第2单元 生活中的多边形——多边形的面积（知识清单）数学青岛版五四制四年级下册

第2单元 生活中的多边形——多边形的面积 单元知识清单 一、面积的意义与常用单位 1.面积的定义：物体表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。 2.常用面积单位： 较小单位：平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²） 较大单位：公顷（hm²）、平方千米（km²） 3.单位换算： 1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米（相邻两个小单位间进率是100） 1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷=1000000平方米 二、基本图形的面积公式及推导 1. 平行四边形的面积 公式：平行四边形面积=底×高（字母表示： ， 为底， 为对应底上的高） 推导过程：通过“割补法”将平行四边形转化为长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，因此面积相等（长方形面积=长×宽→平行四边形面积=底×高）。 2. 三角形的面积 公式：三角形面积=底×高÷2（字母表示： ， 为底， 为对应底上的高） 推导过程：用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底=三角形的底，平行四边形的高=三角形的高，因此三角形面积=平行四边形面积÷2（即底×高÷2）。 3. 梯形的面积 公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2（字母表示： ， 为上底， 为下底， 为高） 推导过程：用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底=梯形的（上底+下底），平行四边形的高=梯形的高，因此梯形面积=平行四边形面积÷2（即（上底+下底）×高÷2）。 三、组合图形的面积计算 1.定义：由两个或两个以上基本图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等）组合而成的图形。 2.计算方法： 分割法：将组合图形分割成几个基本图形，分别计算面积后相加。 添补法：用一个大图形面积减去补上去的小图形面积（适用于“缺角”图形）。 3.步骤：①确定分割/添补方案；②找出各基本图形的底、高、边长等条件；③代入公式计算并求和或求差。 四、不规则图形的面积估算 1.方法：数方格法（每个小方格面积已知，如1cm²）。 满格按1格计算，不满格按半格计算（或根据实际情况估算）。 先数满格数，再数不满格数，估算总面积=满格数×1 + 不满格数×0.5。 五、实际应用与解决问题 1.常见场景：计算土地面积（如农田、操场）、铺地砖数量、不规则物体表面面积等。 2.解题关键： 明确所求图形的类型，选择对应面积公式； 统一单位（如题目中单位不一致时，先换算成相同单位）； 结合生活实际，灵活运用分割/添补法解决组合图形问题。 3.示例：一块梯形菜地，上底8米，下底12米，高5米，面积是多少？ 解： （平方米） 六、易错点提示 1.公式混淆：三角形和梯形面积公式中易忘记“÷2”；平行四边形面积需用“对应的底和高”（底和高必须垂直）。 2.单位换算错误：公顷与平方米、平方千米与公顷的进率易记混（1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷）。 3.组合图形分割不当：分割时需确保各基本图形的条件（底、高、边长）可直接获取，避免出现未知条件。 4.计算粗心：涉及小数或较大数值时，注意运算顺序和准确性（如“先乘除后加减”）。 题型一：平行四边形面积的计算 【例1】一个平行四边形的底和高分别扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】平行四边形的面积＝底×高；假设平行四边形原本的底是4厘米，高是2厘米，扩大后的底是12厘米，高是6厘米，分别计算出原本的面积和扩大后的面积，即可算出面积扩大到原来的几倍。据此解答。 【详解】假设平行四边形原本的底是4厘米，高是2厘米，扩大后的底是12厘米，高是6厘米。 原本面积：4×2＝8（平方厘米） 扩大后面积：12×6＝72（平方厘米） 72÷8＝9 一个平行四边形的底和高分别扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的9倍。 故答案为：C 【练1】图中，平行四边形的面积与长方形的面积相比较（    ）。 A．一样大 B．长方形的面积大 C．平行四边形的面积大 【答案】B 【分析】已知平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，如果平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高小于长方形的宽，则长方形的面积大于平行四边形的面积，据此解答。 【详解】由分析可知，图中，平行四边形的底与长方形的长相等，平行四边形的高小于长方形的宽，所以平行四边形的面积与长方形的面积相比较，长方形面积大。 故答案为：B 题型二：平行四边形面积的应用 【例2】一块平行四边形桃园，底是60米，高是21米，平均每棵桃树占地9平方米，这块地能种多少棵桃树？ 【答案】140棵 【分析】根据题意，可利用平行四边形的面积＝底×高计算出这块平行四边形地的面积，然后再用平行四边形的面积除以每棵树占的面积9平方米即可得到答案。 【详解】60×21÷9 ＝1260÷9 ＝140（棵） 答：这块地一共可栽桃树140棵。 【练2】用4根木条钉成一个长方形（如下左图），把它拉成平行四边形（如下右图），面积比原来减少了10平方厘米，这个平行四边形的高是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】根据题意可知，长方形的长是10厘米，宽是5厘米，用长×宽求出长方形面积；再根据“拉成平行四边形后，面积比原来减少了10平方厘米”，用长方形面积减去10平方厘米，求出平行四边形面积；把长方形拉成平行四边形后，平行四边形的底和长方形的长相等，用平行四边形的面积÷平行四边形的底可以求出平行四边形的高。 【详解】10×5＝50（平方厘米） 50－10＝40（平方厘米） 40÷10＝4（厘米） 答：这个平行四边形的高是4厘米。 题型三：利用平移法求平行四边形的面积 【例3】林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 【答案】152平方米 【分析】将石子路两侧的种菜区域向中间平移，能拼成一个新的平行四边形。用原平行四边形的底减去石子路的底即可求出新平行四边形的底，即20－1＝19米；新平行四边形的高与原平行四边形的高相同，为8米；最后根据“平行四边形的面积＝底×高”即可求出种菜的面积。据此解答。 【详解】（20－1）×8 ＝19×8 ＝152（平方米） 答：种菜的面积是152平方米。 【练3】“墙角数枝梅，凌寒独自开”出自王安石的《梅花》。李叔叔居住的小区有一个近似平行四边形的梅花园，园中有一条小路，每到梅花盛开时节，李叔叔都会和家人一同去赏梅。如果每株梅花占地0.8平方米，那么这个梅园大约有梅花多少株？ 【答案】250株 【分析】把小路两侧的种植区域向中间平移，消除中间的小路部分，拼接形成一个新的平行四边形，它的高和原梅园一致，还是10米，底比原梅园减少了1米，为21－1＝20 米，然后根据“平行四边形面积＝底×高”求出实际种植梅花的面积；最后用实际面积除以每株梅花占地面积0.8平方米，即可得到梅花株数。据此解答。 【详解】（21－1）×10 ＝20×10 ＝200（平方米） 200÷0.8＝250（株） 答：这个梅园大约有梅花250株。 题型四：三角形面积的计算 【例4】一个三角形的底边长16米，如果底延长4米，高不变，那么面积就增加18平方米。原来三角形的面积是多少平方米？ 【答案】72平方米 【分析】已知底延长4米后，面积就增加了18平方米，根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形的高；因为高不变，再利用求出的高和原来三角形的底边长计算原来三角形的面积。 【详解】18×2÷4 ＝36÷4 ＝9（米） 16×9÷2 ＝144÷2 ＝72（平方米） 答：原来三角形的面积是72平方米。 【练4】王华标出了三角形底边的中点M，连接顶点和M后得到两个小三角形A和B（如图），这两个小三角形的面积相比，（    ）。 A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定 【答案】C 【分析】M是三角形底边的中点，因此小三角形A和B的底边长度相等。同时，A和B共有一条高，即从原三角形顶点到底边的垂直距离。 【详解】根据三角形的面积＝底×高÷2，因为三角形A和B的底和高都相等，因此它们的面积也相等。 故答案为：C 题型五：三角形面积的应用 【例5】一个三角形与一个平行四边形的面积相等。平行四边形的面积是35平方厘米，三角形的高是7厘米，底是( )厘米。 【答案】10 【分析】根据题意，明确三角形的面积＝底×高÷2，根据三角形面积公式的逆运算，三角形的底＝面积×2÷高，代入数据解答即可。 【详解】根据分析可知： 35×2÷7 ＝70÷7 ＝10（厘米） 一个三角形与一个平行四边形的面积相等。平行四边形的面积是35平方厘米，三角形的高是7厘米，底是10厘米。 【练5】一块三角形广告牌的正反两面需要刷油漆，底长7.2分米，高是7.5分米，平均每平方分米需要油漆0.15千克，刷这块广告牌需要多少千克油漆？ 【答案】8.1千克 【分析】已知一块三角形广告牌的正反两面需要刷油漆，底长7.2分米，高是7.5分米，根据三角形的面积＝底×高÷2，先算出这块三角形广告牌的面积，由于正反两面需要刷油漆，因此用求出的这块三角形广告牌的面积乘2，即可求出需要刷油漆的面积，再乘平均每平方分米需要油漆的质量，即可求出刷这块广告牌需要多少千克油漆。据此解答。 【详解】7.2×7.5÷2×2 ＝54÷2×2 ＝54（平方分米） 54×0.15＝8.1（千克） 答：刷这块广告牌需要8.1千克油漆。 题型六：平行线间三角形的面积问题 【例6】如图：上下两条线互相平行，已知平行四边形和梯形的面积都是30平方厘米，那么三角形的面积是( )平方厘米，梯形的上底是( )厘米。 【答案】 15 4 【分析】根据平行线间的距离处处相等可以得出平行四边形的高等于其他几个图形的高，平行四边形的面积除以平行四边形的底边长等于平行四边形的高，即平行线间的距离，也就是其他图形的高，再根据三角形和梯形的面积公式，三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可求出三角形的面积和梯形的上底。 【详解】30÷5＝6（厘米） 5×6÷2 ＝30÷2 ＝15（平方厘米） 30×2÷6－6 ＝60÷6－6 ＝10－6 ＝4（厘米） 三角形的面积是15平方厘米，梯形的上底是4厘米。 【练6】下图中平行四边形的面积是18cm2，三角形的面积是( )cm2，三角形的高是( )cm。 【答案】 9 6 【分析】等底等高的三角形面积是平行四边形的面积的一半，用18除以2即可求出三角形的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2，可知高＝三角形的面积×2÷底，已知三角形的底为3cm，代入数据，即可求出三角形的高，据此列式计算即可解答。 【详解】18÷2＝9（cm2） 9×2÷3 ＝18÷3 ＝6（cm） 即题图中平行四边形的面积是18cm2，三角形的面积是9cm2，三角形的高是6cm。 题型七：梯形面积的计算 【例7】一个梯形的面积是100平方米，上底和下底之和是25米，它的高是( )米。 【答案】8 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，梯形的面积×2÷上底和下底之和就是梯形的高。 【详解】100×2÷25 ＝200÷25 ＝8（米） 一个梯形的面积是100平方米，上底和下底之和是25米，它的高是8米。 【练7】王爷爷用60米长的篱笆靠墙围了一个梯形菜地（如下图）。求这块菜地的占地面积。 【答案】400平方米 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，可知这块梯形是直角梯形，其高是20米，又梯形的周长是60米，所以其上底＋下底＋高＝60米，据此可以得出上底＋下底的和，从而进一步可以计算出这块菜地的占地面积。 【详解】上底＋下底＋高＝60（米） 上底＋下底＝60－高＝60－20＝40（米） 菜地面积＝（上底＋下底）×高÷2 ＝40×20÷2 ＝800÷2 ＝400（平方米） 答：这块菜地的占地面积是400平方米。 题型八：梯形面积的应用 【例8】白菜营养丰富，素有“菜中之王”的美称。张叔叔有一个白菜园（如图），如果每平方米种4棵白菜，张叔叔的白菜园一共可以种多少棵白菜？ 【答案】696棵 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，根据梯形面积公式求出白菜园面积，再用白菜园面积乘4求出白菜园一共可以种多少棵白菜；据此解答。 【详解】白菜园面积：（8＋21）×12÷2 ＝29×12÷2 ＝348÷2 ＝174（平方米） 白菜数量：174×4＝696（棵） 答：张叔叔的白菜园一共可以种696棵白菜。 【练8】国际海事信号旗是国际共通的通信旗帜，由40面旗子组成，每面旗子的形状和大小如图所示。制作40面这样的旗子至少需要多少平方米布料？ 【答案】5.4平方米 【分析】由图可知，旗子的形状为梯形，根据梯形面积公式：（上底＋下底）×高÷2；由此计算出制作40面这样的旗子至少需要多少平方米布料，1平方米＝10000平方厘米，将单位进行换算即可。 【详解】（6＋30）×75÷2 ＝36×75÷2 ＝1350（平方厘米） 1350×40＝54000（平方厘米） 54000平方厘米＝5.4平方米 答：制作40面这样的旗子至少需要5.4平方米布料。 题型九：与梯形相关的重叠问题 【例9】如图，一个平行四边形和一个长方形等底等高，重叠部分为三角形甲。梯形乙和梯形丙的面积相比（    ）。 A．乙的面积大 B．丙的面积大 C．乙和丙的面积一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据题图可知，梯形乙的面积＝长方形的面积－三角形甲的面积，梯形丙的面积＝平行四边形的面积－三角形甲的面积；根据长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，根据题图和已知条件平行四边形和长方形等底等高，根据题图可知，长方形的宽也就是平行四边形的底，长方形的长也就是平行四边形的高，因此长方形的面积＝平行四边形的面积，因此梯形乙和梯形丙的面积一样大；据此判断选择。 【详解】题图中平行四边形和长方形等底等高，因此长方形的面积＝平行四边形的面积 又因为梯形乙的面积＝长方形的面积－三角形甲的面积 梯形丙的面积＝平行四边形的面积－三角形甲的面积 所以梯形丙的面积＝又因为梯形乙的面积 故答案为：C 【练9】王大爷家的菜地是由两个完全一样的等腰直角三角形重叠而成的一个不规则图形菜地，其中③号菜地面积是（    ）。 A．10平方米 B．20平方米 C．42平方米 D．40平方米 【答案】C 【分析】根据题意可知，两个完全一样的等腰直角三角形重叠而成的一个不规则菜地，由此可知，③号菜地的面积＝三角形面积－②号菜地的面积；①号菜地的面积＝三角形面积－②号菜地的面积，所以③号菜地面积＝①号菜地的面积，①号菜地的面积＝上底是（10－6）米，下底是10米，高是10－（10－6）米的梯形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此求出③号面积。 【详解】（10－6＋10）×[10－（10－6）]÷2 ＝（4＋10）×[10－4]÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（平方米） ③号菜地的面积是42平方米。 故答案为：C 题型十：公顷、平方千米的认识 【例10】下面4个选项中，占地面积最接近1公顷的地方是（    ）。 A．大明湖公园的占地面积 B．1间教室的占地面积 C．青岛市区的占地面积 D．1个操场的占地面积 【答案】D 【分析】1公顷是边长100米的正方形面积的大小，1公顷＝10000平方米；我家的住房面积大约有100平方米，100套这样的住房面积大约是1公顷；再根据生活经验，进行判断。 【详解】A．大明湖公园是较大的公共场所，面积远大于1公顷； B．1间教室的占地面积一般在几十平方米，远小于1公顷； C．青岛市区是一个大城市，面积非常大，远超1公顷。 D．1个操场的面积，通常学校操场面积大约在几千到一万多平方米，最接近1公顷。 故答案为：D 【练10】在括号里填上合适的面积单位。 “泉城”济南是山东省省会，面积为10244( )，“泉城”的著名景点趵突泉公园占地面积约为11( )，其中“天下第一泉”趵突泉泉池面积为600( )。 【答案】 平方千米/km2 公顷/hm2 平方米/m2 【分析】常用的面积单位有平方厘米，平方分米，平方米。我们知道，指甲盖的面积大约1平方厘米，手掌的面积大约1平方分米，一块地板砖的面积大约1平方米。计量比较大的土地面积，可以用公顷和平方千米作单位。边长是100米的正方形的面积为1公顷，边长是1千米的正方形的面积为1平方千米。平方米常用于建筑面积、房屋面积等的描述；计量较大的土地的面积，可以用公顷或平方千米为单位，其中公顷常用于大型体育场馆、大型公园等的占地面积描述。平方千米常用于城市面积、国家面积等的描述。据此解答。 【详解】“泉城”济南是山东省省会，面积为10244平方千米，“泉城”的著名景点趵突泉公园占地面积约为11公顷，其中“天下第一泉”趵突泉泉池面积为600平方米。 题型十一：公顷、平方千米的进率与换算 【例11】在括号里填上适当的数。 250千克＝( )吨    30平方分米＝( )平方米 45分＝( )时     20公顷＝( )平方千米 【答案】 0.25 0.3 0.75 0.2 【分析】低级单位千克化高级单位吨除以进率1000 低级单位平方分米化高级单位平方米除以进率100 低级单位分化高级单位时除以进率60 低级单位公顷化高级单位平方千米除以进率100 【详解】250千克＝0.25吨； 30平方分米＝0.3平方米； 45分＝0.75时； 20公顷＝0.2平方千米。 【练11】6.5公顷＝( )平方米        1000公顷＝( )平方千米 305平方分米＝( )平方米      1000平方千米＝( )公顷 【答案】 65000 10 3.05 100000 【分析】本题主要考查面积单位之间的换算，需根据单位间的进率进行乘或除的运算。1公顷＝10000平方米，100公顷＝1平方千米，1平方米＝100平方分米。 【详解】1公顷＝10000平方米，所以6.5公顷＝65000平方米； 100公顷＝平方千米，1000里有10个100，所以1000公顷＝10平方千米； 1平方米＝100平方分米，1平方分米等于0.01平方米，300平方分米等于3平方米，5平方分米等于0.05平方米，合起来就是3.05平方米； 根据1平方千米＝100公顷，1000平方千米等于1000个100公顷，即100000公顷，所以1000平方千米＝100000公顷。 题型十二：公顷、平方千米的实际问题 【例12】一块长方形麦田，长600米，宽400米，如果这块麦田共收小麦168吨，这块麦田平均每公顷收小麦多少吨？ 【答案】 7吨 【分析】根据题意可知，首先要求长方形麦田的面积，根据“长方形面积＝长×宽”计算，再根据“1公顷＝10000平方米”，把面积换算成以公顷为单位，再用麦田收小麦的吨数除以麦田的面积，即可求出这块麦田平均每公顷收小麦多少吨。 【详解】600×400＝240000（平方米） 1公顷＝10000平方米，因此240000平方米＝24公顷。 168÷24＝7（吨） 答：这块麦田平均每公顷收小麦7吨。 【练12】一辆洒水车工作时每分行驶200米，洒水宽度为10米。这辆洒水车行驶1时，洒水的面积是多少平方米？合多少公顷？ 【答案】120000平方米，合12公顷 【分析】先算出洒水车1小时（也就是60分钟）行驶的长度，该长度和洒水宽度构成的长方形的面积就是洒水面积，最后进行单位的换算即可（从大单位往小单位化，除以进率）。 1时＝60分，1公顷＝10000平方米，长方形的面积＝长×宽。 【详解】1时＝60分 200×60＝12000（米） 12000×10＝120000（平方米） 1公顷＝10000平方米 120000÷10000＝12（公顷） 答：这辆洒水车行驶1时，洒水的面积是120000平方米，合12公顷。 题型十三：含多边形的组合图形的面积 【例13】求下面图形面积（单位：cm）。 【答案】80cm2 【分析】这个图形可以如下图分成一个正方形和一个梯形，正方形的边长是4cm，梯形的上底为10－4＝6（cm），下底为10cm，高为4＋4＝8（cm），正方形面积＝边长×边长，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数字进行计算，再将两部分面积相加即可。 【详解】4×4＝16（cm2） 10－4＝6（cm） 4＋4＝8（cm） （6＋10）×8÷2 ＝16×8÷2 ＝128÷2 ＝64（cm2） 64＋16＝80（cm2） 答：图形面积为80cm2。 【练13】求出下面图形的面积。 【答案】98平方厘米 【分析】由图可知，这个图形是一个不规则图形，它是由一个梯形、一个平行四边形和一个三角形组成的，它的面积也等于这三部分的面积之和。梯形的上底是6厘米，下底是10厘米，高是3厘米，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，直接将数据代入可以算出梯形的面积；平行四边形的底是10厘米，高是5厘米，平行四边形的面积＝底×高÷2，直接将数据代入可以算出平行四边形的面积；三角形的底是8厘米，高是6厘米，三角形的面积＝底×高÷2，直接将数据代入可以算出三角形的面积。最后把几部分的面积相加即可算出整个图形的面积。 【详解】（6＋10）×3÷2 ＝16×3÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 10×5＝50（平方厘米） 8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 24＋50＋24 ＝74＋24 ＝98（平方厘米） 故整个图形的面积是98平方厘米。 题型十四：求组合图形中阴影部分的面积 【例14】按要求解答。 求涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】1368cm2 【分析】用大梯形的面积减去空白部分平行四边形的面积，就是阴影部分的面积。平行四边形的面积＝底×高；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【详解】（40＋90）×24÷2－8×24 ＝130×24÷2－8×24 ＝3120÷2－192 ＝1560－192 ＝1368（cm2） 【练14】求阴影部分面积（单位：cm）。 【答案】12 cm2；7.7 cm2 【分析】第一个阴影部分面积是两个直角三角形的面积和，根据三角形面积＝底×高÷2计算，其中一个三角形底是5cm，高是3cm；另一个三角形底是3cm，高是3cm。 第二个阴影部分面积是平行四边形面积减空白部分三角形面积，根据平行四边形面积＝底 ×高计算，其中平行四边形底是2.8cm，高是4cm；三角形底是2.8cm，高是4－1.5＝2.5 cm。 【详解】第一个图形阴影面积： 5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（cm2） 3×3÷2 ＝9÷2 ＝4.5（cm2） 7.5＋4.5＝12（cm2） 第二个图形阴影面积： 2.8×4＝11.2（cm2） 2.8×（4－1.5）÷2 ＝2.8×2.5÷2 ＝7÷2 ＝3.5（cm2） 11.2－3.5＝7.7（cm2） 1．（如图）平行四边形内部最大的涂色三角形，它的面积与空白部分的面积相比较（    ）。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】C 【分析】在平行四边形内部画一个最大的三角形，这个三角形的底与平行四边形的底相等，三角形的高与平行四边形的高也相等。平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，那么三角形的面积就是平行四边形的，据此解答即可。 【详解】因为三角形的面积就是平行四边形的，所以它的面积等于空白部分的面积。 故答案为：C 2．如图所示，用硬纸条制作成一个长方形的框架，长20cm，宽16cm，再把它拉成一个平行四边形。下面关于两个图形变化前后周长和面积的表述，正确的是（    ）。 A．变化前后两个图形的周长始终不变 B．变化前后两个图形的面积始终不变 C．变化后图形的周长比变化前的长 D．变化后图形的面积比变化前的大 【答案】A 【分析】把一个长方形框架拉成平行四边形后，每条边的长度不变，长方形和平行四边形的周长都是四条边的长度和；长方形的长＝平行四边形的底，长方形的宽＞平行四边形的高，长方形面积＝长×宽，平行四边形面积＝底×高，因此长方形面积＞平行四边形面积，据此分析。 【详解】A．变化前后两个图形的周长始终不变，说法正确； B．根据分析，长方形面积＞平行四边形面积，变化前后两个图形的面积不一样，说法错误； C．变化后图形的四条边长度一样，周长不变，说法错误； D．长方形面积＞平行四边形面积，变化后图形的面积比变化前的小，说法错误。 故答案为：A 3．如图所示，一个梯形被对角线分成四部分，每部分的面积分别是S①、S②、S③、S④。下面表述正确的是（    ）。 A．S①＝S② B．S①＝S④ C．S②＝S③ D．S②＝S④ 【答案】D 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，分析各选项三角形的底和高是否同一条，底和高一样，面积也会一样，据此解答。 【详解】A．S①和S②是两个等高的三角形，但底边不等长，所以面积不等； B．S①和S④是两个等高的三角形，但底边不等长，所以面积不等； C．S②和S③是两个等高的三角形，但底边不等长，所以面积不等； D．S②和S④分别加上S③为：S②＋S③和S④＋S③，S②＋S③和S④＋S③组成的两个三角形的底分别都是梯形的下底，高分别为梯形的高，即等底等高，所以S②＋S③＝S④＋S③，即S②和S④面积相等。 故答案为：D 【点睛】本题难点主要在于分析两个部分面积是否等底等高。 4．图中平行四边形的面积是60平方厘米，M是底边中点，那么阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．30 B．20 C．15 D．36 【答案】C 【分析】在图中添加字母A、B、C，如图： 三角形ABC的面积等于平行四边形面积的一半；又因为M是底边中点，所以阴影部分的三角形面积又是三角形ABC的面积的一半，据此解答。 【详解】60÷2÷2 ＝30÷2 ＝15（平方厘米） 阴影部分的面积是15平方厘米； 故答案为：C 5．如图，涂色梯形的面积是108平方厘米，图中平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．14 B．54 C．96 D．108 【答案】C 【分析】根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，求出梯形的高，也就是平行四边形的高，再根据平行四边形的面积公式S ＝a×h，代入数值，即可解答。 【详解】解：设梯形的高为h。 （10＋8）×h÷2＝108 18×h÷2＝108 9×h＝108 9h÷9＝108÷9 h＝12（厘米） 平行四边形的面积： 8×12＝96（平方厘米） 涂色梯形的面积是108平方厘米，图中平行四边形的面积是96平方厘米。 故答案为：C 6．已知图中一组平行线内的三角形面积是96cm2，平行四边形面积是( )cm2。 【答案】112 【分析】观察图形可知，平行线之间的距离处处相等，所以这两个图形的高都相等，三角形的底边长为12cm，平行四边的底边为7cm；根据三角形的面积＝底×高÷2，可知高＝三角形的面积×2÷底，代入数据，即可求出三角形的高；再根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据，即可求出平行四边形的面积。 【详解】96×2÷12 ＝192÷12 ＝16（cm） 16×7＝112（cm2） 即已知图中一组平行线内的三角形面积是96cm2，平行四边形面积是112cm2。 7．一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积小132cm2，这个三角形的面积是( )cm2。 【答案】132 【分析】三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高，所以等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。两者面积差即为三角形的面积，由此可直接求解。 【详解】根据分析，两者面积差即为三角形的面积，两者面积差为132cm2，所以这个三角形的面积是132 cm2。 8．如图是一个平行四边形（单位：cm），与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】5.25 【分析】平行四边形的面积等于底乘底边对应的高，与它等底等高的三角形的面积＝底×高÷2，代入数字计算即可。 【详解】3×3.5÷2 ＝10.5÷2 ＝5.25（平方厘米） 所以与它等底等高的三角形的面积是5.25平方厘米。 9．（如图）用割补法将梯形转化为三角形，梯形面积是30平方米，高6米，三角形底边长( )米。 【答案】10 【分析】根据题意可知，用割补的方法将梯形转化成三角形，梯形面积与三角形面积相等，且高相等；求转化后三角形的底，根据公式：底＝三角形的面积×2÷高，计算即可解答。 【详解】30×2÷6 ＝60÷6 ＝10（米） 那么转化后三角形的底边长是10米。 10．如图所示，一个梯形的下底是上底的3倍，高是上底的2倍，如果将上底延长8厘米，就成了一个平行四边形，这个梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】64 【分析】平行四边形对边平行且相等。一个梯形的下底是上底的3倍，高是上底的2倍，如果将上底延长8厘米，就成了一个平行四边形，则用8除以2可求出梯形的上底，用上底的长度乘3求出梯形的下底，用上底的长度乘2求出梯形的高，再根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2求出这个梯形的面积是多少；据此解答。 【详解】上底：8÷2＝4（厘米） 下底：4×3＝12（厘米） 高：4×2＝8（厘米） 面积：（4＋12）×8÷2 ＝16×8÷2 ＝128÷2 ＝64（平方厘米） 所以这个梯形的面积是64平方厘米。 11．8.02平方千米＝( )公顷       90.05公顷＝( )公顷( )平方米 【答案】 802 90 500 【分析】1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，把高级单位换算成低级单位，就乘单位间的进率。把低级单位换算成高级单位，就除以单位间的进率。 【详解】8.02平方千米＝（8.02×100）公顷＝802公顷 90.05公顷＝90公顷＋（0.05×10000）平方米＝90公顷＋500平方米＝90公顷500平方米 12．两个完全一样的三角形可以拼成一个( )，拼成图形的面积是原三角形面积的( )倍。 【答案】 平行四边形 2 【分析】根据题意作图如下： 由图可知，两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的面积等于两个三角形的面积，所以拼成图形的面积是原三角形面积的2倍。 【详解】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成图形的面积是原三角形面积的2倍。 13．平行四边形的底是2.5米，高是1.2米，面积是( )平方米，和它等底等高的三角形面积是( )平方米。 【答案】 3 1.5 【分析】平行四边形的面积＝底×高，所以用2.5×1.2即可计算出平行四边形的面积；三角形与此平行四边形等底等高，三角形面积＝底×高÷2，据此用2.5×1.2÷2即可。 【详解】2.5×1.2＝3（平方米） 2.5×1.2÷2 ＝3÷2 ＝1.5（平方米） 平行四边形的底是2.5米，高是1.2米，面积是3平方米，和它等底等高的三角形面积是1.5平方米。 14．一个平行四边形的面积是15平方分米，从这个平行四边形中剪下一个最大的三角形，剩下的面积是( )平方分米。 【答案】7.5 【分析】从平行四边形中剪下一个最大的三角形，这个最大的三角形是与平行四边形等底等高的；根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，可知，从平行四边形中剪下一个最大的三角形的面积等于平行四边形的面积的一半，剪去最大三角形后剩下的面积也是平行四边形的一半；已知这个平行四边形的面积是15平方分米，则用15除以2，即可求出从平行四边形中剪下一个最大的三角形的面积，也就是剪去最大三角形后剩下的面积。 【详解】15÷2＝7.5（平方米） 即一个平行四边形的面积是15平方分米，从这个平行四边形中剪下一个最大的三角形，剩下的面积是7.5平方分米。 15．计算下面图形的面积。      【答案】4.95；1860 【分析】（1）根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2进行计算即可。 （2）这个图形分为两部分，左边是平行四边形，则根据平行四边形的面积＝底×高进行计算，右边是三角形，则根据三角形的面积＝底×高÷2进行计算，最后把两部分的面积相加即可。 【详解】（1）（2＋3.5）×1.8÷2 ＝5.5×1.8÷2 ＝9.9÷2 ＝4.95（） （2）50×33＝1650（） 35×12÷2 ＝420÷2 ＝210（） 1650＋210＝1860（） 16．求下面各图形阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】30cm2；59.5cm2 【分析】图1，观察图形可知，涂色部分的面积＝梯形的面积－三角形的面积；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 图2，观察图形可知，涂色部分的面积＝梯形的面积－2×三角形的面积；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（10＋4）×6÷2－4×6÷2 ＝14×6÷2－24÷2 ＝84÷2－12 ＝42－12 ＝30（cm2） 阴影部分面积是30cm2。 （4＋5＋16）×7÷2－2×4×7÷2 ＝25×7÷2－2×4×7÷2 ＝175÷2－8×7÷2 ＝87.5－56÷2 ＝87.5－28 ＝59.5（cm2） 阴影部分面积是59.5cm2。 17．国庆期间，红红跟随爸爸妈妈去欣赏祖国美丽的自然风景，路过一片稻田时，红红被一望无际的田野吸引住了。通过与当地的老乡交谈，红红得知这片稻田呈长方形，长800米，宽600米。你知道这片稻田有多少公顷吗？如果每公顷施肥300千克，这片稻田一共施肥多少千克？ 【答案】48公顷；14400千克 【分析】根据长方形面积＝长×宽计算，结果再根据1公顷＝10000平方米，换算成“公顷”作单位，用稻田面积×每公顷施肥重量＝这片稻田一共施肥多少千克。 【详解】800×600＝480000（平方米） 480000平方米＝48公顷 48×300＝14400（千克） 答：这片稻田有48公顷，这片稻田一共施肥14400千克。 18．刘伯伯借助一面墙围成一个菜园（如图）。已知所用篱笆全长19.2米。菜园种胡萝卜，每平方米大约种12棵。一共能种多少棵？ 【答案】378棵 【分析】菜园三面围的是篱笆，由图可知这个菜园是一个直角梯形，高是4.2米，用19.2减4.2即可求出上底与下底的和是15米，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此，15乘4.2再除以2，即可求出这个菜园的面积，因为每平方米大约种12棵胡萝卜，再用面积乘12，即可求出种胡萝卜的数量。 【详解】19.2－4.2＝15（米） 15×4.2÷2 ＝63÷2 ＝31.5（平方米） 31.5×12＝378（棵） 答：一共能种378棵。 19．如图是一个草坪平面图。 （1）这个草坪占地多少平方米？ （2）如果每平方米草坪35元，铺这块草坪需要多少元？ 【答案】（1）250平方米 （2）8750元 【分析】 （1）如图，可以把这个图形分割成一个长方形和梯形。长方形的长是20米、宽5米，长方形的面积＝长×宽，代入公式计算面积。梯形的上底是10米、下底是20米、高是（15－5）米。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入公式计算梯形的面积。然后再相加，就是草坪的占地面积。 （2）用草地的面积乘每平方米草坪的价格就是铺这块草坪需要多少元。 【详解】20×5＝100（平方米） 15－5＝10（米） （10＋20）×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（平方米） 100＋150＝250（平方米） 答：这个草坪占地250平方米。 （2）250×35＝8750（元） 答：铺这块草坪需要8750元。 20．王大爷家有3块菜地，形状分别是三角形、平行四边形和梯形（如下图）王大爷选面积最小的一块菜地种土豆，如果每平方米产土豆6千克，那么可以产土豆多少千克？ 【答案】348千克 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出三角形、平行四边形和梯形菜地面积，并比较大小；用最小菜地的面积乘6可求出可以产土豆多少千克，据此解答。 【详解】三角形菜地面积：11.6×10÷2 ＝116÷2 ＝58（平方米） 平行四边形菜地面积：8×10＝80（平方米） 梯形菜地面积：（8.5＋3.5）×10÷2 ＝12×10÷2 ＝120÷2 ＝60（平方米） 58＜60＜80，所以三角形菜地面积最小。 土豆产量：58×6＝348（千克） 答：可以产土豆348千克。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2单元 生活中的多边形——多边形的面积 单元知识清单 一、面积的意义与常用单位 1.面积的定义：物体表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。 2.常用面积单位： 较小单位：平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²） 较大单位：公顷（hm²）、平方千米（km²） 3.单位换算： 1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米（相邻两个小单位间进率是100） 1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷=1000000平方米 二、基本图形的面积公式及推导 1. 平行四边形的面积 公式：平行四边形面积=底×高（字母表示： ， 为底， 为对应底上的高） 推导过程：通过“割补法”将平行四边形转化为长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，因此面积相等（长方形面积=长×宽→平行四边形面积=底×高）。 2. 三角形的面积 公式：三角形面积=底×高÷2（字母表示： ， 为底， 为对应底上的高） 推导过程：用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底=三角形的底，平行四边形的高=三角形的高，因此三角形面积=平行四边形面积÷2（即底×高÷2）。 3. 梯形的面积 公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2（字母表示： ， 为上底， 为下底， 为高） 推导过程：用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底=梯形的（上底+下底），平行四边形的高=梯形的高，因此梯形面积=平行四边形面积÷2（即（上底+下底）×高÷2）。 三、组合图形的面积计算 1.定义：由两个或两个以上基本图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等）组合而成的图形。 2.计算方法： 分割法：将组合图形分割成几个基本图形，分别计算面积后相加。 添补法：用一个大图形面积减去补上去的小图形面积（适用于“缺角”图形）。 3.步骤：①确定分割/添补方案；②找出各基本图形的底、高、边长等条件；③代入公式计算并求和或求差。 四、不规则图形的面积估算 1.方法：数方格法（每个小方格面积已知，如1cm²）。 满格按1格计算，不满格按半格计算（或根据实际情况估算）。 先数满格数，再数不满格数，估算总面积=满格数×1 + 不满格数×0.5。 五、实际应用与解决问题 1.常见场景：计算土地面积（如农田、操场）、铺地砖数量、不规则物体表面面积等。 2.解题关键： 明确所求图形的类型，选择对应面积公式； 统一单位（如题目中单位不一致时，先换算成相同单位）； 结合生活实际，灵活运用分割/添补法解决组合图形问题。 3.示例：一块梯形菜地，上底8米，下底12米，高5米，面积是多少？ 解： （平方米） 六、易错点提示 1.公式混淆：三角形和梯形面积公式中易忘记“÷2”；平行四边形面积需用“对应的底和高”（底和高必须垂直）。 2.单位换算错误：公顷与平方米、平方千米与公顷的进率易记混（1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷）。 3.组合图形分割不当：分割时需确保各基本图形的条件（底、高、边长）可直接获取，避免出现未知条件。 4.计算粗心：涉及小数或较大数值时，注意运算顺序和准确性（如“先乘除后加减”）。 题型一：平行四边形面积的计算 【例1】一个平行四边形的底和高分别扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 【练1】图中，平行四边形的面积与长方形的面积相比较（    ）。 A．一样大 B．长方形的面积大 C．平行四边形的面积大 题型二：平行四边形面积的应用 【例2】一块平行四边形桃园，底是60米，高是21米，平均每棵桃树占地9平方米，这块地能种多少棵桃树？ 【练2】用4根木条钉成一个长方形（如下左图），把它拉成平行四边形（如下右图），面积比原来减少了10平方厘米，这个平行四边形的高是多少厘米？ 题型三：利用平移法求平行四边形的面积 【例3】林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 【练3】“墙角数枝梅，凌寒独自开”出自王安石的《梅花》。李叔叔居住的小区有一个近似平行四边形的梅花园，园中有一条小路，每到梅花盛开时节，李叔叔都会和家人一同去赏梅。如果每株梅花占地0.8平方米，那么这个梅园大约有梅花多少株？ 题型四：三角形面积的计算 【例4】一个三角形的底边长16米，如果底延长4米，高不变，那么面积就增加18平方米。原来三角形的面积是多少平方米？ 【练4】王华标出了三角形底边的中点M，连接顶点和M后得到两个小三角形A和B（如图），这两个小三角形的面积相比，（    ）。 A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定 题型五：三角形面积的应用 【例5】一个三角形与一个平行四边形的面积相等。平行四边形的面积是35平方厘米，三角形的高是7厘米，底是( )厘米。 【练5】一块三角形广告牌的正反两面需要刷油漆，底长7.2分米，高是7.5分米，平均每平方分米需要油漆0.15千克，刷这块广告牌需要多少千克油漆？ 题型六：平行线间三角形的面积问题 【例6】如图：上下两条线互相平行，已知平行四边形和梯形的面积都是30平方厘米，那么三角形的面积是( )平方厘米，梯形的上底是( )厘米。 【练6】下图中平行四边形的面积是18cm2，三角形的面积是( )cm2，三角形的高是( )cm。 题型七：梯形面积的计算 【例7】一个梯形的面积是100平方米，上底和下底之和是25米，它的高是( )米。 【练7】王爷爷用60米长的篱笆靠墙围了一个梯形菜地（如下图）。求这块菜地的占地面积。 题型八：梯形面积的应用 【例8】白菜营养丰富，素有“菜中之王”的美称。张叔叔有一个白菜园（如图），如果每平方米种4棵白菜，张叔叔的白菜园一共可以种多少棵白菜？ 【练8】国际海事信号旗是国际共通的通信旗帜，由40面旗子组成，每面旗子的形状和大小如图所示。制作40面这样的旗子至少需要多少平方米布料？ 题型九：与梯形相关的重叠问题 【例9】如图，一个平行四边形和一个长方形等底等高，重叠部分为三角形甲。梯形乙和梯形丙的面积相比（    ）。 A．乙的面积大 B．丙的面积大 C．乙和丙的面积一样大 D．无法比较 【练9】王大爷家的菜地是由两个完全一样的等腰直角三角形重叠而成的一个不规则图形菜地，其中③号菜地面积是（    ）。 A．10平方米 B．20平方米 C．42平方米 D．40平方米 题型十：公顷、平方千米的认识 【例10】下面4个选项中，占地面积最接近1公顷的地方是（    ）。 A．大明湖公园的占地面积 B．1间教室的占地面积 C．青岛市区的占地面积 D．1个操场的占地面积 【练10】在括号里填上合适的面积单位。 “泉城”济南是山东省省会，面积为10244( )，“泉城”的著名景点趵突泉公园占地面积约为11( )，其中“天下第一泉”趵突泉泉池面积为600( )。 题型十一：公顷、平方千米的进率与换算 【例11】在括号里填上适当的数。 250千克＝( )吨    30平方分米＝( )平方米 45分＝( )时     20公顷＝( )平方千米 【练11】6.5公顷＝( )平方米        1000公顷＝( )平方千米 305平方分米＝( )平方米      1000平方千米＝( )公顷 题型十二：公顷、平方千米的实际问题 【例12】一块长方形麦田，长600米，宽400米，如果这块麦田共收小麦168吨，这块麦田平均每公顷收小麦多少吨？ 【练12】一辆洒水车工作时每分行驶200米，洒水宽度为10米。这辆洒水车行驶1时，洒水的面积是多少平方米？合多少公顷？ 题型十三：含多边形的组合图形的面积 【例13】求下面图形面积（单位：cm）。 【练13】求出下面图形的面积。 题型十四：求组合图形中阴影部分的面积 【例14】按要求解答。 求涂色部分的面积。（单位：cm） 【练14】求阴影部分面积（单位：cm）。 1．（如图）平行四边形内部最大的涂色三角形，它的面积与空白部分的面积相比较（    ）。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 2．如图所示，用硬纸条制作成一个长方形的框架，长20cm，宽16cm，再把它拉成一个平行四边形。下面关于两个图形变化前后周长和面积的表述，正确的是（    ）。 A．变化前后两个图形的周长始终不变 B．变化前后两个图形的面积始终不变 C．变化后图形的周长比变化前的长 D．变化后图形的面积比变化前的大 3．如图所示，一个梯形被对角线分成四部分，每部分的面积分别是S①、S②、S③、S④。下面表述正确的是（    ）。 A．S①＝S② B．S①＝S④ C．S②＝S③ D．S②＝S④ 4．图中平行四边形的面积是60平方厘米，M是底边中点，那么阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．30 B．20 C．15 D．36 5．如图，涂色梯形的面积是108平方厘米，图中平行四边形的面积是（    ）平方厘米。 A．14 B．54 C．96 D．108 6．已知图中一组平行线内的三角形面积是96cm2，平行四边形面积是( )cm2。 7．一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积小132cm2，这个三角形的面积是( )cm2。 8．如图是一个平行四边形（单位：cm），与它等底等高的三角形的面积是( )平方厘米。 9．（如图）用割补法将梯形转化为三角形，梯形面积是30平方米，高6米，三角形底边长( )米。 10．如图所示，一个梯形的下底是上底的3倍，高是上底的2倍，如果将上底延长8厘米，就成了一个平行四边形，这个梯形的面积是( )平方厘米。 11．8.02平方千米＝( )公顷       90.05公顷＝( )公顷( )平方米 12．两个完全一样的三角形可以拼成一个( )，拼成图形的面积是原三角形面积的( )倍。 13．平行四边形的底是2.5米，高是1.2米，面积是( )平方米，和它等底等高的三角形面积是( )平方米。 14．一个平行四边形的面积是15平方分米，从这个平行四边形中剪下一个最大的三角形，剩下的面积是( )平方分米。 15．计算下面图形的面积。      16．求下面各图形阴影部分的面积（单位：cm）。 17．国庆期间，红红跟随爸爸妈妈去欣赏祖国美丽的自然风景，路过一片稻田时，红红被一望无际的田野吸引住了。通过与当地的老乡交谈，红红得知这片稻田呈长方形，长800米，宽600米。你知道这片稻田有多少公顷吗？如果每公顷施肥300千克，这片稻田一共施肥多少千克？ 18．刘伯伯借助一面墙围成一个菜园（如图）。已知所用篱笆全长19.2米。菜园种胡萝卜，每平方米大约种12棵。一共能种多少棵？ 19．如图是一个草坪平面图。 （1）这个草坪占地多少平方米？ （2）如果每平方米草坪35元，铺这块草坪需要多少元？ 20．王大爷家有3块菜地，形状分别是三角形、平行四边形和梯形（如下图）王大爷选面积最小的一块菜地种土豆，如果每平方米产土豆6千克，那么可以产土豆多少千克？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $