第11课 因数和倍数（导学案）四年级数学寒假自学课（青岛五四制）

第11课 因数和倍数的认识 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过具体情境和动手操作，理解因数和倍数的意义，掌握因数与倍数的相互依存关系，能准确表述两个数之间的因数和倍数关系。 （2）能正确找出一个数的所有因数和倍数，掌握找一个数因数和倍数的方法，提高数感和抽象思维能力。 （3）经历“观察—举例—归纳—验证”的探究过程，培养分析问题、解决问题的能力和初步的辩证思维能力。 （4）感受数学与生活的密切联系，体验数学学习的乐趣，培养学习数学的兴趣和合作探究精神。 2.重难点 重点：理解因数和倍数的意义，能正确找出一个数的因数和倍数。 难点：理解因数和倍数的相互依存关系，掌握找一个数因数和倍数的方法。 模块二 预习引导 一、知识回顾 1.乘法算式各部分名称： 在乘法算式中，相乘的两个数叫做因数，乘得的结果叫做积。 例如：3×4=12，3和4是因数，12是积。 2.除法算式各部分名称： 在除法算式中，除号前面的数叫做被除数，除号后面的数叫做除数，所得的结果叫做商。 例如：12÷3=4，12是被除数，3是除数，4是商。 3.整除的概念： 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 例如：12÷3=4，我们就说12能被3整除，3能整除12。 二、因数和倍数的意义 问题导入：在整数乘法和除法中，两个数之间存在着怎样的关系呢？ 1.因数和倍数的定义： 如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 例如：12÷3=4，我们就说12是3的倍数，3是12的因数；12÷4=3，12是4的倍数，4是12的因数。 2.相互依存关系： 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 例如：不能说12是倍数，3是因数，应该说12是3的倍数，3是12的因数。 三、找一个数的因数的方法 1.方法一：列乘法算式找。 根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，算式中的每个乘数都是这个数的因数。 例如：找12的因数，1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 2.方法二：列除法算式找。 用这个数除以大于或等于1而小于或等于它本身的整数，所得的商是整数而没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 例如：找18的因数，18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，18÷9=2，18÷18=1，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 四、找一个数的倍数的方法 1.方法： 用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积都是这个数的倍数。 例如：找3的倍数，3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12……所以3的倍数有3、6、9、12…… 2.倍数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 五、典型应用实例分析 例1：判断下面的说法是否正确。 （1）因为5×6=30，所以5和6是因数，30是倍数。（ ） 解析：因数和倍数是相互依存的，不能单独说5和6是因数，30是倍数，应该说5和6是30的因数，30是5和6的倍数。所以该说法错误。 （2）12的因数只有2、3、4、6、12。（ ） 解析：12的因数还有1，所以该说法错误。 （3）一个数的倍数一定比它的因数大。（ ） 解析：一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，所以一个数的倍数可能等于它的因数。该说法错误。 例2：找出24的所有因数和50以内8的倍数。 解析：找24的因数，列乘法算式：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，所以24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。 找50以内8的倍数，用8依次乘1、2、3、4、5、6：8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，8×6=48，8×7=56（56＞50，舍去），所以50以内8的倍数有8、16、24、32、40、48。 六、解题技巧总结 1.找因数的技巧： 从1开始，一对一对地找，避免遗漏。 例如：找36的因数，1和36、2和18、3和12、4和9、6和6，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 2.找倍数的技巧： 按顺序依次用这个数乘自然数，注意题目中是否有范围限制。 例如：找100以内15的倍数，15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60，15×5=75，15×6=90，15×7=105（105＞100，舍去），所以100以内15的倍数有15、30、45、60、75、90。 3.区分因数和倍数： 因数是有限的，倍数是无限的；一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 七、预习小任务 1.动手操作： 用12个同样大小的小正方形拼成不同的长方形，有几种拼法？每种拼法中长方形的长和宽分别是多少？记录下来，并说一说12的因数有哪些。 2.填空： （1）在18÷3=6中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 （2）一个数的最大因数是15，这个数是（ ），它的最小倍数是（ ）。 （3）20的因数有（ ），其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 （4）5的倍数有（ ）（写出5个），其中最小的倍数是（ ）。 3.判断对错： （1）1是所有非零自然数的因数。（ ） （2）一个数的因数一定比它的倍数小。（ ） （3）一个数越大，它的因数就越多。（ ） 4.解决问题： 一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数可能是多少？ 5.思考： 为什么说因数和倍数是相互依存的？在找一个数的因数和倍数时，要注意什么？ 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．若a=3b(a、b均为非零自然数)，则b一定是a的(　　)。 A．倍数 B．因数 C．最小公因数 D．质因数 2．一个自然数的最大因数与最小倍数的和是20，这个自然数是（　　） A．10 B．19 C．20 D．21 3．一个数，它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是（　　）。 A．6 B．18 C．36 4．下面（　　）的积可以根据“16×20=320”的积直接写出来。 A．160×20 B．20×19 C．12×60 5．一个乘数缩小10倍，另一个乘数扩大10倍，它们的积（　　）。 A．不变 B．变小 C．无法确定 6．如果a÷b＝5（a、b均不为0），那么（　　）。 A．a一定是b的倍数 B．a一定是b的因数 C．a可能是b的倍数 D．a可能是b的因数 二、判断题 7．因为48÷8=6，所以48是倍数，8是因数。(　　) 8．因为3×4＝12，所以3是因数，4是因数，而12是倍数。(　　) 9．小华骑自行车的速度是250米/分，求2小时行了多少米，列式为250×2。（　　） 10．450×20的积的末尾有2个零。（ ） 11．两个数相乘，两个乘数的末尾一共有几个0，积的末尾就有几个0（　　） 三、填空题 12．一辆汽车在高速公路上匀速行驶，1小时行驶了125千米，12小时行驶了　 　千米，25小时行驶了　 　千米。 13．205×17积的最高位是　 　位。 14．6的因数有1、2、3、6，且1＋2＋3＝6，像6这样的数叫“完全数”。那么35　 　完全数（填“是”或“不是”），理由是　 　。 15．在算式4×5＝20中，　 　和　 　是20的因数，20是　 　和　 　的倍数。 16．3×9＝27，27是　 　和　 　的倍数，　 　和　 　是27的因数。 17．在括号里填上合适的数字，使等式成立。 　 　×　 　=3600 　 　×　 　=4200 18．如果◎×□=250，那么(◎×2)×□=　 　； 如果○×□=200，那么○×(□×3)= 　 　。 四、解决问题 19．湖滨小区有一块长方形的草坪。如果将这块草坪的长增加5米，它的面积就会增加120平方米；如果将这块草坪的宽增加6米，它 的面积就会增加180平方米。原来这块草坪面积是多少平方米？（先在图上画一画，再作答） 20．桐桐和琪琪一共有68张卡片。桐桐比琪琪多10张。两人原来各有卡片多少张？ 21．六、二班的操场原来是一个正方形。扩建时，操场的一组对边各增加18米，这样操场的面积就增加了1080平方米。原来操场的面积是多少平方米？ 22．一个两层的书架，上层放的书本数是下层的3倍，如果把上层的书搬120本到下层，那么两层的书本数正好相等，上。下两层原来各有多少本书？ 23．把下面图所示的长方形，长增加5米，宽缩短3米后，它的面积是增加了，还是减少了？增加或减少了多少平方米？ 24．立新小学的校园是一个长方形，长80米，宽60米。今年扩建后，校园的长和宽都增加了20米（如下图所示）。现在的校园面积是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11课 因数和倍数 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过具体情境和动手操作，理解因数和倍数的意义，掌握因数与倍数的相互依存关系，能准确表述两个数之间的因数和倍数关系。 （2）能正确找出一个数的所有因数和倍数，掌握找一个数因数和倍数的方法，提高数感和抽象思维能力。 （3）经历“观察—举例—归纳—验证”的探究过程，培养分析问题、解决问题的能力和初步的辩证思维能力。 （4）感受数学与生活的密切联系，体验数学学习的乐趣，培养学习数学的兴趣和合作探究精神。 2.重难点 重点：理解因数和倍数的意义，能正确找出一个数的因数和倍数。 难点：理解因数和倍数的相互依存关系，掌握找一个数因数和倍数的方法。 模块二 预习引导 一、知识回顾 1.乘法算式各部分名称： 在乘法算式中，相乘的两个数叫做因数，乘得的结果叫做积。 例如：3×4=12，3和4是因数，12是积。 2.除法算式各部分名称： 在除法算式中，除号前面的数叫做被除数，除号后面的数叫做除数，所得的结果叫做商。 例如：12÷3=4，12是被除数，3是除数，4是商。 3.整除的概念： 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 例如：12÷3=4，我们就说12能被3整除，3能整除12。 二、因数和倍数的意义 问题导入：在整数乘法和除法中，两个数之间存在着怎样的关系呢？ 1.因数和倍数的定义： 如果整数a能被整数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 例如：12÷3=4，我们就说12是3的倍数，3是12的因数；12÷4=3，12是4的倍数，4是12的因数。 2.相互依存关系： 因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。 例如：不能说12是倍数，3是因数，应该说12是3的倍数，3是12的因数。 三、找一个数的因数的方法 1.方法一：列乘法算式找。 根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，算式中的每个乘数都是这个数的因数。 例如：找12的因数，1×12=12，2×6=12，3×4=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 2.方法二：列除法算式找。 用这个数除以大于或等于1而小于或等于它本身的整数，所得的商是整数而没有余数，这些除数和商都是这个数的因数。 例如：找18的因数，18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷6=3，18÷9=2，18÷18=1，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 四、找一个数的倍数的方法 1.方法： 用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积都是这个数的倍数。 例如：找3的倍数，3×1=3，3×2=6，3×3=9，3×4=12……所以3的倍数有3、6、9、12…… 2.倍数的特征： 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 五、典型应用实例分析 例1：判断下面的说法是否正确。 （1）因为5×6=30，所以5和6是因数，30是倍数。（ ） 解析：因数和倍数是相互依存的，不能单独说5和6是因数，30是倍数，应该说5和6是30的因数，30是5和6的倍数。所以该说法错误。 （2）12的因数只有2、3、4、6、12。（ ） 解析：12的因数还有1，所以该说法错误。 （3）一个数的倍数一定比它的因数大。（ ） 解析：一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，所以一个数的倍数可能等于它的因数。该说法错误。 例2：找出24的所有因数和50以内8的倍数。 解析：找24的因数，列乘法算式：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，所以24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。 找50以内8的倍数，用8依次乘1、2、3、4、5、6：8×1=8，8×2=16，8×3=24，8×4=32，8×5=40，8×6=48，8×7=56（56＞50，舍去），所以50以内8的倍数有8、16、24、32、40、48。 六、解题技巧总结 1.找因数的技巧： 从1开始，一对一对地找，避免遗漏。 例如：找36的因数，1和36、2和18、3和12、4和9、6和6，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 2.找倍数的技巧： 按顺序依次用这个数乘自然数，注意题目中是否有范围限制。 例如：找100以内15的倍数，15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60，15×5=75，15×6=90，15×7=105（105＞100，舍去），所以100以内15的倍数有15、30、45、60、75、90。 3.区分因数和倍数： 因数是有限的，倍数是无限的；一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 七、预习小任务 1.动手操作： 用12个同样大小的小正方形拼成不同的长方形，有几种拼法？每种拼法中长方形的长和宽分别是多少？记录下来，并说一说12的因数有哪些。 2.填空： （1）在18÷3=6中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 （2）一个数的最大因数是15，这个数是（ ），它的最小倍数是（ ）。 （3）20的因数有（ ），其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 （4）5的倍数有（ ）（写出5个），其中最小的倍数是（ ）。 3.判断对错： （1）1是所有非零自然数的因数。（ ） （2）一个数的因数一定比它的倍数小。（ ） （3）一个数越大，它的因数就越多。（ ） 4.解决问题： 一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数可能是多少？ 5.思考： 为什么说因数和倍数是相互依存的？在找一个数的因数和倍数时，要注意什么？ 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．若a=3b(a、b均为非零自然数)，则b一定是a的(　　)。 A．倍数 B．因数 C．最小公因数 D．质因数 【答案】B 【解析】解：a=3b可化为a÷b=3，则b一定是a的因数。 故答案为：B。 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 2．一个自然数的最大因数与最小倍数的和是20，这个自然数是（　　） A．10 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【解析】解：一个自然数的最大因数与最小倍数的和是20，这个自然数是20÷2=10。 故答案为：A。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，也就是一个数的最大因数和最小倍数相等，因此用20除以2即可求这个数。 3．一个数，它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是（　　）。 A．6 B．18 C．36 【答案】B 【解析】一个数，它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是18。 故答案为：B。 【分析】一个非零自然数，既是它自己本身的倍数，又是它自己本身的因数。 4．下面（　　）的积可以根据“16×20=320”的积直接写出来。 A．160×20 B．20×19 C．12×60 【答案】A 【解析】原题中一个因数由16变成160，另一个因数不变。 故答案为：A 【分析】一个因数变成原来的10倍，另一个因数不变，积变为原来积的10倍。 5．一个乘数缩小10倍，另一个乘数扩大10倍，它们的积（　　）。 A．不变 B．变小 C．无法确定 【答案】A 【解析】一个数除以10再乘10，这个数大小不变， 故答案为：A 【分析】两个数相乘，其中的因数缩小与扩大相同的倍数，积不变。 6．如果a÷b＝5（a、b均不为0），那么（　　）。 A．a一定是b的倍数 B．a一定是b的因数 C．a可能是b的倍数 D．a可能是b的因数 【答案】C 二、判断题 7．因为48÷8=6，所以48是倍数，8是因数。(　　) 【答案】错误 【解析】解：因为48÷8=6，所以48是8的倍数，8是48的因数。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。倍数和因数是相对的，不能单独说一个数是倍数或因数。 8．因为3×4＝12，所以3是因数，4是因数，而12是倍数。(　　) 【答案】错误 【解析】解：因为3×4＝12，所以3和4是12的因数，而12是3和4的倍数。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】因数和倍数都是相互的，不能说某个数是因数或倍数，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 9．小华骑自行车的速度是250米/分，求2小时行了多少米，列式为250×2。（　　） 【答案】正确 【解析】2小时=602分=120分， 250120=30000（米） 【分析】本题要注意前后单位要化统一。 10．450×20的积的末尾有2个零。（ ） 【答案】错误 【解析】45020=9000 末尾是三个0，故答案为：错误。 【分析】本题要注意52产生一个0. 11．两个数相乘，两个乘数的末尾一共有几个0，积的末尾就有几个0（　　） 【答案】错误 【解析】举例：5020=1000，故答案为：错误。 【分析】非0数乘积可能是0. 三、填空题 12．一辆汽车在高速公路上匀速行驶，1小时行驶了125千米，12小时行驶了　 　千米，25小时行驶了　 　千米。 【答案】1500；3125 【解析】12512=1500 12525=3125 【分析】速度时间=路程。 13．205×17积的最高位是　 　位。 【答案】千 【解析】 205×17 =3485，故答案为：千。 【分析】本题所示结果再回答题中的问题。 14．6的因数有1、2、3、6，且1＋2＋3＝6，像6这样的数叫“完全数”。那么35　 　完全数（填“是”或“不是”），理由是　 　。 【答案】不是；35的因数有1、5、7、35，1＋5＋7＜35 15．在算式4×5＝20中，　 　和　 　是20的因数，20是　 　和　 　的倍数。 【答案】4；5；4；5 16．3×9＝27，27是　 　和　 　的倍数，　 　和　 　是27的因数。 【答案】3；9；3；9 17．在括号里填上合适的数字，使等式成立。 　 　×　 　=3600 　 　×　 　=4200 【答案】60；60；60；70 【解析】6060=3600 或120×30=3600等 6070=4200 或 30×140=4200等 【分析】注意末尾带0数的乘法。 18．如果◎×□=250，那么(◎×2)×□=　 　； 如果○×□=200，那么○×(□×3)= 　 　。 【答案】500；600 【解析】 (◎×2)×□= (◎×□）2= 2502=500 ○×(□×3)=（ ○×□）×3= 200×3=600 【分析】本题重点运用乘法的交换律与结合律解决问题。 四、解决问题 19．湖滨小区有一块长方形的草坪。如果将这块草坪的长增加5米，它的面积就会增加120平方米；如果将这块草坪的宽增加6米，它 的面积就会增加180平方米。原来这块草坪面积是多少平方米？（先在图上画一画，再作答） 【答案】解：作图：略 原长方形的宽：120÷5=24（米） 原长方形的长：180÷6=30（米） 面积：24×30=720（平方米） 答：原来这块草坪面积是720平方米 【解析】 【分析】根据增加长后增加的面积5求出原长方形的宽 ，增加宽后增加的面积6求出 原长方形的长，原长方形的面积=长宽 20．桐桐和琪琪一共有68张卡片。桐桐比琪琪多10张。两人原来各有卡片多少张？ 【答案】解：琪琪：(68-10)÷2=29（张） 桐桐：29+10=39（张） 答：琪琪29张，桐桐39张 【解析】 【分析】（68-10）2表示桐桐的张数，再加10表示琪琪的张数。 21．六、二班的操场原来是一个正方形。扩建时，操场的一组对边各增加18米，这样操场的面积就增加了1080平方米。原来操场的面积是多少平方米？ 【答案】解：正方形的边长：a=1080÷18=60（米） 原来面积：60×60=3600（平方米） 答：原来操场的面积是3600平方米 【解析】【分析】增加的面积18求出原来正方形的边长，根据边长边长求出正方形的面积。 22．一个两层的书架，上层放的书本数是下层的3倍，如果把上层的书搬120本到下层，那么两层的书本数正好相等，上。下两层原来各有多少本书？ 【答案】解：下册：120本 上层：120×3=360本 答：上册360本，下册120本 【解析】【分析】下层加120=上层-120，上层=下层+240，240（3-1）=120（本）为下层书，上层为1203=360（本）。 23．把下面图所示的长方形，长增加5米，宽缩短3米后，它的面积是增加了，还是减少了？增加或减少了多少平方米？ 【答案】解：原来面积：15×10=150（平方米） 变化后的面积：（15+5）×（10-3）=140（平方米） 缩小了 缩小了：150-140=10（平方米） 答：缩小了10平方米 【解析】 【分析】长方形的面积=长宽，缩小的面积=原来长方形的面积-变化后长方形的面积。 24．立新小学的校园是一个长方形，长80米，宽60米。今年扩建后，校园的长和宽都增加了20米（如下图所示）。现在的校园面积是多少平方米？ 【答案】解：（80+20）×（60+20）=80000（平方米） 答：现在的校园面积是80000平方米 【解析】 【分析】长方形的面积=长宽，根据增加后的长方形的长与宽求出面积 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $