1.3勾股定理的应用解答题专题训练2025-2026学年北师大版数学八年级上册

1.3勾股定理的应用解答题专题训练 1．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．      2．如图，某市为创建全国文明典范城市，计划将这块空地种上三个不同品种的花卉，中间用小路、隔开，且有．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)若铺设小路的费用为每米元，求铺设小路、的总费用． 3．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1个单位长度，的顶点在格点上． (1)___________； (2)线段上是否存在点，使得，若存在，画出点，并说明理由；若不存在，请说明理由． (3)只用无刻度的直尺在图中作出的角平分线．（在图中不能再另外补出网格） 4．综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2) 如图2，在中，是边上的高，求的长． 5．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 6．如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 7．如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 8．如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    9．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 10．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 11．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 12．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 13．如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1) 请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2) 若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 14．如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 15．如图，一个无盖长方体容器，其底面是一个边长为的正方形，高为． (1)一只蚂蚁在点（容器外部）发现容器的外部距离顶部处的点有一滴蜂蜜，它想沿长方体侧面以最短的路程到达处．请问蚂蚁走的最短路程是多少？ (2)小明想用一根彩带从容器底面点开始绕长方体四个侧面缠绕1周到达点（假设彩带完美贴合长方体的表面，彩带宽度不计）．请问彩带的长度最短是多少？ 16．如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村和李庄送水，已知张村、李庄到河边的距离分别为和，且张、李两村庄相距． (1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置； (2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？ 17．2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 18．如图，在一条东西走向的省级干线公路l的一侧有一村庄P，由P原有两条笔直小路与l相连接，其中，由于某种原因，由P到A的路已经不通，现今该村的乡村产业振兴小组为方便村民运输农产品与出行，争取上级支持新建了一条公路（A，C，B在同一条直线上），测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 19．去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 20．某公园的西门和东门之间有一片绿植，为满足市民的通行需求，市政部门修建了四边形循环步道．如图，经勘测，点在点的正南方向上，点在点的正东方向上，米，米，在的北方，且米，栅栏（笔直）将四边形分成了和两部分． (1)求栅栏的长； (2)请通过计算比较区域和区域栽种绿植的面积大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.3勾股定理的应用解答题专题训练2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 1．符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到，证明结论． 【详解】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 2．(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长； （2）利用等积法求，根据铺设小路、每米元，列式计算即可解答． 【详解】（1）解∶ 米，米，米， ．． 是以为直角的直角三角形． ． 在中，由勾股定理得∶ (米) 答：的长是9米． （2）解∶， ． 即 (米)． 需花费 (元) 答∶需花费元． 3．(1)2； (2)存在，图形和理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了作图-网格作图，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）在图中找到格点，连接，得到，，再得到，即可得出结论； （3）取格点，连接交于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，点即为满足要求的点， 连接，由图可得：， ， ， ， ， ； （3）解：如图，取格点，连接交于点，连接，则即为所求． 由图知，点为中点， ∴， 由知，， 又∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 4．(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）设物体C升高了，则滑块B移动距离为，进而表示出和的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∴绳子的总长度为， 答：绳子的总长度为； （2）解：设物体C升高了，则滑块B移动距离为， 则，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， 答：物体C升高了． 6．(1)最短路程是20cm (2)筷子的最大长度是cm 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【详解】（1）解：如图1所示：    图1 由题意得：，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放，    ∵，， ∴ ∴， 即筷子的最大长度是cm． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。 7．(1)海里 (2)海里 【分析】本题考查勾股定理的应用，垂线段最短,解决本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知：，根据“路程速度时间”分别得出，，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，根据垂线段最短，则的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等积法求解即可； 掌握并能利用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，， ∴，，， ∴（海里）， 答：，两点之间的距离为海里； （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ∵， ∴（海里）， 答：该轮船行驶的最短距离为海里． 8．两棵景观树之间的距离是12米 【分析】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可． 【详解】解：在Rt中，由勾股定理，得： ， （米）． 答：两棵景观树之间的距离是12米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理． 9．(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 10．(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 11．(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 12．少千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理构建方程是解题的关键； 设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米． 13．(1)影响； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。 ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，把空间问题转化为平面图形问题是解题的关键； （1）将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程，利用勾股定理即可求解． （2）将长方体的侧面沿展开，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，将长方体的正面和右侧面展开，连接，则即为蚂蚁走的最短路程． 在Rt中，， ． 答：蚂蚁走的最短路程是． （2）解：如图，将长方体的侧面沿展开， 则， ． 答：彩带的长度最短是． 16．(1)见解析 (2)最节省的铺设水管的费用为元 【分析】本题主要考查了最短路线问题，正确作出图形，确定线路是解决该题的关键． （1）作关于的对称点，连接，与的交点即为水泵站的位置； （2）首先利用轴对称的性质得到，然后在中，利用勾股定理可以求出的长，再在中，利用勾股定理可以求出的长，最后根据两点之间线段最短的性质即可求解． 【详解】（1）如图所示，作关于的对称点，再连接，与的交点为，点即为水泵站的位置； （2）过点作的垂线，过作的平行线， 设这两线交于点，则． 又过点作于点， 依题意得，，， 由勾股定理得，， ． 由平移关系，， 在中， ，， ， ． ， ． 铺设水管的工程费用为每千米元， 最节省的铺设水管的费用为：（元）． 答：最节省的铺设水管的费用为元． 17．(1)的长度为 (2)共需花费元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 18．(1)是，理由见解析 (2)原来的路线PA的长为8.45千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理内容并正确运用是关键； （1）计算与的值，两者的值相等，则是直角三角形，则 PC是从村庄P到l的最近路； （2）设，则；在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：是； 理由是：在中， ，， ， 是直角三角形， ， 是从村庄P到l的最近路； （2）解：设，则， 在中，， ， 解得：， 答：原来的路线PA的长为8.45千米． 19．(1)海港C受台风影响 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 20．(1)栅栏的长为米； (2)区域栽种绿植的面积大于区域栽种绿植的面积． 【分析】本题考查了方位角，勾股定理及其逆定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）根据题意确定三角形的形状，用勾股定理解三角形即可； （2）通过计算，得出线段之间的数量关系，根据勾股定理的逆定理，确定三角形的形状，分别求两个三角形的面积，进行比较即可． 【详解】（1）解：∵点在点的正南方向上，点在点的正东方向上， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 答：栅栏的长为米． （2）解：∵米，米，米， ，， ∴， ∴是直角三角形，， 在中，米，米，， ∴区域栽种绿植的面积（平方米） 在中，米，， ∴区域栽种绿植的面积（平方米） ∵， ∴， 答：区域栽种绿植的面积大于区域栽种绿植的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $