精品解析：广西壮族自治区南宁市第三十七中学2025--2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

2025—2026学年秋季学期九年级第二次大作业 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列立体图形的主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是关键． 根据立体图形确定主视图即可求解． 【详解】解：A、主视图是正方形（或长方形），不符合题意； B、主视图是三角形，不符合题意； C、主视图是圆，符合题意； D、主视图是正方形（或长方形），不符合题意； 故选：C． 2. “明天连云港会下雨”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件的相关概念可进行排除选项． 【详解】解：“明天连云港会下雨”，这个事件属于随机事件； 故选B． 【点睛】本题主要考查随机事件，熟记必然事件、随机事件、不可能事件的概念是解题的关键． 3. 如图，把绕点顺时针旋转一定角度到的位置，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，掌握旋转中对应边相等是关键． 根据旋转图形对应边相等即可求解． 【详解】解：把绕点顺时针旋转一定角度到的位置，若， ∴， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向上平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是， 故选：C． 5. 已知中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选B． 6. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值是（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为 进行计算即可． 【详解】∵ 方程 中，，， ∴ ． 故选：B． 7. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5.5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 8. 古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算．某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题．审清题意、找准等量关系是解题的关键． 设该增长率为，根据第一年储存粮食100石到第三年储存粮食121石，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设该增长率为， ∵ 第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，每年增长率相同为x， ∴． 故选C． 9. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且．则这个油桶的底面半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和正方形的判定、性质，解题关键是理解和掌握切线的性质． 根据切线的性质，连接过切点的半径，构造正方形求解即可． 【详解】解：如图； 设油桶所在的圆心为O，连接 ∵与相切于点A、C， ∴ 又∵ ∴四边形是正方形， ∴ 故选：D． 10. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 11. 如图是二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像与一元二次方程的根的关系，掌握二次函数图像与坐标轴的交点，对称轴的特点是关键． 根据二次函数与x轴的交点，对称轴的计算求解即可． 【详解】解：二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线， ∴， ∴与轴的另一个交点是， ∴关于的一元二次方程的解是， 故选：A． 12. 如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． 如图所示，连接，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证是等边三角形，，则，结合弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， 由折叠可得，则， ∵， ∴，， 在中，设，则，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴的长为， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 14. 如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是________（结果保留到小数点后1位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟试验、由频率估计概率、近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键． 根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近， ∴“凸面向上”的概率为，结果保留到小数点后1位为． 故答案为：． 15. 已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为______cm． 【答案】4 【解析】 【分析】由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解． 【详解】解：由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2， 根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：=8π， 再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 可得=4cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键． 16. 已知二次函数（，为常数，）的图象上有两点，，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，解不等式． 通过计算两点函数值的差，得到，由得不等式 ，解此不等式，即可作答． 【详解】解：∵点和点在二次函数上． ∴， ∴， 则． ∵， ∴， 即． ∵， 不等式等价于． 当与同为正号时，则， ∴； 当与同为负号时，则， ∴； 综上：或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）0 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用负指数幂的定义、算术平方根、特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 因式分解得： 或 ，． 【点睛】此题考查了负指数幂的定义，算术平方根，特殊角的三角函数值和解一元二次方程，熟练掌握负指数幂的定义、算术平方根，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法是关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）12 【解析】 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点逆时针方向旋转得到即可； （2） 按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：把绕点逆时针方向旋转得到； 【小问2详解】 在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； 【小问3详解】 的面积为． 19. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4种茶点，每种茶点被选到的概率相同， ∴只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种， ∴（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）． 20. 数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下： 课题 制作测角仪，测量榕树的高度 制作及测量过程 （1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图1； （2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图2； （3）得出仰角的度数； （4）测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离； （5）计算这棵榕树的高度． 测量示意图 测量数据 如图3，经测量眼睛离地面的高度，人到榕树底部的距离，测角仪上细线所对应的刻度为 请根据“方案”完成下列任务： 【任务一】（1）的度数是________； 【任务二】（2）计算这棵榕树高度（结果保留整数）． （参考数据：，，） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解． （2）明确直角三角形中边与已知条件（人到树距离、人眼离地高度）的对应关系．再依据直角三角形中三角函数定义求出长度．最后根据树高的线段组成关系求出大树高度． 【详解】解：（1）由题可知， 故答案为：. （2）由题意可得，， 在直角三角形中， ∴ ∵结果保留整数，即 答：大树的高度约为． 21. 如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是关键． （1）如图所示，连接，得到，，结合题意和切线的判定方法即可求解； （2）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质得到，证明，，列式得到，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 在中，， ∴． 22. 跨学科主题学习活动中，小邕同学对“弹珠在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究．小邕先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到水平木板点处开始，用仪器测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：），滚动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点，连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示与的函数关系． （1）求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 【应用模型】 （2）求黑球在水平木板上滚动的最大距离； （3）若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的建模及应用，熟练分析函数类型、求解函数解析式并利用方程解决实际问题是解题的关键． （1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数中，有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）根据题意，设二次函数的表达式为经过， 则，解得 ∴与的函数关系式为：； （2）由（1）可得 故当时，黑球在水平木板上滚动的最大距离为； （3）不能；理由，设黑球追上小车的时间为； 则，整理得； ∵，方程无解； ∴黑球不能追上电动小车． 23. 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，善思数学小组以“等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的图形关系”为主题展开了如下探究： （1）如图1，在中，，，分别取，的中点，，作．求证：； （2）将图1中的绕点逆时针旋转，旋转角是（），连接，． ①如图2，当，时，求的度数； ②若，当点在直线上时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵点分别是的中点， ∴， ∴； （2）①；②点在直线上时，的值为或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，结合相似三角形的判定即可求解； （2）①根据三角形内角和定理得到，证明，得到，结合图形即可求解； ②根据旋转的性质，点位置的不同，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由旋转的性质得，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴，， 如图所示，点在直线上，延长交直线于点， ∴， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， ∴, ∴， ∴， 解得，， ∴， 在中，； 如图所示，点在直线上，交直线于点， 在中，， ∴， 根据题意，， ∴，，即， 解得，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得，，， ∴， ∴； 综上所述，点在直线上时，的值为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年秋季学期九年级第二次大作业 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列立体图形的主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 2. “明天连云港会下雨”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 3. 如图，把绕点顺时针旋转一定角度到的位置，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 4. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程的两个实数根为，，则的值是（ ） A. 7 B. 4 C. 3 D. 7. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5.5 D. 6 8. 古埃及《林德纸草书》中记载了大量关于比例和增长的计算．某古埃及部落第一年储存粮食100石，第三年储存粮食121石，若每年粮食储存量的增长率相同，设该增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且．则这个油桶的底面半径是（ ） A. B. C. D. 10. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 11. 如图是二次函数图像的一部分，与轴的一个交点是，对称轴是直线．则关于的一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 14. 如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是________（结果保留到小数点后1位）． 15. 已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为______cm． 16. 已知二次函数（，为常数，）的图象上有两点，，若，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）把绕原点逆时针方向旋转后得到，请画出； （2）以原点为位似中心，在轴的左侧把放大为原来的2倍后得到，请画出； （3）求的面积． 19. 早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“．虾饺，．干蒸烧卖，．艇仔粥，．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同） （1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是___________． （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率． 20. 数学综合实践研究小组用自制测角仪，完成了对榕树高度的测量．具体操作方案如下： 课题 制作测角仪，测量榕树的高度 制作及测量过程 （1）把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图1； （2）将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达榕树的最高点，如图2； （3）得出仰角的度数； （4）测出眼睛离地面的高度以及人到榕树底部的距离； （5）计算这棵榕树的高度． 测量示意图 测量数据 如图3，经测量眼睛离地面的高度，人到榕树底部的距离，测角仪上细线所对应的刻度为 请根据“方案”完成下列任务： 【任务一】（1）的度数是________； 【任务二】（2）计算这棵榕树高度（结果保留整数）． （参考数据：，，） 21. 如图，在等腰三角形中，，以为直径的与交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 跨学科主题学习活动中，小邕同学对“弹珠在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究．小邕先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从黑球运动到水平木板点处开始，用仪器测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：），滚动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点，连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示与的函数关系． （1）求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 【应用模型】 （2）求黑球在水平木板上滚动的最大距离； （3）若黑球到达木板点处的同时，在前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则黑球能否追上小车？请说明理由． 23. 旋转是几何图形运动中的一种重要变换，善思数学小组以“等腰直角三角形为背景探究旋转变换下的图形关系”为主题展开了如下探究： （1）如图1，在中，，，分别取，的中点，，作．求证：； （2）将图1中的绕点逆时针旋转，旋转角是（），连接，． ①如图2，当，时，求的度数； ②若，当点在直线上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $