数学一模保分卷01（天津专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共45分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________；____________________ 14．____________________；____________________ 15．____________________；____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试(天津专用) 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 柱体体积公式：，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高． 锥体体积公式：，其中s表示锥体底面积，h表示锥体的高． 球体表面积公式：，其中R表示球体的半径． 球体体积公式：，其中R表示球体的半径． 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：A. 2．设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合根式的意义和对数函数性质依次分析充分性和必要性即可求解. 【详解】若“”则， 所以当时，“”不成立，故充分性不成立； 若“”，因为是增函数， 所以，所以“”，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得. 【详解】由，且定义域为R， 所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C 4．设，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】由指数函数的性质，可得， 根据对数函数的性质，可得， 所以. 故选：B. 5．小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系，记录了本班五名同学的数学和物理的名次，如图．后来发现第四名同学数据记录有误，那么去掉数据后，下列说法错误的是（    ） A．样本线性相关系数变大 B．残差平方和变大 C．变量、的相关程度变强 D．线性相关系数越趋近于 【答案】B 【分析】根据散点图进行分析，利用相关系数、残差的意义即可判断. 【详解】由散点图知，去掉后，与的线性相关程度变强，且为正相关， 所以变大，且线性相关系数越趋近于， 去掉后，散点分布更均匀，残差平方和变小. 故ACD正确，B错误. 故选：B. 6．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线、平面位置关系的判定及性质定理逐项分析即可. 【详解】对于①，由，得平面中存在直线与直线n平行，所以，有可能平行，所以①错误； 对于②，由平面平行的性质可判断②正确； 对于③，若，，则，因为，所以，所以③正确； 对于④，若，，所以，又，所以，所以④错误； 对于⑤，若，，则，又，所以，所以⑤正确. 故正确的个数是3. 故选：C. 7．已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的图象变换、性质，解题的关键在于先对函数进行化简，再根据图象平移规律得到的表达式，最后逐一分析选项. 【详解】由题意可得 因为将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以； 当时，或0， 所以不是对称轴，选项A错误； 令,解得， 当时， ；当时， ； 所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误； 当时，，在内单调递增，选项C正确； 当时，， 所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误. 故选：C 8．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意写出以为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线方程联立求得点的纵坐标，再根据即可求得. 【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为， 如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：， 即，联立， 解得，即由对称性可得，，且， 则，可得，故离心率. 故选：B 9．已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（    ） A．10π B．12π C．16π D．20π 【答案】D 【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为,球心为,在中,求出球的半径,然后求出球的表面积. 【详解】 解: 在中, 可得， 所以, 由正弦定理,可得外接圆半径, 设此圆圆心为,球心为，球的半径为， 由球的性质可知：平面， 在平面内， 所以， 在中,， 所以球半径, 故此球的表面积为 故选：D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，其中i为虚数单位，则 . 【答案】1 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用复数模的意义求解. 【详解】复数， 所以. 故答案为：1 11．在的二项展开式中项的系数为 ． 【答案】560 【分析】写出二项式展开式的通项，令，求出，即可得项的系数. 【详解】二项式展开式的通项为：， 令，则， 所以项的系数为， 故答案为：560 12．已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程先确定其焦点坐标，由两直线的位置关系得出方程，再由直线与圆的位置关系、弦长公式计算即可. 【详解】由抛物线知其焦点， 又与直线垂直，则的斜率为， 所以的方程为，即， 整理圆的方程为， 即圆心为，半径为， 根据点到直线的距离公式得圆心到的距离， 所以该圆与相交所得的弦长为. 故答案为：. 13．2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为 ；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为 ． 【答案】 / / 【分析】利用组合数，结合古典概型，并结合条件概率的定义计算即可. 【详解】总共有6款饮品，甲选购3款不同饮品，总的选购方案数为组合数, 甲选购的饮品中包含“林林清风”的方案：固定“林林清风”被选中， 则甲需从剩余5款饮品中选购2款，方案数为，因此，概率为 ； 条件：甲已选购包含“林林清风”的3款饮品（记作集合，其中必含“林林清风”）， 乙独立选购3款不同饮品，总的选购方案数为. 要求甲、乙所选饮品集合的交集大小恰好为1（即恰有1款相同）； 设饮品全集为，其中为“林林清风”， 不失一般性，设甲选购，则剩余饮品为. 乙选购时，恰有1款与甲相同，即乙从中选1款， 并从中选2款.从选1款的方案数：， 从选 2 款的方案数：. 因此，满足条件的乙选购方案数为，概率为. 故答案为：；. 14．如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 【答案】 / 【分析】设，由平面向量线性运算表示即可求出，由结合基本不等式可得的最小值. 【详解】设， 则 ， 即，而不共线，因此， 所以，即； 由的面积为，得，解得， 因此 ，当且仅当时取等号, 所以的最小值为. 故答案为：； 15．已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为 ；的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意作图，由图像结合方程有4个不同解，可得，且，，再根据对数的运算计算范围即可． 【详解】根据题意作图如下： 方程有4个不同解，，，， 所以，且，， ， ， 即的取值范围为． 故答案为：；． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(14分)在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． (1)求； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理得，结合已知条件即可求； （2）根据余弦定理即可求解； （3）由（2）可得，利用二倍角公式可求的正、余弦值，再利用和差的正弦公式计算即可． 【详解】（1）由及正弦定理得，，           所以． 因为，所以． （2）由余弦定理，        可得，                     所以． （3）由（2）可得，                             所以，．         所以 ． 17．(15分)如图，平面，，，.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）直接用向量法证明线面的平行可得； （2）先用向量法计算面面角的余弦值，再由同角三角函数关系算正弦可得； （3）先将几何体的体积转化为的体积，进而再用向量的方法计算高及体积. 【详解】（1）因为平面，且平面， 所以，又， 则以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系（如图），    则. 因为，又平面， 所以平面，故是平面的一个法向量， 又，所以，又因为平面 所以平面. （2）设为平面的一个法向量， 则，所以，令，可得. 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为 （3）因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 因为，又平面， 则平面，又平面，所以， 又，则， 在中：， 所以，所以，所以， 所以四面体体积. 18．(15分)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和椭圆过点解得的值，写出椭圆方程； （2）写出直线方程，联立方程组消元得到二次方程，用韦达定理表示出线段的长，再求出点到直线的距离，由三角形面积公式求得四边形面积代数式，然后求最大值. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 由椭圆过点，得，联立解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可设， 因点在第一象限，则， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ，当时，， 所以，， 所以， ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以， 所以， 当时，有最大值为. 19．(15分)已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据等差数列性质得到方程组，求出，，求出公差和首项，得到通项公式，并根据等比数列通项公式求出. （2）计算出，利用错位相减法求和，得到答案. （3）利用（1）的结果求出，进而求出，再利用分组求和法及裂项相法求和即得. 【详解】（1）在等差数列中，，而， 则是方程的两个实根，由，得， 解得，，，， 在等比数列中，由，，得，而，则， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）由（1）得，， ， ， 两式相减得 ， 所以. （3）由（2）得，， 所以 . 20．(16分)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得，可求切线方程； （2）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （3）（i）结合（2）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【详解】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增； 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试(天津专用) 数学·参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B C B B C C B D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．1 11．560 12． 13． / ；/ 14． ；/ 15． ； 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(14分)（1）由及正弦定理得，，     （1分） 所以． （3分） 因为，所以．（4分） （2）由余弦定理，        可得，      （6分）               所以．（8分） （3）由（2）可得，  （9分）                   所以，．（11分） 所以 （12分） ．（14分） 17．（15分） （1）因为平面，且平面， 所以，又，（1分） 则以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系（如图），    则.（2分） 因为，又平面， 所以平面，故是平面的一个法向量， 又，所以，又因为平面 所以平面.（5分） （2）设为平面的一个法向量， 则，所以，令，可得.（7分） 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则，（9分） 所以平面与平面夹角的正弦值为（10分） （3）因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，（11分） 因为，又平面， 则平面，又平面，所以， 又，则，（12分） 在中：， 所以，所以，所以， 所以四面体体积.（15分） 18．（1）由题意可得：，解得，（1分） 由椭圆过点，得，联立解得，，（3分） 所以椭圆的方程为.（4分） （2）由题意可设， 因点在第一象限，则，（5分） 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得，（7分） ，当时，，（8分） 所以，，（9分） 所以，（11分） ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以，（13分） 所以， 当时，有最大值为.（15分） 19．(15分)（1）在等差数列中，，而， 则是方程的两个实根，由，得， 解得，，，，（2分） 在等比数列中，由，，得，而，则，（4分） 所以数列，的通项公式分别为，.（5分） （2）由（1）得，，（6分） ， ， 两式相减得（8分） ， 所以.（10分） （3）由（2）得， ，（13分） 所以 .（15分） 20．(16分)（1）当时，，求导得，所以，（2分） 又，所以切点为， 所以切线方程为，即；（4分） （2）由，求导得， 若，，所以在上单调递增；（5分） 若，令，得，解得， 当 时，，则在 上单调递减； 当 时，，则在 上单调递增； 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（7分） （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围．（9分） （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，，（11分） 两式相减得，即， 要证，只需证明，（13分） 即，所以， 令，只需证明，构造函数，（15分） 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立．（16分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码☒ 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共45分） 1[A][B][C[D] 4[A][B][C[D] 7[A][B][C[D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][CI[D] 8[A[B][CD] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 款 三、填空题（每小题5分，共15分) 10 12 13 的舡 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试(天津专用) 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 柱体体积公式：，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高． 锥体体积公式：，其中s表示锥体底面积，h表示锥体的高． 球体表面积公式：，体积公式：，(其中R表示球体的半径)． 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．设，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 5．小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系，记录了本班五名同学的数学和物理的名次，如图．后来发现第四名同学数据记录有误，那么去掉数据后，下列说法错误的是（    ） A．样本线性相关系数变大 B．残差平方和变大 C．变量、的相关程度变强 D．线性相关系数越趋近于 6．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 8．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 9．已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（    ） A．10π B．12π C．16π D．20π 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，其中i为虚数单位，则 . 11．在的二项展开式中项的系数为 ． 12．已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 . 13．2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为 ；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为 ． 14．如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 15．已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为 ；的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(14分)在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． (1)求； (2)求； (3)求的值． 17．(15分)如图，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求四面体的体积. 18．(15分)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 19．(15分)已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求； (3)若，求数列的前项和. 20．(16分)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试(天津专用) 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 柱体体积公式：，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高． 锥体体积公式：，其中s表示锥体底面积，h表示锥体的高． 球体表面积公式：，体积公式：，(其中R表示球体的半径)． 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．设，，，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 5．小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系，记录了本班五名同学的数学和物理的名次，如图．后来发现第四名同学数据记录有误，那么去掉数据后，下列说法错误的是（    ） A．样本线性相关系数变大 B．残差平方和变大 C．变量、的相关程度变强 D．线性相关系数越趋近于 6．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 8．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 9．已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（    ） A．10π B．12π C．16π D．20π 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．已知复数，其中i为虚数单位，则 . 11．在的二项展开式中项的系数为 ． 12．已知直线过抛物线的焦点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为 . 13．2044年，当同学们重返母校参加140周年校庆时，惊喜地发现，南院正门外真的出现了一家“南德琐艾奶茶店”，这里正出售6款饮品，分别为林林清风、金晓惠兰、明明如月、幽幽谭香、天天爆柠、雅韵冰酿．甲、乙两位同学分别选购3款不同饮品，则甲选购的饮品中有“林林清风”的概率为 ；在甲选购了“林林清风”这款饮品的条件下，甲、乙二人所选饮品中恰有1款相同的概率为 ． 14．如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则 ；若的面积为，则的最小值为 . 15．已知方程有4个不同解，，，，则实数的取值范围为 ；的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(14分)在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． (1)求； (2)求； (3)求的值． 17．(15分)如图，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求四面体的体积. 18．(15分)已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 19．(15分)已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求； (3)若，求数列的前项和. 20．(16分)已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $