第5章函数的概念、性质及应用高频考点分类复习讲义 -2025-2026学年高一上学期数学沪教版同步培优

该高中数学函数单元复习讲义通过10个高频考点系统构建知识体系，从函数概念、定义域值域到综合应用层层递进，以考点分类框架呈现知识脉络，突出奇偶性、单调性等核心性质与零点问题、实际应用的内在联系，帮助学生形成完整知识网络。 讲义亮点在于例题与变式训练结合，精选闵行、嘉定等区期末真题，如函数奇偶性判断、实际应用中的优化问题，培养数学思维与应用意识。分层设计满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第5章函数的概念、性质及应用高频考点分类复习 考点01：函数的概念 考点02：函数的定义域与值域 考点03：函数的表示方法 考点04：分段函数 考点05：函数的奇偶性 考点06：函数的单调性与最值 考点07：函数的图像 考点08：函数的零点问题 考点09：函数的实际应用 考点10：函数综合题 考点01：函数的概念 【例1】（24-25闵行区高一上期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 【变式训练】 1. （2024-25嘉定高一上期末）下列函数中，与函数相同的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数，进行判断． 【详解】对于A，因为定义域为，与函数，不是相同函数，故A错误； 对于B，定义域为R，且，与函数相同，故B正确； 对于C，函数，，与函数，的定义域不同，不是相同函数，故C错误； 对于D，函数，，与函数，的对应关系不同，不是相同函数，故D错误； 故选：B． 2. （24-25长宁区高一上期末）下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数定义域及解析式逐个判断即可； 【详解】的定义域为， 对于A：易知，定义域为，错； 对于B: ，定义域为，对； 对于C：，定义域为，错； 对于D：，错； 故选：B 3. （224-25奉贤区高一上期末）下列四个图形中，不是以为自变量函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用函数的定义判断即可. 【详解】由函数定义知，定义域内的每一个x，都有唯一函数值与之对应，B项、C项、D项中的图象都符合，A项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，故A项不符合. 故选：A. 考点02：函数的定义域与值域 【例2】（24-25华东师大附中高一上期末）函数的定义域是，则它的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于0有意义求解. 【详解】因为，所以，即函数的定义域为. 故答案为：. 2. （24-25建平中学高一上期末）函数的定义域为__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据定义域的求法求解. 【详解】函数, 则，解得或. 故答案为：或. 3. （24-25建平中学高一上期末）函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 可得， 因为函数在上单调递增， 当时，，可得， 所以函数的值域为. 故答案为：. 考点03：函数的表示方法 【例3】（24-25闵行区高一上期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到时，，又，求出答案. 【详解】当时，，故， 又是定义在上的奇函数，故， 所以，故. 故答案为： 【变式训练】 1.（24-25浦东新区高一上期末） 如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB边上任取一点P，过P作斜边BC的垂线交BC于Q，则当P点按B→A→C的方向移动时，图中阴影部分的面积S随BQ的长度h变化的函数关系S（h）的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分当点P在线段AB上时，阴影部分的面积，当点P在线段AC上时，阴影部分的面积，根据二次函数的图象性质可得选项. 【详解】解：当点P在线段AB上时（如下图所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以阴影部分的面积， 当点P在线段AC上时（如下图所示），在等腰直角三角形ABC中，，所以阴影部分的面积，根据二次函数的图像得：面积增加的速度：先慢后快，当P过A点后面积增加的速度：先快后慢. 故选：D. 考点04：分段函数 【例4】（2024-25嘉定高一上期末）已知则方程的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质讨论和时代入求解即可； 【详解】当时，，若，，此方程恒成立，故； 若，， 因为，，所以方程在时无解； 当时，，，即，解得， 所以方程的解集是. 故答案为：. 【变式训练】 1. （24-25上海华东模范中学高一上期末）函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再计算即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题. 2. （24-25上海华东模范中学高一上期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数、分式型函数的性质分别求分段函数两段上的性质，并确定且，即可求参数范围. 【详解】由在上递减，在上递增， 若，则最小值为，不满足题设， 所以， 在上，，当且仅当时等号成立， 所以最小值，则，可得. 综上，. 故答案为： 3. （24-25浦东新区高一上期末）已知函数 的表达式为 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式直接代入运算即可. 【详解】因为，且，则. 故答案为：2. 考点05：函数的奇偶性 【例5】（2025复旦附中高三阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 【例6】（24-25闵行区高一上期末）设，且函数是偶函数，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质列出方程求解即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，即， 又因为，所以， 故答案为：. 【变式训练】 1. （24-25华东师大附中高一上期末）偶函数的定义域是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数偶函数及定义域可得，求解可得. 【详解】因为是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称. 又函数的定义域为， 所以，解得. 故答案为： 2.（2025上海市控江中学三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先求出函数是定义在上的解析式，再分别讨论与在大于0和小于0时列出不等式，最后求并集. 【解析】由于函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，，此时，. 又， 综上所述，. ①当时，由，得，解得，此时，； ②当时，即当时， 由得，整理得，解得，此时； ③当由得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为 . 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题类型的问题关键在于由已知奇函数部分解析式求定义域上奇函数解析式，并分段讨论求不等式解集. 3. （2024-25嘉定高一上期末）已知函数偶函数，是奇函数，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 4.（2025南洋模范中学高三阶段练习）已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 5. （24-25宜川中学高一上期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分奇函数和偶函数两种情况来进行求解的值，即可得到结果. 【详解】若函数为奇函数，则，即，解得； 若函数为偶函数，则，即，解得， 故函数不是奇函数也不是偶函数时，的取值范围为. 故答案为： 6. （24-25浦东新区高一上期末）已知函数的表达式为 . （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明:函数在区间上是严格减函数. 【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，发现定义域不关于原点对称,故可直接判断不是奇函数也不是偶函数； （2）利用单调性的定义，按步骤：“任取值，作差，定号，下结论”证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为不关于原点对称, 所以既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 任取 则 ， 因为所以， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数. 考点06：函数的单调性与最值 【例7】（24-25宜川中学高一上期末）下列关于x的函数中，在其定义域上是严格增函数的是（填序号）：__________. ①；②；③；④；⑤. 【答案】③⑤ 【解析】 【分析】根据解析式判断可得答案. 【详解】对于①，函数在和上是严格增函数， 但在定义域上不是严格增函数，故错误； 对于②，函数在定义域上不是严格增函数，故错误； 对于③，函数，定义域为， 且在定义域上是严格增函数，故正确； 对于④，如图，的图象如下， 函数在上严格增函数，在上是严格增函数， 但在定义域上不是严格增函数，故错误； 对于⑤，因为，定义域关于原点对称，且 ，所以为奇函数， 又函数在上是严格增函数，在上是严格增函数， 所以在上是严格增函数，根据对称性， 在上是严格增函数，且，故正确. 故答案为：③⑤. 【例8】（2024-25虹口高一上期末）设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，由已知可得函数的奇偶性与单调性，从而将不等式转化，求解即可． 【详解】令，因为是定义域为R的奇函数， 所以的定义域为，且是偶函数， 且， 因为对任意，都有， 即对任意，都有， 所以时，， 所以在上单调递减，所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 当时，不等式等价于， 即，所以，解得， 当时，不等式等价于， 即，所以，解得， 综上，原不等式的解集为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，进而根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【变式训练】 1. （24-25浦东新区高一上期末）如果函数 在区间 上是严格增函数，那么实数 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的性质得解. 【详解】由二次函数的性质，可知函数 在区间上是严格增函数， 所以，即， 故答案为： 2.（24-25进才中学高一上期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由定义域关于原点对称解得，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为求解可得. 【详解】因为为偶函数，故即， 即为， 由为偶函数，则， 又在上严格增函数，且为偶函数， 故在上为严格减函数， 故，解得或. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 3.（24-25松江区高一上期末） 已知函数的表达式是，则满足的实数的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合偶函数定义可得为偶函数，再利用偶函数对称性和指数函数单调性解出不等式即可得到结果. 【详解】当时，有，又定义域为，故为偶函数， 又当时，单调递增，故对有， 即，即有，解得， 故的最大值为. 故答案为：. 4. （24-25长宁区高一上期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将变形得到，根据条件，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 5. （24-25向明中学高一上期末）已知对于任意的，，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为_____. 【答案】(或或其中一个即可) 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶性的定义、单调性定义探讨函数的性质，进而求解不等式. 【详解】对于任意的，，恒有，令，得， 令，得，则函数是奇函数， 设任意，得，则，于是，函数在上单调递减， 由，得，解得， 而，因此或或， 取的一个整数值为. 故答案为：(或或其中一个即可) 6. （24-25华东师大附中高一上期末）已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________________. 【答案】 【解析】 【详解】构造函数，对任意时，有成立，即，即在上单调递增，原不等式 即，得到，即，解得，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，属于难题. 求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据已知条件的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 7. （24-25闵行区高一上期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】先得到在上恒成立，参变分离得到，求出，故，再由在上有根， 即在上有根，求出，需满足，故. 【详解】由题意得在上恒成立， 故， ， 故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3， 故， 故， 另外，在上有根， 即，， 故在上有根， 根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根， 需满足， 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 8. （2024-25虹口高一上期末）设，则（ ）. A. 函数的最大值为3，最小值为1 B. 函数的最大值为，无最小值 C. 函数的最大值为，无最小值 D. 函数的最大值为3，最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，由图像可知，当时，取得最大值， 所以由得（舍去）或， 即当时，函数有最大值，无最小值. 故选：C 9. （24-25长宁区高一上期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． （1）求的值，并证明：是上的严格增函数； （2）判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 【答案】（1），证明见解析； （2）不是，反例，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质有，再利用函数单调性定义及证明函数在上的单调性； （2）应用反例，结合的性质分析判断，即可得结论. 【小问1详解】 由是定义域为的奇函数，则， 任取，则，又在上是严格增函数， 由，即， 所以是上的严格增函数，得证； 【小问2详解】 函数不一定是上的严格增函数，理由如下： 对于， 由在、上都单调递增，且，函数满足题设， 但在上，在上，显然不满足是上的严格增函数， 所以函数不一定是上的严格增函数. 考点07：函数的图像 【例9】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 【答案】D 【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案. 【详解】A选项，向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误； B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误； C选项，向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，错误； D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确. 故选：D 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）函数的部分图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除C；根据排除B；根据排除D，从而可得答案. 【详解】由，函数定义域为，关于原点对称， ，所以是偶函数，其图象关于轴对称，排除C； 因为，故排除B； 因为 因为，而选项D中，函数在上递增，故排除D， 故选：A. 2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解. 【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是， 故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足. 故选：A. 3. （2024-25虹口高一上期末）函数图像的大致形状为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中含有，故是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【详解】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样是增函数， 时，图象与的图象关于轴对称. 故选：B． 考点08：函数的零点问题 【例10】 （24-25闵行区高一上期末）用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______ 【答案】 【解析】 【分析】设函数，根据函数单调性，即可解所求不等式. 【详解】设函数，定义域为， 根据幂函数单调性可得，和都是上的增函数， 所以函数是上增函数， 又， 则不等式的解集为. 故答案为： 【例11】 （24-25向明中学高一上期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象：     函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式训练】 1. （24-25长宁区高一上期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析函数在区间上的图象特征，再结合方程有两个不同解，即直线与函数在区间上的图象有两个不同交点，进而确定实数的取值范围. 【详解】先分析函数在区间上的图象，已知， 方程在区间上有两个不同的解，意味着直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点. 由上述分析可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点. 实数的取值范围为. 故答案为：. 2. （24-25长宁区高一上期末）定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得为定值，且，进而求得，将问题化为求的解的范围，利用对应函数的单调性，结合各项区间端点出函数值大小确定解的范围. 【详解】由题设为定值，且， 所以，则，易知，故， 由，则，显然在第一象限有一个交点， 又在上分别单调递增，单调递减， 由，，，故方程解在上. 故选：C 3. （24-25进才中学高一上期末）设，函数恰有三个零点，则a的取值集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质分析可知，再讨论的符号去绝对值，分别研究的零点个数，即可得结果. 【详解】因为， 1.若，则，显然等号不同时成立， 所以恒成立，不合题意； 2.若，令，解得，即有两个零点，不合题意； 3. 若，构建， 因为，即函数有两个零点， 且，即不是零点， （1）当，即时，则， 令，解得或， 且，即， 所以在有两个零点； （2）当，即或时，则， 由题意可知：在内有且仅有一个零点， （ⅰ）当时，则，且， 此时在上的零点为，符合题意； （ⅱ）当且时，令，解得或， 且， 即， ①若，解得，所以在内的零点是，符合题意； ②若，则在内的零点是，不合题意； 综上所述：或. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：根据，可得函数有两个零点，结合二次不等式分类讨论去绝对值. 4. （24-25上海华东模范中学高一上期末）设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围． 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 则f(x)图像如图所示： 当时，，当时，． 令，则， ∵关于x的方程恰有六个解， ∴关于t的方程有两个解、，设＜， 则，， 令，则， ∴且， 要存在a满足条件，则，解得． 故答案为：． 考点09：函数的实际应用 【例12】（2024-25嘉定高一上期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. （1）试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； （2）若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出分段函数式，根据函数单调性即可求解最值； （2）根据关于的函数关系式，得到不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题知，， 即， 所以在上递减，此时， 且在上递减，此时， 综上，该函数的最大值为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则令，解得， 所以此时； 令，解得， 综上，的取值范围为. 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气，漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律，如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期，为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75℃的茶水放在25℃的房间，10分钟后茶水降温至50℃. （1）若欲将这杯茶水继续降温至35℃，大约还需要多少分钟？（结果保留整数） （2）为适应市场需求，2025年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且，已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完，问2025年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润. 【答案】（1）13分钟 （2）30千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 【解析】 【分析】（1）由题意列方程求解； （2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值. 【小问1详解】 由题，可得，解得， 设经过分钟，降温至，则， 解得， 故大约还需要13分钟. 【小问2详解】 设利润为， 当时，， 当时，取得最大值为3400万元， 当时，， ，当且仅当时取等号， 当时，取得最大值为3380万元， 因为， 所以总产量为千台时，获利最大，最大利润为3400万元. 2. （24-25建平中学高一上期末）如图所示，已知三地在海岸线上，地在地正东方向12千米处，地在地正东方向3千米处，海岛在地正南方向3千米处，一艘小船正从海岛以10千米/小时的速度沿直线向海岸线航行，最终在海岸线上的地登岸，地在地正东方向千米处，其中． （1）已知，若小明从海岛乘坐小船出发，登岸后立即以5千米/小时的速度沿海岸线从地径直匀速走向地，求小明从海岛出发抵达地所花的时间（精确到0.1小时）； （2）小明在网上叫了“准时达”的外卖，已知他从海岛乘坐小船出发时，外卖员正沿着海岸线从地出发匀速驶向地，若小明登岸时恰好遇见外卖员，求外卖员行驶的最大速度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形性质可计算各线段长度，再根据速度可得时间； （2）根据时间相等可列方程，再结合基本不等式可得最值. 【小问1详解】 如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为； 【小问2详解】 如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 考点10：函数综合题 【例13】（2024-25嘉定高一上期末） 对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”. （1）判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由； （2）若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：. 【答案】（1）在上是“舒缓函数”，在上不是“舒缓函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题干中所给“舒缓函数”定义可完成判断； （2）不妨设，，则，进而结合恒成立问题求解即可； （3）设，并不妨设，当时，由题意易得结论成立，当时，利用及可完成证明. 【小问1详解】 令， 则， 故在上是“舒缓函数”； 令， 则，取， 则， 故在上不是“舒缓函数”； 【小问2详解】 因函数在上是“舒缓函数”， 则对， 不妨设，则有， ，则， 则，时， ， 即. 【小问3详解】 设，不妨设. 若，因在上是“舒缓函数”， 则； 若，则 . 综上， 【点睛】关键点睛：本题关键为能理解“舒缓函数”概念.第一问，通过举反例可判断不是“舒缓函数”；第二问关键为得到；第三问改编自1983年高中数学联赛第2部分第2题，关键为. 【变式训练】 1. （2024-25虹口高一上期末）对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. （1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； （2）若函数存在“优美区间”，求的最小值； （3）若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）通过在区间上单调递增，利用新定义判断即可； （2）函数在为增函数，又为“优美区间”，则，即是的两个不等的正整数根，结合根与系数的关系即可求解； （3）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解的最大值. 【小问1详解】 因为函数在为增函数，所以在也为增函数， 又因为，所以的值域为， 所以为函数的“优美区间”. 【小问2详解】 因为在上为单调增函数，又为的“优美区间”， 所以，所以是方程的两个不等正整数根，即是的两个不等的正整数根， 所以，解得或， 所以的最小值为4. 小问3详解】 定义域为，假设或， 在上为增函数，又是函数的“优美区间”，所以， 所以是方程的两个不等的实数根，即是的两个同号且不等实数根， 所以或，又， 所以， 当时，取得最大值为. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 2. （2024-25虹口高一上期末）对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. （1）判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由； （2）求证：函数在上存在“漂移点”； （3）若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围. 【答案】（1）没有飘移点，理由见解析； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断； （2）本问利用零点定理即可判断，即判断端点处的函数值异号； （3）若函数在上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决． 【小问1详解】 假设函数有“飘移点” ，则有解， 即，由于方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点． 【小问2详解】 令 ， 所以， ．所以， 又在连续， 所以在至少有一个实根， 即函数在上存在漂移点； 【小问3详解】 若在上有飘移点， 所以成立，即，， 整理得， 由，，则． 则实数的取值集合是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题. 1. （24-25浦东新区高一上期末）函数 的定义域为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数 的定义域为. 故答案为：. 2. （224-25奉贤区高一上期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的函数式，结合奇函数的性质求得答案. 【详解】依题意，. 故答案为：. 3. （2024-25上海实验学校高一期末）若函数是定义在上的奇函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得到和，再解方程即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数 所以，解得. 因为， 所以，解得. 所以. 故答案为： 4. （2024-25复旦附中高一期末）已知函数为上的奇函数，则实数______________________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用奇函数的性质有，列方程求参数a即可. 【详解】由题设， 所以，可得. 故答案为：1 4. （2024-25复旦附中高一期末）已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，首先由二次函数性质确定上的单调性和最值，再讨论参数a，结合的单调性及存在最小值，求参数范围. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 若，在上单调递增，其值域为， 此时不存在最小值，不符合； 若，则在上，此时存在最小值，满足； 若，在上单调递减，其值域为， 此时，要使函数存在最小值，只需，即，故； 综上，实数a的取值范围. 故答案为：. 5. （2024-25复旦附中高一期末）已知定义在是的函数满足，且是奇函数，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，结合奇函数性质探讨出函数的周期，再进函数值. 【详解】由是奇函数，得，而， 则，即，因此， 函数是周期函数，其周期为4，而，则， 所以. 故答案为：0 6. （2024-25复旦附中高一期末）已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数单调性可得，解不等式即可. 【详解】因为是定义在上的严格增函数，且， 可得，解得， 所以不等式的解集为为. 故答案为：. 7. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知函数是定义在上的偶函数，.当时，.则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性定义得函数单调性，然后分两种情况解不等式，求出答案. 【详解】当时，，则在上单调递增， 又函数是定义在上的偶函数，可得函数的减区间为， 又由，可得当时，；当或时，. 不等式或，可得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 8. （2024-25徐汇高一上期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，及指数函数、二次函数的性质求区间值域，结合函数值域求参数范围. 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 9. （2024-25徐汇高一上期末）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为______. 【答案】 【分析】令函数，再根据指数函数和幂函数的单调性得函数的单调性，结合特殊点即可求解. 【详解】令函数，定义域为， 因为为定义域内的增函数，为定义域内的减函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10. （2024-25徐汇高一上期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性进行判断，A选项为奇函数；B选项为偶函数，在上单调递增；D选项为非奇非偶函数；根据排除法可得C正确. 【详解】对于A，的定义域为，又，故为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为R，且，故为偶函数，当时，单调递增，B错误； 对于C，的定义域为，又，故为偶函数，当时，在上单调递增，所以在上单调递减，C正确； 对于D，的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：C. 11. （2024-25上海大学附中高一期末）已知函数满足，且对任意的，，，都有，，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可化为，构造函数，利用单调性获解. 【详解】可化为，所以在上为增函数， 又，所以为奇函数，所以为奇函数， 所以在上为增函数．因为， 所以， 所以，即 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件可化为，这是解决问题的突破口,这种结构往往是判定单调性，所以把右边变成0就顺理成章. 12. （2024-25洋泾中学高一期末）函数的零点所在的区间为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 【答案】A 【解析】 【分析】计算选项中区间端点对应函数值的正负，再利用零点存在定理来判断. 【详解】，， ，， ， ， 由零点存在定理结合函数在上单调递增，所以零点所在的区间为（0，1）. 故选：A 13. （2024-25控江中学高一上期末）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】（1）不获利，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损 （2）当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【解析】 【分析】（1）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用； （2）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论. 【小问1详解】 当时，该项目获利为S， 则， 当时，，因此，该项目不会获利, 当时，S取得最大值， 所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损. 【小问2详解】 由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：， 当时，， 所以当时，取得最小值240； 当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200； 因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 14. （2024-25晋元高级中学高一上期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数a的取值范围； （3）若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明； （2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明. 【小问1详解】 因为，所以对有， 令，且， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； 【小问2详解】 当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设， 所以， 即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上可知，的取值范围是； 【小问3详解】 不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的综合应用，对学生理解与分析问题的能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，有时解答问题时还需要用类比的方法去理解问题，本题第三问用反证法证明较为方便. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第5章函数的概念、性质及应用高频考点分类复习 考点01：函数的概念 考点02：函数的定义域与值域 考点03：函数的表示方法 考点04：分段函数 考点05：函数的奇偶性 考点06：函数的单调性与最值 考点07：函数的图像 考点08：函数的零点问题 考点09：函数的实际应用 考点10：函数综合题 考点01：函数的概念 【例1】（24-25闵行区高一上期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【变式训练】 1. （2024-25嘉定高一上期末）下列函数中，与函数相同的是（ ）. A. B. C. D. 2. （24-25长宁区高一上期末）下列函数中与是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. （224-25奉贤区高一上期末）下列四个图形中，不是以为自变量函数的图象是（ ） A. B. C. D. 考点02：函数的定义域与值域 【例2】（24-25华东师大附中高一上期末）函数的定义域是，则它的值域是______. 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）函数的定义域为_____________. 2. （24-25建平中学高一上期末）函数的定义域为__________． 3. （24-25建平中学高一上期末）函数的值域为__________． 考点03：函数的表示方法 【例3】（24-25闵行区高一上期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______ 【变式训练】 1.（24-25浦东新区高一上期末） 如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，在AB边上任取一点P，过P作斜边BC的垂线交BC于Q，则当P点按B→A→C的方向移动时，图中阴影部分的面积S随BQ的长度h变化的函数关系S（h）的图象是（ ） A. B. C. D. 考点04：分段函数 【例4】（2024-25嘉定高一上期末）已知则方程的解集是______. 【变式训练】 1. （24-25上海华东模范中学高一上期末）函数，则_______. 2. （24-25上海华东模范中学高一上期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围是_____________. 3. （24-25浦东新区高一上期末）已知函数 的表达式为 ，则 _____. 考点05：函数的奇偶性 【例5】（2025复旦附中高三阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【例6】（24-25闵行区高一上期末）设，且函数是偶函数，若，则______ 【变式训练】 1. （24-25华东师大附中高一上期末）偶函数的定义域是，则______. 2.（2025上海市控江中学三模）设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为__________. 3. （2024-25嘉定高一上期末）已知函数偶函数，是奇函数，且，则______. 4.（2025南洋模范中学高三阶段练习）已知函数，且，则 ． 5. （24-25宜川中学高一上期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是__________. 6. （24-25浦东新区高一上期末）已知函数的表达式为 . （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明:函数在区间上是严格减函数. 考点06：函数的单调性与最值 【例7】（24-25宜川中学高一上期末）下列关于x的函数中，在其定义域上是严格增函数的是（填序号）：__________. ①；②；③；④；⑤. 【例8】（2024-25虹口高一上期末）设奇函数的定义域为，且，若对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【变式训练】 1. （24-25浦东新区高一上期末）如果函数 在区间 上是严格增函数，那么实数 的取值范围为_____. 2.（24-25进才中学高一上期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.若，则实数的取值范围是________. 3.（24-25松江区高一上期末） 已知函数的表达式是，则满足的实数的最大值是__________. 4. （24-25长宁区高一上期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为________． 5. （24-25向明中学高一上期末）已知对于任意的，，恒有，且当时，，则能使成立的一个的整数值为_____. 6. （24-25华东师大附中高一上期末）已知是定义在上的奇函数，且对任意，若都有成立，则关于的不等式的解为_________________. 7. （24-25闵行区高一上期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______ 8. （2024-25虹口高一上期末）设，则（ ）. A. 函数的最大值为3，最小值为1 B. 函数的最大值为，无最小值 C. 函数的最大值为，无最小值 D. 函数的最大值为3，最小值为 9. （24-25长宁区高一上期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． （1）求的值，并证明：是上的严格增函数； （2）判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 考点07：函数的图像 【例9】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（    ） A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）函数的部分图像大致是（ ） A. B. C. D. 2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 3. （2024-25虹口高一上期末）函数图像的大致形状为（ ） A. B. C. D. 考点08：函数的零点问题 【例10】 （24-25闵行区高一上期末）用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______ 【例11】 （24-25向明中学高一上期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式训练】 1. （24-25长宁区高一上期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为________． 2. （24-25长宁区高一上期末）定义在上的单调函数满足：，则方程的解所在区间是（ ） A. B. C. D. 3. （24-25进才中学高一上期末）设，函数恰有三个零点，则a的取值集合为______. 4. （24-25上海华东模范中学高一上期末）设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是______． 考点09：函数的实际应用 【例12】（2024-25嘉定高一上期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. （1）试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； （2）若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 【变式训练】 1. （24-25进才中学高一上期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气，漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律，如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期，为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯75℃的茶水放在25℃的房间，10分钟后茶水降温至50℃. （1）若欲将这杯茶水继续降温至35℃，大约还需要多少分钟？（结果保留整数） （2）为适应市场需求，2025年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且，已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完，问2025年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润. 2. （24-25建平中学高一上期末）如图所示，已知三地在海岸线上，地在地正东方向12千米处，地在地正东方向3千米处，海岛在地正南方向3千米处，一艘小船正从海岛以10千米/小时的速度沿直线向海岸线航行，最终在海岸线上的地登岸，地在地正东方向千米处，其中． （1）已知，若小明从海岛乘坐小船出发，登岸后立即以5千米/小时的速度沿海岸线从地径直匀速走向地，求小明从海岛出发抵达地所花的时间（精确到0.1小时）； （2）小明在网上叫了“准时达”的外卖，已知他从海岛乘坐小船出发时，外卖员正沿着海岸线从地出发匀速驶向地，若小明登岸时恰好遇见外卖员，求外卖员行驶的最大速度． 考点10：函数综合题 【例13】（2024-25嘉定高一上期末） 对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”. （1）判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由； （2）若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：. 【变式训练】 1. （2024-25虹口高一上期末）对于函数，若存在区间，同时满足： ①函数在上是单调函数； ②函数的定义域为时，其值域也为.则称为函数的“优美区间”. （1）判断是否为函数的“优美区间”？并说明理由； （2）若函数存在“优美区间”，求的最小值； （3）若函数存在“优美区间”，当变化时，试求的最大值. 2. （2024-25虹口高一上期末）对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. （1）判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由； （2）求证：函数在上存在“漂移点”； （3）若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围. 1. （24-25浦东新区高一上期末）函数 的定义域为_____ 2. （224-25奉贤区高一上期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________． 3. （2024-25上海实验学校高一期末）若函数是定义在上的奇函数，则______. 4. （2024-25复旦附中高一期末）已知函数为上的奇函数，则实数______________________． 4. （2024-25复旦附中高一期末）已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为__________. 5. （2024-25复旦附中高一期末）已知定义在是的函数满足，且是奇函数，则__________. 6. （2024-25复旦附中高一期末）已知是定义在上的严格增函数，则不等式的解集为__________. 7. （2024-25晋元高级中学高一上期末）已知函数是定义在上的偶函数，.当时，.则不等式的解集为______. 8. （2024-25徐汇高一上期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是__________. 9. （2024-25徐汇高一上期末）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为______. 10. （2024-25徐汇高一上期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（ ） A. B. C. D. 11. （2024-25上海大学附中高一期末）已知函数满足，且对任意的，，，都有，，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. （2024-25洋泾中学高一期末）函数的零点所在的区间为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 13. （2024-25控江中学高一上期末）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 14. （2024-25晋元高级中学高一上期末）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数a的取值范围； （3）若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $