第1单元 走进动物园——简易方程（知识清单）数学青岛版五四制四年级下册

第1单元 走进动物园——简易方程 单元知识清单 一、方程的基本概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程 2.方程的必备条件：①含有未知数；②是等式 3.等式与方程的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程 4.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值 5.解方程：求方程的解的过程 二、用字母表示数 1.字母表示数的意义：用字母可以表示未知数，也可以表示数量关系 2.字母表示数量关系： 路程公式：s=vt（s表示路程，v表示速度，t表示时间） 总价公式：c=ax（c表示总价，a表示单价，x表示数量） 3.字母表示运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 4.字母表示计算公式： 长方形周长：C=2(a+b) 长方形面积：S=ab 正方形周长：C=4a 正方形面积：S=a²（读作：a的平方，表示2个a相乘） 三、等式的性质 1.等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立 字母表示：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c 2.等式性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立 字母表示：如果a=b，那么ac=bc，a÷c=b÷c（c≠0） 四、解方程 1.一步计算的方程： x+a=b 类型：x=b-a x-a=b 类型：x=b+a ax=b 类型：x=b÷a（a≠0） x÷a=b 类型：x=b×a（a≠0） 2.两步计算的方程： ax+b=c 类型：先把ax看作一个整体 a(x+b)=c 类型：先把(x+b)看作一个整体 3.解方程的书写格式： 必须写"解"字 等号要上下对齐 每一步都是等式 五、列方程解决实际问题 1.解题步骤： 审：理解题意，找出等量关系 设：设未知数（一般设所求问题为x） 列：根据等量关系列方程 解：解方程 验：检验答案是否正确 答：写出答案 2.常见等量关系： 部分量+部分量=总量 较大数-较小数=相差数 每份数×份数=总数 速度×时间=路程 单价×数量=总价 3.典型问题类型： 和差问题：(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数 和倍问题：和÷(倍数+1)=小数 差倍问题：差÷(倍数-1)=小数 六、易错点提示 1.字母与数字相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略（如：3×x写作3x） 2.相同字母相乘时，写成平方形式（如：x×x写作x²） 3.解方程时要注意"解"字和等号对齐 4.检验方程的解时，要把结果代入原方程进行验证 5.列方程时要找准等量关系，再根据等量关系列方程 题型一：等式的性质及列等量关系式 【例1】张磊在校园环保活动中获得120个积分，比李华的积分的一半多10个。李华有多少积分？解：设李华有x个积分。下列方程错误的是（    ）。 A． x÷2－10＝120 B．x÷2＋10＝120 C．120－x÷2＝10 D．x÷2＝120－10 【练1】小明和他的爸爸相差26岁。小明x岁，爸爸40岁。用方程表示他们父子年龄的数量关系是( )。 题型二：方程的认识 【例2】下列式子中，（    ）是方程。 A．5x＋3.8 B．4m－2.2＝5.8 C．3.7×3＝11.1 D．3x＞18 【练2】按要求分类。（填序号） ①40＋x＞57        ②6×8＝48      ③y÷4.6＝2.3         ④8×6－2x＝7 ⑤10÷x＝15        ⑥4m＋2n         ⑦3y＋0.5y＝8          ⑧3.2x＋1.2×5＝6.5x 等式有( )；方程有( )。 题型三：列简易方程 【例3】根据下面收款单据中的信息判断，（    ）是正确的。 A．y＋56＝7200 B．7200－2y＝56 C．2y－7200＝56 D．7200－y＝56 【练3】看图写出等量关系式，并列出方程。    等量关系式： 方程： 题型四：等式的性质1 【例4】若x＋y＝20，则x＝20－y。( ) 【练4】如果x＋5＝y＋8，那么x小于y。( ) 题型五：应用等式的性质1解方程 【例5】解方程。                      【练5】解方程。                                                           题型六：等式的性质2 【例6】根据等式的性质，将a＝b（a、b均不为0）变形后，错误的是（    ）。 A．a×4.5＝b×4.5 B．a－4＝b＋4 C．a2＝ab D．a－12＝b－17＋5 【练6】方程两边同时除以一个数，方程仍然成立。( ) 题型七：应用等式的性质2解方程 【例7】解方程。                          【练7】解方程。 （1）                （2） （3）                （4） 题型八：应用等式的性质1和2解方程 【例8】解方程。 27x＋31x＝145    17.5＋x＝24.5    2.2x－0.5×2＝10 【练8】解方程。 （1）6x＋7＝35.8              （2）4.8x－x＝7.6 （3）4.5×3＋0.6x＝21.3        （4）25－x＝9.5 题型九：解含括号的方程 【例9】解方程，带★的要写出检验过程。                  ★         【练9】解方程。                     题型十：方程的检验 【例10】解方程。（带★号要检验） （1）9.5＋3.2x＝17.5                 （2）8x－2.7÷3＝35.1 （3）6.4x－3.6x＝56                 （4）★4.5×3＋0.6x＝21.9 【练10】解方程，带※的要验算。                                  ※ 题型十一：列方程解含一个未知数的问题 【例11】两列火车同时从梦海站出发，相背而行。开往东城站的火车平均速度为75千米/小时，开往西城站的火车平均速度为65千米/小时，两车同时到达两站。两列火车各行了几小时？（用方程解答） 【练11】妈妈买苹果和梨各2千克，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱？ 题型十二：列方程解含两个未知数的问题 【例12】英才小学三、四年级同学去孙子文化园参加研学活动，一共去了264人，四年级的人数是三年级的1.2倍。三、四年级各去了多少人？（列方程解答） 【练12】体育老师用50米长的绳子正好做了30根跳绳，其中一部分跳绳长2米，另一部分跳绳长1.5米。2米长的跳绳和1.5米长的跳绳各做了多少根？ 题型十三：列方程解稍复杂的实际问题 【例13】学校成立了“文明出行”家长志愿服务队，先后有350名家长参与志愿服务。其中参与的女家长的人数是男家长的6倍。参与志愿服务的男、女家长各有多少名？（用方程解） 【练13】两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下．甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下．乙组有多少人？ 1．下列式子中，（    ）是方程。 A．30－0.4x＝6 B．x－56＞200 C．4y＋5b D．37＋56＝93 2．如果x＝y，根据等式的性质，经过变形后，下列等式错误的是（    ）。 A．x－8＝y＋6＋2 B．x＋8＝y＋10－2 C．x×2×3＝6y D．x÷b＝y÷b（b≠0） 3．乐乐今年a岁，爸爸今年35岁，再过5年，乐乐与爸爸相差（    ）岁。 A．a B．5 C． D．无法确定 4．已知x＝2是方程ax＋8＝14的解，那么a的值是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．10 5．商店运来苹果和梨共120千克，苹果重量比梨的2倍还多12千克，两种水果各重________千克。（用方程解）。 A．梨36千克，苹果84千克 B．梨24千克，苹果96千克 C．梨30千克，苹果90千克 D．梨42千克，苹果78千克 6．如图，一个苹果重0.4千克，一个菠萝重 千克。 7．修一条长S米的路，每天修a米，已经修了5天，5a表示( )；S－5a表示( )，当S＝500，a＝9.5时，S－5a的值是( )米。 8．樱桃每千克15元钱，买a千克用( )元钱，如果有b元可以买( )千克，当b＝90时，能买( )千克樱桃。 9．一本书260页，每天看x页，看了5天。还剩下( )页没看。如果x＝35，还剩下( )页没看。 10．每个足球x元，李老师买4个足球，花了200元，列方程为( )。 11．解方程。 x－2.7＝12                4.8÷x＝3 7x－2.5＝15                2.8x＋x＝11.4 12．解方程，带※的要检验。 4（x－12）＝12           x－0.25x＝1.5         100－4x＝40 ※0.4x－3×0.9＝2.9        7x＋26＋3x＝98        12÷x＝1.05＋0.15 13．王芳家和李强家相距1040米，王芳去给李强送书，两人同时从家出发。王芳平均每分钟走62米，李强平均每分钟走68米。几分钟后两人相遇？ 14．东平湖畔栽植月季和牡丹共7500棵，月季的棵数是牡丹的1.5倍，月季和牡丹各种了多少棵？（列方程解答） 15．一个网球拍的价钱比一个乒乓球拍贵3元，网球拍的价钱是乒乓球拍的1.5倍，一个网球拍多少钱？（列方程解答） 16．客车和货车从同一地点沿着一条公路同时相背而行，2.5小时后两车相距350千米。已知客车每小时行驶80千米，货车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 17．学校的篮球比足球多20个，篮球的个数是足球的5倍，篮球和足球各有多少个？（列方程解答） 18．办公室买进一些A4纸，如果平均每天用20张，可以用28天，实际每天节约用纸4张，这些A4纸实际可用多少天？ 19．第七届世界军人运动会吉祥物名为“兵兵”，它的设计灵感来源于中国一级重点保护野生动物中华鲟。雌性中华鲟体长2.3米，比雄性中华鲟体长的2倍少1.1米。雄性中华鲟的体长是多少米？（用方程解） 20．甲乙两地相距1700千米，一列火车从甲地开往乙地，平均每小时行92千米，另一列火车同时从乙地开往甲地，平均每小时行78千米，经过几小时两车相遇？（列方程解答） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1单元 走进动物园——简易方程 单元知识清单 一、方程的基本概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程 2.方程的必备条件：①含有未知数；②是等式 3.等式与方程的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程 4.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值 5.解方程：求方程的解的过程 二、用字母表示数 1.字母表示数的意义：用字母可以表示未知数，也可以表示数量关系 2.字母表示数量关系： 路程公式：s=vt（s表示路程，v表示速度，t表示时间） 总价公式：c=ax（c表示总价，a表示单价，x表示数量） 3.字母表示运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc 4.字母表示计算公式： 长方形周长：C=2(a+b) 长方形面积：S=ab 正方形周长：C=4a 正方形面积：S=a²（读作：a的平方，表示2个a相乘） 三、等式的性质 1.等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立 字母表示：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c 2.等式性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立 字母表示：如果a=b，那么ac=bc，a÷c=b÷c（c≠0） 四、解方程 1.一步计算的方程： x+a=b 类型：x=b-a x-a=b 类型：x=b+a ax=b 类型：x=b÷a（a≠0） x÷a=b 类型：x=b×a（a≠0） 2.两步计算的方程： ax+b=c 类型：先把ax看作一个整体 a(x+b)=c 类型：先把(x+b)看作一个整体 3.解方程的书写格式： 必须写"解"字 等号要上下对齐 每一步都是等式 五、列方程解决实际问题 1.解题步骤： 审：理解题意，找出等量关系 设：设未知数（一般设所求问题为x） 列：根据等量关系列方程 解：解方程 验：检验答案是否正确 答：写出答案 2.常见等量关系： 部分量+部分量=总量 较大数-较小数=相差数 每份数×份数=总数 速度×时间=路程 单价×数量=总价 3.典型问题类型： 和差问题：(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数 和倍问题：和÷(倍数+1)=小数 差倍问题：差÷(倍数-1)=小数 六、易错点提示 1.字母与数字相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略（如：3×x写作3x） 2.相同字母相乘时，写成平方形式（如：x×x写作x²） 3.解方程时要注意"解"字和等号对齐 4.检验方程的解时，要把结果代入原方程进行验证 5.列方程时要找准等量关系，再根据等量关系列方程 题型一：等式的性质及列等量关系式 【例1】张磊在校园环保活动中获得120个积分，比李华的积分的一半多10个。李华有多少积分？解：设李华有x个积分。下列方程错误的是（    ）。 A．x÷2－10＝120 B．x÷2＋10＝120 C．120－x÷2＝10 D．x÷2＝120－10 【答案】A 【分析】根据题目可知，用李华的积分除以2，计算出李华的积分的一半是多少个，再加上10个就是张磊的积分，可以列出等量关系：李华的积分÷2＋10＝张磊的积分。逐项分析后进行选择，据此解答。 【详解】等量关系为：李华的积分÷2＋10＝张磊的积分 A．x÷2－10＝120表示李华的积分÷2－10＝张磊的积分，不符合等量关系； B．x÷2＋10＝120表示李华的积分÷2＋10＝张磊的积分，符合等量关系； C．120－x÷2＝10表示张磊的积分－李华的积分÷2＝10，根据加、减法的关系可以转换为：李华的积分÷2＋10＝张磊的积分，符合等量关系； D．x÷2＝120－10表示李华的积分÷2＝张磊的积分－10，根据加、减法的关系可以转换为：李华的积分÷2＋10＝张磊的积分，符合等量关系； 所以方程错误的是x÷2－10＝120。 故答案为：A 【练1】小明和他的爸爸相差26岁。小明x岁，爸爸40岁。用方程表示他们父子年龄的数量关系是( )。 【答案】x＋26＝40 【分析】根据小明和他的爸爸相差26岁，可得出数量关系：小明年龄＋26岁＝爸爸年龄，据此列出方程。 【详解】根据分析可知： 用方程表示他们父子年龄的数量关系是： x＋26＝40 （答案不唯一） 题型二：方程的认识 【例2】下列式子中，（    ）是方程。 A．5x＋3.8 B．4m－2.2＝5.8 C．3.7×3＝11.1 D．3x＞18 【答案】B 【分析】方程是含有未知数的等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【详解】A．式子5x＋3.8含有未知数，但它不是等式，所以它不是方程。 B．式子4m－2.2＝5.8含有未知数且它是等式，所以它是方程。 C．式子3.7×3＝11.1是等式，但它不含有未知数，所以它不是方程。 D．式子3x＞18含有未知数，但它不是等式，所以它不是方程。 故答案为：B 【练2】按要求分类。（填序号） ①40＋x＞57        ②6×8＝48      ③y÷4.6＝2.3         ④8×6－2x＝7 ⑤10÷x＝15        ⑥4m＋2n         ⑦3y＋0.5y＝8          ⑧3.2x＋1.2×5＝6.5x 等式有( )；方程有( )。 【答案】 ②③④⑤⑦⑧ ③④⑤⑦⑧ 【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。它们的关系如下所示： 据此分析填空即可。 【详解】①40＋x＞57既不是等式也不是方程，②6×8＝48是等式，③y÷4.6＝2.3是等式也是方程，④8×6－2x＝7是等式也是方程，⑤10÷x＝15是等式也是方程⑥4m＋2n既不是等式也不是方程，⑦3y＋0.5y＝8是等式是方程⑧3.2x＋1.2×5＝6.5x是等式是方程。 所以，等式有②③④⑤⑦⑧；方程有③④⑤⑦⑧。 题型三：列简易方程 【例3】根据下面收款单据中的信息判断，（    ）是正确的。 A．y＋56＝7200 B．7200－2y＝56 C．2y－7200＝56 D．7200－y＝56 【答案】B 【分析】电脑单价为y元，购买数量是2台，收款金额7200元，找零金额56元。在购物场景中，。已知电脑单价是y元，购买了2台，根据，可得出购买2台电脑的实际花费为2y元。将付款金额7200元，实际花费2y元，找零金额56元代入，就能推导出对应的等式，再与选项进行对比，即可确定正确答案。 【详解】买2台电脑的总价：（元） 结合收款和找零的关系列等式： A．，未考虑购买数量2台，错误； B．，与推导等式一致，正确； C．，逻辑上实际花费不可能大于付款金额，错误； D．，同样未考虑购买数量2台，错误。 所以“”是正确的。 故答案为：B 【练3】看图写出等量关系式，并列出方程。    等量关系式： 方程： 【答案】 大米的重量＋白菜的重量＝大米和白菜的总重量 x＋3x＝180 【分析】根据题意，仔细观察线段图，可知：大米重x千克，白菜的重量是大米的3倍，大米和白菜的总重量是180千克；等量关系式：大米的重量＋白菜的重量＝大米和白菜的总重量，列出方程：x＋3x＝180，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 等量关系式：大米的重量＋白菜的重量＝大米和白菜的总重量 列出方程：x＋3x＝180 题型四：等式的性质1 【例4】若x＋y＝20，则x＝20－y。( ) 【答案】√ 【分析】根据等式的性质，等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立，根据等式的性质1，方程两端同时减去y，即可算出方程的解。 【详解】x＋y＝20 解：x＋y－y＝20－y x＝20－y 若x＋y＝20，则x＝20－y。原题说法正确。 故答案为：√ 【练4】如果x＋5＝y＋8，那么x小于y。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，x＋5＝y＋8，x＋5与y＋8的和相同，那么其中一个加数越小，另一个加数越大，因为5＜8，要使等式成立，x＞y，据此解答即可。 【详解】x＋5＝y＋8 因为5＜8，要使等式成立，x＞y，所以原说法错误。 故答案为：× 题型五：应用等式的性质1解方程 【例5】解方程。                      【答案】x＝17.3；x＝6.3；x＝30 【分析】（1）根据等式的性质1，等式的两边同时加1.5即可解答。 （2）根据等式的性质2，等式的两边同时除以5即可解答。 （3）先计算等式的左边等于2.8x，再根据等式的性质2，等式的两边同时除以2.8即可解答。 【详解】（1）x－1.5＝15.8    解：x－1.5＋1.5＝15.8＋1.5 x＝17.3                （2）5 x＝31.5       解：5 x÷5＝31.5÷5 x＝6.3               （3）4 x－1.2 x＝84 解：2.8x＝84 2.8x÷2.8＝84÷2.8 x＝30 【练5】解方程。                                                           【答案】x＝12；x＝51.2；x＝1.2； x＝5；x＝20；x＝3 【分析】（1）应用等式的性质1，等式两边同时减去3.6，解方程。   （2）应用等式的性质2，等式两边同时乘4，解方程。   （3）应用等式的性质1和2，等式两边同时减去2.4，等式两边同时再除以4，解方程。   （4）应用等式的性质2，等式两边同时再乘x，再除以1.1，解方程。 （5）先计算2.6x＋x为3.6x，应用等式的性质2，等式两边同时再除以3.6，解方程。 （6）先计算x－0.2x为0.8x，应用等式的性质2，等式两边同时再除以0.8，解方程。 【详解】x＋3.6＝15.6 解：x＋3.6－3.6＝15.6－3.6 x＝12 x÷4＝12.8 解：x÷4×4＝12.8×4 x＝51.2 4x＋2.4＝7.2 解：4x＋2.4－2.4＝7.2－2.4 4x＝4.8 4x÷4＝4.8÷4 x＝1.2 5.5÷x＝1.1 解：5.5÷x×x＝1.1×x 1.1x＝5.5 1.1x÷1.1＝5.5÷1.1 x＝5 2.6x＋x＝72 解：3.6x＝72 3.6x÷3.6＝72÷3.6 x＝20 x－0.2x＝2.4 解：0.8x＝2.4 0.8x÷0.8＝2.4÷0.8 x＝3 题型六：等式的性质2 【例6】根据等式的性质，将a＝b（a、b均不为0）变形后，错误的是（    ）。 A．a×4.5＝b×4.5 B．a－4＝b＋4 C．a2＝ab D．a－12＝b－17＋5 【答案】B 【分析】等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。据此解答。 【详解】A．从式子a＝b变为a×4.5＝b×4.5，等式两边同时乘上4.5，等式仍成立； B．从式子a＝b变为a－4＝b＋4，等式左边减去了4，等式右边加上了4，所以等式不成立； C．从式子a＝b变为a2＝ab，等式两边同时乘上了a（a不为0），等式仍成立； D．从式子a＝b变为a－12＝b－17＋5，等式左边减去12，等式右边先减去17，再加上了5，实际上就是减去12，等式仍成立。 故答案为：B 【练6】方程两边同时除以一个数，方程仍然成立。( ) 【答案】× 【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。方程必须具备两个条件：必须是等式，必须含有未知数，根据等式的性质进行判断即可。 【详解】由分析可得： 等式的性质：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立，即方程两边同时除以的必须是同一个数，同时该数不能为0，题干中只说了同时除以一个数，即没有强调是同一个数，也没有说明0除外，所以题目不正确。 故答案为：× 【点睛】本题考查了等式和方程的意义，以及它们之间的关系，要求学生熟练掌握等式的性质。 题型七：应用等式的性质2解方程 【例7】解方程。                          【答案】x＝7.84；x＝27；x＝1.5 【分析】根据等式的性质解方程。等式两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍然成立。 ，为了使等式左边只剩下x，根据等式的性质，等式两边同时乘2.8即可解方程； ，首先对左边进行化简得到0.8x＝21.6，为了使等式左边只剩下x，根据等式的性质，等式两边同时除以0.8即可解方程； ，先计算乘法，方程变为0.7x＋34.8＝35.85，首先为了使等式左边只剩下含x的式子，根据等式的性质，等式两边同时减去34.8，此时方程为：0.7x＝1.05，为了使等式左边只剩下x，再同时除以0.7即可解方程。 【详解】 解：x÷2.8×2.8＝2.8×2.8 x＝7.84 解：0.8x＝21.6 0.8x÷0.8＝21.6÷0.8 x＝27 解：0.7x＋34.8＝35.85 0.7x＋34.8－34.8＝35.85－34.8 0.7x＝1.05 0.7x÷0.7＝1.05÷0.7 x＝1.5 【练7】解方程。 （1）                （2） （3）                （4） 【答案】x＝1.6；x＝8.2 x＝1.08；x＝2.5 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍成立；等式的性质2：等式两边同时乘上或除以一个相同的数（0除外），等式仍成立。 （1）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边同时减去5.5，再同时除以2即可解方程； （2）仔细观察方程及数据特点可知，左边先合并成5x，方程两边再同时除以5即可解方程； （3）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边同时乘0.9即可解方程； （4）仔细观察方程及数据特点可知，方程两边同时减去6.8，再同时除以3.2即可解方程。 【详解】（1）5.5＋2x＝8.7 解：5.5＋2x－5.5＝8.7－5.5 2x＝3.2 2x÷2＝3.2÷2 x＝1.6 （2）6x－x＝41 解：5x＝41 5x÷5＝41÷5 x＝8.2 （3）x÷0.9＝1.2 解：x÷0.9×0.9＝1.2×0.9 x＝1.08 （4）6.8＋3.2x＝14.8 解：6.8＋3.2x－6.8＝14.8－6.8 3.2x＝8 3.2x÷3.2＝8÷3.2 x＝2.5 题型八：应用等式的性质1和2解方程 【例8】解方程。 27x＋31x＝145    17.5＋x＝24.5    2.2x－0.5×2＝10 【答案】x＝2.5；x＝7；x＝5 【分析】先计算出左边的算式，27x＋31x＝58x，根据等式的性质2，方程的左右两边同时除以58，解出x； 根据等式的性质1，方程左右两边同时减17.5，解出x； 先计算出0.5×2＝1，根据等式的性质1，方程的左右两边同时加1，再根据等式的性质2，方程的左右两边同时除以2.2，解出x。 【详解】27x＋31x＝145 解：58x＝145 58x÷58＝145÷58 x＝2.5 17.5＋x＝24.5 解：17.5＋x－17.5＝24.5－17.5 x＝7 2.2x－0.5×2＝10 解：2.2x－1＝10 2.2x－1＋1＝10＋1 2.2x＝11 2.2x÷2.2＝11÷2.2 x＝5 【练8】解方程。 （1）6x＋7＝35.8              （2）4.8x－x＝7.6 （3）4.5×3＋0.6x＝21.3        （4）25－x＝9.5 【答案】x＝4.8；x＝2； x＝13；x＝15.5 【分析】（1）应用等式的性质1和2，等式两边同时减去7，等式两边同时再除以6，解方程。 （2）先计算4.8x－x为3.8x，应用等式的性质2，等式两边同时再除以3.8，解方程。 （3）先计算4.5×3＝13.5，应用等式的性质1和2，等式两边同时减去13.5，等式两边同时再除以0.6，解方程。   （4）应用等式的性质1，等式两边同时加上x，等式两边再同时减去9.5，解方程。 【详解】（1）6x＋7＝35.8 解：6x＋7－7＝35.8－7 6x＝28.8 6x÷6＝28.8÷6 x＝4.8                    （2）4.8x－x＝7.6   解：3.8x＝7.6 3.8x÷3.8＝7.6÷3.8 x＝2 （3）4.5×3＋0.6x＝21.3    解：13.5＋0.6x＝21.3 13.5－13.5＋0.6x＝21.3－13.5 0.6x＝7.8 0.6x÷0.6＝7.8÷0.6 x＝13 （4）25－x＝9.5 解：25－x＋x＝9.5＋x 9.5＋x＝25 9.5－9.5＋x＝25－9.5 x＝15.5 题型九：解含括号的方程 【例9】解方程，带★的要写出检验过程。                  ★         【答案】；； ； 【分析】（1）先将方程左右两边先同时乘x，再将方程左右两边的式子整个交换位置，最后方程左右两边同时除以7即可； （2）先将方程左右两边先同时加上2.6，再将方程左右两边同时除以36即可； （3）先将方程左右两边先同时加上乘4，再将方程左右两边同时加上1.8即可；将x的结果代入原方程进行检验，看左右两边是否相等； （4）先计算出8x＋2x＝10x，再将方程左右两边同时减去36，最后将方程左右两边同时除以10即可；据此解答。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3）★ 解： 检验：方程左边＝ ＝（13－1.8）÷4 ＝11.2÷4 ＝2.8 ＝方程右边 所以x＝13是方程的解。 （4） 解： 【练9】解方程。                     【答案】x＝9；x＝6； x＝0.45；x＝4 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时乘4.5，然后方程的两边同时除以1.8； （2）根据等式的性质，方程的两边同时减去1.4，然后方程的两边同时除以4.2； （3）先计算4.6＋9.4=14，再根据等式的性质，方程的两边同时除以14； （4）根据等式的性质，方程的两边同时除以4，然后方程的两边同时加上3.6。 【详解】 题型十：方程的检验 【例10】解方程。（带★号要检验） （1）9.5＋3.2x＝17.5                 （2）8x－2.7÷3＝35.1 （3）6.4x－3.6x＝56                 （4）★4.5×3＋0.6x＝21.9 【答案】（1）x＝2.5；（2）x＝4.5； （3）x＝20；（4）x＝14 【分析】（1）根据等式的性质1，方程的两边同时减去9.5，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以3.2即可； （2）先将2.7÷3算出得数，再根据等式的性质1，方程的两边同时加上该得数，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以8即可； （3）先计算出6.4x－3.6x＝2.8x，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以2.8即可； （4）先计算出4.5×3的得数，再根据等式的性质1，方程的两边同时减去该得数，再根据等式的性质2，方程的两边同时除以0.6即可；验算时需要将x的值代入方程，若两边相等则x的值是原方程的解；据此解答。 【详解】（1）9.5＋3.2x＝17.5 9.5＋3.2x－9.5＝17.5－9.5 3.2x＝8 3.2x÷3.2＝8÷3.2 x＝2.5 （2）8x－2.7÷3＝35.1 8x－0.9＝35.1 8x－0.9＋0.9＝35.1＋0.9 8x＝36 8x÷8＝36÷8 x＝4.5 （3）6.4x－3.6x＝56 2.8x＝56 2.8x÷2.8＝56÷2.8 x＝20 （4）4.5×3＋0.6x＝21.9 13.5＋0.6x＝21.9 13.5＋0.6x－13.5＝21.9－13.5 0.6x＝8.4 0.6x÷0.6＝8.4÷0.6 x＝14 验算：方程左边＝4.5×3＋0.6x ＝4.5×3＋0.6×14 ＝13.5＋0.6×14 ＝13.5＋8.4 ＝21.9 ＝方程右边 【练10】解方程，带※的要验算。                                  ※ 【答案】；； ；； 【分析】（1）先计算15×3＝45，应用等式的性质1，等式两边同时减去45，再应用等式的性质2，等式两边同时除以3，解方程。   （2）应用等式的性质2，等式两边同时再乘x，等式两边同时再除以13，解方程。 （3）先计算8.6x－8x＝0.6x，应用等式的性质2，等式两边同时再除以0.6，解方程。 （4）应用等式的性质1，等式两边同时再加上x，等式两边同时再减去35，解方程。 （5）应用等式的性质1和2，等式两边同时加上4.8，等式两边同时再除以1.2，解方程。 （6）先计算0.75x＋0.5x＝1.25x，应用等式的性质2，等式两边同时再除以1.25，解方程。验算时，把x的值代入原方程，看等号两边是否相等即可。 【详解】 解：3x＋45＝48 3x＋45－45＝48－45 3x＝3 3x÷3＝3÷3 x＝1 解：16.9÷x×x＝13×x 13x＝16.9 13x÷13＝16.9÷13 x＝1.3 解：0.6x＝0.12 0.6x＝0.12 0.6x÷0.6＝0.12÷0.6 x＝0.2 60－x＝35 解：60－x＋x＝35＋x 60＝35＋x 35＋x－35＝60－35 x＝25 解：1.2x－4.8＋4.8＝1.2＋4.8 1.2x＝6 1.2x÷1.2＝6÷1.2 x＝5 ※ 解：1.25x＝2.25 1.25x÷1.25＝2.25÷1.25 x＝1.8 验算：把代入原方程，左边，右边，左边＝右边，所以是原方程的解。 题型十一：列方程解含一个未知数的问题 【例11】两列火车同时从梦海站出发，相背而行。开往东城站的火车平均速度为75千米/小时，开往西城站的火车平均速度为65千米/小时，两车同时到达两站。两列火车各行了几小时？（用方程解答） 【答案】5.5小时 【分析】根据开往东城站的火车平均速度为75千米/小时，开往西城站的火车平均速度为65千米/小时，求出两车的速度之和。设两列火车各行驶了x小时，根据两车的速度之和×行驶的时间＝从西城站到东城站的总距离，列出方程，即可解答。 【详解】解：设两列火车各行了x小时 （75＋65）x＝770 140x＝770 x＝5.5 答：两列火车各行了5.5小时。 【练11】妈妈买苹果和梨各2千克，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱？ 【答案】4.4元 【分析】可以设苹果每千克x元，苹果的重量×苹果的单价＋梨的重量×梨的单价＝16.4，据此即可列方程，再根据等式的性质1和2解方程即可。 【详解】解：设苹果每千克x元。 2x＋2×3.8＝16.4 2x＋7.6＝16.4 2x＋7.6－7.6＝16.4－7.6 2x＝8.8 2x÷2＝8.8÷2 x＝4.4 答：苹果每千克4.4元。 题型十二：列方程解含两个未知数的问题 【例12】英才小学三、四年级同学去孙子文化园参加研学活动，一共去了264人，四年级的人数是三年级的1.2倍。三、四年级各去了多少人？（列方程解答） 【答案】三年级120人；四年级144人 【分析】要列方程，得先找“未知数”，三年级人数不知道，就把三年级人数设成人。因为四年级是三年级的1.2倍，所以四年级就是人。又知道两个年级总人数，那“三年级人数＋四年级人数＝总人数”就是等量关系，用这个关系列方程，再算出是多少，就能知道两个年级各去了多少人。 【详解】设三年级去了人，四年级去了人。 由题意： 所以（人） 答：三年级去了120人，四年级去了144人。 【练12】体育老师用50米长的绳子正好做了30根跳绳，其中一部分跳绳长2米，另一部分跳绳长1.5米。2米长的跳绳和1.5米长的跳绳各做了多少根？ 【答案】2米长跳绳10根；1.5米长跳绳20根 【分析】设2米长的跳绳做了x根，因为一共做了30根跳绳，所以1.5米长的跳绳做了（30－x）根。2米长的跳绳总长度为2x米，1.5米长的跳绳总长度为1.5×（30－x）米，已知绳子总长50米，据此可列方程：2x＋1.5×（30－x）＝50，计算得0.5x＋45＝50，根据等式的性质，方程两边同时减去45，再同时除以0.5求解出x，即为2米长跳绳的数量。最后将x的值代入（30－x）中计算出1.5米长跳绳的数量。 【详解】解：设2米长的跳绳做了x根，则1.5米长的跳绳做了（30－x）根。 2x＋1.5×（30－x）＝50 2x＋45－1.5x＝50 2x－1.5x＋45＝50 0.5x＋45＝50 0.5x＋45－45＝50－45 0.5x＝5 0.5x÷0.5＝5÷0.5 x＝10 30－x＝30－10＝20 答：2米长的跳绳做了10根，则1.5米长的跳绳做了20根。 题型十三：列方程解稍复杂的实际问题 【例13】学校成立了“文明出行”家长志愿服务队，先后有350名家长参与志愿服务。其中参与的女家长的人数是男家长的6倍。参与志愿服务的男、女家长各有多少名？（用方程解） 【答案】男家长志愿者有50人，女家长志愿者有300人 【分析】根据题意，设男家长志愿者有x人，则女家长志愿者是6x人，题中的等量关系是：女家长志愿者的人数＋男家长志愿者的人数＝350人，根据等量关系，列方程解答即可。 【详解】解：设男家长志愿者有x人。 6x＋x＝350 7x＝350 7x÷7＝350÷7 x＝50 50×6＝300（人） 答：男家长志愿者有50人，女家长志愿者有300人。 【练13】两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下．甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下．乙组有多少人？ 【答案】9人 【详解】解：设：乙组有x人． 6×140＋160x=152（x＋6） X=9 答：乙组有9人. 1．下列式子中，（    ）是方程。 A．30－0.4x＝6 B．x－56＞200 C．4y＋5b D．37＋56＝93 【答案】A 【分析】方程是含有未知数的等式。等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式，方程一定是等式，等式不一定是方程，据此解答即可。 【详解】A．30－0.4x＝6，含有未知数的等式，是方程； B．x－56＞200，含有未知数，不是等式，不是方程； C．4y＋5b，含有未知数，不是等式，不是方程； D．37＋56＝93，是等式，不含未知数，不是方程。 式子中，30－0.4x＝6是方程。 故答案为：A 2．如果x＝y，根据等式的性质，经过变形后，下列等式错误的是（    ）。 A．x－8＝y＋6＋2 B．x＋8＝y＋10－2 C．x×2×3＝6y D．x÷b＝y÷b（b≠0） 【答案】A 【分析】等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】A．x－8＝y＋6＋2，相当于左边减去8，右边加上8，所以左右两边不相等，等式错误； B．x＋8＝y＋10－2，相当于方程的两边同时加上8，符合等式的基本性质，等式正确； C．x×2×3＝6y，相当于方程两边同时乘6，符合等式的基本性质，等式正确； D．x÷b＝y÷b（b≠0），方程两边同时除以b，所以左右两边相等，符合等式的基本性质，等式正确。 故答案为：A 3．乐乐今年a岁，爸爸今年35岁，再过5年，乐乐与爸爸相差（    ）岁。 A．a B．5 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】每过一年乐乐和爸爸都长一岁，所以年龄差是固定不变的，今年小明与爸爸相差几岁，再过5年还是相差这些岁，由此解答即可。 【详解】乐乐今年a岁，爸爸今年35岁，再过5年，乐乐与爸爸相差（35－a）岁。 故答案为：C 4．已知x＝2是方程ax＋8＝14的解，那么a的值是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，把x＝2代入方程，即可得到一个关于a的方程，然后解答即可。 【详解】把x＝2代入方程ax＋8＝14得： 故答案为：C 【点睛】本题考查了解含有一个未知数的方程的方法。 5．商店运来苹果和梨共120千克，苹果重量比梨的2倍还多12千克，两种水果各重________千克。（用方程解）。 A．梨36千克，苹果84千克 B．梨24千克，苹果96千克 C．梨30千克，苹果90千克 D．梨42千克，苹果78千克 【答案】A 【分析】根据题意可知，设运来梨x千克，则运来苹果（2x＋12）千克，用梨的质量＋苹果的质量＝运来的梨和苹果的总质量，据此列方程解答。 【详解】解：设运来梨x千克，则运来苹果（2x＋12）千克， x＋（2x＋12）＝120 3x＋12＝120 3x＋12－12＝120－12 3x＝108 3x÷3＝108÷3 x＝36 苹果：36×2＋12＝84（千克）。 故答案为：A。 【点睛】用方程解答实际问题的关键是认真分析题意，找出等量关系。 6．如图，一个苹果重0.4千克，一个菠萝重 千克。 【答案】1.6 【分析】由图可知，两个菠萝的质量等于一个菠萝加上4个苹果的质量，那么一个菠萝的质量就等于4个苹果的质量。一个苹果重0.4千克，直接用0.4乘4即可算出一个菠萝的质量。 【详解】0.4×4＝1.6（千克） 故一个菠萝重1.6千克。 7．修一条长S米的路，每天修a米，已经修了5天，5a表示( )；S－5a表示( )，当S＝500，a＝9.5时，S－5a的值是( )米。 【答案】 5天修了多少米 还剩多少米没修 452.5 【分析】根据题干可知，每天修a米，已经修了5天，用每天修的长度乘修的时间，即可求出修的长度，则5a表示已经修的长度，用总长度减去已经修的长度，即可求出还剩下的长度，则S－5a表示还剩下的长度；将S＝500，a＝9.5代入S－5a计算即可解此题。 【详解】S－5a ＝500－5×9.5 ＝500－47.5 ＝452.5 综上可知，5a表示5天修了的长度，S－5a表示还剩下的长度，当S＝500，a＝9.5时，S－5a的值是452.5米。 8．樱桃每千克15元钱，买a千克用( )元钱，如果有b元可以买( )千克，当b＝90时，能买( )千克樱桃。 【答案】 15a b÷15 6 【分析】根据单价×数量＝总价，求出买a千克樱桃的价钱＝樱桃每千克15元×a千克；根据数量＝总价÷单价，求出有b元可以买多少千克＝b元÷每千克15元；再把b＝90代入计算。 【详解】15×a＝15a（元） b÷15＝（b÷15）千克 当b＝90 b÷15＝90÷15＝6（千克） 即樱桃每千克15元钱，买a千克用15a元钱，如果有b元可以买（b÷15）千克，当b＝90时，能买6千克樱桃。 9．一本书260页，每天看x页，看了5天。还剩下( )页没看。如果x＝35，还剩下( )页没看。 【答案】 260－5x 85 【分析】用5x表示5天看的页数，用260－5x表示剩余没看的页数，再将x＝35代入式子解答即可。 【详解】用5x表示5天看的页数， 即剩余没看的页数是：（260－5x）页 260－5x ＝260－5×35 ＝260－175 ＝85（页） 还剩下85页没看。 【点睛】此题主要考查学生对字母表示数以及代数计算的应用。 10．每个足球x元，李老师买4个足球，花了200元，列方程为( )。 【答案】4x＝200 【分析】根据题意确定数量关系式，即足球的数量×足球的单价＝总价钱，再代入已知数和未知数即可列出方程。 【详解】根据数量关系式可列方程为4x＝200。 11．解方程。 x－2.7＝12                4.8÷x＝3 7x－2.5＝15                2.8x＋x＝11.4 【答案】x＝14.7；x＝1.6 x＝2.5；x＝3 【分析】x－2.7＝12根据等式的性质1，方程两边同时加2.7解方程； 4.8÷x＝3根据被除数÷除数＝商，求除数＝被除数÷商，则变为x＝4.8÷3来解方程； 7x－2.5＝15根据等式的性质1和2，方程两边同时加2.5，再同时除以7解方程； 2.8x＋x＝11.4先合并2.8x与x为3.8x，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.8解方程。 【详解】x－2.7＝12 解：x－2.7＋2.7＝12＋2.7 x＝14.7 4.8÷x＝3 解：x＝4.8÷3 x＝1.6 7x－2.5＝15 解：7x－2.5＋2.5＝15＋2.5 7x＝17.5 7x÷7＝17.5÷7 x＝2.5 2.8x＋x＝11.4 解：3.8x＝11.4 3.8x÷3.8＝11.4÷3.8 x＝3 12．解方程，带※的要检验。 4（x－12）＝12           x－0.25x＝1.5         100－4x＝40 ※0.4x－3×0.9＝2.9        7x＋26＋3x＝98        12÷x＝1.05＋0.15 【答案】x＝15；x＝2；x＝15； x＝14；x＝7.2；x＝10； 【分析】利用等式的性质，对每个方程进行变形求解，对于需要检验的方程，将解代入原方程验证等式是否成立。 【详解】4（x－12）＝12   解：4（x－12）÷4＝12÷4 x－12＝3 x－12＋12＝3＋12 x＝15 x－0.25x＝1.5 解：（1－0.25）x＝1.5 0.75x＝1.5 0.75x÷0.75＝1.5÷0.75 x＝2 100－4x＝40 解：100－4x＋4x＝40＋4x 100＝40＋4x 40＋4x－40＝100－40 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 0.4x－3×0.9＝2.9 解：0.4x－2.7＝2.9 0.4x－2.7＋2.7＝2.9＋2.7 0.4x＝5.6 0.4x÷4＝5.6÷0.4 x＝14 检验：方程的左边＝0.4×14－3×0.9 ＝5.6－2.7 ＝2.9 ＝方程的右边 所以，x＝14是方程0.4x－3×0.9＝2.9的解。 7x＋26＋3x＝98 解：（7＋3）x＋26＝98 10x＋26＝98 10x＋26－26＝98－26 10x＝72 10x÷10＝72÷10 x＝7.2 12÷x＝1.05＋0.15 解：12÷x＝1.2 12÷x×x＝1.2×x 12＝1.2x 1.2x÷1.2＝12÷1.2 x＝10 13．王芳家和李强家相距1040米，王芳去给李强送书，两人同时从家出发。王芳平均每分钟走62米，李强平均每分钟走68米。几分钟后两人相遇？ 【答案】8分钟 【分析】设x分钟后两人相遇，两人相遇时两人的路程和恰好等于两人相距的距离，即用两人的速度之和乘时间就等于相距的路程，据此列方程解方程即可。 【详解】解：设x分钟后两人相遇。 （62＋68）x＝1040 130x＝1040 130x÷130＝1040÷130 x＝8 答：8分钟后两人相遇。 14．东平湖畔栽植月季和牡丹共7500棵，月季的棵数是牡丹的1.5倍，月季和牡丹各种了多少棵？（列方程解答） 【答案】4500棵；3000棵 【分析】月季的棵树＝牡丹的棵树×1.5，由月季和牡丹共7500棵可得数量关系式：月季的棵数＋牡丹的棵树＝7500，根据等量关系式列方程解答即可。 【详解】解：设牡丹种了x棵，则月季种了1.5x棵。 1.5x＋x＝7500 2.5x＝7500 2.5x÷2.5＝7500÷2.5 x＝3000 3000×1.5＝4500（棵） 答：月季种了4500棵，牡丹种了3000棵。 15．一个网球拍的价钱比一个乒乓球拍贵3元，网球拍的价钱是乒乓球拍的1.5倍，一个网球拍多少钱？（列方程解答） 【答案】9元 【分析】一个网球拍的价钱－一个乒乓球拍价钱＝3元，一个乒乓球拍价钱×1.5＝一个网球拍的价钱。设一个乒乓球拍的价钱是x元，据此用x表示出乒乓球拍的价格，再根据第一个等量关系式列方程并解方程。 【详解】解：设一个乒乓球拍的价钱是x元，则一个网球拍的价钱是1.5x元。 1.5x－x＝3 0.5x＝3 0.5x÷0.5＝3÷0.5 x＝6 6×1.5＝9（元） 答：一个网球拍9元。 16．客车和货车从同一地点沿着一条公路同时相背而行，2.5小时后两车相距350千米。已知客车每小时行驶80千米，货车每小时行驶多少千米？（列方程解答） 【答案】60千米 【分析】设货车每小时行驶x千米，那么它2.5小时就行驶了2.5x千米；客车的速度乘上2.5小时就是客车2.5小时行驶的路程，然后把客车和货车行驶的路程加在一起就是两车相距的路程，由此列出方程求解。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 2.5x＋80×2.5＝350 2.5x＋200＝350 2.5x＋200－200＝350－200 2.5x＝150 2.5x÷2.5＝150÷2.5 x＝60 答：货车每小时行驶60千米。 17．学校的篮球比足球多20个，篮球的个数是足球的5倍，篮球和足球各有多少个？（列方程解答） 【答案】篮球25个；足球5个 【分析】根据一个数是另一个数的几倍，这个条件先找出一份儿量是未知数，那么用方程解答时设一份量足球为x个。那么篮球可以表示为5x，再根据足球和篮球的差为20个，可以列方程解答。 【详解】解：设足球有x个，则篮球为5x个。 5x－x＝20 4x＝20 x＝5 5x＝5×5＝25 答：篮球25个，足球5个。 18．办公室买进一些A4纸，如果平均每天用20张，可以用28天，实际每天节约用纸4张，这些A4纸实际可用多少天？ 【答案】35天 【分析】根据题意可知A4纸的总张数一定，等量关系：实际平均每天用A4纸的张数×实际用的天数＝计划平均每天用A4纸的张数×计划用的天数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设这些A4纸实际可用天。 （20－4）＝20×28    16＝560 16÷16＝560÷16 ＝35 答：这些A4纸实际可用35天。 19．第七届世界军人运动会吉祥物名为“兵兵”，它的设计灵感来源于中国一级重点保护野生动物中华鲟。雌性中华鲟体长2.3米，比雄性中华鲟体长的2倍少1.1米。雄性中华鲟的体长是多少米？（用方程解） 【答案】1.7米 【分析】可设雄性中华鲟的体长为x米，根据数量关系：雌性中华鲟体长＝雄性中华鲟体长×2－1.1，据此列出方程，解答方程即可。 【详解】解：设雄性中华鲟的体长是x米。 答：雄性中华鲟的体长是1.7米。 20．甲乙两地相距1700千米，一列火车从甲地开往乙地，平均每小时行92千米，另一列火车同时从乙地开往甲地，平均每小时行78千米，经过几小时两车相遇？（列方程解答） 【答案】10小时 【分析】速度×时间＝路程，设相遇时间为x小时，一列火车行驶的路程＋另一列火车行驶的路程＝甲、乙两地路程；据此解答。 【详解】解：设经过x小时两车相遇。 92x＋78x＝1700 （92＋78）x＝1700 170x＝1700 170x÷170＝1700÷170 x＝10 答：经过10小时两车相遇。 【点睛】注意两列火车同时出发说明行驶时间相等。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $