精品解析：河南省安阳市内黄十校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

河南省2025—2026学年第一学期学业测评试卷 九年级数学（人教版） ·21～25章· 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 新情境 下列手机屏幕手势解锁图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 跨学科 下列诗词所描述的事件，属于确定性事件的是（ ） A. 登岳快晴明，别岳遇风雨 B. 一夜北风紧，开门雪尚飘 C. 恰似扁舟浮瀚海，风涛不定问西东 D. 水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解 A、“别岳遇风雨”为天气变化，具有随机性，故A不符合题意； B、“一夜北风紧”无法确定“开门雪尚飘”，故B不符合题意； C、“风涛不定”明确表示不确定性，故C不符合题意； D、水面上秤锤浮’（秤锤浮在水面上）违背物理常识，为不可能事件，不可能事件属于确定性事件，故D符合题意． 3. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，， ∴, ∴点在圆外， 故选：． 4. 小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概型求面积问题，解题的关键是理解黑色阴影部分占整体的，即可求解． 【详解】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为， 故选：C． 5. 如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，圆的内接四边形，能够正确作出辅助线是解题关键； 连接，通过正五边形性质求出，进而求出，最后利用圆的内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形， ∴， ∴， ∵为圆的内接四边形， ∴， 故选：C． 6. 若实数，满足，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由条件得，代入方程判别式，化简后，从而判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴， 对于方程， 判别式， 代入， 得， ∵， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C. 7. 从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体即可． 【详解】选项A、C、D中，小圆的周长和扇形的弧长都不相等，故不能配成一个圆锥体，只有B符合条件． 故选B． 【点睛】本题考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 8. 跨学科融合是新课标的热门议题．正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为化学变化的结果有2种， ∴卡片正面恰好为化学变化的概率为． 故选：D． 9. 如图，在小正方形边长均为1的网格中，扇形与扇形中的点，，，，都在格点上，与交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形面积，网格与勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合网格特征，得，，再根据割补法进行列式计算，把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 则， ， 则阴影部分的面积为， 故选：D． 10. 如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．先求出，然后设点的坐标为，过点作于点，证得，即可得点的坐标为，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：令，则， ， 设点的坐标为，过点作于点， 由旋转可得：，， ， ， ， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 把代入得， 解得，舍去， 点的坐标为， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 正六边形的半径为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正六边形外接圆半径与边心距的关系，掌握“正六边形的外接圆半径等于其边长”是解题关键． 根据正六边形的半径可求出正六边形的边长，再根据正六边形的性质，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，圆为正六边形的外接圆，过点作，连接，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由，可得，， 故边心距为． 故答案为：． 12. 跨学科 “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，是采用“三分损益法”通过数学方法获得．如图是一款“一起听古音”的音乐玩具，小球从处沿轨道进入相应小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个小球从处进入小洞，则玩具发出“宫”或“角”声音的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音，“宫”或“角”是其中的两种结果， ∴玩具发出“宫”或“角”声音的概率为， 故答案为：． 13. 如图，为半圆的直径，点，为半圆上两点，若，，则的长为______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，已知圆内接四边形求角度，求弧长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用圆内接四边形的性质求得，再证明是等边三角形，从而可得，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为半圆的直径， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14. 已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 先求出该抛物线的对称轴为直线，再利用对称性求出点坐标，进而可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为：直线， ∵点且轴， ∴关于直线对称， ∴， ∴，点到线段距离为， ∴的面积为：， 故答案为：4． 15. 如图，等边的边长为2，为中线，点为上不与端点重合的一动点，连接，并将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，当是直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】通过旋转的性质构造全等三角形，实现线段和角度的转化，再对直角三角形中直角顶点的不同位置进行分类讨论，利用等边三角形、含角的直角三角形的边角关系求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，，， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴． ∵将线段绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形． 又， ∴，， ∴． 在与中， ， ∴． ∴，． ∵是等边的中线， ∴是角平分线， ∴， ∴． ①当时, ​在中，，， 则是角所对的直角边， ∴， ∴​​． ∵ ∴​​． 此时的长度为​​． ②当时​, 在中，，， 则是斜边， ∴． ∵ ∴​​． 综上， ​当是直角三角形时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），等边三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形，根据旋转的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：（1） 则或， 解得，； （2）点与点关于原点对称， ①，②， 由①②得，， 整理得． 17. 河南洛阳某牡丹园为迎接牡丹文化节，特地对园内名贵牡丹品种“洛阳红”的移植成活率进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． （1）这种牡丹成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______； （2）该牡丹园已经移植“洛阳红”1000株． ①估计这批牡丹成活的株数； ②为满足成活9900株“洛阳红”的要求，估计还需要移植多少株？ 【答案】（1），； （2）①估计这批牡丹成活900株；②估计还需要移植10000株 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，已知概率求数量，由频率估计概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据统计图求解； （2）①根据频率估计总体； ②根据概率估计还需要移植的株数． 【详解】解：（1）这种牡丹成活的频率稳定在附近，估计成活概率为， 故答案为：，； （2）①（株）， 答：估计这批牡丹成活900株； ②（株）， 答：估计还需要移植10000株． 18. 有一破损的水管，截面图为一个不完整的圆． （1）请用无刻度的直尺和圆规补全这个圆；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若水管直径为20cm，水面宽度，求劣弧的长．（结果保留π） 【答案】（1） 解：如图所示为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了弦的垂直平分线性质，线段垂直平分线的作法，垂径定理，勾股定理及弧长公式的应用． （1）作的垂直平分线，交于点C，交圆于点D，连接，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆即可； （2）连接、，根据已知条件利用勾股定理求出的长度，此时，进而证得是等边三角形，进而根据圆心角的度数及弧长公式求得劣弧的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∴弧的长为． 19. 如图1，在计数器的十位上画了一颗珠子，个位上画了四颗珠子，则表示数“14”．如图2，在计数器的十位上画了一颗珠子． （1）如果在图2计数器上再画一颗珠子，则表示的数为11属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； （2）如果在图2计数器上再画两颗珠子，用列表法或画树状图法求表示的数为奇数的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题关键． （1）根据事件的分类，结合题意判定即可； （2）运用列表法或画树状图法求随机事件的方法计算即可． 【小问1详解】 解：在这个计数器上再画一颗珠子，可以画在个位，表示11，也可以画在十位，表示20， ∴表示的数为11属于随机事件， 故答案为：随机． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知有4种等可能的结果，表示的数为奇数的有2种， ∴P（表示的数为奇数）． 20. 图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． （1）求图1中圆锥的母线的长． （2）求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆锥与扇形的关系，扇形弧长公式，等腰直角三角形的性质，掌握“圆锥底面圆周长=扇形弧长”是解题关键． （1）利用“圆锥底面圆周长=扇形弧长”，结合扇形圆心角，代入弧长公式求出母线AE 的长． （2）先求等腰直角三角形的面积，再求扇形的面积，用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分面积． 【小问1详解】 解：根据题意，圆锥底面圆周长与长度一致， 故， 可得， 即． 【小问2详解】 由条件可得， 故． 21. 如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． （1）求的度数； （2）取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】（1） （2） 与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【小问1详解】 解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 2 … … 0 … （1）该二次函数的顶点坐标是______，并求该二次函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）将该二次函数的图象向右平移个单位长度后得到一个新图象，在新图象上，当时，函数的最小值为，直接写出的值． 【答案】（1）； （2） 如图， （3）或 【解析】 【分析】（1）先通过观察表中数据求得顶点坐标，再利用顶点式求解即可； （2）将表中数据通过描点，连线画函数图象； （3）先利用平移规律求出平移后的抛物线解析式，再分，两种情况讨论，分别求出n的值． 【小问1详解】 解：∵当与时，函数值都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 又当时，， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的图象向右平移个单位长度后得到的一个新图象的解析式为，即， 其顶点是，开口向上，最小值是（在顶点处）， ∵在新图象上，当时，函数的最小值为， ∴不在范围内， 令， 解得：，， 即当或时，的最小值为， ①当时， ∴， 此时在对称轴的右边， 随x的增大而增大， 当时，取到最小值， ∴， 解得：（舍去），， ②当时， ∴， 此时在对称轴的左边， 随x的增大反而减小， 当时，取到最小值， ∴， 解得：，（舍去）， 综上，或． 【点睛】本题考查了的图象和性质，把化成顶点式，的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 23. 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【观察猜想】 （1）当时，请在图2中补全图形（无需尺规作图）；并直接判断四边形的准确形状为______； 【类比探究】 （2）当点在矩形内部时，连接，求证：； （3）如图3，当时，连接，求此时的面积． 【拓展应用】 （4）当点，，三点共线时，直接写出此时的长度． 【答案】 （1）如图，四边形是正方形， （2）证明：连接， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， （3）；（4）或8 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，从而可得四边形是正方形； （2）先根据旋转的性质得出，再根据垂直的意义，矩形的性质得出，结合，用证明； （3）先根据旋转的性质和矩形的性质得出，再证明，从而可得，列出比例式，再证明，然后利用勾股定理求得，从而可得，结合，求出的面积； （4）分的延长线过点D，过点D两种情形讨论，分别求出的长度． 【详解】（1）解：理由：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）略 （3）如图，连接，延长交于点H，过点E分别作、的垂线，垂足分别为J，I，则， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴的面积为； （4）当的延长线过点D时，连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 与（2）同理可证：， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 此时旋转角为，且满足，符合题意； 当过点D时，交的延长线于F， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 此时旋转角为，满足，符合题意， 综上，的长度为2或8． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），全等的性质和综合（），用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，根据旋转的性质求解，利用平行判定相似，正方形的判断，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025—2026学年第一学期学业测评试卷 九年级数学（人教版） ·21～25章· 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 新情境 下列手机屏幕手势解锁图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 跨学科 下列诗词所描述的事件，属于确定性事件的是（ ） A. 登岳快晴明，别岳遇风雨 B. 一夜北风紧，开门雪尚飘 C. 恰似扁舟浮瀚海，风涛不定问西东 D. 水面上秤锤浮，直待黄河彻底枯 3. 已知的半径为，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 4. 小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数，满足，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（　　） A. B. C. D. 8. 跨学科融合是新课标的热门议题．正面分别印有不同现象的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是化学变化的概率是（ ）     A. B. C. D. 9. 如图，在小正方形边长均为1的网格中，扇形与扇形中的点，，，，都在格点上，与交于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，为轴负半轴上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 正六边形的半径为，则该正六边形的边心距为______． 12. 跨学科 “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，是采用“三分损益法”通过数学方法获得．如图是一款“一起听古音”的音乐玩具，小球从处沿轨道进入相应小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个小球从处进入小洞，则玩具发出“宫”或“角”声音的概率为______． 13. 如图，为半圆的直径，点，为半圆上两点，若，，则的长为______．（结果保留π） 14. 已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么的面积为______． 15. 如图，等边的边长为2，为中线，点为上不与端点重合的一动点，连接，并将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，当是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求的值． 17. 河南洛阳某牡丹园为迎接牡丹文化节，特地对园内名贵牡丹品种“洛阳红”的移植成活率进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． （1）这种牡丹成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______； （2）该牡丹园已经移植“洛阳红”1000株． ①估计这批牡丹成活的株数； ②为满足成活9900株“洛阳红”的要求，估计还需要移植多少株？ 18. 有一破损的水管，截面图为一个不完整的圆． （1）请用无刻度的直尺和圆规补全这个圆；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若水管直径为20cm，水面宽度，求劣弧的长．（结果保留π） 19. 如图1，在计数器的十位上画了一颗珠子，个位上画了四颗珠子，则表示数“14”．如图2，在计数器的十位上画了一颗珠子． （1）如果在图2计数器上再画一颗珠子，则表示的数为11属于______（填“随机”“必然”或“不可能”）事件； （2）如果在图2计数器上再画两颗珠子，用列表法或画树状图法求表示的数为奇数的概率． 20. 图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． （1）求图1中圆锥的母线的长． （2）求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 21. 如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． （1）求的度数； （2）取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 2 … … 0 … （1）该二次函数的顶点坐标是______，并求该二次函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）将该二次函数的图象向右平移个单位长度后得到一个新图象，在新图象上，当时，函数的最小值为，直接写出的值． 23. 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【观察猜想】 （1）当时，请在图2中补全图形（无需尺规作图）；并直接判断四边形的准确形状为______； 【类比探究】 （2）当点在矩形内部时，连接，求证：； （3）如图3，当时，连接，求此时的面积． 【拓展应用】 （4）当点，，三点共线时，直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $