专题03 数列通项求法秒杀解答题攻略（培优题型专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

专题03 数列通项求法解答题秒杀攻略 目录 第一部分 题型解码 微观解剖，精细教学 典例剖析 方法提炼 变式训练 题型01 利用定义求通项公式 题型02 累加法求通项公式 题型03 累乘法求通项公式 题型04 利用an与sn关系求通项公式 题型05 构造法求通项公式 第二部分 强化实训 整合应用，模拟实战 题型01 利用定义法求通项公式 【例1-1】（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【例1-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由. 【变式1-1】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前2n项和， (3)求的最大值和最小值． 【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式1-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型02 累加法求通项公式 【例2-1】（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 【例2-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列． (1)已知，证明：的差分数列为等差数列； (2)已知的差分数列为，求的通项公式． 【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【变式2-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知为等比数列，为正整数的最大奇因数，，且. (1)求； (2)写出时，与的关系； (3)求证：. 题型03 累乘法求通项公式 【例3-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 【例3-2】（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)若，求； (2)若，求关于n的表达式． 【变式3-2】（2022·福建南平·三模）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若满足，．设为数列的前n项和，求． 【变式3-3】（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 题型04 利用与关系求通项公式 【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)令，求的前项和． 【例4-2】（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 1、求数列的通项可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一） 【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 【变式4-2】（2025·四川自贡·一模）设数列的前n项和为． (1)求； (2)若，求数列的前n项和； (3)设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由． 【变式4-3】（2025·广东佛山·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. (1)证明：； (2)若，求； (3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 题型05 构造法求通项公式 【例5-1】（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【例5-2】（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 1、形如（其中均为常数且）型的递推式 （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 2、形如型的递推式 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 3、倒数变换法 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 4、形如型的递推式 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【变式5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【变式5-3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式： (2)证明：． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且. (1)分别求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 4．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 5．（2025·广东肇庆·一模）记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. (1)证明：是等比数列并求； (2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； (3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 6．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为. (1)求； (2)求的值； (3)设数列的前项和为，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列通项求法解答题秒杀攻略 目录 第一部分 题型解码 微观解剖，精细教学 典例剖析 方法提炼 变式训练 题型01 利用定义求通项公式 题型02 累加法求通项公式 题型03 累乘法求通项公式 题型04 利用an与sn关系求通项公式 题型05 构造法求通项公式 第二部分 强化实训 整合应用，模拟实战 题型01 利用定义法求通项公式 【例2-1】（2025·四川内江·一模）已知是等差数列的前项和，. (1)求； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意列出方程组，求得，即可写出通项； （2）先求出的表达式，将两个数列的项依次列出，再合并后从小到大排列推得，化简数列的通项，利用裂项相消法计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因，可得， 解得， 故； （2）由（1）得，则，则. 因数列的项依次为：，而数列的项依次为：， 将两数列的所有项从小到大排列依次为：，故其通项为. 则， 故数列的前项和为： . 【例1-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)试探究：在数列中取三个不同的项，能否构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)；(2)不能在数列中取三个不同的项，构成等比数列，理由见证明. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式以及等差数列前项和公式，进行求解即可. （2）通过反证法以及等比数列的性质进行计算即可. 【详解】（1）由题意可得，为等差数列，所以，， 所以，， 解得，，所以， 所以. （2）假设在数列中存在三个不同的项，，构成等比数列,根据等比中项性质，可得, 由(1)知，则，，, 将其代入可得：, 展开等式左边得：, 展开等式右边得：, 因为等式两边的系数和常数项分别相等，所以可得方程组, 由可得，将其代入得：, 展开并化简得：, 因为，，所以，这与矛盾, 由于假设不成立，所以在数列中取三个不同的项，不能构成等比数列. 【变式2-1】（2025·陕西西安·模拟预测）等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前2n项和， (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)；(3)最大值，最小值. 【分析】（1）通过基本量运算求得公差和公比，得到通项公式； （2）将分组，分别利用等差数列前项和公式和错位相减法求得各组的和，得到； （3）利用化简和式，讨论的奇偶得到最值. 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为， 则，解得， 所以，； （2）由（1），，， 所以 令， 即①， 则②， ①-②得： ， 整理得 所以； （3）因为，设 所以 ， 当为奇数时，，由反比例函数性质可知随增大而增大， 故； 当为偶数时，，由反比例函数性质可知随增大而减小， 故， 又当时，，介于与之间， 所以的最大值为，最小值为. 【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）先把等比数列的前项和公式形式为（为常数，为公比），再通过与的关系求解即可； （2）先借助(1)代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，， 又因为是等比数列，所以，解得； 所以的通项公式为． 故；． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 【变式1-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）根据题意求出，代入计算为常数，所以数列为等比数列，根据等比数列通项公式求出通项公式，减去便可得到的通项公式. （2）将的通项公式代入，求出数列的通项公式，利用错位相减法求出. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）知，所以， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以. 题型02 累加法求通项公式 【例2-1】（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，． (1)若，，成等差数列，求k； (2)求． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据，成等差数列得，求出即可； （2）由累加法结合裂项相消法可得答案. 【详解】（1）已知数列满足，． 因为，，成等差数列，所以， 所以， 整理得，解得，或（负值舍去）， 所以； （2）因为，又， 所以时， ， 时,也满足上式， 所以． 【例1-2】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列． (1)已知，证明：的差分数列为等差数列； (2)已知的差分数列为，求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）根据定义可求，再利用定义法可证的差分数列为等差数列； （2）利用累加法可求的通项公式． 【详解】（1），其中， 故，故的差分数列为等差数列. （2）由题设有， 故，由累加法可得， 而，所以， 而也满足该式，故. 【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可； （2）由裂项相消法求和即可． 【详解】（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 【变式2-2】（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，;(2);(3) 【分析】（1）由先求，根据等差数列的定义验证是否为不变的常数即可验证； （2）由（1）有，利用累加法即可求解； （3）由有，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， （2）由（1）有， 所以， 上式相加有， 所以，所以； （3）由（2）有， 所以， 所以 ， 所以. 【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知为等比数列，为正整数的最大奇因数，，且. (1)求； (2)写出时，与的关系； (3)求证：. 【答案】(1);(2);(3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，求出，进出求出等比数列公比，求出通项公式. （2）由已知可得，再由给定的和式，结合等差数列前n项和公式求出递推公式. （3）由（2）的结论，利用累加法求出，再利用等比数列前n项和公式求和得证. 【详解】（1）由为正整数的最大奇因数，得， 则，等比数列的公比为2， 所以等比数列的通项公式为. （2）由为正整数的最大奇因数，得当为正奇数时，；当为正偶数时，， ， 所以当时，. （3）当时，，由（2）知，当时，， ， 而满足上式，则， 所以. 题型03 累乘法求通项公式 【例3-1】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列. (1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值； (2)若数列为和积交替数列，且，. （i）若3是数列中的项，求实数的值； （ii）若，证明：. 【答案】(1)或;(2)（i）或；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值. （2）（i）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项，由范围，求出后面项的大小范围，判断3可能出现的位置，求出参数的值. （ii）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过对数运算，证明命题. 【详解】（1）由题知，， 解得，或； （2）（i）由题知，则，， 由，则；， 由，则；，但，， 所以；而，… 以此类推，当，时，. 所以若3是数列中的项， 则或或，解得或. （ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且， 所以，同取以2为底的对数，得， 即.又，所以， 则， 累乘整理，得， 所以时，. 当时，符合上述不等式， 所以，结论得证. 【例3-2】（24-25高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案； （2）整理数列通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】（1）当时，，显然成立； 当时，，，相减可得， 化简可得，由累乘法可得， 显然满足上式，故数列的通项公式. （2）由， 则， ， 两式相减可得 ， 所以. 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)若，求； (2)若，求关于n的表达式． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）令可求得，再结合可求出； （2）利用累乘法结合已知条件可得，则当时，，两式相减化简可得，从而可得的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列，进而可求出其通项，则可求得关于n的表达式． 【详解】（1）令，可得，故， 又，所以． （2）由，可得，，…，， 两边分别相乘得，所以． 当时，，所以， 即，即， 由题可知，所以， 所以的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列． 所以，，所以． 所以， 故． 【变式3-2】（2022·福建南平·三模）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若满足，．设为数列的前n项和，求． 【答案】(1);(2)-240; 【分析】（1）由累乘法求解数列的通项公式即可； （2）由（1），，则，然后由并项求和的方法求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以当时，，则，即， 当时，也成立，所以． （2）由（1），， 则， 则 ． 【变式3-3】（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2). 【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项； （2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为，代入， 整理得， 所以， 以上个式子相乘得， . 当时，，符合上式，所以. （2）. 所以，① ，② ①②得， ， 所以. 由得：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 题型04 利用与关系求通项公式 【例4-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列的前项和，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)令，求的前项和． 【答案】(1)，;(2) 【分析】（1）利用与的关系作差求，利用等比数列的通项公式求； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为数列的前项和，且满足， 所以，当时，， 所以， 经验证时，满足，故， 因为数列为公比大于0的等比数列，且，， 设公比为，所以，解得， 所以，. （2）由（1）可得， 所以①， ②， ①②得， 所以. 【例4-2】（25-26高三上·江西上饶·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）根据题中递推公式令运算求解即可； （2）根据与之间的关系整理可得当时，，结合常数列分析求解即可； （3）设，可得，利用分组求和法结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为，当时，，解得. （2）由可得， 两式相减得，即. 当时，，即， 由递推关系得，则。 且满足上式，故数列的通项公式为. （3）由（2）得， 设，则， 可得， ， 两式相减得 ， 故. 1、求数列的通项可用公式构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一） 【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)证明：是等比数列． (2)求数列的前项和． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2);(3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）由（1）可得，，利用作差法可判断单调性，据此可得答案. 【详解】（1）因， 则 即，从而是等比数列； （2）由（1）是以为首项，公比为的等比数列. 则，从而 ，两式相减可得： 则； （3）由（2）， ，又，则. ，当时，易得， 当时，，. 即，当时，，则为递增数列，则. 即. 【变式4-2】（2025·四川自贡·一模）设数列的前n项和为． (1)求； (2)若，求数列的前n项和； (3)设，是否存在正整数n对，、、的值为边长均能构成三角形，若存在求正整数的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在，正整数为 【分析】（1）利用,求得数列的通项公式； （2）根据已知写出，利用错位相减法求和即可； （3）设，由题意可得，构造函数，求导得其单调性，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1），当时， 当时， 两式作差可得：，，时，符合上式， 故综上：； （2）由（1）可知，则， 两式相减得： 数列的前n项和 （3）存在正整数的值为4，5，6时，满足、、的值均能构成三角形 由题意得： 不妨设，故三点均在第一象限内， 由可知，,故点恒在线段上， 则由， 即对任意得，恒成立 令，构造函数 则，由单调递增，又 存在使得 即当时，，故函数在区间上单调递减， 当时，，故函数在区间上单调递增； 故至多2个零点，又由，可知存在2个零点， 不妨设，且，. ①若，，此时或，则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，时，此时，则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故， 所以有，解得或5； 综上可知，正整数为4，5，6. 【变式4-3】（2025·广东佛山·一模）已知数列的各项均为正数，其前项和记为，，，其中为非零常数. (1)证明：； (2)若，求； (3)是否存在，使得数列为等差数列？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在， 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合求解得证. （2）法1：由（1）可得数列的特征，再求出其前10项和即可；法2，由（1）可得数列的奇数项、偶数项构成的数列特征，再分组求和即得. （3）假定存在，求出，再利用奇数项、偶数项构成的数列特征证明即可. 【详解】（1）数列的各项均为正数，，则， 两式相减，整理得，而， 所以. （2）解法1：当时，由（1）得， 则，， 于是，数列是公差为6的等差数列， 由，，得，则， . 解法2：由，，得， 当时，由（1）得， 因此数列的奇数项构成首项为1，公差为3的等差数列， 偶数项构成首项为3，公差为3的等差数列， . （3）由，，得， 由（1）知：，则， 假设存在使得数列为等差数列， 则，即，解得， 下面证明：当时，数列为等差数列. 由，，， 得数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， 因此，， 所以存在使得数列为等差数列，. 题型05 构造法求通项公式 【例5-1】（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析;(2);(3) 【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可. （2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可. （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则． 【例5-2】（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【答案】(1);(2);(3)12182 【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式； （2）易知是常数列，即可求的通项公式； （3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求. 【详解】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 1、形如（其中均为常数且）型的递推式 （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 2、形如型的递推式 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 3、倒数变换法 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 4、形如型的递推式 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【变式5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. （2）由（1）得， 所以 . 【变式5-2】（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）由已知等式变形得出，可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）验证当时，不等式成立；当时，推导出，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立. 【详解】（1）由题设条件，可得若，则， 用反证法，假设，由题设条件，显然，这与已知条件矛盾，所以. 因为，所以，，，所以，， 由得，所以， 又，所以是首项、公比均为的等比数列. 所以，则. （2）显然时，成立， 当时，，所以，所以， 所以，即，所以， 所以. 综上，，得证. 【变式5-3】（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1);(2)证明见解析;(3) 【知识点】分组（并项）法求和、构造法求数列通项、求等比数列前n项和、二项式定理与数列求和 【分析】（1）分析可知数列是首项和公比均为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）根据（1）可得，再利用等比数列求和公式分析证明； （3）根据（1）结合二项式定理求数列的通项公式，利用分组求和法结合等比数列求和公式分析求解. 【详解】（1）因为，则， 且，则， 可知数列是首项和公比均为2的等比数列， 可得，所以. （2）由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3）由（1）可知，，则. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 设为数列的前项和， 可得 . 所以数列的前项和为. 1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，即可证明. 【详解】（1）由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）， 所以. 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，． (1)求的通项公式： (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由可得出，两式作差推导出，然后利用初值可求得数列的通项公式； （2）利用放缩法推导出，再结合等比数列求和公式可证得结论成立； 【详解】（1）因为，进而，两式作差可得： ，即， 所以为常数列， 又，则，故数列的通项公式为． （2）由（1），则，其中，8，…，， 结合等比数列求和公式，有： ， 当时，， 综上所述，. 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且. (1)分别求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1),；(2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）解：设数列的首项为，公差为d， ，则， 所以数列的通项公式为． 因为，所以当时，，则． 当时，，则， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以． （2）因为，设数列的前项和为， ① ② ①-②得 ∴ ， 则． 4．（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，则， 又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列， . （2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则， 因此 ， 所以数列的前项和. 5．（2025·广东肇庆·一模）记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. (1)证明：是等比数列并求； (2)数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； (3)设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 【答案】(1)证明见解析，；(2)是，；(3)不存在 【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义判定为等比数列，利用等比数列通项公式求法求解即可. （2）方法一：利用与的关系化简判定是等差数列，然后利用等差数列通项公式求解即可； 方法二：通过前几项的结构猜想，然后利用数学归纳法证明即可. （3）先利用与的关系求得，进而，然后利用反证法思想解答即可. 【详解】（1）∵，∴， ∵， ∴是首项为4，公比为2的等比数列. ∴，即. （2）方法一：∵， ∴（）， 两式相减得， 整理得， ∴， 两式相减得，即， ∴是等差数列，由于，，∴公差，∴的通项公式为. 方法二（数学归纳法）： ∵， ∴， ∵，，代入上式解得， 猜想. 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即. 下证时，猜想成立，即证， ∵， ∴，， ∵，， ∴，解得. 由数学归纳可得是等差数列，. （3）由（1）知，， ∴当时，，经检验，满足上式， ∴（），， 假设存在这样的三个正整数，则，，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，解得，不满足题意， ∴假设不成立，不存在这样的正整数. 6．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为. (1)求； (2)求的值； (3)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，.(2)(3)证明见解析 【分析】（1）求出方程的根后可求； （2）利用代数变形可得，据此可求的值； （3）根据（2）的递归关系可得，利用构造法可求的通项公式，结合不等式的性质可证. 【详解】（1）因为方程的两实根分别为，故， 故，. 故，. （2）由题设可得， ， 所以， 故， ， ， ， 累计可得：即. （3）当时， 由题设， ， ， 故，设， 则，其中，， 故且， 而，， 故、均为等比数列， 且前者首项为，公比为，后者首项为，公比为， 故， 且， 所以，其中， 而满足上式，故， 整理得： 因为，而， 故， 而， 故， 故即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $