第一章勾股定理专题训练2025-2026学年北师大版数学八年级上册

专题训练 勾股定理 考点1勾股定理及其逆定理 1.下列数据能作为直角三角形三边的是( ) A.1,1, B.1,2,3 D.12,16,20 2. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.若图中勾a=3，弦c=5，则小正方形的面积为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在 中， BD 平分 交AC 于点 D,AB=12,BD=13,,P 是线段 BC上一动点，则PD 的最小值是 ( ) A.6 B.5 C.13 D.12 4.图 1 是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案，它是由一串有公共顶点O 的直角三角形(如图2所示)演化而成的.如果图2 中的 那么 的长为 . 5.在 中，AB=30,AC=26,高AD=24,则. 的周长为 . 6.②24沈阳浑南期末，21题8分 如图，在等腰 中，AB=AC,BC=20cm,,D 是边AB 上一点,且(CD=16cm,BD=12cm. (1)求 AD 的长; (2)求 中BC 边上的高. 考点2 勾股定理的实际应用 1.杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望.现在我们来看一顶茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐.AB=AC=5m,横梁BC=8m,，那么从梁 BC 上的任意一点D 要支一根木头顶住屋顶A 处，这根木头需要的长度可能是 ( ) A.2.5m B.6m C.4m D.8m 2.已知钓鱼杆 AC 的长为10 m，露在水上的鱼线 BC 长为6m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线.B'C'长度为 8 m,则BB'的长为 ( ) A.4m B.3m C.2m D.1m 3.如图，在一个高为3m ，长为5m 的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要 ( ) A.3m B.4m C.5m D.7m 4.图1 是某超市购物车实物图，图2为其侧面简化示意图.测得支架AC=24cm,CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm,则点 C 到 AB 的距离为 cm. 5.在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A 在C 的北偏西54°方向上,与C的距离是800 n mile, B 在C 的南偏西 方向上,与C 的距离是600 n mile. (1)求点 A 与点B 之间的距离； (2)若在点 C 处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500 n mile，每隔半小时会发射一次信号，此时在点 B 处有一艘轮船准备沿直线向点A 处航行，轮船航行的速度为每小时20 n mile.轮船在驶向A 处的过程中，最多能收到多少次信号?(信号传播的时间忽略不计) 6. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25m，消防车高4m .如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的 B 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A 与楼房的距离OA为15 m. (1)求B 处与地面的距离； (2)完成B 处的救援后，消防员发现在 B 处上方4m 的 D 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离AC 为多少米? 考点3 利用勾股定理解决最短路径问题 1. 如图，在 中， BC=5,EF 垂直平分BC,P 为直线EF 上的任一点,则AP+BP的最小值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2. 如图，圆柱形容器的底面周长是24 cm，高是15cm，在底端外侧S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口1 cm的点 F 处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长是 ( ) A.18 cm B.20cm C.22 cm D.24 cm 3. 如图，长方体的长为4cm，宽为4 cm，高为3cm，BC=2cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A 处爬到点C 处，则它需要爬行的最短路程为 ( ) D.6 cm 4. 如图，在一个长2m，宽1m 的长方形草地ABCD 上，放着一个长方体木块，它的一组棱和草地宽 AD 平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点 A 处到达点C 处需要走的最短路程是 m. 5. 如图，小区 A 与公路 l 的距离AC=200 m,小区 B 与公路l的距离BD=400m,已知CD=800m. (1)政府准备在公路边建造一座公交站台 Q，使公交站台 Q 到A，B 两小区的路程相等，求CQ 的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市 P，使利民超市 P 到A，B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值. 考点4 利用勾股定理解决折叠问题 1. 如图,在长方形 ABCD 中,点 E 在边AB上，将长方形 ABCD 沿直线DE 折叠，点 A 恰好落在边BC 上的点F 处.若AE=5,BF=3,则CF 的长为 ( ) A.9 B.10 C.12 D.15 2. 如图,在长方形ABCD 中,AD=3,AB=2,E 是AB 的中点,F 是 BC 边上的任意一点(不与点 B,C 重合),△EBF 沿 EF 翻折,点 B 落在点 B'处,当DB'的长度最小时,BF 的长为 . 3. 如图,在△ABC 中,AC=BC=5cm ,AB=8cm,P 是线段AB 上一动点,将△BCP 沿直线CP 折叠,使点 B 落在点 D 处,CD 交AP 于点E.当△ACE 是直角三角形时,BP 的长为 cm. 4. 在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1,D 为边AB 上一动点,连接CD,将△ACD 沿直线CD翻折,得到△A'CD,点 A 的对应点为点A',连接.A'B,AA',当 时,AA'的长为 . 5. 如图，将边长为 6 的正方形纸片ABCD 折叠,折痕为MN,点 M,N 分别在边AD,BC 上,点A,B的对应点分别为点 E，F.当 时,MN 的长为 . 6. 折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联.数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动： 【初步感知】 (1)如图1,在三角形纸片 ABC 中,∠C=90°,BC=12,将∠A 沿DE 折叠，使点 A 与点B 重合，折痕与AC 交于点E，折痕与AB 交于点D,AE=13,则CE 的长为 ; 【深入探究】 (2)如图2，在长方形纸片 ABCD 中，现将纸片折叠，使点 C 与点A 重合,折痕为EF,若AB=3,BC=6,求 BE 的长; 【拓展延伸】 (3)如图3,在长方形纸片ABCD 中,AB=5,BC=8,E 为射线AD 上一个动点，把△ABE 沿直线BE 折叠，当点 A 的对应点 F 刚好落在线段BC 的垂直平分线上时，直接写出 AE 的长为 补充练习 1. 通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题.例如：在正方形网格中(每个小正方形的边长都为1)，如图1，构造 比较 与 的大小，其理由如下：因为在 中,点 A,B,C都为小正方形的顶点(构造图形)，所以.AB+BC>AC(三角形任意两边之和大于第三边).因为 (勾股定理)，.BC=1,所以 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较 与 的大小，并说明理由. 2.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.某学者在1994年发现了一个新的证法： 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形按图1的方式放置，其三边长分别为a，b,c,显然, 连接CD,CE,请用a,b,c分别表示出梯形ABCD、 四边形AECD 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ,S△EBC= ,S四边形AECD = ,则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理. 知识运用： (1)如图2,铁路上A,B 两点(看作直线上的两点)相距40 km, C,D为两个村庄(看作两点)， 垂足分别为A，B，AD=24km,BC=16km,，则两个村庄的距离为 km； (2)在(1)的条件下，要在AB 上建造一个供应站 P，使得.PC=PD,求AP 的长. 知识迁移： 借助上面的思考过程与几何模型，请直接写出代数式 的最小值. 专题一 勾股定理 考点 1 勾股定理及其逆定理 1. D 解析 A.因为 所以1,1, 不能作为直角三角形的三边，故本选项不符合题意； B.因为1+2=3，所以1，2，3不能构成三角形，故本选项不符合题意； C.因为 所以 , ,不能作为直角三角形的三边，故本选项不符合题意； D.因为 所以12，16，20能作为直角三角形的三边，故本选项符合题意. 2. A解析根据题意，得 所以小正方形的边长为4-3=1. 所以小正方形的面积为1×1=1. 3. B 解析如图,过点 D 作DE⊥BC 于点 E,则 PD 的最小值是DE 的长. 因为∠A=90°,BD平分∠ABC,所以DE=AD. 因为AB=12,BD=13, 所以在 Rt△ABD 中，根据勾股定理，得 所以DE=AD=5,即 PD的最小值是5. 4.2 解析因为 所以根据勾股定理，得 可知 所以 5.84 或64 解析当高AD 在△ABC 的内部时,如图1. 在 Rt△ABD中，根据勾股定理，得 在 Rt△ACD中，根据勾股定理，得 所以 BC=BD+CD=18+10=28. 此时△ABC的周长是AB+BC+AC=30+28+26=84. 当高AD 在△ABC 的外部时,如图2. Rt△ABD 中,根据勾股定理,得 在 Rt△ACD 中,根据勾股定理,得 所以BC=BD-CD=18-10=8. 此时△ABC 的周长是AB+BC+AC=30+8+26=64. 综上所述,△ABC 的周长是84 或64. 6.解:(1)因为 BC=20cm,CD =16 cm,BD =12 cm, 所以 所以△BDC 是直角三角形,∠BDC=90°. 所以 设AD=x cm, 则AC=AB=AD+BD=(x+12) cm. 在Rt△ADC 中,根据勾股定理, 所以 解得 所以 (2)如图,过点 A 作AE⊥BC 于点E. 所以AE 是△ABC中 BC 边上的高,∠AEB=90°. 因为AB=AC,BC=20cm, 所以 由(1),得 在 Rt△AEB 中,根据勾股定理,得 所以△ABC 中BC 边上的高是 cm. 考点2 勾股定理的实际应用 1. C 解析如图,过点 A 作AE⊥BC 于点E. 因为AB=AC=5m,BC=8cm,所以BE=CE= 在 Rt△ABE 中,根据勾 股定理,得 AE = 由题意,可得AE≤AD<AC,即3 m≤AD<5m .所以这根木头需要的长度可能是4m . 2. C 解析在 Rt△ABC 中,AC=10 m,BC=6m , 根据勾股定理，得 在Rt△AB'C'中,AC'=10m,B'C'=8m, 根据勾股定理，得 6(m). 所以BB'=AB-AB'=8-6=2(m), 3. D解析根据勾股定理，得楼梯的水平宽度 4(m). 因为地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与竖直高度的和，所以地毯的长度至少是4+3=7(m)， 4. 解析如图,过点C 作CE⊥AB 于点E. 因为AC=24cm,BC=18cm,AB=30cm, 所以 所以△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°. 因为 所以 解得 所以点C到AB 的距离为 5.解:(1)根据题意,得∠NCA=54°,∠SCB=36°.所以. 在 Rt△ABC 中,AC=800 n mile,BC=600 n mile,根 据 勾 股 定 理，得 答:点 A 与点 B 之间的距离为 1000 n mile. (2)如图,过点 C 作CH⊥AB 于点 H. 因为CH⊥AB,所以∠CHB=90°. 因为 所以 解得CH=480. 如图,在 AB 上取点 D,E,使得 CE = CD =500 n mile. 因为CE=CD,CH⊥AB,所以EH=DH. 在 Rt△CDH 中,根据勾股定理,得 所以 (次). 答：最多能收到29次信号. 6.解:(1)在 Rt△OAB 中,AB=25 m,OA=15 m,根据 勾 股 定 理，得 因为OE=4m, 所以BE=OB+OE=20+4=24(m). 答：B 处与地面的距离是 24 m. (2)由题意,得(CD=25m,BD=4m. 所以OD=OB+BD=20+4=24(m), 在 Rt△COD 中, 根 据勾 股定理, 得 OC = 所以AC=OA-OC=15-7=8(m). 答：消防车从 A 处向着火的楼房靠近的距离AC为8m. 考点3 利用勾股定理解决最短路径问题 1. B 解析如图,连接 PC. 因为EF 垂直平分BC,所以 BP=PC.所以AP+BP =AP+PC. 因为 P 为直线EF 上的任一点，所以AP+BP 的最小值即为AC 的值. 在 Rt△ABC中,AB=3,BC=5,根据勾股定理,得AC= 2. B解析如图为该圆柱形容器的侧面展开图，作点 F 关于AB的对称点F'，则蜘蛛所走的最短路线的长为 SF'的长，根据题意，得 所以DF'=DF=1cm. 所以(CF'=CD+DF'=15+1=16(cm). 在 Rt△SCF'中,根据勾股定理,得 3. C解析将长方体沿正面和上底面展开，如图1，则CD=BC+BD=2+3=5(cm). 在 Rt△ADC 中,根据勾股定理,得 如图2，将长方体沿正面和右侧面展开，则AD=AE+ED=4+2=6(cm). 在 Rt△ADC中，根据勾股定理，得 如图3，将长方体沿右侧面和下底面展开，则AB=AD+BD=4+3=7(cm). 在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 因为 所以它需要爬行的最短路程为 4.2.6解析蚂蚁走过的面的展开图如图所示，则AB=2+2×0.2=2.4(m),BC=1m. 在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 所以蚂蚁从点 A 处到达点C 处需要走的最短路程为2.6m. 5.解:(1)如图1,连接AQ,BQ. 根据题意,得 AQ=BQ.设 CQ=x m,则DQ=CD-CQ=(800-x)m. 在 Rt△ACQ 中,根据勾股定理, 在 Rt△BDQ 中,根据勾股定理, 所以 解得x=475.所以CQ 的长为475 m. (2)如图2，作点 A 关于直线l的对称点A'，连接A'B,交直线l于点 P,连接 PA. 则 PA=PA'.所以PA+PB=PA'+PB.所以PA+PB 的最小值为A'B. 如图2,过点 A'作A'E⊥BD,交 BD 的延长线于点E. 根据题意,得 A'E=CD=800 m,DE=A'C=AC=200m. 所以BE=BD+DE=400+200=600(m), 在 Rt△A'BE 中,根据勾股定理,得 A'B = 所以 PA+PB 的最小值为1 000 m. 考点4 利用勾股定理解决折叠问题 1. C 解析因为四边形ABCD 是长方形， 所以∠B=∠C=90°,AB=CD,AD=BC. 根据折叠的性质,得EF=AE=5,AD=DF. 所以DF=BC=CF+BF=CF+3. 在 Rt△BEF 中,根据勾股定理,得 所以AB=AE+BE=5+4=9.所以CD=AB=9. 在 Rt△CDF 中,根据勾股定理, 所以( 解得CF=12. 解析如图，连接 DE.因为四边形ABCD 为长方形,所以BC=AD=3,CD=AB=2. 又 E 是AB 的中点，所以 根据折叠的性质，得BE=B'E=1,BF=B'F. 在 Rt△ADE中，根据勾股定理，得 因为 所以 所以当 D，B'，E三点共线时，DB'的值最小. 设此时点 B'落在 DE 上的点 B"处，设BF'=B''F'=x,则F'C=BC-BF'=3-x. 在 Rt△CDF'中,根据勾股定理, 在Rt△B"DF'中,根据勾股定理, 所以 解得 所以BF 的长为 3. 或1 解析当∠AEC=90°时,如图 1. 所以∠DEP=∠AEC=90°. 设 BP=x cm,则AP=AB-BP=(8-x) cm. 因为AC=BC=5cm ,CE⊥AB, 所以 所以PE=AP-AE=8-x-4=(4-x)(cm). 在Rt△ACE 中，根据勾股定理，得 根据折叠的性质,得 BC=CD=5cm,BP=PD=x cm. 所以DE=CD-CE=5-3=2(cm). 在 Rt△DEP 中,根据勾股定理, 所以 解得 所以 当∠ACE=90°时,如图2,过点 C 作CH⊥AB 于点 H. 所以∠AHC=∠CHE=90°. 因为AC=BC=5cm ,CH⊥AB, 所以. 在Rt△ACH 中，根据勾股定理，得 根据折叠的性质,得∠BCP=∠DCP. 因为∠ECH+∠HCA=∠ACE=90°,∠HCA+∠A =90°, 所以∠ECH=∠A=∠B. 因为∠CPH=∠B+∠BCP,∠PCH=∠ECH+∠DCP,所以∠PCH=∠CPH. 过点 H 作HF⊥PC 于点 F,则∠HFP=∠HFC=90°. 又∠FPH=∠FCH,HF=HF, 所以△HFP≌△HFC. 所以 HP=HC=3cm. 所以BP=BH-HP=4-3=1(cm). 综上所述，BP 的长为 cm或1cm. 4. 解析如图1，当A'C在∠ACB内 部时，过点A'作A'E⊥CB 交CB 的延长线于点E. 所以 所以. 在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 根据翻折的性质，得 设BE=x,则CE=BE+BC=x+1. 在 Rt△A'BE 中,根据勾股定理, 在 Rt△A'CE 中,根据勾股定理, (x+1)². 所以 解得x=1. 所以BE=1. 所以 所以A'E=BE=BC. 又 所以 因为AC=CA',BC=EA', 所以 Rt△ABC≌Rt△CEA'.所以∠BAC=∠ECA'. 根据翻折的性质，得 所以 .所以CE∥A'D. 所以∠DA'B=∠EBA'=45°,∠BDA'=∠ABC=90°. 所以 ∠BDA', 所以 ∠DA'B, 又 所以△A'DA≌△A'DB. 所以 如图2,当CA'在∠ACB 的外部时,过点A'作A'E⊥CB 交CB 的延长线于点E. 同理,可证△ABC≌△CEA'. 所以∠BAC=∠ECA',AC=A'C= 所以 90°. 在 Rt△ACA'中,根据勾股定理,得 综上所述，AA'的长为 解析如图，延长ED到点G，使DG=DE，连接MG,过点 G 作GH⊥EG 交EM 的延长线于点 H,延长ME 交BC 的延长线于点K. 因为四边形ABCD 是正方形,GH⊥EG, 所以 AB =BC = CD = DA =6,AD∥BC,∠ADC =∠BCD=∠EGH=90°, 所以 所以EG=DG+DE=2+2=4,CE=CD-DE=6-2=4=EG. 又∠CEK=∠GEH,∠DCK=∠EGH,所以△CEK≌△GEH. 所以EK=EH. 根据折叠的性质,得AM=ME,∠AMN=∠EMN. 设AM=ME=x,则 DM=AD-AM=6-x. 在 Rt△DME中,根据勾股定理, 所以 解得 所以 因为DE=DG,AD⊥GE,所以DM 垂直平分线段GE. 所以ME=MG.所以∠MEG=∠MGE. 因为∠MEG+∠H=90°,∠MGE+∠MGH=90°,所以∠H=∠MGH. 过点 M 作MQ⊥HG 于点Q,则∠MQH=∠MQG. 又∠H=∠MGH,MQ=MQ,所以△MQH≌△MQG. 所以 所以 所以 因为AD∥BC,所以∠MNK=∠AMN. 又∠AMN=∠EMN,所以∠MNK=∠EMN. 同理,得MK=NK=10. 过点 M 作MJ⊥BC 于点J. 所以∠MJK=∠MJN=90°,MJ=CD=6. 在 Rt△MJK 中,根据勾股定理,得 所以NJ=NK-JK=10-8=2. 在 Rt△MJN 中,根据勾股定理,得 6.解:(1)5 解析因为将∠A 沿 DE 折叠,使点 A 与点B重合,所以BE=AE=13. 在 Rt△CBE 中,根据勾股定理,得 (2)根据折叠的性质,得CE=AE. 设BE=x,则AE=CE=BC-BE=6-x. 在Rt△ABE 中,AB=3,根据勾股定理,AB²+ 所以 解得 所以 BE 的长为 (3) 或10联断因为四边形 ABCD 是长方形，所以AD=BC=8,∠ABC=∠C=∠D=90°. 设线段BC 的垂直平分线交BC 于点M，交AD 于点 N.所以四边形 ABMN 和四边形DCMN 都是长方形. 所以MN=AB=5. ①如图1,当点 E 在线段AD 上时. 因为点 F 在线段 BC 的垂直平分线MN 上，所以 AN= 根据折叠的性质,得BF=BA=5,AE=FE. 在 Rt△BFM 中,根据勾股定理,得 所以FN=MN-FM=5-3=2. 设AE=y,则EF=y,EN=AN-AE=4-y. 在Rt△ENF 中,根据勾股定理, 即 解得 所以 ②如图2，当点 E 在线段AD 的延长线上时. 根据折叠的性质,得BF=BA=5,AE=FE. 同理①,得 FM=3.所以 FN=MN+FM=5+3=8. 设AE=y,则EF=y,EN=AE-AN=y-4. 在 Rt△ENF 中,根据勾股定理, 即 解得 y=10. 所以AE=10. 综上所述，AE 的长为 或10. 补充练习 1.解: 理由如下：如图所示. 根据勾股定理，得 在△DEF 中,因为 DF-EF<DE,所以 2.解：小试牛刀： 解析 因为△DAE≌△ABC,所以∠ADE=∠BAC. 因为∠DAB=90°,所以∠BAC+∠DAF=90°. 所以∠ADE+∠DAF=90°,所以∠AFD=90°. 所以AF⊥DE, 所以 因为 所以 (2)如图1，连接CD，分别以点 C，D为圆心，大于 CD 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线 MN 交 AB 于点 P,则MN 是线段 CD 的垂直平分线,此时PC=PD. 设AP=x km, 则BP=AB-AP=(40-x) km. 在 Rt△ADP 中,根据勾股定理, 在Rt△BPC中，根据勾股定理， 因为 PD=PC,所以 所以 解得x=16.所以AP=16 km. 知识迁移：代数式 的最小值为20. 解析如图2,设AB=16,BP=x,点 P 在线段AB 上(不与点A,B 重合),AD⊥AB 于点 A,BC⊥AB 于点 B,且AD=9,BC=3.作点C 关于AB 的对称点F,连接 DF,过点 F 作EF⊥AD,交 DA 的延长线于点E. 所以∠E=90°. 因为代数式 的几何意义是线段AB 上一点 P 到点C,D 的距离之和, 所以 DF 的长就是代数式 的最小值. 因为DE=AD+AE=9+3=12,EF=AB=16, 所以在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，得 所以代数式 的最小值为20. 学科网（北京）股份有限公司 $