精品解析：陕西白河县卡子初级中学2025-2026学年度第一学期第三次阶段性作业九年级数学

2025－2026学年度第一学期第三次阶段性作业 九年级数学（人教版） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】比较点A到圆心的距离与半径的大小，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 2. 的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 3. 如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长度． 【详解】解：，， ，， ， 在中，， ． 4. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， ∴ ． 6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，是圆的切线， 与圆切于点， 根据切线长定理有，， 设， 则，， 四边形是正方形， ， 三角形是直角三角形， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 8. 如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 命题“一个三角形中至少有两个锐角”是真命题用反证法证明该命题时,第一步应先假设______. 【答案】一个三角形中最多有一个锐角 【解析】 【分析】反证法的步骤：先假设命题反面成立；从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；得出假设命题不成立，即所求证命题成立. 【详解】解：第一步应先假设：一个三角形中最多有一个锐角. 故答案为一个三角形中最多有一个锐角. 【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键. 10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【解析】 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 11. 日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】如详解图：连结、，过点作于、交于、交于，由已知条件可得四边形是矩形，再根据垂径定理求出的值，进而求得的值，最后求得的值，就是圆盘离桌面最近的距离． 【详解】 解：连结、，过点作于、交于、交于， 、 ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ． 12. 如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 13. 图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】先根据当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远，再根据勾股定理解答；然后结合当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最远， 在中，， ∴； 当点Q运动到点时，点P运动在上距离点A最近， 在中，， ∴． 三、解答题（共48分） 14. 如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 15. 如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 16. 如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． （1）求证：． （2）作，垂足为M．若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 17. 如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角性质可以推出，判定，即可得到，从而由切线的判定即可得证； （2）连接，由（1）可知，，结合直径所对的圆周角是直角、等腰三角形三线合一性质求出，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ， 由（1）可知，， 为的直径， ， ， 在等腰中，由三线合一性质可得是边上的中线，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第三次阶段性作业 九年级数学（人教版） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 2. 的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 4. 如图，点，，在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为4，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 命题“一个三角形中至少有两个锐角”是真命题用反证法证明该命题时,第一步应先假设______. 10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 11. 日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为， ，垂足为，， 的半径，则圆盘离桌面最近的距离是______． 12. 如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 13. 图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动， ．在磨盘转动过程中，的最大值为______．最小值为______． 三、解答题（共48分） 14. 如图，在中，，．求证：． 15. 如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 16. 如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． （1）求证：． （2）作，垂足为M．若，求的长． 17. 如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $