精品解析：河南省驻马店市泌阳县部分学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

河南省2025-2026学年第一学期学业测评试卷八年级数学（人教版） 第13.1节~第17章 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 多项式的公因式是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了公因式的概念，解题关键是找出多项式各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的乘积． 先找6和4的最大公因数是2，再看字母部分：两项都没有相同字母，因此公因式是2，据此判断选项． 【详解】解： 多项式的公因式是． 故选A． 2. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点：两数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，是解题的关键；根据平方差公式的特点逐项验证即可． 【详解】解：A、第一个因式是两数的和，第二个因式不是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； B、第一个因式是两数的和，第二个因式是这两个数的差，故能用平方差公式计算； C、第一个因式是两数的差，第二个因式不是的和，而是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； D、第一个因式是两数的差，第二个因式是的差，不是这两个数的和，故不能用平方差公式计算； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项的运算规则，熟练掌握这些运算规则是解题的关键． 依次根据积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式、合并同类项的规则，判断每个选项的运算是否正确． 【详解】解：，故选项A正确 ，故选项B错误 ，故选项C错误 ，故选项D错误 故选：A． 4. 跨学科兴趣小组利用激光和平面镜进行平行光的反射实验．如图，一组平行光线经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 根据题意可得：，，然后利用三角形内角和定理进行计算，再根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：如图： 一组平行光线，经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线，且入射角等于反射角， ，， ， 故选：D． 5. 设，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法运算与代数式的大小比较，解题关键是通过展开多项式并作差来比较 P 与 Q 的大小． 通过展开 P 和 Q 的表达式，计算 P − Q 的值，根据差值判断大小关系即可． 【详解】， ， ， ． 故选B． 6. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个无缝小长方形，则该长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴长方形的面积为 ． 故选：C． 7. 若正整数满足，则下面关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 8. 甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式因式分解与展开的逆用，抓住 “看错系数但正确系数不变” 的特点是解题的关键． 甲看错了的值但正确，从甲分解结果求；乙看错了的值但正确，从乙分解结果求，再计算即可． 【详解】∵ 甲看错了的值，分解结果为， 展开得， ∴ ， ∵ 乙看错了的值，分解结果为， 展开得， ∴ ， ∴． 故选：A． 9. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，过作于，过作于，可得，，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 在中，， ∴， 同理可得，， ∵点与之间的距离为， ∴通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，且与都为等边三角形，连接，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质可得出，，，证明，得出，然后结合点B的坐标求解即可． 【详解】解：∵与都为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件，解题关键是明确零指数幂中底数不能为． 根据零指数幂有意义的条件，底数不能为． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为 ． 12. 若a=233，b=322，则a、b的大小关系是___.（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜. 【解析】 【详解】试题分析：根据幂的乘方法则，将每一个数化为指数相同的数，再比较底数． 试题解析：∵233=23×11=（23）11=811； 322=32×11=911 ∵8＜9 ∴811＜911 即a＜b. 考点：幂的乘方与积的乘方． 13. 一次综合实践课上，某同学用16张A类正方形卡片，9张B类正方形卡片和24张C类长方形卡片，无重叠无缝隙地拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．根据题意可得：拼成的大正方形的面积，即可解答． 【详解】解：由题意得：拼成的大正方形的面积， ∴拼成的大正方形的边长是， 故答案为：． 14. 如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据的角平分线交于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 故答案为： 15. 已知，点为平分线上一点，在边上取一点，若是以为腰的等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；点P在的平分线上，因此，是以为腰的等腰三角形，故有两种情况：当时，；当时，． 【详解】解：∵P在的平分线上，， ∴． 情况一：当时，如图， 在中，， ∴. 又， ∴； 情况二：当时，如图， 在中，， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方的运算法则，准确的计算是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可； （2）根据和同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴ ． 17. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 ； （2）该同学从第 步开始出现错误； （3）请写出因式分解正确的过程； （4）请你根据平时的学习经验，就“因式分解”给同学们提一条建议． 【答案】（1） （2）二 （3） 原式 （4）分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 【解析】 【分析】（）根据平方差公式即可求解； （）根据去括号法则即可判断求解； （）根据平方差公式和去括号法则进行分解即可求解； （）根据因式分解的方法进行建议即可． 本题考查了利用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：在上述过程中，第一步依据的乘法公式是平方差公式， 故答案为：； 【小问2详解】 第二步出现错误，错误的原因是括号前是“”号，去掉括号后，原括号里的第二项没有变号， 故答案为：二 【小问3详解】 略 【小问4详解】 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（答案不唯一，合理即可） 18. 如图，中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； （3）在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含的代数式表示的长． 【答案】（1） 解：如图所示； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作垂线，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在左侧交于点，在右侧交于点，作直线交，于点，即可； （2）连接，由三角形内角和定理可得，根据为的垂直平分线得到，即可解答； （3）由是的垂直平分线可得，根据三角形的周长可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 中，， ， 为的垂直平分线， ， ， ； 【小问3详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 即， ． 19. 如图，的平分线交的平分线于点，交于点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定，三角形外角性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由直角三角形的两个锐角互余得，结合角平分线的定义，可得，，根据平行线的判定即可证得结论； （）由平分，则，然后结合三角形外角性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 近年来，三门峡市以“口袋公园”为纽带，不断连接城区之间的绿化面积，让市民“推窗见绿、出门入园”．如图，在一块区域中，某部门准备用60米长的护栏围成一个一面靠墙且长为米、宽为米的长方形花园，然后在中间地块做一个边长为米的正方形水池（阴影部分），其余空白部分绿化． （1）求空白部分的面积；（需化简） （2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，一元一次不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据长方形面积减去正方形面积，然后通过运算法则即可求解； （2）由题意可知，，得到，然后根据，解得b的范围即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解得， ， ， 解得． 21. 新乡某初中数学小组就一道试题展开了不同的解法，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一： 设另一个因式为，得 则， ，解得， ． 另一个因式为，的值为． 解法二： 设另一个因式为，得 当时， 即，解得 另一个因式为，的值为． 任务： （1）已知多项式分解因式的结果中有因式，则按照解法二的思路，可以令 ，之后求出实数 ； （2）已知二次三项式有一个因式是，按照解法一的思路求另一个因式及的值； （3）若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，直接写出代数式的值． 【答案】（1）3；1 （2）另一个因式为，的值为 （3）4 【解析】 【分析】本题属于阅读材料类题型，解题的关键是理解题干中的信息以及熟练掌握因式分解． （1）利用解法二的步骤进行计算即可； （2）利用解法一的思路，由于二次项系数为负数，故假设另一因式应为，随后按步骤求解即可； （3）采用解法二，能得出方程，变形得出的值． 【小问1详解】 解：假设另一个因式为， 得， ∴当时， ， 即，解得． 【小问2详解】 解：设另一个因式为，得 则， ，解得，， 另一个因式为，的值为． 【小问3详解】 解：采用解法二进行计算， 假设另一个因式为， 得， ∴当时， ， 即， 变形得， 故的值为4． 22. 【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 【答案】（1）20；（2）；（3）6 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1），，而， ， 故答案为：20； （2）设， 由题意得， ， ， ， ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意知， ，即， 长方形的面积为8， ， ， ， ， 正方形的边长为6． 23. 如图，在四边形中，，．E、F分别是边、上的点． （1）若，，在“求证：”的过程中，嘉琪发现此题可以利用转化思想解决，并给出了下面的框图（部分内容省略）． 第一步：延长至点，使，连接， …… ∴，→① 第二步：由全等的性质可知， …… ∴？°→② 第三步：…… ，得出． ， ． 上面的框图中，过程①的判定依据是_____（用字母表示）；过程②“？”处应填_____； （2）若．请探究、、之间的数量关系； （3）如下图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，则（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3） 不成立； 理由：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ，． ． ． ， ． ． 即（2）中的结论不再成立． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质； （1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长到，使，连接，目的就是要证明三角形和三角形全等，将转换为，证得， （2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形和三角形全等， （3）在B上截取，使，连接，用（1）中方法，可证得，，则． 【小问1详解】 解：如图，延长到，使，连接， 在与中， ； 故答案为：；． 【小问2详解】 延长到，使，连接． ，， ． ，． ． ． 又， ． ． ． ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025-2026学年第一学期学业测评试卷八年级数学（人教版） 第13.1节~第17章 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 多项式的公因式是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 跨学科兴趣小组利用激光和平面镜进行平行光的反射实验．如图，一组平行光线经过平面镜反射后得到一组互相平行的反射光线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个无缝小长方形，则该长方形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 若正整数满足，则下面关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图，双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，且与都为等边三角形，连接，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是______． 12. 若a=233，b=322，则a、b的大小关系是___.（填“＞”、“＜”或“＝”） 13. 一次综合实践课上，某同学用16张A类正方形卡片，9张B类正方形卡片和24张C类长方形卡片，无重叠无缝隙地拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是________． 14. 如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则的值为_______． 15. 已知，点为平分线上一点，在边上取一点，若是以为腰的等腰三角形，则的度数为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）化简：； （2）已知，求的值． 17. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为 ； （2）该同学从第 步开始出现错误； （3）请写出因式分解正确的过程； （4）请你根据平时的学习经验，就“因式分解”给同学们提一条建议． 18. 如图，中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线分别交于点，求的度数； （3）在（2）的条件下，若与的周长分别为，试用含的代数式表示的长． 19. 如图，的平分线交的平分线于点，交于点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 近年来，三门峡市以“口袋公园”为纽带，不断连接城区之间的绿化面积，让市民“推窗见绿、出门入园”．如图，在一块区域中，某部门准备用60米长的护栏围成一个一面靠墙且长为米、宽为米的长方形花园，然后在中间地块做一个边长为米的正方形水池（阴影部分），其余空白部分绿化． （1）求空白部分的面积；（需化简） （2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 21. 新乡某初中数学小组就一道试题展开了不同的解法，请你仔细阅读，并完成任务． 试题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一： 设另一个因式为，得 则， ，解得， ． 另一个因式为，的值为． 解法二： 设另一个因式为，得 当时， 即，解得 另一个因式为，的值为． 任务： （1）已知多项式分解因式的结果中有因式，则按照解法二的思路，可以令 ，之后求出实数 ； （2）已知二次三项式有一个因式是，按照解法一的思路求另一个因式及的值； （3）若多项式（是常数）分解因式后，有一个因式是，直接写出代数式的值． 22. 【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 23. 如图，在四边形中，，．E、F分别是边、上的点． （1）若，，在“求证：”的过程中，嘉琪发现此题可以利用转化思想解决，并给出了下面的框图（部分内容省略）． 第一步：延长至点，使，连接， …… ∴，→① 第二步：由全等的性质可知， …… ∴？°→② 第三步：…… ，得出． ， ． 上面的框图中，过程①的判定依据是_____（用字母表示）；过程②“？”处应填_____； （2）若．请探究、、之间的数量关系； （3）如下图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，则（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $