数学一模提分卷02（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知向量与方向相同，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 5．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．【提示：】 A. 11 B. 9 C. 10 D. 8 6．将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（    ） A． B． C． D． 7．将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变大.若将5填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） A．12 B．18 C．36 D．48 8．已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（ ） A. 结论①和②均正确 B. 结论①正确，结论②错误 C. 结论①错误，结论②正确 D. 结论①和②均错误 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（ ） A 若直线与圆相切，则 B. 当时，直线截圆所得的弦长为 C. 点到直线的距离恒为 D. 若，则当取到最小值时， 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 11．在数列中，，，令记，分别为数列，的前项和，则（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. 数列从第6项起递减数列 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 13. 设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为120°，则___________. 14．若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16．（15分） 如图，在六面体中，D为的中点，四边形为矩形，且，，． (1)求证：平面； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； （3）如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 18．（17分） 在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； （3）若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据：（其中，） 19．（17分） 已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. （1）若函数是点奇函数，求实数的值； （2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； （3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 1.【答案】D 【解析】， 所以或， 又， 所以. 故选：D 2. 设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.【答案】C 【解析】∵，则， ∴z在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3.已知向量与方向相同，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 3.【答案】D 【解析】因向量与的方向相同，则， 则或. 若，，，满足题意； 若，，，不满足题意. 故选：D 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 4.【答案】A 【解析】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 5．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．【提示：】 A. 11 B. 9 C. 10 D. 8 5.【答案】C 【解析】由题意可设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个才能被测到碳14， 则，即， 由参考数据可知，，， 所以. 故选：C． 6．将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（    ） A． B． C． D． 6.【答案】A 【解析】已知直三棱柱底面为直角三角形，且直角边分别为和， 根据勾股定理，底面三角形的斜边为， 设底面三角形的内切圆半径为，根据三角形面积公式（其中为三角形直角边）， 又三角形面积公式（其中为三角形三边，为内切圆半径）， 所以，即，解得， 所以直径为，小于直三棱柱的高. 因为球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高， 所以球的最大半径为. 故选：A 7．将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变大.若将5填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） A．12 B．18 C．36 D．48 7.【答案】B 【解析】由题意可得9只能排在第三行第三列，1只能排在第一行第一列， 1 a b c 5 d e f 9 从而得2只能排在a,c处， 当c=2,e=3时， 1 a b 2 5 d 3 f 9 则a=4，且8只能排在f,d处， 当f=8时，只能是b=6,d=7； 当d=8时，则有b=6,f=7或b=7,f=6； 此时共3种排列法； 当c=2,e=4时， 1 a b 2 5 d 4 f 9 则a=3，且8只能排在f,d处， 当f=8时，只能是b=6,d=7； 当d=8时，则有b=6,f=7或b=7,f=6； 此时共3种排列法； 当c=2,e=6时， 1 a b 2 5 d 6 f 9 则a=3，b=4，且8只能排在f,d处， 当f=8时，只能是d=7； 当d=8时，只能是f=7， 此时共2种排列法； 当c=2,e=7时， 1 a b 2 5 d 7 f 9 则a=3，b=4，且8只能排在f,d处， 此时只能是f=8，d=6， 此时共1种排列法； 所以当c=2时，共有3+3+2+1=9种排法； 同理，当a=2时，也有9种排法； 故一共有9+9=18种排法. 故选：B. 8．已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（ ） A. 结论①和②均正确 B. 结论①正确，结论②错误 C. 结论①错误，结论②正确 D. 结论①和②均错误 8.【答案】B 【解析】①， 当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增； 当时，由； 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在定义域内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点； 当时，由可得仅有一解， 所以仅有一解， 令，则直线与的图象仅有一个交点， 因为，且直线过点， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，， 所以 ，结合 ，则的取值范围为 . 结论①正确 ②由题，，记上式为 ， 由，则 ， 所以函数 在定义域内单调递减，因此 ，仅有一个解，至此可以判断结论②错误． 注意到待求方程 ，对中含的部分单独考察，即 ， 其中关于的多项式的解为 或（舍去）， 因此时可消去. 当 时，有，满足题意； 综上，原方程的解为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（ ） A 若直线与圆相切，则 B. 当时，直线截圆所得的弦长为 C. 点到直线的距离恒为 D. 若，则当取到最小值时， 9.【答案】ABD 【解析】A项：当与圆相切时，圆心到直线的距离为，所以，A项正确； B项：时，圆心到直线的距离为，所以弦长为，B项正确； C项：易知，直线的一个法向量为，可知，C项错误； D项：由知：点的轨迹为一条与平行的直线，不妨设为，当时，由于，易知与圆无交点 由切线可知，则 因为，所以当取最小值时，有最小值此时，即项正确. 故选：ABD. 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 10.【答案】BD 【解析】如图： 对于A，抛物线的焦点，准线方程为，A错误； 对于B，，而，则，B正确； 显然直线不垂直于，设其方程为，由消去得， 则，，， 对于C，， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，则为钝角，D正确. 故选：BD 11．在数列中，，，令记，分别为数列，的前项和，则（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. 数列从第6项起递减数列 D. 11. 【答案】ACD 【解析】由题意知， 当时，， 经检验也满足上式，所以，即，故A正确； 对于B，令，解得，所以时，取得最大值，故B错误； 对于C，令，解得，又，所以，所以，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 则，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 12.【答案】 【解析】因为是定义在上的偶函数， 则， 函数图象关于轴对称， 且， 即的周期为4. 作出函数在上的图象， 根据的对称性及周期性， 可得出在上的图象， 若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点， 则在区间上关于的方程恰有 3 个不同的实数根， 则函数与函数在上恰有 3 个不同的交点； 所以，解得. 故答案为： 13. 设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为120°，则___________. 13.【答案】6 【解析】由已知得，准线， 设，则， 因为直线倾斜角为，所以直线的斜率， 即，解得， 因为在抛物线上，代入得， 所以， 故答案为：6. 14．若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，__________. 14.【答案】 【解析】因为正项数列是“对数2底数列”，所以，所以， 所以且， 以上式子相乘得，所以， 所以，得， 即，得，因为，所以； 同理，，所以，所以， 所以.故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 15．（13分） 【解析】(1)由余弦定理有，对比已知， （1分） 可得， （3分） 因为，所以， 从而， （5分） 又因为，即， （6分） 注意到， 所以. （7分） (2)由（1）可得，，，从而，， 而，（9分） 由正弦定理有， （10分） 从而， （11分） 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ，（12分） 由已知的面积为，可得， 所以. （13分） 16．（15分） 如图，在六面体中，D为的中点，四边形为矩形，且，，． (1)求证：平面； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 16．（15分） 【解析】（1）因四边形为矩形，则， （1分） 因，平面， （3分） 故平面. （4分） （2） 由（1）平面，平面， （5分） 则得，又， （6分） 故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 因，，则，又D为的中点， 则得， （8分） 于是， （9分） 设平面的法向量为， 则，故可取； （11分） 又， （12分） 设平面的法向量为， 则，故可取， （14分） 设平面与平面的夹角为， 则. （15分） 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； （3）如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 17．（15分） 【解析】(1)由双曲线的焦距为4，点在上，（2分） 可得，所以，且，又因为，即， （4分） 联立方程组，解得，，所以的方程为. （6分） (2)设直线l方程为，代入圆的方程整理得，直线与圆相切， 所以判别式，所以，切点位于轴上方，故. （7分） 将直线代入双曲线方程，整理得，解得， 两点的坐标分别为（）、（）， 从而； （9分） 另解：由题意设直线方程为，该直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得. （7分） 联立得 设，，则， （9分） (3)由题意直线与平行，由双曲线的对称性，易知=，四边形为平行四边形． 当直线垂直于x轴时，，此时四边形的面积为，不合题意，舍去； （10分） 设直线方程为，则直线方程为， （12分） 直线和的距离就是点到直线的距离， （13分） 设，，联立方程组，整理的， 则，且，， 又由双曲线的渐近线的方程为， （14分） 要使得过的左焦点的直线交的左支于点、，可得，() 则， 所以，化简可得，（15分） 解得，或，因为，所以， （16分） 故直线的方程为或． （17分） 另解：设直线方程为，代入双曲线方程得，整理得（10分） ，(因为双曲线的渐近线斜率为， （13分） 直线AB与双曲线左支交于两点，所以) ，，所以， 点到直线的距离， （14分）， （15分） 化简可得，解得，或，因为当时，直线AB斜率平方， 此时AB与双曲线左支只能交于一点，舍去，所以， （16分） 故直线的方程为，或． （17分） 18．（17分） 在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； （3）若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据：（其中，） 18．（17分） 【解析】(1)由题意知，X的取值可能为1，2，3， （1分） ， （2分） ， （3分） （4分） 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望． （5分） (2)令，则．由题意知，， （6分），． 则， （8分） 则，则有， （10分） 故回归方程为．当时，，故预测y的值约为10.8． (3)由题意知在前n轮就成功的概率为 ． （12分） 则在前n轮没有成功的概率为 （14分） ， （16分） 即，所以．故． （17分） 19．（17分） 已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. （1）若函数是点奇函数，求实数的值； （2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； （3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 19．（17分） 【解析】(1)法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数，即，因为， （3分） ，比较两式右边，由 所以，解得. （5分） 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， （3分） 即，化简得， 所以，解得． （5分） (2)，从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，，（7分） 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. （8分） 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； （9分） 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是极小值点. （11分） 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. （12分） (3)法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， （13分） ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：，（14分） 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. （15分） . （16分） 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. （17分） 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； （12分） 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， （13分） 化简得恒成立， （14分） 所以，解得 （15分） 所以函数存在唯一的对称中心， （16分） 所以函数是点奇函数. （17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D A C A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．6 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】(1)由余弦定理有，对比已知， （1分） 可得， （3分） 因为，所以， 从而， （5分） 又因为，即， （6分） 注意到， 所以. （7分） (2)由（1）可得，，，从而，， 而，（9分） 由正弦定理有， （10分） 从而， （11分） 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ，（12分） 由已知的面积为，可得， 所以. （13分） 16．（15分） 【解析】（1）因四边形为矩形，则， （1分） 因，平面， （3分） 故平面. （4分） （2） 由（1）平面，平面， （5分） 则得，又， （6分） 故可以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 因，，则，又D为的中点， 则得， （8分） 于是， （9分） 设平面的法向量为， 则，故可取； （11分） 又， （12分） 设平面的法向量为， 则，故可取， （14分） 设平面与平面的夹角为， 则. （15分） 17．（15分） 【解析】(1)由双曲线的焦距为4，点在上，（2分） 可得，所以，且，又因为，即， （4分） 联立方程组，解得，，所以的方程为. （6分） (2)设直线l方程为，代入圆的方程整理得，直线与圆相切， 所以判别式，所以，切点位于轴上方，故. （7分） 将直线代入双曲线方程，整理得，解得， 两点的坐标分别为（）、（）， 从而； （9分） 另解：由题意设直线方程为，该直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得. （7分） 联立得 设，，则， （9分） (3)由题意直线与平行，由双曲线的对称性，易知=，四边形为平行四边形． 当直线垂直于x轴时，，此时四边形的面积为，不合题意，舍去； （10分） 设直线方程为，则直线方程为， （12分） 直线和的距离就是点到直线的距离， （13分） 设，，联立方程组，整理的， 则，且，， 又由双曲线的渐近线的方程为， （14分） 要使得过的左焦点的直线交的左支于点、，可得，() 则， 所以，化简可得，（15分） 解得，或，因为，所以， （16分） 故直线的方程为或． （17分） 另解：设直线方程为，代入双曲线方程得，整理得（10分） ，(因为双曲线的渐近线斜率为， （13分） 直线AB与双曲线左支交于两点，所以) ，，所以， 点到直线的距离， （14分）， （15分） 化简可得，解得，或，因为当时，直线AB斜率平方， 此时AB与双曲线左支只能交于一点，舍去，所以， （16分） 故直线的方程为，或． （17分） 18．（17分） 【解析】(1)由题意知，X的取值可能为1，2，3， （1分） ， （2分） ， （3分） （4分） 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望． （5分） (2)令，则．由题意知，， （6分），． 则， （8分） 则，则有， （10分） 故回归方程为．当时，，故预测y的值约为10.8． (3)由题意知在前n轮就成功的概率为 ． （12分） 则在前n轮没有成功的概率为 （14分） ， （16分） 即，所以．故． （17分） 19．（17分） 【解析】(1)法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数，即，因为， （3分） ，比较两式右边，由 所以，解得. （5分） 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， （3分） 即，化简得， 所以，解得． （5分） (2)，从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，，（7分） 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. （8分） 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； （9分） 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是极小值点. （11分） 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. （12分） (3)法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， （13分） ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：，（14分） 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. （15分） . （16分） 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. （17分） 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； （12分） 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， （13分） 化简得恒成立， （14分） 所以，解得 （15分） 所以函数存在唯一的对称中心， （16分） 所以函数是点奇函数. （17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知向量与方向相同，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 4. 一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（ ） A. 7.6 B. 7.4 C. 7.2 D. 7 5．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（ ）个“半衰期”．【提示：】 A. 11 B. 9 C. 10 D. 8 6．将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（    ） A． B． C． D． 7．将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变大.若将5填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（    ） A．12 B．18 C．36 D．48 8．已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（ ） A. 结论①和②均正确 B. 结论①正确，结论②错误 C. 结论①错误，结论②正确 D. 结论①和②均错误 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（ ） A 若直线与圆相切，则 B. 当时，直线截圆所得的弦长为 C. 点到直线的距离恒为 D. 若，则当取到最小值时， 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于两点，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 11．在数列中，，，令记，分别为数列，的前项和，则（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. 数列从第6项起递减数列 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 13. 设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为120°，则___________. 14．若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16．（15分） 如图，在六面体中，D为的中点，四边形为矩形，且，，． (1)求证：平面； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上． （1）求双曲线的方程； （2）设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值； （3）如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程． 18．（17分） 在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； （3）若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据：（其中，） 19．（17分） 已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. （1）若函数是点奇函数，求实数的值； （2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； （3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $