数学一模保分卷04（上海专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

■■■ 2026年高考第一次模拟保分考试 ----------- 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域 123 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 23 123 23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 1234 1234 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 破。 5. 正确填涂 ■ 67 6789 6789 678 56789 56789 123456789 012345678 8 78 缺考标记 9 789 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) ! ! 7. 10 图 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A[B][C][D] 14[A][B][C][D] 15[A]B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) B 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1I11 1e.140) 友华集工工(k6乐) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟保分考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 集合，则 【提示】根据题意，利用集合交集的定义与运算，即可求解； 【答案】 【解析】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 【说明】本题考查交集的概念及运算 2. 以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为 ， 【提示】根据给定条件，设出椭圆标准方程，利用待定系数法求解. 【答案】 【解析】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为， 则且，解得，所以所求椭圆标准方程为. 故答案为： 【说明】本题考查根据椭圆过的点求标准方程 3. 不等式的解为 . 【提示】根据分式不等式的解法进行求解即可. 【答案】 【解析】且， 所以原不等式的解集为 【说明】本题考查了分式不等式与等价转化； 4. 若为纯虚数，则 ． 【提示】由复数的分类得，得到，再根据复数模长公式求解即可． 【答案】4 【解析】因为为纯虚数， 所以，解得， ． 故答案为：4． 【说明】本题考查了已知复数的类型求参数、求复数的模 5. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 【提示】将数据从小到大排序，再根据百分位数的概念求解即可； 【答案】 【解析】分数据从小到大为：，，，，，，，，，，，， 共个数，则， 所以这组数据的第百分位数为. 故答案为：. 【说明】本题考查了总体百分位数的估计 6. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是 . 【提示】根据二项式系数和为得到，再利用二项式定理得到答案； 【答案】10 【解析】二项式的展开式的二项式系数之和为，故. 展开式的通项为：， 取得到项的系数是. 故答案为：. 【说明】本题考查了求指定项的系数、二项式的系数和，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7. 已知正实数满足，则的最小值为 . 【提示】利用基本不等式求解即可. 【答案】 【解析】， 当且仅当且，即时等号成立， 故答案为：. 【说明】本题考查了利用基本不等式求和的最小值 8. 已知，则 . 【提示】求出,两边平方即可求解. 【答案】 【解析】由已知，所以， 即. 故答案为： 【说明】本题考查二倍角的正弦公式、三角变换； 9. 已知向量满足，且，则向量的夹角为 . 【提示】由向量的夹角公式即可求解. 【答案】 【解析】由已知得， 又， 所以， 所以向量夹角为. 故答案为： 【说明】本题考查了平面向量的数量积的运算律、向量夹角的计算 10. 有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 【提示】由捆绑法，结合全排列即可求解； 【答案】 【解析】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 【说明】本题考查了相邻问题的排列问题 11. 如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是 个      【提示】设射线对应的角为且，由题设可得，故可得满足条件的的个数. 【答案】2 【解析】设射线对应的角为且， 故区域Ⅰ的面积为， 区域Ⅲ的面积为， 区域Ⅱ的面积为， 由题设有， 整理得到，因为，故此时仅有两解， 【说明】本题主要综合考查了扇形面积的有关计算、已知三角函数值求角 12. 在三棱锥中，，，两两垂直，，若点到平面的距离为1，则三棱锥体积的最小值为 . 【提示】设，，过作垂直于，连接，先证明平面，再利用等体积法求得，进而得到，构造函数，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【答案】 【解析】不妨设，，则，，，， 过作垂直于，连接， 则，， 而，则， 因为，，且，平面， 所以平面， 由，则， 则，即， 所以， 不妨设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 即三棱锥体积的最小值为. 故答案为：.    【说明】本题综合考查了锥体体积的有关计算、由导数求函数的最值（不含参） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 已知，，是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，且，，，，则“”是“，”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【答案】B 【解析】若，，且，，，由线面垂直的判定定理，可得； 又由，故，即若，成立，可得成立，即必要性成立； 反之：若，，，时，当时， ，不一定立，即充分性不成立， 所以“”是“，”的必要不充分条件. 故选：B． 【说明】本题考查了线面关系有关命题的判断、判断命题的必要不充分条件 14. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（     ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 【提示】由扇形弧长，求得底面半径及高，再由圆锥体积公式即可求解； 【答案】D 【解析】设圆锥底面面积为， 由题意可知， 所以， 设圆锥得高为，则， 所以圆锥的体积为：， 所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为， 故选：D 【说明】本题考查了锥体体积的有关计算、弧长的有关计算 15. 已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（    ） A． B． C． D． 【提示】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【答案】C 【解析】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 【说明】本题考查了正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、函数与方程的综合应用、函数不等式恒成立问题 16. 已知是定义在上的函数，若对任意的，当时，均有，则称是关联.关于以下两个命题说法正确的是（    ） ①是关联；②若是关联，则是关联. A．①为假命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①、②均为真命题 D．①、②均为假命题 【提示】构造函数可判断①；构造函数可判断②，然后可得答案. 【答案】D 【解析】对①，不妨取，则，满足， 但，所以不是关联，假命题； 对②，定义函数，其中表示不大于的最大整数， 则当时，； 当时，， 因为或， 所以或； 当时，， 因为，所以. 综上，当时，，所以是关联. 不妨取，则， 但，所以不是关联，假命题. 故选：D 【说明】本题综合考查了函数新定义、判断命题的真假 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分14分） 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，点到直线的距离为，求的周长. 【提示】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. （2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【答案】（1）；（2）14； 【解析】（1）在中，，， 则，而，， 解得，则，所以.【6分】 （2）由正弦定理得，不妨设，则， 由余弦定理得，解得， 由，得，解得， 所以，即的周长为14. 【14分】 【说明】本题考查了三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式； 18. （本题满分14分） 在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且，是边的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）设与平面所成的角为，二面角的大小为，分别求的值． 【提示】（1）求异面直线所成的角，一般通过平移，转化为求相交直线所成的角，所以取的中点，连结，即为所求；（2）点在平面内的射影为点，为的中心，连结交于点，连结，，，分别在直角三角形内求值. 【答案】（1）异面直线与成角；（2），. 【解析】（1）取的中点,连结， 显然， 所以三角形是等边三角形. 所以异面直线与成角. 【6分】 （2）过作，垂足为， 因为， 所以平面，所以， 所以平面， 则与平面所成的角. 因为， 所以平面，所以， . 因为， 则二面角的大小为， .【14分】 【说明】本题主要考查了空间的角，利用公理、定理，“找、证”，求异面直线所成的角、求线面角、求二面角； 19. （本题满分14分） 某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.    （1）根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值； （2）通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”。 【提示】（1）结合茎叶图，直方图的数据先可以确定，众数，极差信息均可以从茎叶图中看出； （2）先根据男生女生的平均数算出被污染的数据，由两组数的平均值可以得到合成后的平均值，然后直接根据方差的定义进行计算. 【答案】（1），，均可确定，分别为：中位数，众数为，极差为 （2）中位数为，平均数为，方差为. 【解析】（1）根据直方图可以看出，组距为，的频数为1，频率为，， 的频数为，频率为，【6分】 按照茎叶图的同一行中数字从小到大排列，因此可确定中位数为，众数为，极差为 （2） 被污染的数值为， 样本平均数，【10分】 于是样本方差 由于涂抹的数字是，故可以确定第个数是，则中位数为 于是可估计该年级全体学生上学花费时间的中位数为，平均数为，方差为.【14分】 【说明】本题考查了计算几个数的平均数、由茎叶图计算中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 20. （本题满分18分） 已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值； （3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由. 【提示】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可； （2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理； （3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到之间的关系，从而利用是整数，对结果进行取舍即可. 【答案】（1）（2）（3）存在， 【解析】（1）对椭圆，因为， 故其焦点为，椭圆的长轴长为. 设双曲线方程为， 由题可知：，解得. 故双曲线的方程为：.【4分】 （2）因为直线AB的斜率显然不为零， 故设直线方程为，联立椭圆方程 可得 设交点， 则 则 又 故 令，解得 故 当且仅当时，即时，取得最大值. 故的面积的最大值为.【10分】 （3）联立直线与椭圆方程 可得 整理得① 设直线与椭圆的交点为 故可得② 同理：联立直线与双曲线方程 可得 整理得③ 设直线与双曲线的交点为 故可得④ 要使得 即可得 故可得 将②④代入可得 解得. 综上所述，要满足题意，只需使得： 故当时，可以取得满足题意； 即直线方程可以为 当时，可以取满足题意. 即直线方程可以为 故存在这样的直线有9条，能够使得.【18分】 【说明】本题考查了根据椭圆方程求a、b、c、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求椭圆中的最值问题 同时综合考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化. 21. （本题满分18分） 已知函数（为自然对数的底数）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围； （3）设，当函数有且只有一个零点时,求实数的取值范围. 【提示】（1）先求切点的坐标，再利用导数求切线的斜率，最后写出切线的方程.(2)先分离参数得到，再求函数的最小值，即得实数a的取值范围.(3)先令，再转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，利用导数和函数的图像分析得到a的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】（1），所以切线的斜率 .                          又因为， 所以切线方程为，                                     所以切线方程为.      【4分】 （2）由得. 当x=0时， 上述不等式显然成立，故只需考虑的情况. 将变形得                      令，所以                    令，解得x＞1；令，解得x＜1.     从而在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.   所以,当x=1时， 取得最小值e-1，                从而所求实数的取值范围是.          【10分】 （3）令 当时，，函数无零点； 当时，，即 令， 令，则 由题可知，当，或时，函数有一个函数零点【18分】 【说明】本题综合考查了利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；其中， 第（3）问的转化是一个关键，由于直接研究函数有且只有一个零点比较困难，所以本题把函数的零点转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，这样问题经过一次又一次的转化，大大提高了解题效率，优化了解题.所以在解答数学难题时，注意数学转化思想的灵活运用. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高考第一次模拟保分考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] * 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟保分考试（上海专用） 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 集合，则 2. 以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为 ， 3. 不等式的解为 . 4. 若为纯虚数，则 ． 5. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 6. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是 . 7. 已知正实数满足，则的最小值为 . 8. 已知，则 . 9. 已知向量满足，且，则向量的夹角为 . 10. 有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 11. 如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是 个      12. 在三棱锥中，，，两两垂直，，若点到平面的距离为1，则三棱锥体积的最小值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 已知，，是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，且，，，，则“”是“，”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（     ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 15. 已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（    ） A． B． C． D． 16. 已知是定义在上的函数，若对任意的，当时，均有，则称是关联.关于以下两个命题说法正确的是（    ） ①是关联；②若是关联，则是关联. A．①为假命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①、②均为真命题 D．①、②均为假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分14分） 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，点到直线的距离为，求的周长. 18. （本题满分14分） 在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且，是边的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）设与平面所成的角为，二面角的大小为，分别求的值． 19. （本题满分14分） 某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.    （1）根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值； （2）通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”。 20. （本题满分18分） 已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值； （3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由. 21. （本题满分18分） 已知函数（为自然对数的底数）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围； （3）设，当函数有且只有一个零点时,求实数的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟保分考试（考试版） 数学（考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 集合，则 2. 以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为 ， 3. 不等式的解为 . 4. 若为纯虚数，则 ． 5. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为 . 6. 已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是 . 7. 已知正实数满足，则的最小值为 . 8. 已知，则 . 9. 已知向量满足，且，则向量的夹角为 . 10. 有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为 ． 11. 如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连结，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是 个      12. 在三棱锥中，，，两两垂直，，若点到平面的距离为1，则三棱锥体积的最小值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 已知，，是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，且，，，，则“”是“，”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14. 冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（     ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 15. 已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（    ） A． B． C． D． 16. 已知是定义在上的函数，若对任意的，当时，均有，则称是关联.关于以下两个命题说法正确的是（    ） ①是关联；②若是关联，则是关联. A．①为假命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①、②均为真命题 D．①、②均为假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分14分） 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，点到直线的距离为，求的周长. 18. （本题满分14分） 在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且，是边的中点. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）设与平面所成的角为，二面角的大小为，分别求的值． 19. （本题满分14分） 某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.    （1）根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中和的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值； （2）通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”。 20. （本题满分18分） 已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值； （3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由. 21. （本题满分18分） 已知函数（为自然对数的底数）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围； （3）设，当函数有且只有一个零点时,求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟保分考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 【答案】 2. 【答案】 3. 【答案】 4. 【答案】4 5. 【答案】 6. 【答案】10 7. 【答案】 8. 【答案】 9. 【答案】 10. 【答案】 11. 【答案】2 12. 【答案】 【说明】本题综合考查了锥体体积的有关计算、由导数求函数的最值（不含参） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13 14 15 16 B D C D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分14分） 【答案】（1）；（2）14； 【解析】（1）在中，，， 则，而，， 解得，则，所以.【6分】 （2）由正弦定理得，不妨设，则， 由余弦定理得，解得， 由，得，解得， 所以，即的周长为14. 【14分】 【说明】本题考查了三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、二倍角的余弦公式； 18. （本题满分14分） 【答案】（1）异面直线与成角；（2），. 【解析】（1）取的中点,连结， 显然， 所以三角形是等边三角形. 所以异面直线与成角. 【6分】 （2）过作，垂足为， 因为， 所以平面，所以， 所以平面， 则与平面所成的角. 因为， 所以平面，所以， . 因为， 则二面角的大小为， .【14分】 【说明】本题主要考查了空间的角，利用公理、定理，“找、证”，求异面直线所成的角、求线面角、求二面角； 19. （本题满分14分） 【答案】（1），，均可确定，分别为：中位数，众数为，极差为 （2）中位数为，平均数为，方差为. 【解析】（1）根据直方图可以看出，组距为，的频数为1，频率为，， 的频数为，频率为，【6分】 按照茎叶图的同一行中数字从小到大排列，因此可确定中位数为，众数为，极差为 （2） 被污染的数值为， 样本平均数，【10分】 于是样本方差 由于涂抹的数字是，故可以确定第个数是，则中位数为 于是可估计该年级全体学生上学花费时间的中位数为，平均数为，方差为.【14分】 【说明】本题考查了计算几个数的平均数、由茎叶图计算中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 20. （本题满分18分） 【答案】（1）（2）（3）存在， 【解析】（1）对椭圆，因为， 故其焦点为，椭圆的长轴长为. 设双曲线方程为， 由题可知：，解得. 故双曲线的方程为：.【4分】 （2）因为直线AB的斜率显然不为零， 故设直线方程为，联立椭圆方程 可得 设交点， 则 则 又 故 令，解得 故 当且仅当时，即时，取得最大值. 故的面积的最大值为.【10分】 （3）联立直线与椭圆方程 可得 整理得① 设直线与椭圆的交点为 故可得② 同理：联立直线与双曲线方程 可得 整理得③ 设直线与双曲线的交点为 故可得④ 要使得 即可得 故可得 将②④代入可得 解得. 综上所述，要满足题意，只需使得： 故当时，可以取得满足题意； 即直线方程可以为 当时，可以取满足题意. 即直线方程可以为 故存在这样的直线有9条，能够使得.【18分】 【说明】本题考查了根据椭圆方程求a、b、c、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求椭圆中的最值问题 同时综合考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化. 21. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】（1），所以切线的斜率 .                          又因为， 所以切线方程为，                                     所以切线方程为.      【4分】 （2）由得. 当x=0时， 上述不等式显然成立，故只需考虑的情况. 将变形得                      令，所以                    令，解得x＞1；令，解得x＜1.     从而在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.   所以,当x=1时， 取得最小值e-1，                从而所求实数的取值范围是.          【10分】 （3）令 当时，，函数无零点； 当时，，即 令， 令，则 由题可知，当，或时，函数有一个函数零点【18分】 【说明】本题综合考查了利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；其中， 第（3）问的转化是一个关键，由于直接研究函数有且只有一个零点比较困难，所以本题把函数的零点转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，这样问题经过一次又一次的转化，大大提高了解题效率，优化了解题.所以在解答数学难题时，注意数学转化思想的灵活运用. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $