专题07 数列的单调性与最值问题（培优高频考点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

专题07 数列的单调性与最值问题 目录 高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）（） 题型二 分段数列的单调性（含参数范围）（） 题型三 由递推关系判断数列单调性（） 题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）（） 题型五 单调性与充分必要条件结合（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升） 高考中以选择题、填空题以单调性判断、分段数列参数范围、最值求解为主（分值 5-10 分），解答题中多作为第二问设问（结合递推数列、数列求和，分值 6-8 分），属于中档题核心模块： 基础知识必备：掌握数列单调性定义（递增：；递减：，对任意成立）及最值定义（最大项满足，最小项反之）。熟练运用作差法、作商法、函数法三种核心方法判断单调性，掌握分段数列、递推数列的通项求解与单调性分析逻辑。理解充分必要条件的判定规则，能结合数列单调性定义完成逻辑推导，熟知等比、等差数列与单调性的关联性质。掌握数列前n项和与通项的关系（），为单调性分析奠定基础。 2026高考预测：核心考向：分段数列含参数的单调性仍为高频考点，侧重多条件不等式组求解；单调性与最值综合题会强化 “先判单调再求最值” 的逻辑链，可能结合函数导数辅助分析； 创新趋势：单调性与充分必要条件、新定义数列（如 “拟递增数列”）的结合考查概率上升，跨模块融合（与不等式恒成立、函数值域衔接）成为难点突破方向； 命题特点：题目设计会注重 “性质应用” 而非 “概念记忆”，强调逻辑推导和计算严谨性，避免复杂技巧，侧重通性通法的灵活运用。 重难知识汇总：①单调性判断三重核心：作差法（适用于所有数列，核心判正负）、作商法（仅适用于正项 / 负项数列，注意符号对结论的影响）、函数法（将转化为，结合修正单调性）。②分段数列单调性：需满足 “分段内单调 + 衔接处单调” 双重条件，一次函数段关注斜率，指数 / 幂函数段关注底数，衔接处需保证前一段末项与后一段首项满足单调关系。③递推数列单调性：先通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法求通项，再判单调性；无法求通项时，直接通过递推式变形比较与大小。最值求解关键：单调性法（先增后减取顶点，单调数列取首尾）、不等式组法（锁定最值项的前后项关系）、函数法（结合二次函数对称轴、对勾函数性质，限定正整数域）。 常用技巧方法：作差法速算：化简时，优先合并同类项、因式分解，快速判断正负（如含二次式可配方，含分式可通分）。作商法避坑：先判断符号，正项数列直接比大小，负项数列需反转不等号（如时，负项数列递减）。函数法转化：将视为函数，用导数或基本函数性质（如二次函数对称轴、对勾函数拐点）确定单调性，再验证的对应项。 易错避坑提效：①作商法忽略符号：忘记判断正负，直接用与 1 的大小下结论，导致单调性判断错误。②分段数列漏衔接：仅保证各分段内单调，忽略前一段末项与后一段首项的大小关系（如递增数列需满足，分段点为）。③函数法混淆定义域：将函数的单调性直接等同于数列单调性，忽略与的区别（如函数在递增，数列需验证）。④最值求解漏条件：用不等式组法时，忘记的限制，导致多解或漏解（如求最大项时，未排除的特殊情况）。⑤逻辑关系颠倒：混淆充分性和必要性，如认为 “” 是 “数列递增” 的充分条件，忽略 “所有需满足”。⑥递推数列求通项失误：未正确构造等差 / 等比数列，导致通项求解错误，进而影响单调性分析，建议先验证前 3 项的规律再推导通项。 题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法） 方法点拨：①作差比较法：当时，递增；当时，递减. ②作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减. ③函数法：将转化为函数，利用导数或基本函数单调性，结合推导数列单调性。 【典例01】（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项. 【详解】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得：. 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 故选：B 【典例02】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【答案】A 【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，结合二次函数的性质判断即可． 【详解】令，因为，所以当时， 而， 所以当时，即时，取最大值； 因为，且，，因为，所以距离最近， 所以当，即时，取最小值； 所以该数列既有最大项又有最小项， 故选：A． 【变式01】（2025·河北唐山·模拟预测）数列的前项和为，的前项和为，则数列（    ） A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项 C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项 【答案】A 【分析】根据数列和数列的前项和，分别求出数列和数列的通项公式，进而可以得到数列的通项公式，通过判断其单调性，可得是否存在最大值和最小值. 【详解】设数列的前项和为，的前项和为，则，， 当时，， 当时，， 经验证，时成立，所以， 同理可求得，适合； 所以， 令， 又，，，， ， 当时，，，所以，且时，， 则， 所以当时，，数列单调递增，得； 当时，，数列单调递减，得； 当时，，数列单调递增，得； 由此可知最大，最小， 综上所述，数列存在最大项，也存在最小项. 故选：A 【变式02】（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用分离常数法分析数列的单调性，再根据单调性求数列的最大项. 【详解】因为 所以当，即时，，所以. 当，即时，，所以. 且时，数列为递减数列， 所以该数列的前50项中最大项是. 故选：C 【变式03】（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知数列的通项公式为．则下列说法正确的是（   ） A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列是单调递减数列 【答案】BC 【分析】先化简通项公式，赋值法判断A，B，再结合函数单调性及值域判断C，D. 【详解】． 令，得，故选项A不正确； 令，得，故是该数列中的第33项，故选项B正确， 因为，又，所以数列是单调递增数列， 所以，所以数列中的各项都在区间内，故选项C正确，选项D不正确． 故选：BC. 题型二 分段数列的单调性（含参数范围） 方法点拨：①保证各分段内部单调：一次函数段需满足斜率正负，指数 / 幂函数段需满足底数范围。 ②保证分段衔接处单调：前一段的末项小于后一段的首项（递增数列）或大于后一段的首项（递减数列）。 ③列不等式组求解参数：结合上述两点建立不等式，注意参数需同时满足所有条件。 【典例01】（2025·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 【详解】已知函数，数列满足. ①充分性： 若为递增数列，则对于所有，满足，即. 当时，成立，即 ：， ：， ：， ：需要满足，即， 当，，要使在时单调递增，则. 综上，若数列递增，则， 所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性. ②必要性： 若，则，由①知当时为递增数列， 所以“”能满足“数列递增”， 即“数列递增”是“”的必要条件. 所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解． 【详解】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B 【变式01】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 【变式02】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 【变式03】（2025·上海普陀·一模）设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（   ） A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得 C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得 【答案】C 【分析】根据不同的取值范围分析分段函数的性质，结合函数单调性，反证法，进而判断关于集合元素个数等命题的正确性，逐个判断真假即可. 【详解】对于A选项,当时，对于，根据分段函数的性质，会得到， 由于在这个区间内，这样的递推会一直进行下去，所以集合有无数个元素. 当时，要满足，通过对分段函数的计算和分析，正好解得， 此时.并且当，两个分段函数都是增函数，中最多只存在两个元素.所以选项正确.   对于B选项，当时，有且. 要想有个元素，根据函数的递推关系，如果，那么根据函数性质会继续产生更多的元素， 所以必有，不然会有无数个元素.但是当时，中元素个数就不是个了， 这就产生了矛盾，所以原命题正确，即选项正确.   对于C选项，当时，，令，通过对分段函数的计算解得. 由于，此时，这与选项中说的情况不符，所以选项错误.   对于D选项，从前面的分析经验来看，要想，根据分段函数的性质，只能令，. 由此得到方程，整理得，解得或， 因为（根据前面的取值范围等条件），所以，选项正确.   故选：C. 题型三 由递推关系判断数列单调性 方法点拨：①先求通项：通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法等求出的表达式。再判单调性：对通项使用作差、作商或函数法判断，若无法求通项，可直接通过递推式变形比较与的大小。 ②特殊情况：若递推式为，可通过分析函数的单调性间接判断数列单调性。 【典例01】（2025·江西·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有最大值 D．不是单调数列 【答案】C 【分析】先对进行变形，构造新数列，求出数列的通项公式，结合作差法判断增减性，逐一分析选项. 【详解】设，则. 已知，将，代入可得： 可得. 两边取倒数，即. 又因为，所以，则. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 根据等差数列通项公式，则.所以. 当时，，所以选项A错误. 由前面计算可知，所以选项B错误. 因为，当增大时，减小，减小，且时，，，所以有最大值，选项C正确. 由可知，，所以是单调递减数列，选项D错误. 故选：C. 【典例02】（24-25高三上·天津·月考）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】求出数列的前n项和，按奇偶探讨的单调性求出最大与最小值即可得解. 【详解】由，，得，而，则数列是等比数列， 于是，当为奇数时，，， 当为偶数时，，，因此的最大值与最小值分别为， 所以的最大值与最小值的差为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用等比数列前n项和公式求出，再按奇偶结合单调性求解是关键. 【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，然后讨论与4的大小可得答案. 【详解】因为，所以. 若，则，不符合题意. 若，则为等比数列，所以. 当时，为单调递减数列，不符合题意； 当时，为单调递增数列，符合题意. 综上，. 【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知数列的首项为，若的前n项积，则（   ） A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项 C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项 【答案】B 【分析】由与关系可得，化简可得，从而得即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，则． 又，所以是首项为3，公差为1的等差数列， 所以，故， 所以是递增数列，故有最小项，无最大项． 故选:B 【变式03】（25-26高三上·江西·月考）记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先求出的通项公式，进而得出的表达式，再根据的通项公式求出的通项公式，判断数列的增减性，然后分析得出结果. 【详解】由题意可得是以1为首项、为公比的等比数列， 故，则， 当时， ， 当时，，代入上式， 所以， 当时，； 当时，， 此时 由， 所以， 即当时，为递增数列， 又，故， 故为的最小项， 又对于任意正整数均成立， 即成立，又为整数，故的最大值为， 故选：B． 题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项） 方法点拨：①单调性法：若数列先增后减，最大值在单调性转折处；若单调递增则末项最大，单调递减则首项最大。②不等式组法：设为最大项，则；最小项则将不等号反向。③结合函数最值：将数列通项视为函数，求函数在正整数域内的最值，对应数列的最大 / 小项。 【典例01】（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前项和公式求出，判断出数列的单调性即可得解. 【详解】设公比为， 由成等差数列，得， 又数列为等比数列，所以得，解得， 所以， 令， 则， 所以数列递增数列， 所以当时，取得最小值1. 故选：D. 【典例02】（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证； （2）利用等比数列的前项和公式，分组求和即可求解； （3）由（2）得，即，得，令，比较与1的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得， 所以 ， 化简得； （3）由（2）得， 所以， 令， 易得，又单调递减，当时，即， 又当时，， 所以数列的最大项为. 【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断数列的单调性，确定其最大项，根据百分位数的求法，即可确定答案. 【详解】因为， 故一组12个数据的第90百分位数是将数据由小到大排序后的第11个数， 又, 则，， 即数列前9项逐渐增大，从第10项开始又逐渐减小，且， 由此可得和是数列的最大项， 故将数列的前12项从小到大排序后，或将排在第11，12位 所以第90百分位数为或. 故选：B 【变式02】（24-25高三上·浙江·月考）(多选)已知数列的通项公式是，记的前项和为，则（    ） A． B． C．时，取最大值 D． 【答案】BC 【分析】根据即可判定A,根据作差，判断数列的单调性可知C，根据放缩，结合等差数列以及等比数列的求和即可判断BD. 【详解】由于，则，故A错误， ， ， 当，故， 当，故， 因此时，取最大值，C正确， 当时，，则，故D错误， 由于，故，故，B正确， 故选：BC 【变式03】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【答案】(1)答案见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用等比数列定义即可证明； （2）由（1）求得数列的通项公式，根据通项公式的特点分组求和； （3）用作商法判断数列的单调性后再求最大项. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，数列是以为首项为公比的等比数列. （2）由（1）得所以 化简得. （3）由（2）得，所以， ，令易得，又 单调递减，当时，即，，又当时，所以数列的最大项为. 题型五 单调性与充分必要条件结合 方法点拨：①明确单调性定义：如 “递增数列” 需满足对所有，，而非局部项满足。②双向验证逻辑关系：判断条件p（如）能否推出单调性（充分性），单调性能否推出条件p（必要性）。③举反例排除：若存在数列满足条件p但不单调，或单调但不满足p，即可判断充分 / 必要关系。 【典例01】（2025·四川自贡·三模）命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：由，且， 设，，，，后续项由依次计算得到： ，，，， 此时数列为1，2，3，4，8，12，16，32，…，显然不是等比数列，所以充分性不成立； 必要性：由为等比数列，显然可得， 且，故必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【典例02】（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 【变式01】（2025·湖南长沙·三模）数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列的性质，结合充分条件与必要条件的意义判断即可. 【详解】充分性：因为，，所以，所以， 又由数列是公比不为1的等比数列，所以， 可得同号，同号，所以，所以， 所以“，”是“”的充分条件； 必要性：若数列每项均为正数时，若且时，则对恒成立， 无法得到对恒成立，必要性不成立， 故“，”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式02】（2025·江苏南京·一模）在数列中，“对于任意的正整数，都有”是“数列为等比数列”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质及充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当有成立时，数列不一定为等比数列，例如，即充分性不成立； 当数列为等比数列时，一定成立，即必要性成立. 故选：A. 【变式03】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果. 【详解】将变形为. . 若数列递增，则，即. 因，故，即（此为充要条件）， 所以A选项符合，BCD选项不符合. 故选：A （限时训练：15分钟）根据内容设置10~30分钟的题量即可 1． （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 2．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则对恒成立， 即， 整理可得，对恒成立， 因函数在时单调递增，则得. 故选：B 3.（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为单调递增，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数列递增得到分段函数在两个区间上分别递增，得到对应的范围，然后由，求的范围，从而得到结果. 【详解】∵数列是递增数列， ∴当时，单调递增，即，则， 当时，单调递增，则， 又，即，则，则， ∴.故选：B. 4．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 5. （2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果. 【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 6. （2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断. 【详解】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 7. （24-25高三上·河北·月考）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】利用给定的通项公式，结合单调性求出最大项即可得解. 【详解】数列的通项公式为，则 ， 由，，解得，而, 因此当时，，即，当时，， 即， 所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，. 故选：C 8. （2025·四川成都·二模）(多选)已知数列的通项公式，前项和为，则（    ） A．数列为等差数列 B．，使得 C．当时，取得最小值 D．数列的最大项的值为 【答案】ABD 【分析】利用给定的通项公式，结合等差数列定义、数列单调性、二次函数性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得 ， ，数列为等差数列，A正确； 对于B，，，显然，B正确； 对于C，，当时，数列单调递减，， ， 当时，数列单调递减，，，C错误； 对于D，， 因，当时，取最小值， 当或时，，且当或时，取最小值3， 所以数列的最大项的值为，D正确. 故选：ABD. 9. （2025·北京房山·一模）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 【答案】C 【分析】当时，得到，当时，得到，数列不能构成等比数列，可判定A错误；当时，求得，可判定B错误；若数列为常数列，得到，结合二次函数的性质，求得，可判定C正确；假设列是周期数列，且最小正周期为，得到且，结合，得到，化简求得，这与矛盾，可判定D错误. 【详解】对于A中，若，可得，即， 当且时，两边取对数，可得，即， 此时数列表示首项为，公比为的等比数列； 当时，可得，此时，数列不能构成等比数列，故A错误； 对于B中，当时，可得，即， 例如：当时，由，可得， 又由，可得，此时， 所以，当，数列是不一定是递增数列，所以B错误； 对于C中，若数列为常数列，则， 因为，即， 又因为，所以， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且， 因为，可得，所以， 则，即， 又因为数列的各项均为正数，即， 所以，即，这与矛盾， 所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列的单调性与最值问题 目录 高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法）（） 题型二 分段数列的单调性（含参数范围）（） 题型三 由递推关系判断数列单调性（） 题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项）（） 题型五 单调性与充分必要条件结合（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升） 高考中以选择题、填空题以单调性判断、分段数列参数范围、最值求解为主（分值 5-10 分），解答题中多作为第二问设问（结合递推数列、数列求和，分值 6-8 分），属于中档题核心模块： 基础知识必备：掌握数列单调性定义（递增：；递减：，对任意成立）及最值定义（最大项满足，最小项反之）。熟练运用作差法、作商法、函数法三种核心方法判断单调性，掌握分段数列、递推数列的通项求解与单调性分析逻辑。理解充分必要条件的判定规则，能结合数列单调性定义完成逻辑推导，熟知等比、等差数列与单调性的关联性质。掌握数列前n项和与通项的关系（），为单调性分析奠定基础。 2026高考预测：核心考向：分段数列含参数的单调性仍为高频考点，侧重多条件不等式组求解；单调性与最值综合题会强化 “先判单调再求最值” 的逻辑链，可能结合函数导数辅助分析； 创新趋势：单调性与充分必要条件、新定义数列（如 “拟递增数列”）的结合考查概率上升，跨模块融合（与不等式恒成立、函数值域衔接）成为难点突破方向； 命题特点：题目设计会注重 “性质应用” 而非 “概念记忆”，强调逻辑推导和计算严谨性，避免复杂技巧，侧重通性通法的灵活运用。 重难知识汇总：①单调性判断三重核心：作差法（适用于所有数列，核心判正负）、作商法（仅适用于正项 / 负项数列，注意符号对结论的影响）、函数法（将转化为，结合修正单调性）。②分段数列单调性：需满足 “分段内单调 + 衔接处单调” 双重条件，一次函数段关注斜率，指数 / 幂函数段关注底数，衔接处需保证前一段末项与后一段首项满足单调关系。③递推数列单调性：先通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法求通项，再判单调性；无法求通项时，直接通过递推式变形比较与大小。最值求解关键：单调性法（先增后减取顶点，单调数列取首尾）、不等式组法（锁定最值项的前后项关系）、函数法（结合二次函数对称轴、对勾函数性质，限定正整数域）。 常用技巧方法：作差法速算：化简时，优先合并同类项、因式分解，快速判断正负（如含二次式可配方，含分式可通分）。作商法避坑：先判断符号，正项数列直接比大小，负项数列需反转不等号（如时，负项数列递减）。函数法转化：将视为函数，用导数或基本函数性质（如二次函数对称轴、对勾函数拐点）确定单调性，再验证的对应项。 易错避坑提效：①作商法忽略符号：忘记判断正负，直接用与 1 的大小下结论，导致单调性判断错误。②分段数列漏衔接：仅保证各分段内单调，忽略前一段末项与后一段首项的大小关系（如递增数列需满足，分段点为）。③函数法混淆定义域：将函数的单调性直接等同于数列单调性，忽略与的区别（如函数在递增，数列需验证）。④最值求解漏条件：用不等式组法时，忘记的限制，导致多解或漏解（如求最大项时，未排除的特殊情况）。⑤逻辑关系颠倒：混淆充分性和必要性，如认为 “” 是 “数列递增” 的充分条件，忽略 “所有需满足”。⑥递推数列求通项失误：未正确构造等差 / 等比数列，导致通项求解错误，进而影响单调性分析，建议先验证前 3 项的规律再推导通项。 题型一 单调性判断（作差 / 作商 / 函数法） 方法点拨：①作差比较法：当时，递增；当时，递减. ②作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减. ③函数法：将转化为函数，利用导数或基本函数单调性，结合推导数列单调性。 【典例01】（2025·湖北·模拟预测）已知数列前项和为，，，，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．10 D．12 【典例02】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（） A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项 C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项 【变式01】1．（2025·河北唐山·模拟预测）数列的前项和为，的前项和为，则数列（    ） A．有最大项也有最小项 B．无最大项也无最小项 C．有最小项但无最大项 D．有最大项但无最小项 【变式02】（2025·吉林通化·一模）数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　） A． B． C． D． 【变式03】（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知数列的通项公式为．则下列说法正确的是（   ） A．这个数列的第10项为 B．是该数列中的项 C．数列中的各项都在区间内 D．数列是单调递减数列 题型二 分段数列的单调性（含参数范围） 方法点拨：①保证各分段内部单调：一次函数段需满足斜率正负，指数 / 幂函数段需满足底数范围。 ②保证分段衔接处单调：前一段的末项小于后一段的首项（递增数列）或大于后一段的首项（递减数列）。 ③列不等式组求解参数：结合上述两点建立不等式，注意参数需同时满足所有条件。 【典例01】（2025·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【典例02】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式01】（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·上海普陀·一模）设且，、、都是正整数，数列的通项公式为，记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（   ） A．当时，的取值范围是 B．不存在和的值，使得 C．当时，的取值范围是 D．存在和的值，使得 题型三 由递推关系判断数列单调性 方法点拨：①先求通项：通过构造法（等差 / 等比数列）、迭代法等求出的表达式。再判单调性：对通项使用作差、作商或函数法判断，若无法求通项，可直接通过递推式变形比较与的大小。 ②特殊情况：若递推式为，可通过分析函数的单调性间接判断数列单调性。 【典例01】（2025·江西·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有最大值 D．不是单调数列 【典例02】（24-25高三上·天津·月考）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，（），若是单调递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025高三·全国·专题练习）已知数列的首项为，若的前n项积，则（   ） A．数列有最大项，无最小项 B．数列无最大项，有最小项 C．数列有最大项，有最小项 D．数列无最大项，无最小项 【变式03】（25-26高三上·江西·月考）记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（   ） A．0 B． C． D． 题型四 单调性与最值综合（求数列最大 / 小项） 方法点拨：①单调性法：若数列先增后减，最大值在单调性转折处；若单调递增则末项最大，单调递减则首项最大。②不等式组法：设为最大项，则；最小项则将不等号反向。③结合函数最值：将数列通项视为函数，求函数在正整数域内的最值，对应数列的最大 / 小项。 【典例01】（24-25高三上·山西大同·期末）等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【典例02】（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【变式01】（2025·江西·模拟预测）已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（    ） A． B． C． D． 【变式02】（24-25高三上·浙江·月考）(多选)已知数列的通项公式是，记的前项和为，则（    ） A． B． C．时，取最大值 D． 【变式03】（25-26高三上·山东临沂·期中）已知数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 题型五 单调性与充分必要条件结合 方法点拨：①明确单调性定义：如 “递增数列” 需满足对所有，，而非局部项满足。②双向验证逻辑关系：判断条件p（如）能否推出单调性（充分性），单调性能否推出条件p（必要性）。③举反例排除：若存在数列满足条件p但不单调，或单调但不满足p，即可判断充分 / 必要关系。 【典例01】（2025·四川自贡·三模）命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例02】（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式01】（2025·湖南长沙·三模）数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式02】（2025·江苏南京·一模）在数列中，“对于任意的正整数，都有”是“数列为等比数列”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式03】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． （限时训练：15分钟） 1． （25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 2．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·贵州黔南·三模）数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. （2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6. （2025·山东济南·一模）若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7. （24-25高三上·河北·月考）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 8. （2025·四川成都·二模）(多选)已知数列的通项公式，前项和为，则（    ） A．数列为等差数列 B．，使得 C．当时，取得最小值 D．数列的最大项的值为 9. （2025·北京房山·一模）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是常数列，则 D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2 2 学科网（北京）股份有限公司 $