11.5 因式分解（二） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

11.5 因式分解（二） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 训练内容：平方差公式 满分：120分 时间：60分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 4．因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则“”处的数为（   ） A．1 B．9 C． D． 6．下列多项式因式分解后的结果为的是（　　） A． B． C． D． 7．若，那么代数式M应为（    ） A． B． C． D． 8．若，，则的值为（    ） A． B．21 C． D．10 9．已知一个圆的半径为，若这个圆的半径增加，则它的面积增加（   ） A． B． C． D．以上都不对 10．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，分别对应“国”，“爱”，“我”，“中”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我最爱美 B．我爱中国 C．最爱中国 D．最美中国 11．当为正整数时，两个连续奇数和的平方差是（   ） A．的倍数 B．的倍数 C．的倍数 D．的倍数 12．若，则的值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．因式分解： ． 14．分解因式 ． 15．因式分解：  ． 16．因式分解： ． 三、解答题（共72分） 17．（12分）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； 18．（12分）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； 19．（10分）分解因式： (1) (2) 20．（12分）简便运算：（1）． (2) (3) 21．（10分）先因式分解，再求值：，其中，． 22．（16分）阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 借助因式分解解决整除问题 一般地，如果一个正整数，其中能被整除，能被整除，那么就能被整除．例如：，其中6能被2整除，2能被2整除，所以12一定能被整除，即12一定能被4整除． 受此启发，小张认为，若为正整数，那么一定能被24整除．他的证明过程如下： 证明：． 为正整数，一定能被3整除． 能被8整除，一定能被整除，即一定能被24整除． 问题解决 (1)若为正整数，下列各数，一定能整除的是__________． A．8   B．10   C．14   D．17 (2)应用：已知是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知是正整数，能被36整除，请直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 11.5 因式分解（二） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册 训练内容：平方差公式 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C C A B B D B 题号 11 12 答案 B A 1．C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解： A中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； B中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； C中，是两数（或式）的平方差，故能用平方差公式分解因式，故符合题意； D中，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知是解题的关键．根据平方差公式进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】本题考查平方差公式的应用，直接使用公式 进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴由平方差公式，得， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查的是因式分解，灵活运用平方差公式是解题的关键．将表达式 改写为 ，应用平方差公式 进行因式分解． 【详解】解：， 又  ， 因式分解的结果为 ． 故选：． 5．C 【分析】本题考查了因式分解——运用平方差公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过展开右边的乘积，利用平方差公式化简，再比较等式两边同类项的系数，即可求出的值． 【详解】解：， ． 故选：C． 6．A 【分析】此题考查了因式分解．根据因式分解判断各项即可． 【详解】解：A、，符合题意， B、不能分解，不符合题意； C、不能分解，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键． 利用平方差公式先分解,再根据等式的相等关系可得M的值． 【详解】解：， ， 故选：B． 8．B 【分析】把因式分解后，利用整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了用平方差公式因式分解和求值，熟练掌握是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查了列代数式、平方差公式分解因式，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 利用圆的面积公式表示出圆的半径增加前后的圆的面积，再作差即可得出答案． 【详解】解： ， ∴它的面积增加， 结合选项可知，A、B、C均不符合题意； 故选：D． 10．B 【分析】本题考查因式分解的应用（提取公因式法、平方差公式），解题的关键是逐步提取公因式并利用公式分解，再对应密码信息． 先提取公因式，再用平方差公式分解因式，得到，结合给定的对应关系，即可得出密码信息． 【详解】解：∵ 又∵， ∴原式= 由对应关系：→“我”，→“爱”，→“中”，→“国”， ∴密码信息为“我爱中国”． 故选：B． 11．B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据平方差公式分解因式，可得：，可知一定是的倍数． 【详解】解： ， 一定是的倍数． 故选：B． 12．A 【分析】本题主要考查因式分解及代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键；利用平方差公式将分解为，再结合已知条件进行化简求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴原式； 故选A． 13． 【分析】本题主要考查利用公式法分解因式，利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式2，再利用平方差公式法进行分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 15． 故答案为：； 16． 【分析】此题主要考查了用公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．利用平方差公式：，进行两次分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解； （1）直接利用平方差公式进行分解即可求解； （2）直接利用平方差公式进行分解即可求解； （3）直接利用平方差公式进行分解即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． （1）直接应用平方差公式进行因式分解； （2）将视为 后应用平方差公式进行因式分解； （3）将化为 ，16变形为 后应用平方差公式进行因式分解； 【详解】（1）解： ； （2）解：     （3）解： ； 19．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先整理原式，再提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．解：（1） ； (2)解： ； (3)解：原式 21．， 【分析】先利用平方差公式因式分解，把代数式化简，再代入字母的值计算即可． 【详解】 ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键． 22．(1)C (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了因式分解的应用（平方差公式、提取公因式法），熟练掌握因式分解的方法并结合整数的性质分析因数是解题的关键． （1）对因式分解，分析其因数，匹配选项； （2）先对用平方差公式因式分解，再化简，分析其是否含24的因数； （3）先因式分解，化简后根据能被36整除的条件，求n的最小值． 【详解】（1）解： ， ∵是正整数，是整数， ∴一定能被14整除， 故答案为：C； （2）解： ， ∵是正整数，和是连续整数， ∴能被2整除， ∴能被整除，即能被24整除； （3）解：， ∵能被36整除， ∴是整数， 即能被3整除， ∵是正整数，和是连续整数， ∴当时，能被3整除， 故的最小值为：2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $