数学一模突破卷05（天津专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试(天津专用) 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 柱体体积公式：，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高． 锥体体积公式：，其中s表示锥体底面积，h表示锥体的高． 球体表面积公式：，其中R表示球体的半径． 球体体积公式：，其中R表示球体的半径． 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【分析】用列举法表示出全集，根据补集的概念求得，再根据集合元素个数与真子集关系计算可得. 【详解】全集且， 则，共4个元素， 所以真子集的个数为. 故选：C 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 3．已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性得到，根据指数和对数函数单调性，可确定自变量的大小关系；根据函数单调性得到函数值的大小关系，即，，的大小关系. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为函数是增函数，所以； 因为函数是增函数，所以. 所以. 因为函数是定义在上的增函数，所以，即. 故选：D. 4．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 5．下列说法中，错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立性检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布可判断④，得出合适的选项即可. 【详解】对于①，回归直线恒过点，不一定过样本点，故①错误； 对于②，根据列联表中的数据计算得出，而， 则有的把握认为两个分类变量有关系， 即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，故②正确； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果， 若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确； 对于④，某项测量结果服从正态分布，若， 则，故④正确. 可得四个命题中，错误的有1个，故A正确. 故选：A 6．等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先由数列各项都为正数，得，再由等差数列中任意两项的关系及基本不等式可得. 【详解】因等差数列中，，设公差为，则，， 因各项都为正数，所以，， 得，当，所以. . 当且仅当，符合各项为正数. 故选：D. 7．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】取M为的中点，为右焦点，根据条件得，由在上的投影向量的模为，得，利用双曲线的定义可得结果. 【详解】取M为的中点，为右焦点，因为，    所以，所以，所以， 因为在上的投影向量的模为，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，所以. 故选：D. . 8．“中国天眼”位于我国贵州省，是世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆周长为，球冠所在球的半径为.已知球冠表面积公式为，当时，的值为（ ） A．6500 B．650 C．2500 D．250 【答案】B 【分析】根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式得出，再由得出. 【详解】如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高， 依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r， 在中，，即，整理化简得：， 因球冠底面圆周长，则， 又球冠表面积公式为，且，则，再由，得出，解得 故选：B 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为 . 【答案】/ 【分析】根据复数的乘方运算，求得，结合复数的除法，整理标准形式，可得答案. 【详解】由题意，，，，，，则的乘方运算以为周期， 由，则， 故，，， 则z的虚部为. 故答案为：. 11．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第行的数字之和为 ；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为 . 【答案】 2037 【分析】由次二项式系数对应杨辉三角形的第行，从而求系数和即可得第一个空, 若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，进而找到第46项所在的位置,利用每一行的和为等比数列的基础上减去等差数列的和,即可得解. 【详解】次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如：，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第三行： 令，就可以求出该行的系数和，第1行为，第2行为，第3行为，依此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，即杨辉三角第行的数字之和为， 杨辉三角的前行的所有项的和为. 若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，且，可得当即第11行，再加上第12行的前1个数（去除两边的1），所有项的个数和为46，则杨辉三角形的前11行所有项的和为. 则此数列前46项的和为. 故答案为：，2037. 【点睛】本题属于二项式和等差等比数列的综合题,以杨辉三角为背景处理和的问题,属于难题. 12．杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是 米．（注：） 【答案】6.48 【分析】以点P为坐标原点建系，求出圆心和半径得出圆的方程，即可计算. 【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可知，点A的坐标为， 设圆拱桥弧所在圆的半径为r，由勾股定理可得， 又，所以，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为． 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以（米）． 故答案为： 13．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【答案】 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解；再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又， 故答案为：. 【点晴】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，再由全概率公式及贝叶斯公式进行求解. 14．“天津之眼”摩天轮是天津的地标建筑，闪耀着这座城市的宏伟与浪漫．下图是抽象自“天津之眼”的几何图形，圆是以1为半径的圆，，是关于直线对称的两点，且，，为圆上两个动点，满足，且是以为始边按逆时针方向旋转所成角的终边与圆的交点． （1）当点运动到满足，且点在点上方时，则在上的投影向量的模为 ； （2）当点，在圆上运动时，的取值范围是 ． 【答案】 /1.5 【分析】建立平面直角坐标系，根据所给条件求出点坐标，当时得出坐标，根据向量的投影向量的模求解，当点，在圆上运动时，设出点坐标，得出向量坐标，利用数量积公式及三角恒等变换化简，由正弦型函数值域得解. 【详解】以为原点，所在直线为建立平面直角坐标系，如图， 设，，则由，,是关于直线对称， 所以， 所以，所以，， （1）当，且点在点上方时，，, 则，， 所以在上的投影向量的模为； （2）设，则， 由，所以， 由， 则 所以 由，可知， 所以的取值范围是. 故答案为：； 15．已知，函数则 ；若存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围为 ． 【答案】 0 【分析】将分析函数的单调性、极值情况，将存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，转化为的图象与有三个不同的交点，分析函数的单调性、极值，即可得到实数的取值范围. 【详解】因为，所以. 方程恰有三个不同的实数解，即函数的图象与有三个不同的交点. 因为，且当时，，所以在上单调递增，且； 所以当时，函数的图象与最多有一个交点. 所以要想函数的图象与有三个不同的交点，须使当时，函数的图象与恰有两个交点. 令，所以. 当，即时，； 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，即最大值. 函数的简图如下： 所以. 所以的取值范围为. 故答案为：0；. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(14分)在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）将条件变形可得，根据余弦定理代入求解，即得答案. （2）（ⅰ）由（1）得，根据同角三角函数的关系，可得的值，由条件计算即得答案. （ⅱ）由（ⅰ）得，由二倍角公式求得的值，结合角A的范围，可得的值，根据两角和的余弦公式，展开代入计算即得. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得. （2）（ⅰ）由（1）得，且， 所以， 因为，所以； （ⅱ）由（ⅰ）得，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得，可得,故， 因，则，，故， 所以. 17．(15分)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据即可证明平面； （2）由点到平面距离的向量表示公式，代入数据即可求解； （3）由直线与底面所成角的正弦值为可求出，然后根据两平面的法向量求所成角的余弦值即可. 【详解】（1）连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，，, 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面. （2）由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. （3）由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以， 所以由题意知：， 解得：，所以， 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18(15分)已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式列方程组求解可得方程； （2）设，，，且，，联立直线的方程和椭圆方程表示出点坐标，根据三点共线得的关系，然后可证. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题意可设，，，且，. 直线的方程为. 由消去，整理得. 成立. 由，解得. 所以.所以. ①当直线轴时，，解得， 由椭圆的对称性可得. 又因为，所以. ②当直线不垂直轴时，即时，， 直线的斜率.同理. 因为，，三点共线，所以.所以. 在和中，，， 所以.因为，均为锐角，所以. 综上，若，，三点共线，则. 19．(15分)是正项数列的前项和， 是等比数列，， . (1)求 的通项公式； (2)数列 满足： . （i）求 ； （ii）求 . 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）时，，再作差整理得，再根据等差等比基本量运算即可求解； （2）（i）根据分段可知，当时，为等比数列，再根据等比数列求和即可； （ii）设，则，再根据错位相减法及分组求和求解即可． 【详解】（1）当时，，解得或（舍去）， 当时，，， ， 整理得， 又为正项数列，所以，则，即 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， ， 为等比数列，， ，即，解得， ，解得， ， 故，； （2）（i）由（1）， ， ，， 且，为等比数列， ； （ii）由（i）知可设，（也符合）， 则 ， 设， ， ， 解得， 又， 所以． 20．(16分)已知函数，为的导函数. (1)判断在上的单调性； (2)证明：当时，； (3)若是函数在内零点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，判断导数的正负，进而判断函数的单调性； （2）求出的导数，令，求出该函数的导数，判断函数的单调性，得到即可得证； （3）由题可知在上有根①，令，则，可得，因为，由（1）得的单调性，所以，由（2）可知在上单调递减，所以，又由（2）可知，化简即可得证. 【详解】（1）， 当时，， 所以在上单调递增； （2）， 在上，，单调递减， 令， 则， 当时，，单调递减， 所以， 所以； （3）若是函数在内零点， 则在上有根， 即在上有根，① 令，则， ， 又因为①式成立，所以， 因为， 由（1）可知在上单调递增，所以， 由（2）可知在上单调递减，所以， 由（2）可知， 所以 又因为①式成立，得， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 10．____________________ 11．____________________；____________________ 12．____________________ 13．____________________；____________________ 14．____________________；____________________ 15．____________________；____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码☒ 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][C[D] 7[A][B][C[D] 2[A][B][C[D] 5[A][B][C[D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A][B][C[D] 款 三、填空题（每小题5分，共15分) 10 12 的舡 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) M 】 A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试（天津专用） 数学·参考答案 第一部分（选择题共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 7 8 9 答案 C 9 D A D D B D 第二部分（非选择题共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 2 10.-5-0.4 13 11.21；203712.6.4813.3;8 3 14. 21.5；[0,2] 15.0；(e-1,+∞ 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 16.(14分) 【详解】(1)由3a-c=362-2ac,得u2+e2--4。 =3c,(2分) 4 由余弦定理得c0sB=0+c2-b_30C_2 2ac 2ac31 (3分) (2)(i)由(1)得0sB 3,且B∈(0，) 所以simB=V-cos2B= 3,(4分) 因为5mA35如g所以n4-}×55 535 :(6分) (i）由（i)得m4=5,所以6os2A=1-2snA-目 1/8 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 因为05B=子0 3 所以Be(0 (8分) a sin A3 由正弦定理可得分smB亏1，可得a<b故A<B'(10分) 0.则40.24e对.n2a=1-ow24-.12分) cos(24+B)-cos24c0s B-sin 24sin B-3x256-45 5^35315.(14分) 17.(15分)【详解】(1)连接OC,因为AO11BC,AO=BC, 所以四边形OABC为平行四边形，所以OC⊥AD, 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： A D 则P0.0,3,40,-10),B1,-l,0,C10,0,D0,10,1分y 图为E是0的中点，所数号写 匹-〔g.历-a-.西--4.a分 设平面P1B的一个法向量为”=(，， nP4=032=0 则mP8=0,即x-y-3z=0, 2/8 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 取%=05，-，则C远=5-5-0， 22 又因为CE4平面PAB,所以CEII平面PAB.(4分) 013 (2)由(1)知， 022 E 40-0所-. 且平面PAB的一个法向量为%=(0,5，-， (6分) EA. 所以点到平面 的距离d=」 5.(8分) PAB 02+5+(-11 2 (3)由题意知，底面ABCD的法向量为”=(0,0，， 因为8M=8C+CM=BC+而，2c0则，(9分) 且8c=0,10,CT=-1,05,所以Bw-(-,1,5A, cos(BM,- V3A 6 所以由题意知： V-刘2+1+5 4 解得：，所以（写。 (11分) 因为B=10,0),设平面MAB的一个法向量为所=(，，2) x2=0 m·AB=0 1 则BM=0,即 25*男+ 2=0,取%-0，-5,2，(13分) cos(n2,)= 0x0+0×-V5+1×22_2W万 所以 1×V02+-+22万7， 又平面MAB与平面ABD夹角为锐角， 3/8 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 所以平面MAB 与平面0夹角的余弦值为)·(5分 c 1 a 2 18.(15分)【详解】(1)由题意得 a+c1b=3 ， 解得 a=2,所以椭圆的方程为 a2=b2+c2 b=√3 x2 y2 c=1 4+3=1 (3分) (2)由题意可设M4m,N4,川，Px),且m>0,n<0 直线M的方程为y-x+2.4分) 6 [y-x+2) 以，消去，整理得 6 由 .(6分) (4+3=1 27+m2）x2+4m2x+4m2-108=0 △=4m2y-427+m4m2-108)>0成立.(7分) 白2解指 54-2m2 p54-2m218m 所g+-新川列.9分 B 54-2m2 ①当直线P01x轴时，27+ml,解得m=3 由椭圆的对称性可得M-FR=NA=3 又因为∠MRF=∠NRF=90°，所以∠MFR=∠FNR=45°.(11分) ②当直线P2不垂直”轴时，即m>0m3时，<0n≠-3， PO 4/8 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 18m 直线 的斜索 -0 6m 54-2m一1 6n FP 27+m2 -m同理知=)开 6m 6n 因为p’F’Q三点共线，所以g-mg-7所以m=-9:(13分) tan∠MFR= FR3 m tan∠FNR= 在RteMRF和Rt△NRF中， NR n 3, 所以tan∠MFR=tan∠FNR.因为∠MFR,∠FNR均为锐角，所以∠MFR=∠FNR. 综上，若”，F,D三点共线，则 MFR=∠FNR (15分) 19.(15分) 【详解】()当0=1时，2=24=2=-，解得4=2或4=1（舍去)，1分) 当n≥2时， 2S=and-an 2S1=an-an 2(S,-S-1)=2an=ai-an-an-an 整理得a-01-a,=(ai+a,j川a1-a,-1=0 (3分) 又a为正项数列，所以0+a,≠0，则0-a-1=0,即a1a,=」 又4，-a=1,所以数列a,是首项为1，公差为1的等差数列， ∴.aa=n ,(4分) 6,为等比数列，6=5，=4+a=3, ,+8a,=S,即b:+72=17x1+76=153,解得b,=81 2 =q=27,解得g=3' b bn=3” 5/8 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 故0，=n6,=3 ;(5分) (2))由1)3=1+n 2 21og,3-1m-kk-l+1 2-1-(k-1+1 2 2 ∴.Cn k-+1<n≤+ 2c-12 2 传-1<ms+刻，(6分) 2cn-1, 2 2 L+k[,+1-k-1,ca=2k-, 及=+1<n≤+利k, 且Cn=2cn-, 2 2，为等比数列， 。2k-10-21-2k-12-2k-;8分) 1-2 2 (ii)由(i)知可设 =立6=2k-12-(2-k≥2，d=6=1(k=1也符合>，9分) i=S1+1 则∑9=4+d,+d++d =1×2-(2×1-1+(2×2-1×22-(2×2-1+…+(2n-1)2”-(2n-1 =[2+3×22+5×22+(2n-)2]-[1+3+5++(2n-1] ,(10分) 设7=2+3×22+5×2+(2n-12 2T,=22+3×23+5×24+(2n-12 ,(12分) -7,=2+2×22+2+…+2-(2n-121 解得=(2m-3到2+6 (14分) 又1+3+5++2m-= 6/8 国学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 房所以29=2m-3列2-+615分 20.(16分)【详解】(1)gx)=f(x)=cosr-sinx ex-1 ，(1分) 当[受0时 g(x)=f'(x)>0’ 0 所以f(x)在L2」上单调递增：(3分) (2)g'(x)--sin x-cosx)-(cosx-sin.x)-2cox e-1 ex-1 g'(x)≤0，g(x)单调递减，(4分) 令=-0 '(x)=f'(x)-g(x)-g'(x)=-xg'(x) 则 ,(5分) 当x子0时，Fas0F单调诺减， 所以F(x)≥F(O=f(0)-0xg(0=0, 所以(-g(x)≥0 ;(6分) (3)若x是函数x=f+1在-2m-子2mneN内零点， 则f5+1=0在2m-分2maeN上有根，(7分) 即=-1在2受-2mneN上有根，0 令=+2m则%0 ()-sin ysin(x+2m)sinx e-1 e+2eem,(9分) 7/8 @学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 又因为0式成立，所以f,e2 因为}=-em≥-1=f%) 「正，0 由(1)可知fx)在2门上单调递增，所以y≥，(11分) [ ,0 由(2)可知g(x)在2」上单调递减，所以0<g0,)≤g0o),(12分) 由(2)可知 yn)-yn8yn)≥0 所以4s别 <-e 2m -e 2mz -e-2m.evo-1 -e-2nr eo-1 -e-1 g(y)g(y)g(yo)cos yo-sin yo cos yo-sin yo cosxo-sinxo e2m (cosxo-sinxo) sinxo 又因为0式成立，得<。cos,-sn, sin xo x+2nn<- 所以 e2mR (cosxo-sin xo).(15 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试(天津专用) 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 柱体体积公式：，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高． 锥体体积公式：，其中s表示锥体底面积，h表示锥体的高． 球体表面积公式：，体积公式：，(其中R表示球体的半径)． 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．下列说法中，错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 7．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B． C．5 D． 8．“中国天眼”位于我国贵州省，是世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆周长为，球冠所在球的半径为.已知球冠表面积公式为，当时，的值为（ ） A．6500 B．650 C．2500 D．250 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍， 得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 /第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为 . 11．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第行的数字之和为 ；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为 . (第11题图) (第12题图) 12．杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是 米．（注：） 13．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 14．“天津之眼”摩天轮是天津的地标建筑，闪耀着这座城市的宏伟与浪漫．下图是抽象自“天津之眼”的几何图形，圆是以1为半径的圆，，是关于直线对称的两点，且，，为圆上两个动点，满足，且是以为始边按逆时针方向旋转所成角的终边与圆的交点． （1）当点运动到满足，且点在点上方时， 则在上的投影向量的模为 ； （2）当点，在圆上运动时，的取值范围是 ． 15．已知，函数则 ；若存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(14分) 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 17．(15分) 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．(15分) 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 19．(15分) 是正项数列的前项和， 是等比数列，， . (1)求 的通项公式； (2)数列 满足： . （i）求 ； （ii）求 . 20．(16分) 已知函数，为的导函数. (1)判断在上的单调性； (2)证明：当时，； (3)若是函数在内零点，求证：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试(天津专用) 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 柱体体积公式：，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高． 锥体体积公式：，其中s表示锥体底面积，h表示锥体的高． 球体表面积公式：，体积公式：，(其中R表示球体的半径)． 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集且，集合，则真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   5．下列说法中，错误的有（   ） ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好； ④某项测量结果服从正态分布，若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 7．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B． C．5 D． 8．“中国天眼”位于我国贵州省，是世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为，球冠的高为，球冠底面圆周长为，球冠所在球的半径为.已知球冠表面积公式为，当时，的值为（ ） A．6500 B．650 C．2500 D．250 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍， 得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为 . 11．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，第行的数字之和为 ；去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为 . (第11题图) (第12题图) 12．杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是 米．（注：） 13．某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 14．“天津之眼”摩天轮是天津的地标建筑，闪耀着这座城市的宏伟与浪漫．下图是抽象自“天津之眼”的几何图形，圆是以1为半径的圆，，是关于直线对称的两点，且，，为圆上两个动点，满足，且是以为始边按逆时针方向旋转所成角的终边与圆的交点． （1）当点运动到满足，且点在点上方时， 则在上的投影向量的模为 ； （2）当点，在圆上运动时，的取值范围是 ． 15．已知，函数则 ；若存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(14分) 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求的值； (2)若，求 （ⅰ）的值； （ⅱ）的值. 17．(15分) 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，， ，是的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18．(15分) 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 19．(15分) 是正项数列的前项和， 是等比数列，， . (1)求 的通项公式； (2)数列 满足： . （i）求 ； （ii）求 . 20．(16分) 已知函数，为的导函数. (1)判断在上的单调性； (2)证明：当时，； (3)若是函数在内零点，求证：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $