专题02 函数的概念性质及应用全章22大考点精讲（寒假复习讲义）高一数学沪教版

专题02 函数的概念性质及应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1.函数的概念与三要素 1.定义：设A、B是非空数集，按确定对应关系，对中任意，中都有唯一与之对应，称为函数，记作. 2.三要素（核心）： 定义域：自变量的取值范围，遵循“定义域优先”原则，常见限制：分式分母0，偶次根式被开方数0，对数真数0等. 对应关系：函数的核心，可用解析式、图像、表格表示. 值域：函数值的集合{|}，由定义域与对应关系共同确定. 3.表示方法：解析法、列表法、图像法，分段函数是解析法的特殊形式. 2.函数的基本性质 性质 定义 判定方法 核心结论 单调性 区间内，，都有（增函数）或（减函数） 定义法（作差/作商）、图像法、复合函数法则 增+增=增，减+减=减； 奇偶性 定义域关于原点对称，∀x，（偶函数）或（奇函数） 定义法、图像法（偶函数对称轴，奇函数对称原点） 奇函数（若在定义域内）；奇偶函数和差积商有相应奇偶性 最值 区间内存在，对任意，都有（最大值）或（最小值） 单调性法、配方法、图像法 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值 3.函数的应用与反函数 1.函数应用：构建函数模型解决实际问题，常见模型有一次函数（线性增长/衰减）、二次函数（最值优化）、分段函数（阶梯收费、分段计费）等，核心步骤为：审题→设变量→建函数→定定义域→求解→检验. 2.反函数： 存在条件：函数为一一映射（单调函数必存在反函数）. 求解步骤：①求原函数值域（即反函数定义域）→②反解→③互换x、y得→④注明反函数定义域. 核心性质：原函数与反函数图像关于直线对称；（在反函数定义域内）；（在原函数定义域内）. 二、概念比较（易混概念辨析） 函数与映射：映射中$A、B$可为任意非空集合，函数是特殊的映射，限定$A、B$均为非空数集. 定义域与值域：定义域是自变量的取值范围，由题目条件直接限定；值域是函数值的集合，由定义域与对应关系共同决定，求值域必须先确定定义域. 单调性与奇偶性：单调性是局部性质（依赖具体区间），奇偶性是整体性质（依赖整个定义域关于原点对称）. 反函数与原函数：反函数是“逆对应”关系，原函数的定义域=反函数的值域，原函数的值域=反函数的定义域，二者图像关于对称. 分段函数与复合函数：分段函数是同一函数在不同区间对应关系不同，定义域为各区间并集；复合函数是的形式（函数套函数），定义域需满足内层函数值域与外层函数定义域的交集非空. 三、易错辨析（高频错误+规避方法） 1.忽略定义域致错 错误示例：判断奇偶性时，未考虑，直接代入判断；求复合函数定义域时，误写为（正确应为，此处需注意：若为，定义域为或）. 规避方法：所有函数问题先求定义域，尤其是判断奇偶性、求单调区间、求值域时，第一步必须明确定义域范围. 2.对“唯一对应”理解偏差 错误示例：认为“多对一”对应不是函数，如中，一个对应两个，误判为非函数. 规避方法：紧扣函数定义，函数要求的是“到的单值对应”，即一个只能对应一个，允许“多个对应一个”，禁止“一个对应多个”. 3.奇偶性判定逻辑错误 错误示例：未验证定义域对称性，直接代入判断，如判断奇偶性时，未注意定义域不关于原点对称，误判为非奇非偶（虽结论正确，但逻辑缺失）；或判断时，未发现定义域不对称，误判为奇函数. 规避方法：判定奇偶性分两步：①先验证定义域是否关于原点对称，不对称则直接判定为非奇非偶；②对称再验证与的关系. 4.反函数求解遗漏值域 错误示例：求的反函数时，未求原函数值域，直接反解为，互换后写为但未注明定义域，或误写为. 规避方法：严格遵循反函数求解四步流程，尤其注意“求原函数值域”是确定反函数定义域的关键，不可遗漏. 5.复合函数单调性判断失误 错误示例：判断的单调性时，未拆分内外层函数，直接判断为“在上单调递增”（正确应为：内层在递增、递减，外层在递增，由“同增异减”得复合函数在递增、递减）. 规避方法：判断复合函数单调性时，先拆分为“内层函数”和“外层函数”，分别判断二者在对应区间的单调性，再根据“同增异减”法则确定复合函数单调性，同时注意定义域限制. 四、重点内容记忆清单（含常考结论） 1.核心定义记忆 函数本质：非空数集间的单值对应，两函数相等的充要条件是定义域与对应关系完全相同（值域由前两者决定，无需额外判断）. 奇偶性核心：定义域关于原点对称是前提，再满足（偶）或（奇）. 反函数核心：仅一一映射函数有反函数，单调函数必为一一映射，故单调函数必存在反函数（反之不成立）. 2.常考结论记忆 定义域优先原则：所有函数问题的“第一步操作”，忽略定义域会导致后续所有判断失误. 奇偶函数运算性质：，；，，（注：运算后定义域需关于原点对称，否则无奇偶性）. 单调函数性质：若在区间上单调递增，则；单调递减则反之，可用于比较函数值大小或解不等式. 反函数衍生结论：原函数与反函数的单调性一致；若是原函数图像上的点，则必是反函数图像上的点；原函数与反函数的交点要么在直线上，要么关于直线对称. 二次函数最值结论：对于，当时，在处取最小值；当时，在处取最大值；若在闭区间上求最值，需比较顶点横坐标与区间的位置关系（顶点在区间内则顶点为最值点，在区间外则区间端点为最值点）. 复合函数定义域结论：若的定义域为，则的值域即为的定义域；反之，若的定义域为，则的定义域是的取值范围. 抽象函数单调性判定结论：若且时，则为增函数；若且时，则在上为增函数. 分段函数奇偶性判定结论：需分别验证各分段区间内与的关系，且定义域需关于原点对称，所有分段均满足奇偶性定义才为相应奇偶函数. 常见函数单调性结论：①一次函数：时在上递增，时在上递减；②反比例函数：时在和上递减，时在和上递增（注意：不能说在定义域上单调）. 函数图像变换与性质关系结论：①是左右平移，不改变单调性和奇偶性（平移后定义域对称则奇偶性保留）；②与关于轴对称，单调性相反，奇偶性相同；③与关于轴对称，单调性相反，奇偶性相同. 3.常用方法记忆 求定义域：列限制条件（分母≠0、偶次根式被开方数≥0、对数真数>0等）→解不等式（组）→写出定义域（区间/集合形式）. 证明单调性：取值（）→作差（）→变形（因式分解、配方等）→定号（判断差的正负）→下结论. 求值域常用方法：单调性法、配方法（二次函数）、换元法、分离常数法（分式函数，如）、判别式法（二次分式函数）. 【考点1 复合函数的定义域】 例1（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，解出即可得. 【详解】由题意可得，则， 即，解得. 故答案为：. 变式1．（23-24高一上·上海·课后作业）已知函数，则 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，进而求出的定义域，求出的解析式，即可得出结论. 【详解】，定义域均为， ，定义域为， 的定义域为， . 故答案为： 【点睛】本题考查函数解析式的求解，根据已知先确定函数的定义域是解题的关键，容易被忽略，属于基础题. 变式2．（2024高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为求函数的定义域. 【答案】 【分析】解不等式组可得． 【详解】因为函数的定义域为，所以，又，故解得． 故答案为：． 【考点2 抽象函数的定义域】 例2（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知. 故答案为：. 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的求法列不等式组即可求解新函数定义域，由函数平移变换法则可得新函数值域. 【详解】因为的定义域为， 所以要使有意义，则，所以， 所以的定义域为， 的图象是的图象向左平移所得，所以值域不变，即的值域为． 故答案为：，. 变式2．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）若，，则 ； （3）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 （，且） 【分析】（1）根据幂函数，根式，分式和对数函数的定义要求求解即可； （2）根据分式定义域化简求解即可； （3）根据抽象函数定义域求法解即可. 【详解】（1）依题意，，解得且， 所以定义域为. （2）有意义满足，即， 有意义满足， 所以（，且）. （3）函数的定义域为，所以， 又， 故解得， 所以定义域为. 故答案为：（1）；（2）（，且）；（3）. 【考点3 换元法求值域】 例3（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 变式1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）函数化成，结合均值不等式分别判断、的最值，从而得出值域. （2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题. 【详解】（1），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为； （2）函数定义域为，令 ，则，故函数值域为. （23-24高一·上海·假期作业）函数的值域是 【答案】 【分析】设，则，换元后求二次函数值域即可. 【详解】令，则， 由和非负性得到， 则， 可得原函数的值域为， 故答案为： 变式2．（25-26高三上·上海·月考）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】首先化简集合、，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以， 所以. 故答案为： 【考点4 常见函数的值域】 例4（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 变式1．（2024高三·上海·专题练习）求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6） 【分析】（1）利用反函数的性质求函数的值域； （2）将函数变形为利用对勾函数的性质求函数的值域； （3）根据二次函数的性质求函数的值域； （4）将函数变形为，求出的范围即可得函数的值域； （5）由函数的定义域及函数的单调性求出函数的值域； （6）换元法，设，求二次函数在闭区间上的最值即得值域； 【详解】解：（1）由，得． ∵，∴．解不等式，得．∴． （2） ． ∵， ∴． （3）∵， ∴，∴． （4）由，得． ∵，∴．∴． （5）由定义域可知，因为函数单调递增， ∴．∴． （6）设，则，且．原函数可化为 ． 由，得．∴． 【点睛】本例给出了求值域的几种常用方法：涉及换元法、基本不等式法、有界函数法、单调函数法等．对于第（4）小题也可用求得．对于第（1）小题也可用求得，或者利用判别式法：原式化为，即，且． 变式2．（23-24高二下·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【答案】5 【分析】由题意得，解方程组可得的值. 【详解】函数的对称轴方程为， 所以函数在上为减函数， 又函数在上的值域也为， 则，即， 由①得：，代入②得：，解得：（舍），． 把代入得：． 故答案为：5． 【考点5 根据值域求参数范围】 例5（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式1．（23-24高三上·上海浦东新·月考）若函数的值域为，则的值为 . 【答案】 【分析】设，利用法可得出关于的二次不等式，利用根与系数的关系可求得实数的值. 【详解】设，可得， 由题意可知，关于的方程在上有解， 若，可得，则； 若，则，即， 由题意可知，关于的二次方程的两根为、， 由韦达定理可得，解得. 综上所述，. 故答案为：. 【考点6 复合函数的值域问题】 例6（23-24高一上·上海浦东新·月考）函数的值域为 . 【答案】. 【分析】利用指数函数的值域可得，再利用不等式的性质即求. 【详解】∵函数， ∴函数的定义域为R，又， ∴ ∴，即， ∴函数的值域为. 故答案为：. 变式1．（23-24高二上·上海徐汇·开学考试）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法得到对勾函数，再根据单调性求最值，得值域即可. 【详解】令，则， 所以对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 得当时取得最小值2，当或4时取得最大值，故值域为. 故选：D. 【点睛】本题考查了复合函数的值域求法，考查了换元法，属于中档题. 变式2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）将函数中的自变量用替换，替换后所得的函数与原函数的值域相同，则函数可以是下列函数中的 (只填序号). ① ；② ；③ ；④ . 【答案】① ③ ④ 【解析】根据题意求出的值域，依次将代入解析式与原函数的值域比较是否相同可得答案. 【详解】函数的定义域为根据幂函数的单调性可知，函数的值域为， 因为， 对于①：，值域为，那么的值域也是与 的值域相同，故① 正确； 对于② ：的值域为，那么的值域也是与 的值域不相同，故②不正确； 对于③ ：的值域为， 若，则无意义，若，的值域也是 与的值域相同，故③正确； 对于④ ：的值域为 若，则无意义，若，的值域也是 与的值域相同，故④ 正确； 所以正确的有：①③④ 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先根据幂函数的性质判断的值域为，再利用基本初等函数的性质逐一求① ；② ；③ ；④ 得值域，再计算的值域即可. 【考点7 换元法+方程组法+配凑法求函数解析式】 例7（23-24高一上·上海闵行·期末）存在函数，满足对任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可求解. 【详解】根据函数的定义，对任意的，按照某种对应法则，存在唯一的与之对应. 对于选项A： 若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项A错误； 对于选项B： 若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项B错误； 对于选项C： 令，， 所以，即， 令，则有， 即， 所以存在这样的函数， C选项正确； 对于D选项： 若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项D错误； 故选：C. 变式1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知 求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 变式2．（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数满足，则的解析式为 . 【答案】 【分析】用换元法求解． 【详解】令. 即， 故答案为：． 【考点8 函数的奇偶性判断】 例8（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再求与的关系即可判断函数的奇偶性； 【详解】（1）令，， ， 所以， 所以函数为偶函数. （2）令， ，解得或， 所以，所以既有，又有， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 变式1．（24-25高三上·上海·期中）函数的奇偶性为 . 【答案】非奇非偶函数 【分析】先求得函数的定义域，然后根据奇偶性的定义来求得正确答案. 【详解】由解得，所以的定义域是， 由于的定义域不对称，所以是非奇非偶函数. 故答案为：非奇非偶函数 变式2．（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 【答案】①②④ 【分析】利用偶函数的定义逐一判断即得. 【详解】对于①，函数的定义域为， ，①是； 对于②，函数中，，解得， ，，②是； 对于③，中，，而，，③不是； 对于④，中，，当时，， ；当时，，， 因此，④是. 故答案为：①②④ 【考点9 由奇偶性求解析式】 例9（25-26高一上·上海·月考）若是上的奇函数，当时则当时 【答案】 【分析】利用奇函数的对称性，可求得对称区间的解析式. 【详解】当时，，则， 又因为是奇函数，所以， 即当时，有， 故答案为： 变式1．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】 【分析】结合奇函数与偶函数的性质求，再求即可. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 变式2．（23-24高一·上海·课后作业）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，当自变量互为相反数时，函数值相等. 【详解】当时，. 因为当时，，所以此时. 又因为是偶函数，即，所以当时，. 故答案为：. 【考点10 由奇偶性解不等式】 例10（25-26高一上·上海·月考）设函数是上的偶函数，且在上的图象如图所示，则不等式的解集是    【答案】 【分析】利用偶函数作出函数在上的图象，再利用分类讨论解不等式得或，从而可写出不等式的解集. 【详解】解不等式可得：或， 再由函数是上的偶函数，作出函数在上的图象，如图所示：    则的解集为，的解集为， 结合或， 可得不等式的解集为， 故答案为： 变式1．（24-25高二下·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题可得，在上单调递增，然后由 或，可得答案. 【详解】因是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数， 则，在上单调递增. 则， 又或， 由，可得不等式组无解，由可得. 综上可得满足题意. 故答案为： 变式2．（24-25高一上·上海·月考）已知定义在上的奇函数在上是严格减函数，若，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可知在上是减函数，根据奇偶性和单调性可将不等式转化为，故而可得的范围． 【详解】是奇函数，在上是严格减函数， 在上单调递减， ， ， 即， ， 解得，则实数的取值范围是． 故答案为：． 【考点11 复合函数的单调性+分段函数单调性】 例11（25-26高三上·上海·月考）已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】先求出的定义域；再由复合函数的单调性可求出的单调递减区间. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得． 故函数的定义域为． 令，则． 当时，单调递减，则单调递增； 当时，单调递增，则单调递减． 故的单调递减区间为． 故答案为： . 变式1．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解. 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数在定义域上单调递减，则的定义域是 ，单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域可求出的定义域；再由复合函数的单调性可求出的单调递减区间. 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得． 故函数的定义域为． 令，则． 当时，单调递减，则单调递增； 当时，单调递增，则单调递减． 故的单调递减区间为． 故答案为：；. 【考点12 由单调性求参数】 例12（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 【答案】 【分析】先将函数进行变形，根据题中两个条件分别求得参数范围，最后求交集即为答案. 【详解】将函数进行变形，其单调性由分式决定， 该分式严格递减当且仅当分子，即， 因为分母在恒成立，故函数值符号由分子决定， 由函数值不恒为负，即存在使得成立， 当时，，满足条件， 当时，需存在使，即，解得， 综上，不恒为负的条件为， 联立两个条件，的取值范围为. 变式1．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 变式2．（24-25高一上·上海浦东新·月考）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题意知函数定义域为或， 令是二次函数，对称轴为，在上单调递增， 由复合函数单调性可知，在上严格增，则. 故答案为： 【考点13 由单调性+奇偶性解不等式】 例13（25-26高一上·上海·月考）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得出函数在和上单调递减，然后根据函数单调性和奇偶性以及解不等式即可. 【详解】由题意可知，在上单调递减，又因为为奇函数， 所以在上单调递减，且， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，不等式即可为，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 变式1．．（25-26高三上·上海·期中）定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式． 【详解】对任意的，且，均有成立， 即对任意的成立， 则对任意的成立， 令，则在单调递增， 又， 即，且， 即，又在单调递增， 解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为： 变式2．（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点14 单调性奇偶性对称性综合】 例14（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用对称性可知为奇函数，的解集关于原点对称可求得a的值，再结合奇函数性质可求得b的值. 【详解】因为的对称中心为，所以为奇函数， 设，则， 由的解集关于原点对称，得， 此时，（） 任取，， 所以， 即：，解得， 所以图象对称中心的坐标为. 故选：B. 变式1．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知为上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题可得函数的图象，又不等式等价于或，即得. 【详解】∵为上的偶函数，且当时，， 所以可知函数图象关于轴对称，可得函数图象如图所示， 又不等式等价于或， 由图象可得. 故答案为：. 变式2．（24-25高一上·上海·月考）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【详解】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点15 不等式的恒成立与有解问题】 例15（25-26高三上·上海·期中）定义在上函数满足且当时，则使得在上恒成立的的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最小值，再借助函数图象求解. 【详解】定义在上函数满足， 当时，，， 当时，，， ，， 当时，，，，， 当时，，， ，， 由解得，则当时，， 当时，，， ， 当，解得或， 则使得在上恒成立的的最小值. 故答案为：.    变式1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义求出的值； （2）分离参数，因为，，所以不等式等价于，使得不等式恒成立，只要，即可求出的范围． 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以， 所以，整理并化简得：， 解得； （2）当时，， 又，且在上恒成立， 故原不等式等价于在上恒成立， 又，所以， 所以，当且仅当，即时取得最小值， 所以，所以， 所以，解得， 的取值范围为 变式2．（24-25高三上·上海宝山·月考）已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，则问题变成一元二次不等式存在性问题. 【详解】①当时，等价于，即， 依题意在上有解， 开口向上，对称轴， 当时，， ，即，此时的取值范围为； ②当时，等价于，即， 依题意在上有解 ，当且仅当，即时等号成立， ，解得，此时的取值范围为； 综上所述，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是， 故选：D． 【考点16 二分法求函数的零点】 例16（25-26高一上·上海静安·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，则方程的解应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 变式1．（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 变式2．（24-25高一上·上海·月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，结合“二分法”的概念，可得答案. 【详解】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根. 故选：C. 【考点17 零点存在定理】 例17（24-25高一上·上海·期末）已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义和零点存在性定理判断. 【详解】根据题意，若， 则中两正一负，或者三负， 只有当时， 才能得到方程在和内至少各有一个解， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的不充分条件； 反之，若方程在内至少有两个解，无法确定的符号， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的不必要条件， 所以“”是“方程在内至少有两个解”的非充分非必要条件. 故选：D 变式1．（24-25高一上·上海·期中）已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据函数零点的存在定理求解. 【详解】设， 由，则， 由函数的零点存在定理知，的零点分别位于区间和， 故方程的两个实根分别属于区间和， 故选：C 变式2．（23-24高一上·上海·期末）方程的根，，则 ． 【答案】2020 【分析】将方程的根问题转化函数的零点所在区间求解，由，利用零点存在性定理可得. 【详解】设，. 因为， 且， 所以，又在单调递减， 由零点存在性定理可得，在有唯一零点. 即方程的根，即. 故答案为：. 【考点18 由零点个数求范围】 例18（2025·上海静安·一模）设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据对称性，周期性画出函数在区间的图象，再在同一坐标系下作出函数的图象，由函数的零点个数，转化为两个函数图象的交点个数，列式求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 则， 函数图象关于轴对称， 且， 即的周期为4. 作出函数在上的图象， 根据的对称性及周期性， 可得出在上的图象， 若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点， 则在区间上关于的方程恰有 3 个不同的实数根， 则函数与函数在上恰有 3 个不同的交点； 所以，解得. 故答案为： 变式1．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数．若 只有2个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得只有一个零点，即，若要满足题意的话，则有一个不同于的零点，由此即可得解. 【详解】当时，， 当时，， 所以只有一个零点，即， 若 只有2个零点，显然， 故也是的一个零点， 若，则函数没有零点，此时 只有1个零点， 故不符合题意， 所以， 当时，， 若要满足题意的话，则有一个不同于的零点， 所以，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 变式2．（24-25高二上·上海·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是 .. 【答案】 【分析】根据二次函数与对数函数的图象作出函数图象，利用数形结合及对勾函数的性质计算即可. 【详解】作函数的图象如下图所示： 由图象可知，方程有四个不同的解，且， 需满足， 则由二次函数的对称性可知，， 由对数函数的图象及性质可知，，，， 则，， ∴，， 而函数在递减，在上递增， 当时，，当或4时，，故其取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：函数零点求参问题通常利用数形结合思想，及常用结论：对于方程有两根，且该两根之积为定值1，化简，再根据参数范围及对勾函数的性质计算即可. 【考点19 比较零点的大小关系】 例19（23-24高一上·上海虹口·期末）已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像，根据图象即可判断、、的大小关系． 【详解】已知函数，，的零点依次为、、， 即， ， ， 在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像， 由图可知：． 故选：D 变式1．（2024高一·上海·专题练习）已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（    ） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n 【答案】B 【分析】由函数的图象，是的图象向上平移一个单位，利用数形结合法求解. 【详解】因为函数， 令， a、b为的零点， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位得到的， 又m，n是方程的两个根（m＜n）， 如图所示： 由图知：a＜m＜n＜b， 故选：B. 【考点20 指数函数与对数函数零点分布求参数范围】 例20（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据方程解与函数零点的关系，结合函数零点存在性定理解不等式即可求解. 【详解】因为关于x的方程有负根，所以有负根. 根据单调性的性质可知：函数的定义域为，且在和上单调递增. 当时，在上单调递增，当时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得； 当时，，若时，，，则恒成立，函数在上无零点； 当时，在和上单调递增， 当时，，，，故函数在上无零点； 当时，时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得. 综上，a的取值范围是. 故答案为：. 变式1．（23-24高一上·上海·月考）已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件做出函数的图象，利用图象得出的范围关系，结合不等式的性质及对数函数的性质即可求解. 【详解】如图所示， 要使，则. 因为,,, 所以,即，于是有， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 变式2．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【答案】 【分析】判断函数关于直线对称，画出函数的大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ，方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 【点睛】方法点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. 【考点21 嵌套函数的零点问题】 例21（2024·上海·模拟预测）已知函数，则函数有 个零点． 【答案】7 【分析】设，则等价于，作出函数的图象，由图可得有3个根，再根据结合函数的图象得出交点的个数即可. 【详解】令，则，设，则方程化为， 函数的零点个数即为方程解的个数， 二次函数的图象开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 作出函数的图象，如图， 由图知有3个根，当时，，解得； 当时，，解得， 在方程中，当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，有2个解，共3个解； 当时，有1个解，无解，共1个解， 所以函数有7个零点. 故答案为：7 变式1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【考点22 反函数的性质与应用】 例22（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 【答案】 【分析】利用互为反函数的关系，列式求出即可. 【详解】依题意，点和都在函数的图象上， 则，解得， 所以. 故答案为： 变式1．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用反函数与原函数的关系求出，再结合函数的单调性求解不等式. 【详解】由函数的图象经过点，得函数的图象过点， 则，解得，即， 而函数都是R上的增函数， 因此函数在R上单调递增，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知点在函数的反函数的图像上，则 ． 【答案】2 【分析】由反函数与原函数的对称性得出点在函数的图像上，从而得出. 【详解】点在函数的反函数的图像上， 所以点在函数的图像上， 代入得． 故答案为：2 一、单选题 1．（25-26高三上·上海松江·期末）下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定函数的单调性，再对所给函数进行判断即可. 【详解】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增. 对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意； 对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意； 对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意. 故选：C 2．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知，若，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用的对称性以及单调性解不等式即得答案. 【详解】由， 得： 关于点 对称. 因为， 所以：， 代入得： 又因为 是上的单调递增的函数， 所以：， 即：， 解得：. 故选：B 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·月考）设函数，则使得成立的实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用定义证明函数为偶函数，结合在上单调递增，解不等式，即可得出实数的取值范围． 【详解】显然函数的定义域为， ，则函数为偶函数， 当时，，在上单调递增， 因为， 则，可得， 即，整理可得， 解得，即，可得． 故答案为：． 4．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为： 5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数在时的单调性，进而可得函数在时的值域，再利用二次函数的性质可得函数时的值域，即得函数的值域，然后作出函数图象，结合函数图象即可求出参数的取值范围； 【详解】因为， 当时，由单调递增， ∴在上单调递增， ∴当时，， 当时，所以， 综上，函数的值域为， 作出函数的图象与直线如图所示：    函数有2个零点，即与有2个交点， 所以，即. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据的解析式，作出的图象，由题意得图象与图象有四个不同的交点，根据二次函数的对称性，可得，根据对数的性质，可得，分析可得的范围，代入所求，化简整理，即可得答案. 【详解】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为有四个不同的解， 所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示 根据二次函数的对称性可得，即， 又， 所以，解得， 又，所以， 当时，，解得，所以， 则所求， 因为在单调递减，则最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·月考）已知定义在R上的函数满足，对任意的实数、，且，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】设，即可判断的单调性，不等式等价于，结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，因为对任意的实数且，， 所以，即， 所以在上是减函数，因为，所以， 不等式， 所以，解得，即不等式的解集为. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海奉贤·月考）已知函数，则 . 【答案】 【分析】采用换元法令，先求得的表达式，则可得. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故答案为： . 9．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·月考）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可知集合的函数定义域为，求出集合中函数值域，根据集合交集运算可得. 【详解】根据函数的性质可知， 又因，所以， 所以 .即 故答案为： 11．（25-26高一上·上海·期中）设定义在R上的函数满足，且当时．若对任意，不等式恒成立，则实数λ的最大值是 ． 【答案】2 【分析】利用得到函数的递推关系，可得不同区间内函数的表达式，再结合求解即可. 【详解】当时，， 因为，即， 所以当时，，则， 当时，，则， 当时，，则不满足恒成立， 所以令，解得或， 又，所以， 所以实数λ的最大值为2. 故答案为：2. 三、解答题 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 【答案】(1) (2)在区间上是增函数， 【分析】（1）由已知得，可求得b=0，再由已知的函数值，可求得a，得函数的解析式； （2）判断函数单调性，利用函数单调性定义证明，由函数单调性及奇偶性解不等式. 【详解】（1）∵是奇函数， ∴,即， ∴． ∴，又， ∴，∴， ∴． （2）在区间上是增函数．证明如下: 任取，，且， , ∵，∴， ∴，又，，， ∴即， ∴在区间上是增函数． 是奇函数，且， ， ，解得， 故不等式的解集为. 13．（25-26高一上·上海杨浦·期中）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）根据偶函数的性质结合题意列方程可求参数的值； （2）利用对数的运算性质转化题设不等式，结合换元法可求不等式的解. 【详解】（1）因为，所以的定义域为R，关于原点对称， 又， 因为是偶函数， 所以对任意R恒成立， 所以对任意R恒成立， 则 恒成立，因此； 此时，， 所以是偶函数，满足题意，故； （2）若，则， 所以 ，所以， 令 ，则有， 即， 解得 或，所以，或， 所以或. 所以满足题意的的取值范围是或. 14．（25-26高一上·上海·月考）已知函数（为常数），. (1)若，写出函数的定义域及单调减区间； (2)当时，若，，试用，表示； (3)已知，当且仅当时，等号成立．设，证明：存在唯一的正实数，使得． 【答案】(1)定义域，单调减区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域及单调性求解即可； （2）利用换底公式及对数的运算性质求解即可；； （3）令可得，结合可得，设，进而结合函数的单调性和零点存在定理可得证. 【详解】（1）当时，， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 令，则. 因为在上单调递增，所以求的单调减区间， 即求在定义域内的单调减区间，而的对称轴为，开口向上， 结合函数的定义域，可得的单调减区间为. （2）当时，， 因为，所以， 则. （3）已知，其定义域为， 令，则，即， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 显然函数在上单调递增， 又，， 结合零点存在定理可知，存在唯一的正实数，使得，即. 15．（25-26高一上·上海青浦·月考）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)函数在R上是增函数；； (3). 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性和奇偶性将函数不等式转化成不等式存在性问题，参变分离转换成最值问题，求出函数最值即可得出答案； （3）将零点问题转换成方程解的个数问题，换元，进一步转成一元二次方程根的分布问题. 【详解】（1）由题定义域为R，关于原点对称，任意的 ，所以为奇函数； （2）函数在R上是增函数； 所以， 即， 所以原问题转化为存在，使成立， 令，， 对称轴为，且开口向上，所以， 所以； （3）令， 即， 令，得， 所以原问题转化成关于的方程存在两个不同的正数解， ， 故. 16．（25-26高二上·上海·月考）设函数和的定义域均为，且对任意，，若，则. (1)若，且当时，，，求实数a的取值范围； (2)证明：若为上的严格增函数，则为上的严格减函数； (3)若是值域为的偶函数，判断并说明是否一定是偶函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)一定是偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据题意，，代入求解即可. （2）根据减函数的定义进行证明即可. （3）通过反证法进行求解即可. 【详解】（1）对任意，且，， 即，从而， 结合可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为. （2）对任意且，均有，进而由可得，， 又，故， 即为上的严格减函数. （3）一定是偶函数，证明如下：对任意，由函数为偶函数，得，且， 若函数不为偶函数，则存在，使得，由函数的值域为， 可知存在，使得，从而， ，从而一方面， 另一方面 ， 即，矛盾. 因此一定是偶函数. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数的概念性质及应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1.函数的概念与三要素 1.定义：设A、B是非空数集，按确定对应关系，对中任意，中都有唯一与之对应，称为函数，记作. 2.三要素（核心）： 定义域：自变量的取值范围，遵循“定义域优先”原则，常见限制：分式分母0，偶次根式被开方数0，对数真数0等. 对应关系：函数的核心，可用解析式、图像、表格表示. 值域：函数值的集合{|}，由定义域与对应关系共同确定. 3.表示方法：解析法、列表法、图像法，分段函数是解析法的特殊形式. 2.函数的基本性质 性质 定义 判定方法 核心结论 单调性 区间内，，都有（增函数）或（减函数） 定义法（作差/作商）、图像法、复合函数法则 增+增=增，减+减=减； 奇偶性 定义域关于原点对称，∀x，（偶函数）或（奇函数） 定义法、图像法（偶函数对称轴，奇函数对称原点） 奇函数（若在定义域内）；奇偶函数和差积商有相应奇偶性 最值 区间内存在，对任意，都有（最大值）或（最小值） 单调性法、配方法、图像法 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值 3.函数的应用与反函数 1.函数应用：构建函数模型解决实际问题，常见模型有一次函数（线性增长/衰减）、二次函数（最值优化）、分段函数（阶梯收费、分段计费）等，核心步骤为：审题→设变量→建函数→定定义域→求解→检验. 2.反函数： 存在条件：函数为一一映射（单调函数必存在反函数）. 求解步骤：①求原函数值域（即反函数定义域）→②反解→③互换x、y得→④注明反函数定义域. 核心性质：原函数与反函数图像关于直线对称；（在反函数定义域内）；（在原函数定义域内）. 二、概念比较（易混概念辨析） 函数与映射：映射中$A、B$可为任意非空集合，函数是特殊的映射，限定$A、B$均为非空数集. 定义域与值域：定义域是自变量的取值范围，由题目条件直接限定；值域是函数值的集合，由定义域与对应关系共同决定，求值域必须先确定定义域. 单调性与奇偶性：单调性是局部性质（依赖具体区间），奇偶性是整体性质（依赖整个定义域关于原点对称）. 反函数与原函数：反函数是“逆对应”关系，原函数的定义域=反函数的值域，原函数的值域=反函数的定义域，二者图像关于对称. 分段函数与复合函数：分段函数是同一函数在不同区间对应关系不同，定义域为各区间并集；复合函数是的形式（函数套函数），定义域需满足内层函数值域与外层函数定义域的交集非空. 三、易错辨析（高频错误+规避方法） 1.忽略定义域致错 错误示例：判断奇偶性时，未考虑，直接代入判断；求复合函数定义域时，误写为（正确应为，此处需注意：若为，定义域为或）. 规避方法：所有函数问题先求定义域，尤其是判断奇偶性、求单调区间、求值域时，第一步必须明确定义域范围. 2.对“唯一对应”理解偏差 错误示例：认为“多对一”对应不是函数，如中，一个对应两个，误判为非函数. 规避方法：紧扣函数定义，函数要求的是“到的单值对应”，即一个只能对应一个，允许“多个对应一个”，禁止“一个对应多个”. 3.奇偶性判定逻辑错误 错误示例：未验证定义域对称性，直接代入判断，如判断奇偶性时，未注意定义域不关于原点对称，误判为非奇非偶（虽结论正确，但逻辑缺失）；或判断时，未发现定义域不对称，误判为奇函数. 规避方法：判定奇偶性分两步：①先验证定义域是否关于原点对称，不对称则直接判定为非奇非偶；②对称再验证与的关系. 4.反函数求解遗漏值域 错误示例：求的反函数时，未求原函数值域，直接反解为，互换后写为但未注明定义域，或误写为. 规避方法：严格遵循反函数求解四步流程，尤其注意“求原函数值域”是确定反函数定义域的关键，不可遗漏. 5.复合函数单调性判断失误 错误示例：判断的单调性时，未拆分内外层函数，直接判断为“在上单调递增”（正确应为：内层在递增、递减，外层在递增，由“同增异减”得复合函数在递增、递减）. 规避方法：判断复合函数单调性时，先拆分为“内层函数”和“外层函数”，分别判断二者在对应区间的单调性，再根据“同增异减”法则确定复合函数单调性，同时注意定义域限制. 四、重点内容记忆清单（含常考结论） 1.核心定义记忆 函数本质：非空数集间的单值对应，两函数相等的充要条件是定义域与对应关系完全相同（值域由前两者决定，无需额外判断）. 奇偶性核心：定义域关于原点对称是前提，再满足（偶）或（奇）. 反函数核心：仅一一映射函数有反函数，单调函数必为一一映射，故单调函数必存在反函数（反之不成立）. 2.常考结论记忆 定义域优先原则：所有函数问题的“第一步操作”，忽略定义域会导致后续所有判断失误. 奇偶函数运算性质：，；，，（注：运算后定义域需关于原点对称，否则无奇偶性）. 单调函数性质：若在区间上单调递增，则；单调递减则反之，可用于比较函数值大小或解不等式. 反函数衍生结论：原函数与反函数的单调性一致；若是原函数图像上的点，则必是反函数图像上的点；原函数与反函数的交点要么在直线上，要么关于直线对称. 二次函数最值结论：对于，当时，在处取最小值；当时，在处取最大值；若在闭区间上求最值，需比较顶点横坐标与区间的位置关系（顶点在区间内则顶点为最值点，在区间外则区间端点为最值点）. 复合函数定义域结论：若的定义域为，则的值域即为的定义域；反之，若的定义域为，则的定义域是的取值范围. 抽象函数单调性判定结论：若且时，则为增函数；若且时，则在上为增函数. 分段函数奇偶性判定结论：需分别验证各分段区间内与的关系，且定义域需关于原点对称，所有分段均满足奇偶性定义才为相应奇偶函数. 常见函数单调性结论：①一次函数：时在上递增，时在上递减；②反比例函数：时在和上递减，时在和上递增（注意：不能说在定义域上单调）. 函数图像变换与性质关系结论：①是左右平移，不改变单调性和奇偶性（平移后定义域对称则奇偶性保留）；②与关于轴对称，单调性相反，奇偶性相同；③与关于轴对称，单调性相反，奇偶性相同. 3.常用方法记忆 求定义域：列限制条件（分母≠0、偶次根式被开方数≥0、对数真数>0等）→解不等式（组）→写出定义域（区间/集合形式）. 证明单调性：取值（）→作差（）→变形（因式分解、配方等）→定号（判断差的正负）→下结论. 求值域常用方法：单调性法、配方法（二次函数）、换元法、分离常数法（分式函数，如）、判别式法（二次分式函数）. 【考点1 复合函数的定义域】 例1（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）函数的定义域是 ． 变式1．（23-24高一上·上海·课后作业）已知函数，则 . 变式2．（2024高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为求函数的定义域. 【考点2 抽象函数的定义域】 例2（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域为 ，值域为 ． 变式2．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）若，，则 ； （3）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【考点3 换元法求值域】 例3（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 2.（23-24高一·上海·假期作业）函数的值域是 变式2．（25-26高三上·上海·月考）已知集合，，则 . 【考点4 常见函数的值域】 例4（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 变式1．（2024高三·上海·专题练习）求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 变式2．（23-24高二下·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【考点5 根据值域求参数范围】 例5（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 变式1．（23-24高三上·上海浦东新·月考）若函数的值域为，则的值为 . 【考点6 复合函数的值域问题】 例6（23-24高一上·上海浦东新·月考）函数的值域为 . 变式1．（23-24高二上·上海徐汇·开学考试）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）将函数中的自变量用替换，替换后所得的函数与原函数的值域相同，则函数可以是下列函数中的 (只填序号). ① ；② ；③ ；④ . 【考点7 换元法+方程组法+配凑法求函数解析式】 例7（23-24高一上·上海闵行·期末）存在函数，满足对任意都有（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知 求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 变式2．（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数满足，则的解析式为 . 【考点8 函数的奇偶性判断】 例8（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 变式1．（24-25高三上·上海·期中）函数的奇偶性为 . 变式2．（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 【考点9 由奇偶性求解析式】 例9（25-26高一上·上海·月考）若是上的奇函数，当时则当时 变式1．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 变式2．（23-24高一·上海·课后作业）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 【考点10 由奇偶性解不等式】 例10（25-26高一上·上海·月考）设函数是上的偶函数，且在上的图象如图所示，则不等式的解集是    变式1．（24-25高二下·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 变式2．（24-25高一上·上海·月考）已知定义在上的奇函数在上是严格减函数，若，则实数的取值范围是 【考点11 复合函数的单调性+分段函数单调性】 例11（25-26高三上·上海·月考）已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间是 ． 变式1．（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数在定义域上单调递减，则的定义域是 ，单调递减区间是 ． 【考点12 由单调性求参数】 例12（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 变式1．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 变式2．（24-25高一上·上海浦东新·月考）若函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【考点13 由单调性+奇偶性解不等式】 例13（25-26高一上·上海·月考）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1．．（25-26高三上·上海·期中）定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为 ． 变式2．（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是 . 【考点14 单调性奇偶性对称性综合】 例14（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·上海浦东新·月考）已知为上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 . 变式2．（24-25高一上·上海·月考）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是 . 【考点15 不等式的恒成立与有解问题】 例15（25-26高三上·上海·期中）定义在上函数满足且当时，则使得在上恒成立的的最小值是 ． 变式1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数. (1)若函数是奇函数，求的值； (2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 变式2．（24-25高三上·上海宝山·月考）已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【考点16 二分法求函数的零点】 例16（25-26高一上·上海静安·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 变式2．（24-25高一上·上海·月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【考点17 零点存在定理】 例17（24-25高一上·上海·期末）已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 变式1．（24-25高一上·上海·期中）已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式2．（23-24高一上·上海·期末）方程的根，，则 ． 【考点18 由零点个数求范围】 例18（2025·上海静安·一模）设是定义在上的偶函数， 对任意的， 都有， 且当时， .设，若函数在左开右闭区间上恰有3 个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 变式1．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数．若 只有2个零点，则的取值范围是 ． 变式2．（24-25高二上·上海·开学考试）已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是 .. 【考点19 比较零点的大小关系】 例19（23-24高一上·上海虹口·期末）已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2024高一·上海·专题练习）已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（    ） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n 【考点20 指数函数与对数函数零点分布求参数范围】 例20（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是 . 变式1．（23-24高一上·上海·月考）已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为 . 变式2．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【考点21 嵌套函数的零点问题】 例21（2024·上海·模拟预测）已知函数，则函数有 个零点． 变式1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是 . 【考点22 反函数的性质与应用】 例22（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 变式1．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知点在函数的反函数的图像上，则 ． 一、单选题 1．（25-26高三上·上海松江·期末）下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知，若，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·月考）设函数，则使得成立的实数的取值范围 ． 4．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数 ． 5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ． 6．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 7．（25-26高一上·上海·月考）已知定义在R上的函数满足，对任意的实数、，且，，则不等式的解集为 ． 8．（24-25高一上·上海奉贤·月考）已知函数，则 . 9．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 10．（24-25高一上·上海·月考）已知集合，，则 ． 11．（25-26高一上·上海·期中）设定义在R上的函数满足，且当时．若对任意，不等式恒成立，则实数λ的最大值是 ． 三、解答题 12．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 13．（25-26高一上·上海杨浦·期中）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 14．（25-26高一上·上海·月考）已知函数（为常数），. (1)若，写出函数的定义域及单调减区间； (2)当时，若，，试用，表示； (3)已知，当且仅当时，等号成立．设，证明：存在唯一的正实数，使得． 15．（25-26高一上·上海青浦·月考）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 16．（25-26高二上·上海·月考）设函数和的定义域均为，且对任意，，若，则. (1)若，且当时，，，求实数a的取值范围； (2)证明：若为上的严格增函数，则为上的严格减函数； (3)若是值域为的偶函数，判断并说明是否一定是偶函数. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $