第06课 平行四边形的面积（导学案）四年级数学寒假自学课（青岛五四制）

第06课 平行四边形的面积 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过动手操作和观察比较，理解平行四边形面积公式的推导过程，掌握"割补转化"的数学思想方法，能准确表述平行四边形面积的计算方法。 （2）能正确运用平行四边形面积公式（面积=底×高）解决实际问题，掌握公式中底和高的对应关系，提高几何问题的解决能力。 （3）经历"观察—猜想—操作—验证—归纳"的探究过程，培养动手实践能力、空间想象能力和逻辑推理能力。 （4）感受平面图形与生活的密切联系，体验探究图形面积的乐趣，培养用数学眼光观察生活的意识和学习数学的兴趣。 2.重难点 重点：理解并掌握平行四边形面积计算公式，能正确计算平行四边形的面积。 难点：通过"割补法"将平行四边形转化为长方形，理解面积公式的推导过程及底和高的对应关系。 模块二 预习引导 一、知识回顾 1.长方形面积公式： 长方形面积=长×宽，用字母表示为S=a×b（S表示面积，a表示长，b表示宽）。 2.平行四边形的特征： 两组对边分别平行且相等；从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。 3.转化思想： 将未知图形转化为已知图形来解决问题的方法。 二、平行四边形面积公式的推导 1.问题导入：如何计算平行四边形的面积？能不能把它转化成我们学过的长方形来计算？ 转化思想（割补法）： 步骤1：在平行四边形中画一条高（从一个顶点向对边作垂线）。 步骤2：沿高把平行四边形剪成一个直角三角形和一个直角梯形。 步骤3：将剪下的直角三角形平移到梯形的另一侧，拼成一个长方形。 2.观察比较： 图形 长（底） 宽（高） 面积关系 长方形 a b 面积=长×宽 平行四边形 a h 面积=底×高 3.公式推导： 因为：平行四边形通过割补平移可以转化为长方形 所以：平行四边形面积=长方形面积=长×宽=底×高 用字母表示：S=ah（S表示面积，a表示底，h表示对应的高） 三、平行四边形面积计算的方法和步骤 1.方法和步骤 确定底和高：找到平行四边形中对应的一组底和高（注意：底和高必须是互相垂直的）。 代入公式计算：面积=底×高（S=ah）。 单位统一：确保底和高的单位一致，结果用面积单位（如平方厘米、平方分米、平方米）。 2.实例分析： 例1：一个平行四边形的花坛，底是6米，高是4米，它的面积是多少平方米？ 解：S=ah=6×4=24（平方米） 答：它的面积是24平方米。 例2：一块平行四边形的玻璃，底是25厘米，高是16厘米，这块玻璃的面积是多少平方厘米？ 解：S=ah=25×16=400（平方厘米） 答：这块玻璃的面积是400平方厘米。 四、平行四边形面积计算的技巧 底和高的对应关系： 平行四边形有两组不同的底和对应的高，计算面积时必须使用对应的一组底和高。 单位换算： 常用面积单位：平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²），相邻单位间的进率是100。 割补法的应用： 对于不规则的平行四边形，可以通过割补法转化为标准图形后再计算面积。 解决问题步骤： 审题→找对应底和高→代入公式→计算→检验→作答。 五、预习小任务 1.动手操作： 准备一个平行四边形纸片和一把剪刀，尝试用"割补法"将其转化为长方形，观察转化前后图形的长、宽与平行四边形的底、高有什么关系。 2.填空： （1）平行四边形的面积=（）×（），用字母表示为（）。 （2）一个平行四边形的底是10厘米，高是5厘米，面积是（）平方厘米。 （3）一个平行四边形的面积是48平方分米，底是8分米，它的高是（）分米。 3.判断对错： （1）平行四边形的面积等于长方形的面积。（） （2）平行四边形的底越长，面积就越大。（） （3）等底等高的两个平行四边形面积一定相等。（） 4.解决问题： 一块平行四边形的菜地，底是15米，高是8米。如果每平方米收白菜6千克，这块地一共可以收白菜多少千克？ 5.思考： 为什么通过割补法能将平行四边形转化为长方形？转化前后图形的哪些量发生了变化？哪些量没有变化？在确定平行四边形的高时需要注意什么？ 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面的四个平行四边形，根据已知条件，（　　）平行四边形的面积可以算出。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：第一个图形平行四边形的面积可以算出。 故答案为：A。 【分析】平行四边形的面积=平行四边形的底×底边上的高。 2．用木条钉成一个长方形框，捏住相对的两个角拉成一个平行四边形。这个平行四边形与原来的长方形相比，面积（　　）。 A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定 【答案】C 【解析】解：这个平行四边形与原来的长方形相比，面积变小。 故答案为：C。 【分析】平行四边形与原来的长方形相比，底不变，高变小，所以面积变小。 3．如图，涂色梯形的面积是108平方厘米，图中平行四边形的面积是(　　）平方厘米。 A．14 B．54 C．96 D．108 【答案】C 【解析】解：高： 108×2÷（10+8） =216÷18 =12（厘米） 平行四边形面积：8×12=96（平方厘米）。 故答案为：C。 【分析】梯形面积=（上底+下底）×高÷2，平行四边形面积=底×高。梯形的高和平行四边形的高相等。用梯形面积乘2再除以上底和下底的和求出高，也就是平行四边形的高，然后计算平行四边形面积。 4．一块不规则形状的草地（如图），下面数据最接近这块草地面积的是（　　）。 A．7.5平方米 B．75平方米 C．50.8平方米 D．744.8平方米 【答案】B 【解析】15.24.9=74.48≈75（平方米）。 故答案为：B。 【分析】平行四边形的面积等于底乘以高，再保留整数可选出正确答案。 5．把一个长方形拉成一个平行四边形后（　　）。 A．面积不变 B．面积变小 C．面积变大 D．周长变小 【答案】B 【解析】解：把一个长方形拉成一个平行四边形后，周长不变，面积变小。 故答案为：B。 【分析】长方形拉成平行四边形，四条边没变，所以周长不变；底不变，高变小了，所以面积变小了。 6．一个平行四边形，底扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的3倍，它的面积（　　）。 A．扩大3倍 B．扩大5倍 C．扩大6倍 【答案】C 【解析】一个平行四边形，底扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的3倍，它的面积扩大6倍。 故答案为：C。 【分析】平行四边形的面积=底×高，底和高都扩大了，那么面积扩大的倍数就是底和高扩大的倍数的积。 7．把一个用木条钉成的平行四边形拉成一个长方形，它的（　　）。 A．周长面积都不变 B．周长不变，面积变大 C．周长不变，面积变小 【答案】B 【解析】把一个用木条钉成的平行四边形拉成一个长方形，它的周长不变，面积变大。 故答案为：B。 【分析】把一个用木条钉成的平行四边形拉成一个长方形，4条边的长度是不变的，但是平行四边形的高变大了，所以面积也会变大。 8．一个三角形和一个平行四边形的底相等，面积也相等，已知平行四边形的高是4厘米，三角形的高是（　　）。 A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 【答案】C 【解析】解：4×2=8（厘米） 故答案为：C。 【分析】三角形的面积=三角形的底×三角形的高÷2，平行四边形的面积=平行四边形的底×平行四边形的高。因为三角形和平行四边形的面积相等，所以三角形的底×三角形的高÷2=平行四边形的底×平行四边形的高，又因为底也相等，所以三角形的高÷2=平行四边形的高，故三角形的高=平行四边形的高×2。 二、判断题 9．在周长一定时，所围的四边形中，正方形的面积最大。（　　） 【答案】正确 【解析】解：因为在平面图形中，若周长一定，所围成的图形越接近圆形，其面积就越大， 所以周长一定时，围成的长方形、正方形、平行四边形、菱形等四边形，面积最大的图形是正方形． 故答案为：正确。 【分析】在平面图形中，若周长一定，所围成的图形越接近圆形，其面积就越大，据此即可求解． 10．用木条钉成一个长方形，如果这个长方形拉成平行四边形，则平行四边形的面积不变，周长变小。(　　) 【答案】错误 11．平行四边形的底扩大2倍，高扩大3倍，它的面积就扩大5倍。(　　) 【答案】错误 三、填空题 12．下图中每个小方格的面积是4cm2，阴影部分的面积是　　cm2。 【答案】64 【解析】解：4×2+4×2=8+8=16（个） 16×4=64（平方厘米） 阴影部分的面积是64平方厘米 故答案为：64。 【分析】长方形的面积=长×宽，平行四边形的面积=底×高，长方形的面积+平行四边形的面积=阴影部分的小方格数，阴影部分的小方格数×每个小方格的面积=阴影部分的面积。 13．一个三角形的面积是36平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是　　平方厘米，如果平行四边形底是9厘米，那么高是　　厘米。 【答案】72；8 【解析】解：36×2=72（平方厘米） 72÷9=8（厘米） 故答案为：72；8。 【分析】等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍；平行四边形面积÷平行四边形底=平行四边形高。 14．如图（单位：米）：平行四边形的面积是　　平方米。 【答案】10.5 【解析】解：3×3.5=10.5（平方米） 故答案为：10.5。 【分析】平行四边形面积=底×高，看图可知，图中3和3.5是一组相对应的底和高，用这组数据计算平行四边形的面积。 15．一个平行四边形的面积是20平方厘米，底是5厘米，它的高是　　厘米。 【答案】4 【解析】解：20÷5=4（厘米） 故答案为：4。 【分析】平行四边形面积=底×高，用平行四边形面积除以底即可求出高。 16．如图，将一个平行四边形沿着它的高剪开后可以拼成一个长方形，拼成长方形的长是　　厘米，宽是　　厘米，周长是　　厘米；拼成后长方形的周长　　，面积　　。（填“变小”“不变”“变大”） 【答案】8；4；24；变小；不变 【解析】解：拼成长方形的长是8厘米，宽是4厘米； 长方形周长：(8+4)×2 =12×2 =24(厘米)； 平行四边形周长：(8+5)×2 =13×2 =26(厘米)； 24＜26，所以拼成后长方形的周长变小。 长方形面积：8×4=32(平方厘米)； 平行四边形面积：8×4=32(平方厘米)； 32=32，所以拼成后长方形的面积不变。 故答案为：8；4；24；变小；不变。 【分析】拼成的长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高；长方形周长=(长+宽)×2；平行四边形周长=(底+邻边)×2，；长方形面积=长×宽，平行四边形面积=底×高，据此解答。 17．如图，先把三角形剪下来，再向右平移　　cm。平行四边形就变成了一个长方形，这个平行四边形的面积和转化后的长方形的面积　　。（填“相等”或“不相等”） 【答案】7；相等 【解析】解：先把三角形剪下来，再向右平移7厘米，平行四边形就变成了一个长方形，这个平行四边形的面积和转化后的长方形的面积相等。 故答案为：7；相等。 【分析】把平行四边形的底分成了6厘米和7厘米两份，先把三角形剪下来，再向右平移7厘米，平行四边形就变成了一个长方形；它们的面积相等。 18．某摄影工作室推出一款平行四边形的活动相框(如图)，相邻两边的长分别是16厘米和10厘米，面积是128平方厘米。把这个相框拉成长方形，周长是　　厘米，面积　　(填“变大”、“变小”或“不变”) 【答案】52；变大 【解析】解：把平行四边形拉成长方形， 周长是不变，还是16×2+10×2=52（厘米）；面积变大。 故答案为：52；变大。 【分析】平行四边形的周长=四边之和；平行四边形拉成长方形，底不变，高变大了，面积也就变大了。 19．一个平行四边形面积63平方分米，高7分米，底边长　　。 【答案】9 【解析】63÷7=9（分米） 故答案为：9分米。 【分析】平行四边形面积÷高=底边长。 20．平行四边形面积是72平方米，高6米，它的底边长是　　。 【答案】12米 【解析】解：72÷6=12（米） 故答案为：12米。 【分析】平行四边形面积÷高=底。 21．下图平行四边形中，把涂色的三角形向右平移　　厘米，可以转化为一个长方形。 【答案】7 【解析】解：2＋5=7（厘米）。 故答案为：7。 【分析】把涂色的三角形向右平移的长度=平行四边形的底边长=2＋5=7厘米。 四、解决问题 22．如图所示是一个鱼池平面图。 （1）这个鱼池的面积是多少平方米? （2）如果每平方米能放养20条鱼苗，这个鱼池一共能放养多少条鱼苗? 【答案】（1）解：84×42÷2+36×42 =1764+1512 =3276（m2） 答：这个鱼池的面积是3276平方米。 （2）解：20×3276=65520（条） 答：这个鱼池一共能放养65520条鱼苗。 【解析】【分析】（1）平行四边形面积=底×高，三角形面积=底×高÷2，平行四边形面积+三角形面积=这个鱼池的面积； （2）这个鱼池的面积×每平方米能放养鱼苗的条数=这个鱼池一共能放养鱼苗的条数。 23．同学们欢迎走进新农村，听王叔叔讲讲他家的致富故事。 王叔叔：我家去年承包了一片果园，果园的形状是一个近似的平行四边形。（如下图）果园里苹果树和樱桃树一共240棵，樱桃树的棵数是苹果树的2倍。今年樱桃喜获丰收，一共收入80000元，比去年的2倍少2000元；预计今年苹果的收入比去年要多收入5000元，今年又是一个丰收年。这片果园的形状近似于平行四边形，它的底边长200米，高50米。 （1）果园占地面积是多少平方米？合多少公顷？ （2）樱桃树和苹果树各有多少棵？（列出等量关系式，再列方程解答） （3）去年樱桃收入多少元？（画出线段图，再列方程解答） （4）请你再提出一个数学问题，并列式解答。 【答案】（1）解：200×50=10000（平方米） 10000平方米=1公顷 答：果园占地面积是10000平方米，合1公顷。 （2）解：苹果树的棵数＋樱桃树的棵数=总棵数 设苹果树x棵，则樱桃树的棵数是2x棵。 x＋2x=240 3x=240 x=240÷3 x=80 2x=2×80=160 答：苹果树80棵，樱桃树160棵。 （3）解： 设去年樱桃收入x元。 2x-2000=80000 2x=80000＋2000 2x=82000 x=82000÷2 x=41000 答：去年樱桃收入41000元。 （4）解：今年平均每棵苹果树比去年多收入多少元？ 5000÷80=62.5（元） 答：今年平均每棵苹果树比去年多收入62.5元。 【解析】【分析】（1）果园占地面积=底×高，然后单位换算，除以进率10000； （2）苹果树的棵数＋樱桃树的棵数=总棵数，依据等量关系式列方程，解方程； （3）依据等量关系式：去年樱桃收入的钱数×2-2000元=今年樱桃收入的钱数，列方程，解方程； （4）今年平均每棵苹果树比去年多收入的钱数=今年苹果比去年多收入的钱数÷苹果树的棵数。 24．由四条木棒钉成一个底为18cm，高为11cm的平行四边形框架，把它拉成长方形后，面积增加了36cm²，长方形的宽是多少? 【答案】解：18×11＋36 =198＋36 =234（平方厘米） 234÷18=13（厘米） 答：长方形的宽是13厘米。 【解析】【分析】长方形的宽=长方形的面积÷长；其中，长方形的面积=平行四边形的面积＋增加的面积，平行四边形的面积=底×高，长方形的长=平行四边形的底。 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06课 平行四边形的面积 模块导航 ·模块一学习目标 ·模块二预习引导 ·模块三小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）通过动手操作和观察比较，理解平行四边形面积公式的推导过程，掌握"割补转化"的数学思想方法，能准确表述平行四边形面积的计算方法。 （2）能正确运用平行四边形面积公式（面积=底×高）解决实际问题，掌握公式中底和高的对应关系，提高几何问题的解决能力。 （3）经历"观察—猜想—操作—验证—归纳"的探究过程，培养动手实践能力、空间想象能力和逻辑推理能力。 （4）感受平面图形与生活的密切联系，体验探究图形面积的乐趣，培养用数学眼光观察生活的意识和学习数学的兴趣。 2.重难点 重点：理解并掌握平行四边形面积计算公式，能正确计算平行四边形的面积。 难点：通过"割补法"将平行四边形转化为长方形，理解面积公式的推导过程及底和高的对应关系。 模块二 预习引导 一、知识回顾 1.长方形面积公式： 长方形面积=长×宽，用字母表示为S=a×b（S表示面积，a表示长，b表示宽）。 2.平行四边形的特征： 两组对边分别平行且相等；从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。 3.转化思想： 将未知图形转化为已知图形来解决问题的方法。 二、平行四边形面积公式的推导 1.问题导入：如何计算平行四边形的面积？能不能把它转化成我们学过的长方形来计算？ 转化思想（割补法）： 步骤1：在平行四边形中画一条高（从一个顶点向对边作垂线）。 步骤2：沿高把平行四边形剪成一个直角三角形和一个直角梯形。 步骤3：将剪下的直角三角形平移到梯形的另一侧，拼成一个长方形。 2.观察比较： 图形 长（底） 宽（高） 面积关系 长方形 a b 面积=长×宽 平行四边形 a h 面积=底×高 3.公式推导： 因为：平行四边形通过割补平移可以转化为长方形 所以：平行四边形面积=长方形面积=长×宽=底×高 用字母表示：S=ah（S表示面积，a表示底，h表示对应的高） 三、平行四边形面积计算的方法和步骤 1.方法和步骤 确定底和高：找到平行四边形中对应的一组底和高（注意：底和高必须是互相垂直的）。 代入公式计算：面积=底×高（S=ah）。 单位统一：确保底和高的单位一致，结果用面积单位（如平方厘米、平方分米、平方米）。 2.实例分析： 例1：一个平行四边形的花坛，底是6米，高是4米，它的面积是多少平方米？ 解：S=ah=6×4=24（平方米） 答：它的面积是24平方米。 例2：一块平行四边形的玻璃，底是25厘米，高是16厘米，这块玻璃的面积是多少平方厘米？ 解：S=ah=25×16=400（平方厘米） 答：这块玻璃的面积是400平方厘米。 四、平行四边形面积计算的技巧 底和高的对应关系： 平行四边形有两组不同的底和对应的高，计算面积时必须使用对应的一组底和高。 单位换算： 常用面积单位：平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²），相邻单位间的进率是100。 割补法的应用： 对于不规则的平行四边形，可以通过割补法转化为标准图形后再计算面积。 解决问题步骤： 审题→找对应底和高→代入公式→计算→检验→作答。 五、预习小任务 1.动手操作： 准备一个平行四边形纸片和一把剪刀，尝试用"割补法"将其转化为长方形，观察转化前后图形的长、宽与平行四边形的底、高有什么关系。 2.填空： （1）平行四边形的面积=（）×（），用字母表示为（）。 （2）一个平行四边形的底是10厘米，高是5厘米，面积是（）平方厘米。 （3）一个平行四边形的面积是48平方分米，底是8分米，它的高是（）分米。 3.判断对错： （1）平行四边形的面积等于长方形的面积。（） （2）平行四边形的底越长，面积就越大。（） （3）等底等高的两个平行四边形面积一定相等。（） 4.解决问题： 一块平行四边形的菜地，底是15米，高是8米。如果每平方米收白菜6千克，这块地一共可以收白菜多少千克？ 5.思考： 为什么通过割补法能将平行四边形转化为长方形？转化前后图形的哪些量发生了变化？哪些量没有变化？在确定平行四边形的高时需要注意什么？ 模块三 小试牛刀 一、单选题 1．下面的四个平行四边形，根据已知条件，（　　）平行四边形的面积可以算出。 A． B． C． D． 2．用木条钉成一个长方形框，捏住相对的两个角拉成一个平行四边形。这个平行四边形与原来的长方形相比，面积（　　）。 A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定 3．如图，涂色梯形的面积是108平方厘米，图中平行四边形的面积是(　　）平方厘米。 A．14 B．54 C．96 D．108 4．一块不规则形状的草地（如图），下面数据最接近这块草地面积的是（　　）。 A．7.5平方米 B．75平方米 C．50.8平方米 D．744.8平方米 5．把一个长方形拉成一个平行四边形后（　　）。 A．面积不变 B．面积变小 C．面积变大 D．周长变小 6．一个平行四边形，底扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的3倍，它的面积（　　）。 A．扩大3倍 B．扩大5倍 C．扩大6倍 7．把一个用木条钉成的平行四边形拉成一个长方形，它的（　　）。 A．周长面积都不变 B．周长不变，面积变大 C．周长不变，面积变小 8．一个三角形和一个平行四边形的底相等，面积也相等，已知平行四边形的高是4厘米，三角形的高是（　　）。 A．2厘米 B．4厘米 C．8厘米 二、判断题 9．在周长一定时，所围的四边形中，正方形的面积最大。（　　） 10．用木条钉成一个长方形，如果这个长方形拉成平行四边形，则平行四边形的面积不变，周长变小。(　　) 11．平行四边形的底扩大2倍，高扩大3倍，它的面积就扩大5倍。(　　) 三、填空题 12．下图中每个小方格的面积是4cm2，阴影部分的面积是　　cm2。 13．一个三角形的面积是36平方厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是　　平方厘米，如果平行四边形底是9厘米，那么高是　　厘米。 14．如图（单位：米）：平行四边形的面积是　　平方米。 15．一个平行四边形的面积是20平方厘米，底是5厘米，它的高是　　厘米。 16．如图，将一个平行四边形沿着它的高剪开后可以拼成一个长方形，拼成长方形的长是　　厘米，宽是　　厘米，周长是　　厘米；拼成后长方形的周长　　，面积　　。（填“变小”“不变”“变大”） 17．如图，先把三角形剪下来，再向右平移　　cm。平行四边形就变成了一个长方形，这个平行四边形的面积和转化后的长方形的面积　　。（填“相等”或“不相等”） 18．某摄影工作室推出一款平行四边形的活动相框(如图)，相邻两边的长分别是16厘米和10厘米，面积是128平方厘米。把这个相框拉成长方形，周长是　　厘米，面积　　(填“变大”、“变小”或“不变”) 19．一个平行四边形面积63平方分米，高7分米，底边长　　。 20．平行四边形面积是72平方米，高6米，它的底边长是　　。 21．下图平行四边形中，把涂色的三角形向右平移　　厘米，可以转化为一个长方形。 四、解决问题 22．如图所示是一个鱼池平面图。 （1）这个鱼池的面积是多少平方米? （2）如果每平方米能放养20条鱼苗，这个鱼池一共能放养多少条鱼苗? 23．同学们欢迎走进新农村，听王叔叔讲讲他家的致富故事。 王叔叔：我家去年承包了一片果园，果园的形状是一个近似的平行四边形。（如下图）果园里苹果树和樱桃树一共240棵，樱桃树的棵数是苹果树的2倍。今年樱桃喜获丰收，一共收入80000元，比去年的2倍少2000元；预计今年苹果的收入比去年要多收入5000元，今年又是一个丰收年。这片果园的形状近似于平行四边形，它的底边长200米，高50米。 （1）果园占地面积是多少平方米？合多少公顷？ （2）樱桃树和苹果树各有多少棵？（列出等量关系式，再列方程解答） （3）去年樱桃收入多少元？（画出线段图，再列方程解答） （4）请你再提出一个数学问题，并列式解答。 24．由四条木棒钉成一个底为18cm，高为11cm的平行四边形框架，把它拉成长方形后，面积增加了36cm²，长方形的宽是多少? 学科网（北京）股份有限公司第1页共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $