第02课 等式的性质1与解方程（导学案）四年级数学寒假自学课（青岛五四制）

第02课 等式的性质1与解方程 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）结合具体情境理解“解方程”的意义，掌握应用等式的性质1解形如x+a=b和x−a=b的简易方程的方法，能准确求出方程的解并进行检验。 （2）经历“根据等式性质1变形→求解未知数→检验方程”的完整过程，初步体会“化归思想”（将方程转化为x=具体数值的形式），提升逻辑推理能力。 （3）在解方程的过程中感受数学的严谨性，培养规范书写的习惯，体会方程思想在解决问题中的价值。 2.重难点 重点：掌握应用等式的性质1解x+a=b和x−a=b类型方程的步骤，能正确求出方程的解并检验。 难点：理解“为什么要在等式两边同时加/减同一个数”的算理，以及规范书写解方程的过程（如“解”的标注、等号对齐）。 模块二 预习引导 一、知识回顾：等式的意义 1.等式： 表示左右两边相等的式子（如：3+2=5，x+4=10）。 所有方程都是等式，但等式不一定是方程（回顾第2课“方程与等式的关系”）。 2.思考： 判断下列哪些是等式？哪些是方程？（复习旧知，为学习等式性质铺垫） ① 5+8=13（ ） ② 2x=16（ ） ③ 7-y＞3（ ） ④ 9-3=6（ ） 二、核心概念：等式的性质1 1. 情境引入——天平的平衡原理 天平是表示“相等”的直观工具：当天平左右两边的物体质量相等时，天平保持平衡（即“左边质量=右边质量”）。 操作1：天平左边放1个5g砝码和1个3g砝码，右边放1个8g砝码，天平平衡。 此时等式：5+3=8（左边=右边=8g）。 变化1：在天平左右两边同时各放1个2g砝码，天平是否仍平衡？ 左边变为：5+3+2=10g，右边变为：8+2=10g，天平平衡。 → 等式变形：5+3+2=8+2（左右两边同时加2，等式仍成立）。 变化2：在天平左右两边同时拿走1个3g砝码，天平是否仍平衡？ 左边变为：(5+3+2)-3=7g，右边变为：(8+2)-3=7g，天平平衡。 → 等式变形：(5+3+2)-3=(8+2)-3（左右两边同时减3，等式仍成立）。 2. 性质总结——等式的性质1 通过天平操作可归纳： 等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，或同时减去同一个数，左右两边仍然相等。 关键词解读： “同时”：左边加/减的同时，右边必须也加/减（不能只在一边操作）； “同一个数”：左右两边加/减的数必须相同（不能左边加2，右边加3）。 三、核心方法：应用等式的性质1解方程 1. 基本思路 解方程的目标是将方程转化为“x=x=具体数值”的形式，依据等式的性质1，通过“两边同时加/减同一个数”消去方程左边的常数项，使左边只剩下未知数x。 2. 解两类方程的步骤（以“x+a=bx+a=b”和“x−a=bx−a=b”为例） 方程类型 解题步骤（以x+3=9为例） 解题步骤（以x−4=7为例） 目标 消去左边的“+3”，使左边只剩x 消去左边的“−4”，使左边只剩x 依据 等式两边同时减去同一个数（3） 等式两边同时加上同一个数（4） 解方程过程 解：x+3−3=9−3（两边同时减3） x=6 解：x−4+4=7+4（两边同时加4） x=11 检验（关键步骤） 把x=6代入原方程： 左边=6+3=9，右边=9 左边=右边，所以x=6是方程的解。 把x=11代入原方程： 左边=11−4=7，右边=7左边=右边，所以x=11是方程的解。 3. 书写规范（必须严格遵守） 开头写“解”字，后面加冒号“：”； 等号左右两边要对齐（每一步的等号上下对齐）； 每一步变形的依据是等式的性质1（可在草稿纸标注“两边同时加/减几”）； 求出解后必须检验（至少在预习阶段养成检验习惯）。 四、实例分析（分类型突破） 1.类型1：解x+a=b（未知数加一个数等于已知数） 情境：方程x+5=12，求x的值。 步骤： 确定目标：消去左边的“+5”，需两边同时减5； 解方程：解：x+5−5=12−5（两边同时减5） x=7； 检验：左边=7+5=12=右边，所以x=7是方程的解。 2.类型2：解x−a=b（未知数减一个数等于已知数） 情境：方程y−8=15，求y的值。 步骤： 确定目标：消去左边的“−8”，需两边同时加8； 解方程：解：y−8+8=15+8（两边同时加8） y=23； 检验：左边=23−8=15=右边，所以y=23是方程的解。 五、易错点提示 1.漏写“解”字或等号不对齐： ❌ 错误示例：x+4=10 x=10−4 x=6（无“解”字，等号未对齐） ✅ 正确示例：解：x+4=10 x+4−4=10−4 x=6 2. 两边加/减的数不一致： ❌ 错误示例：解：x−3=5 x−3+3=5+2（右边加2，与左边加3不同） x=7（结果错误） ✅ 正确示例：解：x−3=5 x−3+3=5+3（两边同时加3） x=8 3.忽略检验步骤： 检验是确保解正确的关键，即使过程正确，也可能因计算失误导致结果错误，需养成“解后必检验”的习惯。 六、尝试练习（附解析提示） 1.基础题：解下列方程并检验 （1）x+7=15 提示：两边同时减7，解：x=15−7=8；检验：左边=8+7=15=右边。 （2）y−6=11y−6=11 提示：两边同时加6，解：y=11+6=17；检验：左边=17−6=11=右边。 2.提升题：根据情境列方程并求解 情境：妈妈买了一袋苹果，吃了5个后还剩12个，这袋苹果原来有多少个？ 等量关系：原来的个数-吃了的个数=剩下的个数 设未知数：设原来有x个苹果 列方程：x−5=12 解方程：解：x−5+5=12+5（两边同时加5） x=17 检验：左边=17−5=12=右边，所以原来有17个苹果。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．樱桃园里大丰收，已经运走了60箱，剩下的箱数是运走的3倍。如果设一共有x箱樱桃，那么，正确的方程式是（    ）。 A．x＋60＝3×60 B．x－60＝60×3 C．x÷3＝60 D．3x＝60 【答案】B 【分析】设一共有x箱樱桃，根据等量关系：一共有樱桃的箱数－运走的箱数＝剩下的箱数，列方程即可。 【详解】x－60＝60×3 x－60＝180 x－60＋60＝180＋60 x＝240 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。 2．和3＋4＝10的解相等的是（    ）。 A．－9＝2 B．4＋2＝10 C．3＋4＝4 D．10－2＝4 【答案】B 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 根据等式的性质分别求出原方程和四个选项中方程的解，找出与原方程的解相等的方程即可。 【详解】3＋4＝10 解：3＋4－4＝10－4 3＝6 3÷3＝6÷3 ＝2 A．－9＝2 解：－9＋9＝2＋9 ＝11 所以，－9＝2和3＋4＝10的解不相等。 B．4＋2＝10 解：4＋2－2＝10－2 4＝8 4÷4＝8÷4 ＝2 所以，4＋2＝10和3＋4＝10的解相等。 C．3＋4＝4 解：3＋4－4＝4－4 3＝0 3÷3＝0÷3 ＝0 所以，3＋4＝4和3＋4＝10的解不相等。 D．10－2＝4 解：10－2＋2＝4＋2 4＋2＝10 4＋2－4＝10－4 2＝6 2÷2＝6÷2 ＝3 所以，10－2＝4和3＋4＝10的解不相等。 故答案：B 3．和3x＋4＝10的解相等的是（    ）。 A．x－9＝2 B．4x＋2＝10 C．3x＋4＝4 D．2x＋2＝8 【答案】B 【分析】求出方程3x＋4＝10的解，即x＝2，再分别求出每个选项中方程的解，再进一步解答即可。 【详解】3x＋4＝10 解：3x＋4－4＝10－4 3x＝6 3x÷3＝6÷3 x＝2 A．x－9＝2 解：x－9＋9＝2＋9 x＝11 B．4x＋2＝10 解：4x＋2－2＝10－2 4x＝8 4x÷4＝8÷4 x＝2 C．3x＋4＝4 解：3x＋4－4＝4－4 3x＝0 3x÷3＝0÷3 x＝0 D．2x＋2＝8 解：2x＋2－2＝8－2 2x＝6 x＝3 B选项的解与3x＋4＝10的解相等。 故答案为：B 二、填空题 4．直接写出方程的解。 x＋5＝8，x＝ 【答案】3 【详解】略 5．解下列方程。 39.4＋x＝99，x＝ 【答案】59.6 【详解】略 6．在○里填上运算符号，在□里填上合适的数。 如果，那么根据等式的性质：○24＝56＋。 【答案】＋；24 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，要想求出方程的解，等式两边需要同时加上24。据此解答即可。 【详解】 解： 即如果，那么根据等式的性质：＋24＝56＋24，即○里填上＋，在□里填24。 7．在（    ）里填上合适的数，使每个方程的解都是x＝0.5。 ( )＋x＝7.5        x＋( )÷2＝7.5 【答案】 7 14 【分析】由题意得，要使方程的解是x＝0.5，我们可以将x换成0.5，括号看成未知数y。原题目的两个方程变为y＋0.5＝7.5和0.5＋y÷2＝7.5。然后利用等式的性质1和等式的性质2解方程即可。 【详解】（1）y＋0.5＝7.5 解：y＋0.5－0.5＝7.5－0.5 y＝7 （2）0.5＋y÷2＝7.5 解：y÷2＋0.5＝7.5 y÷2＋0.5－0.5＝7.5－0.5 y÷2＝7 y÷2×2＝7×2 y＝14 故方程（      ）＋x＝7.5中的括号里填7，方程的解是x＝0.5；方程x＋（    ）÷2＝7.5中的括号里填14，方程的解是x＝0.5。 8．白云山小学新学期转入38人，转出24人，现在一共有学生845人。白云山小学在新学期转入和转出之前有学生( )人。 【答案】831 【分析】原来学生人数加上转入的人数，再减去转出的人数等于现在的人数。因此，现在的人数加上转出的人数减去转入的人数即为原来的人数。假设原来的人数是x人，然后根据等量关系式列方程，然后利用等式的性质1进行解方程。 【详解】解：设新学期转入和转出之前有学生x人。 x＋38－24＝845 x＋14＝845 x＋14－14＝845－14 x＝831 白云山小学新学期转入38人，转出24人，现在一共有学生845人。白云山小学在新学期转入和转出之前有学生831人。 三、判断题 9．解x－2.4＝3.7时，方程的两边应同时减去2.4。( ) 【答案】× 【分析】根据等式的性质解方程，两边同加上2.4，得x＝3.7＋2.4，即可求得x；据此解答即可。 【详解】解：x－2.4＝3.7 x－2.4＋2.4＝3.7＋2.4 x＝3.7＋2.4 x＝6.1 解x－2.4＝3.7时，方程的两边应同时加上2.4。原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 10．解方程。 －0.92＝1.08       4＋8.4＝12      －0.7＝1.05 【答案】＝2；＝0.9；＝3.5 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时加上0.92，求出方程的解； （2）方程两边先同时减去8.4，再同时除以4，求出方程的解； （3）先把方程化简成0.3＝1.05，方程两边同时除以0.3，求出方程的解。 【详解】（1）－0.92＝1.08 解：－0.92＋0.92＝1.08＋0.92 ＝2 （2）4＋8.4＝12 解：4＋8.4－8.4＝12－8.4 4＝3.6 4÷4＝3.6÷4 ＝0.9 （3）－0.7＝1.05 解：0.3＝1.05 0.3÷0.3＝1.05÷0.3 ＝3.5 11．解方程。 x＋8＝21          30＋2x＝58          x－2.7＝1.8 3.8x－x＝0.56        7x＋3x－26＝74        26＋7x＝40 【答案】 ；； ；； 【分析】（1）根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，把等式两边同时减去8，即可求出方程的解； （2）根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，把等式两边同时减去30；再根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个数（0不作除数），等式仍然成立，把等式两边同时除以2，即可求出方程的解； （3）根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，把等式两边同时加上2.7，即可求出方程的解； （4）先合并计算3.8x－x，再根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个数（0不作除数），等式仍然成立，将等式两边同时除以2.8，即可求出方程的解； （5）先合并计算7x＋3x，再根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，把等式两边同时加上26；再根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个数（0不作除数），等式仍然成立，把等式两边同时除以10，即可求出方程的解； （6）根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，把等式两边同时减去26；再根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个数（0不作除数），等式仍然成立，把等式两边同时除以7，即可求出方程的解。 【详解】x＋8＝21 解：x＋8－8＝21－8 x＝13 30＋2x＝58 解：30＋2x－30＝58－30 2x＝28 2x÷2＝28÷2 x＝14 x－2.7＝1.8 解：x－2.7＋2.7＝1.8＋2.7 x＝4.5 3.8x－x＝0.56 解：2.8x＝0.56 2.8x÷2.8＝0.56÷2.8 x＝0.2 7x＋3x－26＝74 解：10x－26＝74 10x－26＋26＝74＋26 10x＝100 10x÷10＝100÷10 x＝10 26＋7x＝40 解：26＋7x－26＝40－26 7x＝14 7x÷7＝14÷7 x＝2 12．解方程。                                   【答案】x＝12；x＝51.2；x＝1.2； x＝5；x＝20；x＝3 【分析】（1）应用等式的性质1，等式两边同时减去3.6，解方程。   （2）应用等式的性质2，等式两边同时乘4，解方程。   （3）应用等式的性质1和2，等式两边同时减去2.4，等式两边同时再除以4，解方程。   （4）应用等式的性质2，等式两边同时再乘x，再除以1.1，解方程。 （5）先计算2.6x＋x为3.6x，应用等式的性质2，等式两边同时再除以3.6，解方程。 （6）先计算x－0.2x为0.8x，应用等式的性质2，等式两边同时再除以0.8，解方程。 【详解】x＋3.6＝15.6 解：x＋3.6－3.6＝15.6－3.6 x＝12 x÷4＝12.8 解：x÷4×4＝12.8×4 x＝51.2 4x＋2.4＝7.2 解：4x＋2.4－2.4＝7.2－2.4 4x＝4.8 4x÷4＝4.8÷4 x＝1.2 5.5÷x＝1.1 解：5.5÷x×x＝1.1×x 1.1x＝5.5 1.1x÷1.1＝5.5÷1.1 x＝5 2.6x＋x＝72 解：3.6x＝72 3.6x÷3.6＝72÷3.6 x＝20 x－0.2x＝2.4 解：0.8x＝2.4 0.8x÷0.8＝2.4÷0.8 x＝3 13．解方程。                【答案】x＝17.3；x＝6.3；x＝30 【分析】（1）根据等式的性质1，等式的两边同时加1.5即可解答。 （2）根据等式的性质2，等式的两边同时除以5即可解答。 （3）先计算等式的左边等于2.8x，再根据等式的性质2，等式的两边同时除以2.8即可解答。 【详解】（1）x－1.5＝15.8    解：x－1.5＋1.5＝15.8＋1.5 x＝17.3                （2）5 x＝31.5       解：5 x÷5＝31.5÷5 x＝6.3               （3）4 x－1.2 x＝84 解：2.8x＝84 2.8x÷2.8＝84÷2.8 x＝30 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02课 等式的性质1与解方程 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1.学习目标 （1）结合具体情境理解“解方程”的意义，掌握应用等式的性质1解形如x+a=b和x−a=b的简易方程的方法，能准确求出方程的解并进行检验。 （2）经历“根据等式性质1变形→求解未知数→检验方程”的完整过程，初步体会“化归思想”（将方程转化为x=具体数值的形式），提升逻辑推理能力。 （3）在解方程的过程中感受数学的严谨性，培养规范书写的习惯，体会方程思想在解决问题中的价值。 2.重难点 重点：掌握应用等式的性质1解x+a=b和x−a=b类型方程的步骤，能正确求出方程的解并检验。 难点：理解“为什么要在等式两边同时加/减同一个数”的算理，以及规范书写解方程的过程（如“解”的标注、等号对齐）。 模块二 预习引导 一、知识回顾：等式的意义 1.等式： 表示左右两边相等的式子（如：3+2=5，x+4=10）。 所有方程都是等式，但等式不一定是方程（回顾第2课“方程与等式的关系”）。 2.思考： 判断下列哪些是等式？哪些是方程？（复习旧知，为学习等式性质铺垫） ① 5+8=13（ ） ② 2x=16（ ） ③ 7-y＞3（ ） ④ 9-3=6（ ） 二、核心概念：等式的性质1 1. 情境引入——天平的平衡原理 天平是表示“相等”的直观工具：当天平左右两边的物体质量相等时，天平保持平衡（即“左边质量=右边质量”）。 操作1：天平左边放1个5g砝码和1个3g砝码，右边放1个8g砝码，天平平衡。 此时等式：5+3=8（左边=右边=8g）。 变化1：在天平左右两边同时各放1个2g砝码，天平是否仍平衡？ 左边变为：5+3+2=10g，右边变为：8+2=10g，天平平衡。 → 等式变形：5+3+2=8+2（左右两边同时加2，等式仍成立）。 变化2：在天平左右两边同时拿走1个3g砝码，天平是否仍平衡？ 左边变为：(5+3+2)-3=7g，右边变为：(8+2)-3=7g，天平平衡。 → 等式变形：(5+3+2)-3=(8+2)-3（左右两边同时减3，等式仍成立）。 2. 性质总结——等式的性质1 通过天平操作可归纳： 等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，或同时减去同一个数，左右两边仍然相等。 关键词解读： “同时”：左边加/减的同时，右边必须也加/减（不能只在一边操作）； “同一个数”：左右两边加/减的数必须相同（不能左边加2，右边加3）。 三、核心方法：应用等式的性质1解方程 1. 基本思路 解方程的目标是将方程转化为“x=x=具体数值”的形式，依据等式的性质1，通过“两边同时加/减同一个数”消去方程左边的常数项，使左边只剩下未知数x。 2. 解两类方程的步骤（以“x+a=bx+a=b”和“x−a=bx−a=b”为例） 方程类型 解题步骤（以x+3=9为例） 解题步骤（以x−4=7为例） 目标 消去左边的“+3”，使左边只剩x 消去左边的“−4”，使左边只剩x 依据 等式两边同时减去同一个数（3） 等式两边同时加上同一个数（4） 解方程过程 解：x+3−3=9−3（两边同时减3） x=6 解：x−4+4=7+4（两边同时加4） x=11 检验（关键步骤） 把x=6代入原方程： 左边=6+3=9，右边=9 左边=右边，所以x=6是方程的解。 把x=11代入原方程： 左边=11−4=7，右边=7左边=右边，所以x=11是方程的解。 3. 书写规范（必须严格遵守） 开头写“解”字，后面加冒号“：”； 等号左右两边要对齐（每一步的等号上下对齐）； 每一步变形的依据是等式的性质1（可在草稿纸标注“两边同时加/减几”）； 求出解后必须检验（至少在预习阶段养成检验习惯）。 四、实例分析（分类型突破） 1.类型1：解x+a=b（未知数加一个数等于已知数） 情境：方程x+5=12，求x的值。 步骤： 确定目标：消去左边的“+5”，需两边同时减5； 解方程：解：x+5−5=12−5（两边同时减5） x=7； 检验：左边=7+5=12=右边，所以x=7是方程的解。 2.类型2：解x−a=b（未知数减一个数等于已知数） 情境：方程y−8=15，求y的值。 步骤： 确定目标：消去左边的“−8”，需两边同时加8； 解方程：解：y−8+8=15+8（两边同时加8） y=23； 检验：左边=23−8=15=右边，所以y=23是方程的解。 五、易错点提示 1.漏写“解”字或等号不对齐： ❌ 错误示例：x+4=10 x=10−4 x=6（无“解”字，等号未对齐） ✅ 正确示例：解：x+4=10 x+4−4=10−4 x=6 2. 两边加/减的数不一致： ❌ 错误示例：解：x−3=5 x−3+3=5+2（右边加2，与左边加3不同） x=7（结果错误） ✅ 正确示例：解：x−3=5 x−3+3=5+3（两边同时加3） x=8 3.忽略检验步骤： 检验是确保解正确的关键，即使过程正确，也可能因计算失误导致结果错误，需养成“解后必检验”的习惯。 六、尝试练习（附解析提示） 1.基础题：解下列方程并检验 （1）x+7=15 提示：两边同时减7，解：x=15−7=8；检验：左边=8+7=15=右边。 （2）y−6=11y−6=11 提示：两边同时加6，解：y=11+6=17；检验：左边=17−6=11=右边。 2.提升题：根据情境列方程并求解 情境：妈妈买了一袋苹果，吃了5个后还剩12个，这袋苹果原来有多少个？ 等量关系：原来的个数-吃了的个数=剩下的个数 设未知数：设原来有x个苹果 列方程：x−5=12 解方程：解：x−5+5=12+5（两边同时加5） x=17 检验：左边=17−5=12=右边，所以原来有17个苹果。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．樱桃园里大丰收，已经运走了60箱，剩下的箱数是运走的3倍。如果设一共有x箱樱桃，那么，正确的方程式是（    ）。 A．x＋60＝3×60 B．x－60＝60×3 C．x÷3＝60 D．3x＝60 2．和3＋4＝10的解相等的是（    ）。 A．－9＝2 B．4＋2＝10 C．3＋4＝4 D．10－2＝4 3．和3x＋4＝10的解相等的是（    ）。 A．x－9＝2 B．4x＋2＝10 C．3x＋4＝4 D．2x＋2＝8 二、填空题 4．直接写出方程的解。 x＋5＝8，x＝ 5．解下列方程。 39.4＋x＝99，x＝ 6．在○里填上运算符号，在□里填上合适的数。 如果，那么根据等式的性质：○24＝56＋。 7．在（    ）里填上合适的数，使每个方程的解都是x＝0.5。 ( )＋x＝7.5        x＋( )÷2＝7.5 8．白云山小学新学期转入38人，转出24人，现在一共有学生845人。白云山小学在新学期转入和转出之前有学生( )人。 三、判断题 9．解x－2.4＝3.7时，方程的两边应同时减去2.4。( ) 四、计算题 10．解方程。 －0.92＝1.08      4＋8.4＝12       －0.7＝1.05 11．解方程。 x＋8＝21            30＋2x＝58            x－2.7＝1.8 3.8x－x＝0.56        7x＋3x－26＝74        26＋7x＝40 12．解方程。                           13．解方程。                 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $