将它拆分成两个指示牌？若有，将这个直角三角形较小的锐角求出来；若没有，请说明理由． 24. 材料一： 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的斜等线段，也称这两条线段互为斜等线段， 例如：下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是则下列各图中的线段都是相应线段的斜等线段． 材料二： 在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果两条边不等，那么他们所对的角也不等，大边所对的角较大．反过来，大角所对的边较大．(此结论可在本题解决问题时直接应用) 例如： 如图， 在中， 如果， 那么．在中， 如果， 那么． 请你利用上面的材料解决下面的问题： （1）如图1， 在四边形中，． 连接， 线段与相交于O， 点O是的中点．若与互为斜等线段，求的度数． （2）如图2， 在四边形中， 且， 连接， ． 点E在线段上， 过点E作交线段于点F． 当时， 线段是线段的斜等线段吗?请说明理由． （3）如图3，点C在线段上(不与点A重合)，点D 在直线下方．线段和互为斜等线段．请说明当线段最长时点C 的位置，并求出此时的度数． 25. 在平面直角坐标系中，点，均为轴上的点，点在第一象限， ，，，点是线段上一点，连接． （1）如图，若，，求点的坐标； （2）如图，，过点作，且，连接，经过点，求线段的长度； （3）如图，点为上一点（不与点，重合）， 过点作且，点为中点．连接，，判断并证明线段与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初二期中练习 数 学 (满分: 150分 时长: 120分钟) 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷共三大题，25 小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确) 1. 剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，依次判断每个选项中的图形是否能沿某条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合． 【详解】A、该图形能找到一条直线，沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2. 同安银湖大桥全长约为 米，是连接同安老城与城南片区的交通要道．其桥塔与拉索等结构广泛采用三角形设计来确保这座长约为九百米的大桥的稳固安全．这么做的依据是（ ） A. 三角形的内角和是 B. 外形美观 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形具有稳定性的应用，三角形结构在工程中广泛应用的主要原因是其具有稳定性，能有效抵抗变形，确保结构稳固，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，即在受力时不易变形，能保持结构牢固； ∴大桥采用三角形设计可确保稳固安全， 故选：． 3. 如图，用三角板作钝角△ABC的BC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高，准确判断是解题的关键． 对每一项进行分析即可得解． 【详解】选项作的是边上的高，此选项符合题意； 选项三角板未过点，故作的不是高，此选项不符合题意； 选项作的是边上的高，此选项不符合题意； 选项作的是边上的高，此选项不符合题意． 故选：． 4. 如图，O是的重心．若的面积是6，则阴影部分的面积的和是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， 故选B． 5. 如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、连接并延长，交于点D．若，则的面积是（） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键。 过点D作于点G，由作图可知是的角平分线，得到，则，即可解答． 【详解】解：过点D作于点G，如图 由作图可知是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 故选C． 6. 在中， ， ， 则这个三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形判定，根据已知条件求出和的度数，再根据角度判断三角形的形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 又∵三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， 故选：． 7. 如图，点D 为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 14 B. 15 C. 19 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段的和差，熟知轴对称的性质是解题的关键． 先根据轴对称的性质得出，，再由，可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称的点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 故选：B． 8. 如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，，轴．若， ， ， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，由轴， ， ， 则，过作轴于点，交于点，根据等腰三角形性质可得，又， ，则，所以，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵轴，，，  ∴， 如图，过作轴于点，交于点， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 根据下列已知条件，能组成并确定它的形状和大小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能确定唯一三角形，三角形的大小不定，不符合题意； B、不能确定唯一三角形，形状不确定，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、能确定唯一三角形，符合题意； 故选D． 10. 如图， 点在线段上， 点在射线上， 连接，以为边向右作等边，连接．点从点 出发，沿方向运动，长度的变化规律是（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，在上方作等边，则有，，又是等边三角形，所以，，证明，根据性质可得，则点在的边上运动，当时，最小，从而可得长度的变化规律是先变小后变大，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，在上方作等边， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的边上运动， 如图，当时，最小， ∴长度的变化规律是先变小后变大， 故选：． 二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分) 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为____________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，解题的关键是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，并结合三边关系验证能否构成三角形． 先根据等腰三角形“两腰相等”的性质，分“腰长为3、底边长为7”和“腰长为7、底边长为3”两种情况；再分别用“三角形任意两边之和大于第三边”验证每种情况是否成立；排除不成立的情况后，计算成立情况的三边之和，即为等腰三角形的周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：假设等腰三角形的腰长为3，底边长为7． 此时三边长度为3、3、7，验证三边关系：，，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，故此情况不成立． 情况2：假设等腰三角形的腰长为7，底边长为3． 此时三边长度为7、7、3，验证三边关系：，，满足三角形三边关系，故此情况成立． 计算周长：. 故答案为：17． 13. 如图，上午6时，一条船从海岛A 出发，以15 海里/时的速度向正北航行，8时到达海岛B 处． 分别从A， B 望灯塔 C， 测得．则海岛 B 与灯塔C的距离是_______ 海里． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、方向角的定义和三角形外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得海里，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得海里，即可解答． 【详解】解：由题意得：海里， ∵，，是的一个外角， ∴， ∴， ∴海里， ∴从海岛到灯塔的距离为30． 故答案为：30． 14. 如图， ，点D 在边上，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意可知，利用等腰三角形性质可知，通过即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质．分两种情况讨论，画出符合题意的图形，再结合三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， ； 如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， 综上：或． 故答案为：或． 16. 如图，在中，，点D为中点，平分．点M，N在线段上运动．连接．当的值最小时，______ 【答案】1 【解析】 【分析】作点N关于的对称点G，连接，过点D作于点H，根据含30度的直角三角形性质得，可得，,当点M在上，点G与点H重合时，取得最小值，由，得 【详解】解：作点N关于的对称点G，连接，过点D作于点H， 则， ∵平分， ∴点G在上， ∵在中，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴当点M在上，点G与点H重合时，取得最小值， ∵， ∴此时，． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了轴对称．熟练掌握含30度的直角三角形性质，关于角平分线对称的性质，勾股定理，轴对称求路径最短，直角三角形斜边与直角边的大小关系，垂线段性质，是解题的关键． 三、解答题(本题有9 小题，共86分) 17. 计算 ． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先通过化简绝对值，立方根定义，有理数乘法分别运算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：    ． 18. 解方程组 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：用代入法解方程即可． 试题解析： 解：，由①得 ③ 把③代入②，得 ． 解这个方程，得 ． 把代入③，得 ． 所以，这个方程组的解为 ． 19. 如图，已知平分，，求证：． 【答案】 证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质综合是解题的关键． 由平分可得，然后利用可证得，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于x轴对称的其中点A的对称点是，点B的对称点是．点C的对称点是． （2）点是内部一点，点P在内部的对应点是点Q．若的面积为6，求a的值． 【答案】（1） 如图所示，为所作的图形； （2）a的值为2 【解析】 【分析】本题考查关于x轴作轴对称图形，点关于x轴对称的点的坐标，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数；先分别作出点A的对称点是，点B的对称点是．点C的对称点是，再依次连成三角形即可； （2）先求出点关于x轴对称的点Q的坐标为，且，继而得到的长度为，O到直线的距离为3，由，求出a的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵点是内部一点， ∴点关于x轴对称的点Q的坐标为，且， ∴垂直于x轴，长度为，O到直线的距离为3， ∴， 解得． 答：a的值为2． 21. 如图，在中，AD是的角平分线，点E在的延长线上，．垂足为，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由三角形外角的定义及性质可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质可得，由垂线的定义可得，最后由三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在 中， 点D在上， 且． （1）尺规作图：在上求作一点 P，使 (保留作图痕迹，不写作法)； （2）在 (1) 的条件下， 连接， 求证：． 【答案】（1） 如图所示，则． （2） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）作出的垂直平分线，即可解答； （2）先证明，得到，继而推导出，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 我们生活在一个充满对称的世界中，对称给我们带来很多美的感受！轴对称是一种重要的对称．生活中有许多轴对称图形，如交通标志中的警告标志通常采用等腰三角形的形状．学校需要用一些硬纸板做一些校内指示牌．指示牌也采用等腰三角形的形状，但现在学校里只有一些形状不同的硬纸板，老师让同学们在劳动课上制作指示牌，要求不浪费硬纸板． （1）学校里有一部分硬纸板的形状是含角的直角三角形(如图所示)．小安只需要沿着裁剪一刀就能得到2个指示牌，请你说明小安的具体做法并说明理由． （2）是否存在一种直角三角形的硬纸板，至少可以用两种方法将它拆分成两个指示牌？若有，将这个直角三角形较小的锐角求出来；若没有，请说明理由． 【答案】（1） 解：具体做法：在含角的直角三角形中，，取的中点D，连接，沿裁剪，得到和两个等腰三角形． 理由如下： 在中，D是中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得． ∴和均为等腰三角形，即符合指示牌的形状要求． （2）存在这样的直角三角形，较小锐角为． 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）在含角的直角三角形中，，取的中点D，连接，沿裁剪，得到和两个等腰三角形． （2）存在这样的直角三角形，方法1：由（1）同理，取的中点D，连接，沿裁剪，得到和两个等腰三角形；方法2：在上取点E，使，即将拆分为两个等腰和等腰，根据等腰三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在这样的直角三角形，较小锐角为． 方法1：由（1）同理，取的中点D，连接，沿裁剪，得到和两个等腰三角形，如图 方法2：在上取点E，使，即将拆分为两个等腰和等腰，如图 ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴． 因此，存在一种直角三角形的硬纸板，至少可以用两种方法将它拆分成两个指示牌，该直角三角形较小的锐角为． 24. 材料一： 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的斜等线段，也称这两条线段互为斜等线段， 例如：下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是则下列各图中的线段都是相应线段的斜等线段． 材料二： 在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果两条边不等，那么他们所对的角也不等，大边所对的角较大．反过来，大角所对的边较大．(此结论可在本题解决问题时直接应用) 例如： 如图， 在中， 如果， 那么．在中， 如果， 那么． 请你利用上面的材料解决下面的问题： （1）如图1， 在四边形中，． 连接， 线段与相交于O， 点O是的中点．若与互为斜等线段，求的度数． （2）如图2， 在四边形中， 且， 连接， ． 点E在线段上， 过点E作交线段于点F． 当时， 线段是线段的斜等线段吗?请说明理由． （3）如图3，点C在线段上(不与点A重合)，点D 在直线下方．线段和互为斜等线段．请说明当线段最长时点C 的位置，并求出此时的度数． 【答案】（1） （2） 解：线段是线段的斜等线段，理由如下： 连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴线段是线段的斜等线段； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等边对等角，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定， （1）根据互为斜等线可得，再根据已知条件及三角形外角的性质求出答案； （2）先说明，可得，进而说明结论； （3）分两种情况：当，且时，线段与线段互为斜等线段，连接，当点C与点B重合时，，且时，线段与线段互为斜等线段，连接，再比较，此时；当，即且时，线段与线段互为斜等线段，连接，当点C与点B重合时，，且时，线段与线段互为斜等线段，连接，再比较，此时最大，求出 ． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵互为斜等线段， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当，且时，线段与线段互为斜等线段，连接， 当点C与点B重合时，，且时，线段与线段互为斜等线段，连接， 则是等边三角形，， ∴， ∴， 则， ∴，此时最大； 如图所示，当，即且时，线段与线段互为斜等线段，连接， 当点C与点B重合时，，且时，线段与线段互为斜等线段，连接， ∴，， ∴， ∴， 则， ∴，此时最大， 即当点C与点B重合时，最长，此时． 25. 在平面直角坐标系中，点，均为轴上的点，点在第一象限， ，，，点是线段上一点，连接． （1）如图，若，，求点的坐标； （2）如图，，过点作，且，连接，经过点，求线段的长度； （3）如图，点为上一点（不与点，重合）， 过点作且，点为中点．连接，，判断并证明线段与的数量关系． 【答案】（1）点的坐标为； （2）； （3） 解：， 证明：如图，延长至点，使得， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由 ，则轴，与纵坐标相同，即为，然后通过直角三角形性质可得，从而求得点的坐标为； （）过点作于点，证明，则有，，然后再证明，则有，然后得出，所以，从而可得； （）延长至点，使得，证明 ，所以，，则有，则，得，然后得出，得，再证明 ，根据性质可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴轴， ∴与纵坐标相同，即为， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $