第13课 质数与合数（导学案）四年级数学寒假自学课（青岛五四制）

第13课 质数、合数及分解质因数 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过因数个数的对比，理解质数、合数的意义，能准确判断一个大于1的自然数是质数还是合数（如：7是质数，8是合数），知道“1既不是质数也不是合数”。 （2）认识质因数的概念，理解“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”，能区分因数与质因数的区别（如：6的因数有1,2,3,6，其中质因数是2和3）。 （3）掌握分解质因数的方法（如短除法），能将一个合数分解成质因数相乘的形式（如：12=2×2×3）。 （4）能综合运用质数、合数的特征解决简单问题，如找出100以内的质数，判断一个数是否为某个合数的质因数。 2.重难点 重点：理解质数、合数的意义，能准确判断质数与合数；掌握分解质因数的方法。 难点：区分质数、合数与奇数、偶数的概念；理解分解质因数的本质（将合数分解为质数的乘积）。 模块二 预习引导 一、旧知回顾 回顾因数的意义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b都是c的因数。 （1）写出下面各数的所有因数： 1的因数：（ ） 2的因数：（ ） 3的因数：（ ） 4的因数：（ ） 5的因数：（ ） 6的因数：（ ） （2）观察上面各数的因数个数，按因数个数从少到多排列：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 二、新知探究 1.探究一：认识质数 （1）观察：2的因数有（ ），3的因数有（ ），5的因数有（ ），它们的共同特点是（都只有2个因数）。 （2）定义：像2、3、5这样"只有1和它本身两个因数"的数叫做质数（或素数）。 （3）举例验证： ①7的因数有（ ），所以7是（ ）数； ②11的因数有（ ），所以11是（ ）数； ③9的因数有（ ），所以9（ ）（填"是"或"不是"）质数。 2.探究二：认识合数 （1）观察：4的因数有（ ），6的因数有（ ），它们的共同特点是（因数个数大于2）。 （2）定义：像4、6这样"除了1和它本身还有别的因数"的数叫做合数。 （3）举例验证： ①8的因数有（ ），所以8是（ ）数； ②12的因数有（ ），所以12是（ ）数； ③7的因数有（ ），所以7（ ）（填"是"或"不是"）合数。 3.探究三：认识1的特殊性 （1）思考：1的因数只有（ ）个，既不符合（ ）的定义（需要2个因数），也不符合（ ）的定义（需要2个以上因数）。 （2）结论：1既不是质数，也不是合数。 4.探究四：自然数的分类（按因数个数） （1）填写下表： 类别 因数个数特征 举例（各写3个） 质数 只有2个因数（1和本身） （ ）（ ）（ ） 合数 至少有3个因数 （ ）（ ）（ ） 1 只有1个因数 1 5.探究五：认识质因数 （1）观察：把12写成两个数相乘的形式 12=1×12；12=2×6；12=3×4；12=2×2×3 思考：哪些算式中的因数都是质数？（ ） （2）定义：像2、3这样既是质数又是某个数因数的数，叫做这个数的质因数。 （3）举例验证： ①15=3×5，3和5都是质数，所以3和5是15的（ ）。 ②18=2×9，2是质数，9是合数，所以9（ ）（填"是"或"不是"）18的质因数。 6.探究六：分解质因数的方法 （1）塔式分解法：把合数逐步分解成质数相乘的形式 例如：分解12 12 12=2×2×3 尝试分解：24 24=（ ）×（ ）×（ ）×（ ） （2）短除法：用质数作除数去除合数，直到商是质数为止 例如：分解18 18=2×3×3 尝试分解：30 30=（ ）×（ ）×（ ） 7.探究七：分解质因数的意义 （1）定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （2）注意：分解质因数时，因数必须都是质数，且算式是连乘形式。 三、预习试一试 1.在1~20的数中，找出所有质数：（ ）。 2.判断对错： ① 所有偶数都是合数（ ） ② 质数都是奇数（ ） ③ 1是最小的质数（ ） 3.用短除法分解质因数： 18=（ ） 30=（ ） 四、预习思考 质数与合数的分类标准是什么？和奇数、偶数的分类标准有什么不同？ 为什么分解质因数时除数必须是质数？ 生活中哪些问题可能用到质数（如密码设置、物品分组）？举例说明。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面说法错误的是（　　）。 A．在所有整数里，不是奇数就是偶数。 B．在自然数中，有无限多个质数，没有最大的质数。 C．一个数的倍数肯定大于它的因数。 D．边长是质数的正方形，它的面积一定不是质数。 【答案】C 【解析】解：选项A：按照奇偶性，整数分为奇数和偶数，该说法正确； 选项B：只有1和它本身两个因数的自然数叫作质数，因此，有无限个质数，没有最大的质数，该说法正确； 选项C：一个数的最大公因数和最小公倍数都是它本身，所以该说法错误； 选项D：正方形面积=边长×边长，两个质数的乘积因数有1，质数，积本身，所以面积一定不是质数，该说法正确。 故答案为：C。 【分析】按照奇偶性，整数分为奇数和偶数；只有1和它本身两个因数的自然数叫作质数；一个数的最大公因数和最小公倍数都是它本身；据此解答。 2．两个质数的积一定是一个（　　）。 A．质数 B．偶数 C．奇数 D．合数 【答案】D 【解析】解：两个质数的积一定是一个合数。 故答案为：D。 【分析】两个质数的积的因数一定有：1、这两个质数、他们的积，所以两个质数的积一定是一个合数。 3．一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长数一定是（　　）。 A．合数 B．奇数 C．质数 【答案】A 【解析】解：正方形的边长×4=这个正方形的周长；即质数×4一定是合数。 故答案为：A。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 4．最小质数与最小合数的和是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】解：2＋4=6 故答案为：C。 【分析】最小的质数是2，最小的合数是4，求和用加法计算。 5．（　　）÷3＝20……2，这个被除数（　　）。 A．不是3的倍数 B．是奇数 C．不是合数 D．能被5整除 【答案】A 【解析】解：这个数是20×3+2=62，不是3的倍数，是偶数，是合数，不能被5整除。 故答案为：A。 【分析】用商乘除数再加上余数求出被除数。然后判断被除数是不是3的倍数，是不是5的倍数，是偶数还是奇数，是合数还是质数。 6．校园的花坛里种了几行花，每行的棵树都相等，下面是几个小朋友数出来的总棵树，正确的是（　　）棵。 A．27 B．37 C．47 【答案】A 【解析】选项A中27是合数可以分解乘3乘以9，所以A正确。 选项B中37是质数，不能分解，所以B不正确。 选项C中47是质数，不能分解，所以C不正确。 故答案为：A。 【分析】每行棵数乘以行数=总棵树，总棵树必须是合数，据此可以作出判断。 7．如果a是合数，那么a的因数（　　）。 A．只有1个 B．共有2个 C．至少有3个 【答案】C 【解析】解：如果a是合数，那么a的因数至少有3个。 故答案为：C。 【分析】合数是指除了1和它本身外还有其他因数的数，据此作答即可。 8．下列各组数中，3个连续自然数都是合数的是（　　）。 A．7、8、9 B．2、3、4 C．14、15、16 D．9、10、11 【答案】C 二、判断题 9．两个合数的和一定也是合数。（　　） 【答案】错误 【解析】举例4+9=13，4是合数、9也是合数，但13不是合数，所以两个合数的和一定不一定是合数。 故答案为：错误。 【分析】一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 10．任意两个不同的非零自然数的乘积一定是合数。(　　) 【答案】错误 【解析】解：1×2=2，2是质数不是合数。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 11．成为互质数的两个数，一定是质数。 【答案】错误 【解析】互质数是最大公因数为1的两个数，这两个数不一定是质数，比如4和9互质，但是4和9都是合数。 故答案为：错误。 【分析】掌握互质数的概念：最大公因数为1的两个数。 12．任何两个自然数的积一定是合数。(　　) 【答案】错误 13．在1，2，3，4，5，6，……中，除了质数以外都是合数。（　　） 【答案】错误 【解析】解：1既不是质数也不是合数。 故答案为：错误。 【分析】根据题意可知非0的自然数，1既不是质数也不是合数，其余的数除了质数以外都是合数。 三、填空题 14．在 1—20 的自然数中，最小的奇数是　 　；最小的合数是　 　； 最小的质数是　 　。既是奇数又是合数的数是　 　。 【答案】1；4；2；9 【解析】解：在 1—20 的自然数中，最小的奇数是2；最小的合数是4；最小的质数是2。既是奇数又是合数的数是9，15。 故答案为：1；4；2；9，15。 【分析】奇数是不能被2整除的数；质数是只有1和本身两个因数的数；合数是除了1和本身外还有其它因数的数。 15．如果要让□629成为3的倍数，那么□里最小填　 　。要使1□是质数，□里可以填　 　。 【答案】1；1，3，7，9 【解析】解：6+2+9=17，要让□629成为3的倍数，□里最小填1； 要使1□是质数，□里可以填1，3，7，9。 故答案为：1；1，3，7，9。 【分析】第一空：3的倍数的特征是这个数的所有数位上的数字之和是3的倍数； 第二空：20以内的质数共有8个，分别是2、3、5、7、11、13、17、19。 16．一个三位数，百位上是最大的一位数，十位上素数也是偶数，个位上是最小的合数，这个三位数是　 　。 【答案】924 【解析】解：这个三位数是924。 故答案为：924。 【分析】最大的一位数是9；2既是素数又是偶数；最小的合数是4。据此作答即可。 17．在1、2、8、23、69、90中，奇数有　 　，偶数有　 　；质数有　 　，合数有　 　。 【答案】1、23、69；2、8、90；2、23；8、69、90 【解析】在1、2、8、23、69、90中，奇数有1、23、69，偶数有2、8、90，质数有2、23，合数有8、69、90。 故答案为：1、23、69；2、8、90；2、23；8、69、90。 【分析】奇数：不能被2整除的整数。 偶数：能够被2整除的整数。 质数：一个数只有1和它本身两个因数。 合数：一个数的因数除了1和它本身还有别的因数。 1既不是质数也不是合数。 18．在括号里填上适当的质数。 32＝　 　＋　 　 24＝　 　＋　 　 【答案】13；19；11；13 19．一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上的最小的奇数，这个三数是　 　。 【答案】142 【解析】解：一个三位数，它的个位上是最小的质数2，十位上是最小的合数4，百位上的最小的奇数1，这个三数是142。 故答案为：142。 【分析】质数是只有1和本身两个因数的数，最小的质数是2；合数是除了1和本身外还有其它因数的数，最小的合数是4；最小的奇数是1。从高位到低位写出这个数字即可。 20．在1、2、4、9、18、23、56、91中，奇数有　 　，偶数有　 　，质数有　 　，合数有　 　。 【答案】1、9、23、91；2、4、18、56；2、23；4、9、18、56、91 【解析】解：奇数有1、9、23、91； 偶数有2、4、18、56； 质数有2、23； 合数有4、9、18、56、91。 故答案为：1、9、23、91；2、4、18、56；2、23；4、9、18、56、91。 【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 21． 的分数单位是　 　，再加上　 　个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】；27 【解析】解：的分数单位是；4=，-=，再加上27个这样的分数单位就是最小的合数。 故答案为：；27。 【分析】一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一，分子是几，它就有几个这样的分数单位；最小的合数是4，据此解答。 四、计算题 22．按要求解答。 36和48（求最大公因数） 16、24和36（求最小公倍数） 182（分解质因数） 【答案】解：36=2×2×3×3，48=2×2×2×2×3，最大公因数是：2×2×3=12； 16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，36=2×2×3×3，最小公倍数是：2×2×2×2×3×3=144； 182＝2×7×13 【解析】【分析】把两个数或三个数分解质因数，把公有的质因数相乘就是它们的最大公因数；把公有的质因数和独有的质因数相乘就是它们的最小公倍数。把一个合数写成几个质数连乘的形式就是分解质因数。 23．用短除法把下面的合数分解质因数。 （1）24 （2）60 （3）57 （4）81 【答案】（1）解： 24=2×2×2×3 （2）解： 60=2×2×3×5 （3）解： 57=3×19 （4）解： 81=3×3×3×3 【解析】【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式是分解质因数，分解质因数用短除法。 24．分解质因数 （1）60 （2）75 （3）28 【答案】（1）60=2×2×3×5 （2）75=3×5×5 （3）28=2×2×7 【解析】【分析】把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 五、解决问题 25．果园里杏树的棵数是50以内的最大质数，梨树的棵数比杏树的2倍少10棵，梨树有多少棵？ 【答案】84棵 25．运动手环能记录运动的步数，帮助我们分析自己的运动效果。王叔叔每天早上都会戴着运动手环去公园锻炼，一天王叔叔锻炼回来发现自己的步数是一个四位数，千位上的数字既不是质数也不是合数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字既是偶数又是质数，个位上的数字既是奇数又是合数，王叔叔的步数是多少？ 【答案】1429 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13课 质数与合数 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过因数个数的对比，理解质数、合数的意义，能准确判断一个大于1的自然数是质数还是合数（如：7是质数，8是合数），知道“1既不是质数也不是合数”。 （2）认识质因数的概念，理解“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”，能区分因数与质因数的区别（如：6的因数有1,2,3,6，其中质因数是2和3）。 （3）掌握分解质因数的方法（如短除法），能将一个合数分解成质因数相乘的形式（如：12=2×2×3）。 （4）能综合运用质数、合数的特征解决简单问题，如找出100以内的质数，判断一个数是否为某个合数的质因数。 2.重难点 重点：理解质数、合数的意义，能准确判断质数与合数；掌握分解质因数的方法。 难点：区分质数、合数与奇数、偶数的概念；理解分解质因数的本质（将合数分解为质数的乘积）。 模块二 预习引导 一、旧知回顾 回顾因数的意义：如果a×b=c（a、b、c都是不为0的整数），那么a和b都是c的因数。 （1）写出下面各数的所有因数： 1的因数：（ ） 2的因数：（ ） 3的因数：（ ） 4的因数：（ ） 5的因数：（ ） 6的因数：（ ） （2）观察上面各数的因数个数，按因数个数从少到多排列：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 二、新知探究 1.探究一：认识质数 （1）观察：2的因数有（ ），3的因数有（ ），5的因数有（ ），它们的共同特点是（都只有2个因数）。 （2）定义：像2、3、5这样"只有1和它本身两个因数"的数叫做质数（或素数）。 （3）举例验证： ①7的因数有（ ），所以7是（ ）数； ②11的因数有（ ），所以11是（ ）数； ③9的因数有（ ），所以9（ ）（填"是"或"不是"）质数。 2.探究二：认识合数 （1）观察：4的因数有（ ），6的因数有（ ），它们的共同特点是（因数个数大于2）。 （2）定义：像4、6这样"除了1和它本身还有别的因数"的数叫做合数。 （3）举例验证： ①8的因数有（ ），所以8是（ ）数； ②12的因数有（ ），所以12是（ ）数； ③7的因数有（ ），所以7（ ）（填"是"或"不是"）合数。 3.探究三：认识1的特殊性 （1）思考：1的因数只有（ ）个，既不符合（ ）的定义（需要2个因数），也不符合（ ）的定义（需要2个以上因数）。 （2）结论：1既不是质数，也不是合数。 4.探究四：自然数的分类（按因数个数） （1）填写下表： 类别 因数个数特征 举例（各写3个） 质数 只有2个因数（1和本身） （ ）（ ）（ ） 合数 至少有3个因数 （ ）（ ）（ ） 1 只有1个因数 1 5.探究五：认识质因数 （1）观察：把12写成两个数相乘的形式 12=1×12；12=2×6；12=3×4；12=2×2×3 思考：哪些算式中的因数都是质数？（ ） （2）定义：像2、3这样既是质数又是某个数因数的数，叫做这个数的质因数。 （3）举例验证： ①15=3×5，3和5都是质数，所以3和5是15的（ ）。 ②18=2×9，2是质数，9是合数，所以9（ ）（填"是"或"不是"）18的质因数。 6.探究六：分解质因数的方法 （1）塔式分解法：把合数逐步分解成质数相乘的形式 例如：分解12 12 ├──2 └──6 ├──2 └──3 12=2×2×3 尝试分解：24 24 ├──（ ） └──（ ） ├──（ ） └──（ ） 24=（ ）×（ ）×（ ）×（ ） （2）短除法：用质数作除数去除合数，直到商是质数为止 例如：分解18 2│18 └──3│9 └──3 18=2×3×3 尝试分解：30 （ ）│30 └──（ ）│（ ） └──（ ） 30=（ ）×（ ）×（ ） 7.探究七：分解质因数的意义 （1）定义：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （2）注意：分解质因数时，因数必须都是质数，且算式是连乘形式。 三、预习试一试 1.在1~20的数中，找出所有质数：（ ）。 2.判断对错： ① 所有偶数都是合数（ ） ② 质数都是奇数（ ） ③ 1是最小的质数（ ） 3.用短除法分解质因数： 18=（ ） 30=（ ） 四、预习思考 质数与合数的分类标准是什么？和奇数、偶数的分类标准有什么不同？ 为什么分解质因数时除数必须是质数？ 生活中哪些问题可能用到质数（如密码设置、物品分组）？举例说明。 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面说法错误的是（　　）。 A．在所有整数里，不是奇数就是偶数。 B．在自然数中，有无限多个质数，没有最大的质数。 C．一个数的倍数肯定大于它的因数。 D．边长是质数的正方形，它的面积一定不是质数。 2．两个质数的积一定是一个（　　）。 A．质数 B．偶数 C．奇数 D．合数 3．一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长数一定是（　　）。 A．合数 B．奇数 C．质数 4．最小质数与最小合数的和是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 5．（　　）÷3＝20……2，这个被除数（　　）。 A．不是3的倍数 B．是奇数 C．不是合数 D．能被5整除 6．校园的花坛里种了几行花，每行的棵树都相等，下面是几个小朋友数出来的总棵树，正确的是（　　）棵。 A．27 B．37 C．47 7．如果a是合数，那么a的因数（　　）。 A．只有1个 B．共有2个 C．至少有3个 8．下列各组数中，3个连续自然数都是合数的是（　　）。 A．7、8、9 B．2、3、4 C．14、15、16 D．9、10、11 二、判断题 9．两个合数的和一定也是合数。（　　） 10．任意两个不同的非零自然数的乘积一定是合数。(　　) 11．成为互质数的两个数，一定是质数。 12．任何两个自然数的积一定是合数。(　　) 13．在1，2，3，4，5，6，……中，除了质数以外都是合数。（　　） 三、填空题 14．在 1—20 的自然数中，最小的奇数是　 　；最小的合数是　 　； 最小的质数是　 　。既是奇数又是合数的数是　 　。 15．如果要让□629成为3的倍数，那么□里最小填　 　。要使1□是质数，□里可以填　 　。 16．一个三位数，百位上是最大的一位数，十位上素数也是偶数，个位上是最小的合数，这个三位数是　 　。 17．在1、2、8、23、69、90中，奇数有　 　，偶数有　 　；质数有　 　，合数有　 　。 18．在括号里填上适当的质数。 32＝　 　＋　 　 24＝　 　＋　 　 19．一个三位数，它的个位上是最小的质数，十位上是最小的合数，百位上的最小的奇数，这个三数是　 　。 20．在1、2、4、9、18、23、56、91中，奇数有　 　，偶数有　 　，质数有　 　，合数有　 　。 21． 的分数单位是　 　，再加上　 　个这样的分数单位就是最小的合数。 四、计算题 22．按要求解答。 36和48（求最大公因数） 16、24和36（求最小公倍数） 182（分解质因数） 23．用短除法把下面的合数分解质因数。 （1）24 （2）60 （3）57 （4）81 24．分解质因数 （1）60 （2）75 （3）28 五、解决问题 25．果园里杏树的棵数是50以内的最大质数，梨树的棵数比杏树的2倍少10棵，梨树有多少棵？ 26．运动手环能记录运动的步数，帮助我们分析自己的运动效果。王叔叔每天早上都会戴着运动手环去公园锻炼，一天王叔叔锻炼回来发现自己的步数是一个四位数，千位上的数字既不是质数也不是合数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字既是偶数又是质数，个位上的数字既是奇数又是合数，王叔叔的步数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $