专题4.1 数列全章20种题型（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

该高中数学数列期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，按“概念-等差等比数列-递推公式-求和方法-实际应用”分层呈现知识脉络，用易错点标注和性质对比突出重难点，构建清晰的知识网络。 讲义亮点在于“题型+技巧”的分层设计，如递推公式求通项题型归纳累加法、构造法等技巧，结合《周髀算经》日影问题培养数学眼光，例题与变式题适配不同学生，助力教师实施精准复习，提升学生解题能力与思维品质。

专题4.1 数列（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 数列的概念与通项公式 1、能归纳简单数列的通项公式； 2、会用通项公式求指定项、判断某数是否为数列的项 基础必考点，多为选择、填空题； 易错点：忽略n的取值范围，符号交替数列处理不当； 命题趋势：结合实际情境考查通项归纳 等差数列的定义与通项公式 1、能利用定义判断数列等差数列； 2、熟练进行,,,基本量计算； 3、会用等差数列核心性质解题 高频核心考点，覆盖各类题型； 易错点：混淆公差与项的关系，误用性质前提； 命题趋势：与前项和结合或含参数判定 等差数列的前项和公式 1、熟练运用求和公式计算； 2、会求的最值； 解答题中常考中档题； 命题趋势：结合二次函数性质考查 等比数列的定义与通项公式 1、能根据定义判断等比数列； 2、熟练进行,,,基本量计算； 3、会用等比数列核心性质解题 高频核心考点，覆盖各类题型； 易错点：忽略，误用性质符号； 命题趋势：与等差数列对比或含参数存在性问题 等比数列的前n项和公式 1、能分类讨论运用求和公式计算； 2、会结合性质简化求和； 解答题中常考中档偏难题； 易错点：漏判，计算失误； 命题趋势：与错位相减法、不等式结合 数列的递推公式 1、能通过与的关系求通项； 2、会用累加法、累乘法、构造法求通项 高频易错点，多为选择填空压轴或解答题中档题； 易错点：转化方法不当，构造新数列不等价； 命题趋势：重点考查构造法求通项 数列求和的常用方法 1、熟练运用公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法； 2、能根据通项特征选合适求和方法 期末考试压轴题常考点，分值占比高； 易错点：裂项错误、错位相减项数统计失误； 命题趋势：侧重错位相减法、分组求和 数列的实际应用 1、能将实际问题转化为等差/等比数列模型； 2、会用数列公式解决实际问题 基础应用题，多为选择、填空或解答题中档题； 易错点：建模混淆数列类型，忽略n为正整数； 命题趋势：结合社会热点考查数学建模 知识点01 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列． （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数叫做数列的首项或叫做数列的第1项，排在第二位的数叫做数列的第二项，……，排在第位的数叫做数列的第项． （3）数列的一般形式：数列通常写成，，，…，，…，其中表示数列的第项，简记为． ·易错点：误将数列的项数（正整数，代表位置序号）与项（数列中第个位置的具体数值）等同． ·示例：数列{2n−1}中，项数对应的项是，容易错把当成项的值。 2、数列的表示方法 （1）数列的表示方法：通项公式法、列表法、图象法、逆推公式法． （2）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （3）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 3、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点02 等差数列 1、等差数列的概念及通项 （1）等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示． （2）等差数列的通项公式：利用累加公式推导，以为首项，为公差的等差数列通项公式为． （3）等差中项：在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 2、等差数列的性质 （1）等差数列的性质 ①通项公式的推广：； ②若，则； ·易错点：误用“等和性质”的前提条件，容易忽略下标和相等的前提，比如误得出（实际2+5=7）；或推广到三项时出错，比如认为（无此性质）． ③若的公差为d，则也是等差数列，公差为； ④若是等差数列，则也是等差数列． （2）等差数列与一次函数关系 由等差数列的通项公式，可知其图象是直线上的一些等间隔的点，其中点的横坐标是正整数，是直线在轴上的截距，公差是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加． （3）等差数列的单调性：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列，若公差，则为常数列． 3、等差数列的前n项和 （1）等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 （2）等差数列前n项和的性质 ①； ②； ③两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. ④数列，，，…构成等差数列． ⑤关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 若项数为，则，； 若项数为，则，，，． （3）等差数列前n项和的最值 ①函数特性：将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． ②邻项变号 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值． ·易错点：忽略的特殊情况：当时，，无最值（除非限定的范围），容易照搬时的最值求法． 知识点03 等比数列 1、等比数列的概念及通项 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．其数学语言表达式： (，为非零常数)． ·易错点：混淆“常数比”的严格性，误将“某几项的比为常数”当作等比数列定义，需注意必须对所有n∈N∗满足（常数），比如仅不能判定数列是等比数列． （2）等比数列的通项公式 ①等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：． ②通项公式的变形：或． （3）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列． ·易错点：混淆“等比中项”的双向性，若G是a与b的等比中项，则，但反之不成立——当时，，但a，G，b不构成等比数列；且等比中项有两个（），容易遗漏负根． 2、等比数列的性质 （1）等比数列的性质 ①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． ②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． ③若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等． 推广：． （2）等比数列与指数函数：等比数列的通项公式可整理为，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数的图象上的孤立点． 3、等比数列的前n项和 （1）等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 （2）等比数列前n项和的性质 ①等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． ②若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． ③若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． （3）与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 知识点04 数学归纳法 1、数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个与正整数有关的命题时，可采用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从开始的正整数，命题成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2、数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 题型一 数列中项的求解与判断 解｜题｜技｜巧 求数列指定项紧扣通项公式，已知通项直接代项数，已知递推或等差、等比数列则先转化或求基本量再计算。判断某数是否为数列的项，只需令通项等于该数解方程，验证解是否为正整数即可． 【例题1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列，，…，，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【解析】由题设，令，可得， 所以是这个数列的第23项.故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 【答案】B 【解析】因为， 所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误．故选：B． 【变式1-2】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第40项是（    ） A． B． C．11 D．5 【答案】C 【解析】依题意，所给数列的通项公式为， 所以该数列的第40项.故选：C 【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】C 【解析】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项.故选：C 题型二 由数列的前几项求通项 解｜题｜技｜巧 1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理. 【例题2】（24-25高二下·浙江温州·期末）2，4，6，8，10，，第项为 . 【答案】 【解析】由数列2，4，6，8，10，，得，所以. 【变式2-1】（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为.故选：D. 【变式2-2】（24-25高二下·江西赣州·期末）数列为，则不能作为通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确；故选：C. 【变式2-3】（23-24高二上·山西忻州·期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】前4项的整数部分依次为， 则第项的整数部分为，分数部分的分子是正奇数，分母是2的项数次幂， 则第项的分数部分为，并且按减加相间将两项连结， 所以.故选：D 题型三 求数列中的最大（小）项 解｜题｜技｜巧 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值 （3）利用“两边夹”求数列中的最大项，利用求数列中的最小项． 【例题3】（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由，得，解得或， 因为，所以当或时，，当时，， 所以当时，取得最小值.故选：B 【变式3-1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（    ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】设数列的最大项为. 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项.故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【答案】 【解析】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为. 【变式3-3】（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知，若数列中最小项为第3项，则 ． 【答案】 【解析】方法一：，，， ，数列中最小项为第3项， ，，，， 则的范围为. 方法二：对称轴为，开口向上，数列中最小项为第3项，， ，则的范围为. 题型四 数列的周期性及应用 解｜题｜技｜巧 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 【例题4】（24-25高二下·河南驻马店·期末）在数列中，已知，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【解析】数列中，由，，，得，， 所以，所以， 因此数列是周期数列，周期为6，所以.故选：B 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】因为， 所以， 所以， 所以， 所以，...， 所以数列是周期为3的数列，所以.故选：A 【变式4-2】（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以.故选：C. 【变式4-3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）记数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【解析】时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，， 所以数列是周期为8的周期数列， 且， 所以，. 题型五 等差数列基本量的求解 解｜题｜技｜巧 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【例题5】（24-25高二上·江苏镇江·期末）设为等差数列前n项和，若，则(    ) A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解析】依题意为等差数列前n项和， 若，解得， 所以.故选：C. 【变式5-1】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，，则（    ） A．36 B．48 C．72 D．108 【答案】C 【解析】在等差数列中，， 依题意，，即，， 两式相减解得，代入得， 因此.故选：C. 【变式5-2】（24-25高二下·江西萍乡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则公差（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】等差数列的前项和为，， 所以，所以， 则公差.故选：B. 【变式5-3】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．25 B．28 C．29 D．32 【答案】D 【解析】设数列的公差为，则，解得，， 因此，.故选：D 题型六 等差数列的判定与证明 解｜题｜技｜巧 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【例题6】（24-25高二上·广东茂名·期末）已知数列中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【解析】，又， 所以数列是公差为的等差数列，，故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由，则， 则，即，又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，则. 【变式6-2】（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 【变式6-3】（24-25高二上·海南海口·月考）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）证明：将两边同时除以，得， 当时，， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得 ，则，① 当 时，，② －②，得，整理得， 则 ， 也符合 ，所以 ． 题型七 等差数列的性质及应用 解｜题｜技｜巧 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【例题7】（24-25高二上·上海黄浦·期末）与的等差中项为 . 【答案】 【解析】设与的等差中项为， 则，解得， 所以与的等差中项为. 【变式7-1】（24-25高二下·广西河池·期末）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题可得， 所以，故选：C. 【变式7-2】（24-25高二下·河北·期末）已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：当，由等差数列下标和定理得，， 必要性：当等差数列公差时，若，则， 故“”是“”的充分不必要条件，故选：A． 【变式7-3】（24-25高二上·河南·月考）已知正项等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为等差数列，所以，， 则， 所以， 从而， 故，故选：C. 题型八 等差数列前n项和的性质及应用 解｜题｜技｜巧 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【例题8】（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【解析】为等差数列，所以也为等差数列， 因为， 所以， 所以.故选：. 【变式8-1】（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，.故选：B. 【变式8-2】（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得故选: A. 【变式8-3】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等差数列，的前项和分别为，， 由，得， .故选：C. 题型九 等差数列前n项和的最值 解｜题｜技｜巧 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【例题9】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则当取得最小值时， . 【答案】 【解析】解法一：由得，当时，， 当时，， ∴当取得最小值时，. 解法二：由得，， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴， ∴当取得最小值时，. 【变式9-1】（24-25高二上·山西·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时， ． 【答案】9 【解析】由可得，其中为公差， 由可得， 因此， 根据等差数列的性质得： 当时，；当时，. 因此当时，取得最小值. 【变式9-2】（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（    ）时，最大. A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【答案】C 【解析】根据题意，等差数列中，若，， 则有， 所以， 同时，即， 必有且， 故当时，最大．故选： 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【解析】因为为等差数列，前项和有最大值， 若，则，即， 所以，，，即， 则，即， ，即， 所以当时，的最大值为11.故选：A. 题型十 含绝对值的等差数列求和问题 解｜题｜技｜巧 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【例题10】（25-26高二上·黑龙江海林·月考）已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【解析】设数列的前项和为， 则， 因为当时，，当时，， 所以.故选：D. 【变式10-1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即， 由得，， 联立方程可得，， ∴，. （2）由得，时，，时，. 当时，， 当时，， ∴. 【变式10-2】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. （2）记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时 ， 所以. 【变式10-3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1），， 故，即， 的各项均不为零，故， 所以为等差数列，且公差大于0， 中，令得， 又，故， 中，令得， 其中，，故， 即，解得或0（舍去）， 故； （2）， 故当时，，当时，， 设的前项和为， 当时，， 当时，， 综上，. 题型十一 等比数列基本量的计算 解｜题｜技｜巧 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 【例题11】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（    ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， 由题意可得解得 则 故选：B. 【变式11-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（    ） A．1 B． C．1或2 D．1或 【答案】D 【解析】在等比数列中，由，，得，则， 所以或.故选：D 【变式11-2】（24-25高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 由，显然， 则，即， 所以， 所以.故选：C. 【变式11-3】（24-25高二上·河南开封·期末）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则 . 【答案】5 【解析】根据等比数列前项和公式可得： ， 所以，则， 因此，所以 题型十二 等比数列的判断与证明 解｜题｜技｜巧 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【例题12】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，等式两边除以得 ，变形得， 所以. 所以数列为等比数列，首项，公比为. 所以，所以. 所以.故选：A. 【变式12-1】（24-25高二上·广东惠州·期末）（多选）已知数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A．数列的首项不可能为0 B．当时，偶数项的符号相同 C．当时，一定是等比数列 D．当时，有可能是等比数列 【答案】BC 【解析】由，故A错误； 当时，，所以B正确； 当时，，满足上述，即， 所以当且仅当时，是等比数列，所以C正确；选项D错误．故选：BC． 【变式12-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）在数列中，，. (1)证明：为等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 则， 则是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得，即. 【变式12-3】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【答案】(1)，；(2)证明见解析，. 【解析】（1）数列的前n项和为，由得，解得， ，解得， 所以，. （2）当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式. 题型十三 等比数列的性质应用 解｜题｜技｜巧 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【例题13】（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）已知是公比为2的等比数列，若，则 . 【答案】200 【解析】记等比数列的公比为q，则. 因， 故． 【变式13-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列中，，则公比（    ） A．2 B．4 C．16 D． 【答案】C 【解析】当时，则， 而，，故舍去； 当时，， ， 可得，.故选：C. 【变式13-2】（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以.故选：B 【变式13-3】（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解析】等比数列的各项均为正数，且， ， ．故选：． 题型十四 等比数列前n项和性质应用 解｜题｜技｜巧 等比数列前项和性质应用的核心技巧是先明确公比的取值（优先讨论），再结合分段求和公式与等比数列片段和性质解题． 解题时，优先利用“等比数列中，、、（或为奇数）仍成等比数列”的性质简化计算，避免复杂求和；若涉及与的关系，需注意时，时，，最后验证通项公式的一致性． 【例题14】（24-25高二下·江西·期末）已知是等比数列的前项和，，，则（    ） A．14 B．28 C．35 D．49 【答案】D 【解析】由是等比数列的前项和，由题易知均不为， 且是等比数列， 因为，所以，可得， 所以， 则，解得，则.故选：D. 【变式14-1】（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（    ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【解析】设首项为，公比为，数列共有项， 则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以.故选：D 【变式14-2】（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3.故选：D. 【变式14-3】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 【答案】4 【解析】因为为等比数列的前项和，，若公比为， 所以为等比数列，所以， 所以，所以，解得或， 又，所以. 题型十五 等差数列与等比数列的实际应用 解｜题｜技｜巧 解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和． 【例题15】（25-26高二上·河南·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【解析】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得， 所以谷雨日影长为（尺）.故选：C 【变式15-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多（    ） A．4钱 B．8钱 C．10钱 D．12钱 【答案】B 【解析】不妨设大夫所出的钱数为，公差为， 依题可得：， 即，解得， 因此，即簪袅出的钱数比大夫多8钱．故选：B. 【变式15-2】（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解析】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为.故选：C 【变式15-3】（24-25高二上·内蒙古护栏浩特·期末）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【解析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以.故选：C. 题型十六 根据递推关系求数列的通项公式 解｜题｜技｜巧 1、对型用累加法，对型用累乘法，直接叠加或累乘消去中间项得通项； 2、对（）等线性递推型，用构造法配凑成的等比数列形式； 3、对分式、二阶等复杂递推，可先计算前几项归纳规律，或通过取倒数、作差等代数变形转化为熟悉模型． 【例题16】（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以故选： 【变式16-1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【解析】由，得， ， .故选：D. 【变式16-2】（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式 . 【答案】 【解析】若，则，即，这与矛盾，所以， 由，两边同时除以，得，则， ，，， 上边的式子相加可得：， 所以. 【变式16-3】（24-25高二上·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 【答案】 【解析】因为，所以有：， 因为，由此可得，所以， 所以数列为各项均为的无穷数列， 由此可得：. 题型十七 分组并项求和法求数列的前n项和 解｜题｜技｜巧 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. （3）一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 【例题17】（24-25高二下·广东湛江·期末）若数列的满足，，则数列的前15项和为（    ） A．105 B．119 C．135 D．152 【答案】C 【解析】因为 所以 故选：C. 【变式17-1】（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴ . 【变式17-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当时，得， 当时，，得， 故数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 故. （2）由（1）可知 当为奇数时，， 故 ， 故. 【变式17-3】（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）得， . 题型十八 裂项相消法求数列的前n项和 解｜题｜技｜巧 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例题18】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知数列满足，则数列前100项和为 ． 【答案】 【解析】由题意得， ①， 当时，， 当时， ②， 用①减去②，得，化简得， 当时，也满足， ，即， 则， 设数列前项和为， ， 数列前100项和. 【变式18-1】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）由（1）知， 所以. 【变式18-2】（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知等差数列的前n项和为，且， (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 则，解得，， 所以，. （2）由（1）可知：， 所以. 【变式18-3】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）∵， 当时，， ∴两式相减并化简得， 又，则； 当时，， 即，∴， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴. （2）证明：由（1）得，， 又，则， 则 . 题型十九 错位相减法求数列的前n项和 解｜题｜技｜巧 1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【例题19】（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 【变式19-1】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）因为，所以当时，， 当时，， 当时，，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列， 所以. 故，. （2）由（1）可知，， ，① ，② 由① - ②得： ， ， ∴. 【变式19-2】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【解析】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 【变式19-3】（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】（1）因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，对任意的，， 所以是首项和公比均为的等比数列，所以，. （2）由题意，， ① ② ①②得 所以， （3）由（1）可得，所以， 时，由，可得； 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 所以，所以， 综上，或时，取得最大值. 题型二十 数学归纳法及其应用 解｜题｜技｜巧 严格遵循归纳步骤，利用递推关系实现从到的推导： 1、奠基步骤要精准：验证取第一个值（通常是或）时命题成立，这是后续归纳的基础，需确保计算无误差，避免初始值验证错误． 2、归纳假设要明确：假设（，）时命题成立，需清晰写出该假设的表达式，后续推导必须紧扣这个假设，不能凭空捏造条件． 3、递推证明是关键：证明时命题成立，核心是将的表达式拆分为含的形式，代入归纳假设进行化简，同时注意结合数列、不等式等相关知识（如因式分解、放缩法）完成推导，避免逻辑断层． 4、结论表述要完整：最后需总结“由1、2可知，对任意的正整数，命题成立”，确保步骤闭环． 【例题20】（24-25高二上·陕西榆林·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：.故选：B. 【变式20-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【解析】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 【变式20-2】（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【解析】当时，. 故答案为： 【变式20-3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 【答案】(1)；(2)见解析 【解析】（1）存在， 由题可得，解得， 所以存在，； （2）证明： 当时，， 假设时，等式成立， 时， 成立， 综上，成立． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·宁夏银川·期末）已知数列满足，，则数列的前9项和为（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，所以， 所以，所以. 所以数列是周期为3的数列，故数列的前9项和为.故选：B 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【解析】因为在等差数列中，， 所以， 所以，故选：B. 3．（24-25高二上·广东潮州·期末）等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以, 所以，所以，故选：D 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【解析】设数列的公比为，则，即， 所以.故选：D. 5．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【解析】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以.故选：D 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，因为，所以，. 根据，可得，化简得到. 因为，所以，. 同理可得. 通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）. 当时，.故选：C. 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，根据下列条件不能求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若等差数列的公差为， A：，能求出，不符； B：，不能求出，符合. C：，能求出，不符； D：，能求出，不符；故选：B 3．（24-25高二下·江西萍乡·期末）若递增数列的各项均是正整数，且满足，则 ， . 【答案】 2 39 【解析】由已知得：.若，则有，矛盾； 若，则，与递增矛盾；故. 因为，则，，所以，. 又，即，所以，， 则，，又，即， 所以，，所以. 故答案为：2，39. 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设数列的前项和为，已知则 ． 【答案】 【解析】. 由， ， 猜想：. 下面用数学归纳法证明：若， 则对任意自然数，成立. 证明：当时，由上可知命题成立； 假设当时，， 则当时， 所以当时，命题也成立. 综上所述，对任意自然数，. 故. 5．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在，，. 【解析】（1）由， 可得：，解得：，所以； （2）由（1）可得：， 所以， 所以 （3）假设存在正整数m，n，（），使得成等差数列， 则，即， 即， 取，可得：， 所以存在，，. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以.故选：C. 2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确；故选：AD. 3．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 数列的概念与通项公式 1、能归纳简单数列的通项公式； 2、会用通项公式求指定项、判断某数是否为数列的项 基础必考点，多为选择、填空题； 易错点：忽略n的取值范围，符号交替数列处理不当； 命题趋势：结合实际情境考查通项归纳 等差数列的定义与通项公式 1、能利用定义判断数列等差数列； 2、熟练进行,,,基本量计算； 3、会用等差数列核心性质解题 高频核心考点，覆盖各类题型； 易错点：混淆公差与项的关系，误用性质前提； 命题趋势：与前项和结合或含参数判定 等差数列的前项和公式 1、熟练运用求和公式计算； 2、会求的最值； 解答题中常考中档题； 命题趋势：结合二次函数性质考查 等比数列的定义与通项公式 1、能根据定义判断等比数列； 2、熟练进行,,,基本量计算； 3、会用等比数列核心性质解题 高频核心考点，覆盖各类题型； 易错点：忽略，误用性质符号； 命题趋势：与等差数列对比或含参数存在性问题 等比数列的前n项和公式 1、能分类讨论运用求和公式计算； 2、会结合性质简化求和； 解答题中常考中档偏难题； 易错点：漏判，计算失误； 命题趋势：与错位相减法、不等式结合 数列的递推公式 1、能通过与的关系求通项； 2、会用累加法、累乘法、构造法求通项 高频易错点，多为选择填空压轴或解答题中档题； 易错点：转化方法不当，构造新数列不等价； 命题趋势：重点考查构造法求通项 数列求和的常用方法 1、熟练运用公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法； 2、能根据通项特征选合适求和方法 期末考试压轴题常考点，分值占比高； 易错点：裂项错误、错位相减项数统计失误； 命题趋势：侧重错位相减法、分组求和 数列的实际应用 1、能将实际问题转化为等差/等比数列模型； 2、会用数列公式解决实际问题 基础应用题，多为选择、填空或解答题中档题； 易错点：建模混淆数列类型，忽略n为正整数； 命题趋势：结合社会热点考查数学建模 知识点01 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列． （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数叫做数列的首项或叫做数列的第1项，排在第二位的数叫做数列的第二项，……，排在第位的数叫做数列的第项． （3）数列的一般形式：数列通常写成，，，…，，…，其中表示数列的第项，简记为． ·易错点：误将数列的项数（正整数，代表位置序号）与项（数列中第个位置的具体数值）等同． ·示例：数列{2n−1}中，项数对应的项是，容易错把当成项的值。 2、数列的表示方法 （1）数列的表示方法：通项公式法、列表法、图象法、逆推公式法． （2）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （3）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 3、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点02 等差数列 1、等差数列的概念及通项 （1）等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差用字母d表示． （2）等差数列的通项公式：利用累加公式推导，以为首项，为公差的等差数列通项公式为． （3）等差中项：在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M称为a与b的等差中项. 2、等差数列的性质 （1）等差数列的性质 ①通项公式的推广：； ②若，则； ·易错点：误用“等和性质”的前提条件，容易忽略下标和相等的前提，比如误得出（实际2+5=7）；或推广到三项时出错，比如认为（无此性质）． ③若的公差为d，则也是等差数列，公差为； ④若是等差数列，则也是等差数列． （2）等差数列与一次函数关系 由等差数列的通项公式，可知其图象是直线上的一些等间隔的点，其中点的横坐标是正整数，是直线在轴上的截距，公差是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加． （3）等差数列的单调性：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列，若公差，则为常数列． 3、等差数列的前n项和 （1）等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 （2）等差数列前n项和的性质 ①； ②； ③两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. ④数列，，，…构成等差数列． ⑤关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 若项数为，则，； 若项数为，则，，，． （3）等差数列前n项和的最值 ①函数特性：将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． ②邻项变号 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值． ·易错点：忽略的特殊情况：当时，，无最值（除非限定的范围），容易照搬时的最值求法． 知识点03 等比数列 1、等比数列的概念及通项 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．其数学语言表达式： (，为非零常数)． ·易错点：混淆“常数比”的严格性，误将“某几项的比为常数”当作等比数列定义，需注意必须对所有n∈N∗满足（常数），比如仅不能判定数列是等比数列． （2）等比数列的通项公式 ①等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：． ②通项公式的变形：或． （3）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列． ·易错点：混淆“等比中项”的双向性，若G是a与b的等比中项，则，但反之不成立——当时，，但a，G，b不构成等比数列；且等比中项有两个（），容易遗漏负根． 2、等比数列的性质 （1）等比数列的性质 ①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为． ②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． ③若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等． 推广：． （2）等比数列与指数函数：等比数列的通项公式可整理为，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数的图象上的孤立点． 3、等比数列的前n项和 （1）等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 （2）等比数列前n项和的性质 ①等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． ②若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． ③若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． （3）与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 知识点04 数学归纳法 1、数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个与正整数有关的命题时，可采用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从开始的正整数，命题成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2、数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 题型一 数列中项的求解与判断 解｜题｜技｜巧 求数列指定项紧扣通项公式，已知通项直接代项数，已知递推或等差、等比数列则先转化或求基本量再计算。判断某数是否为数列的项，只需令通项等于该数解方程，验证解是否为正整数即可． 【例题1】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列，，…，，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【变式1-1】（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 【变式1-2】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知数列，，，，，…，，…，则该数列的第40项是（    ） A． B． C．11 D．5 【变式1-3】（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（    ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 题型二 由数列的前几项求通项 解｜题｜技｜巧 1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理. 【例题2】（24-25高二下·浙江温州·期末）2，4，6，8，10，，第项为 . 【变式2-1】（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·江西赣州·期末）数列为，则不能作为通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·山西忻州·期末）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 题型三 求数列中的最大（小）项 解｜题｜技｜巧 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值 （3）利用“两边夹”求数列中的最大项，利用求数列中的最小项． 【例题3】（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（    ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-2】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【变式3-3】（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知，若数列中最小项为第3项，则 ． 题型四 数列的周期性及应用 解｜题｜技｜巧 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 【例题4】（24-25高二下·河南驻马店·期末）在数列中，已知，，，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式4-1】（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D．5 【变式4-2】（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）记数列的前项和为，且，则 . 题型五 等差数列基本量的求解 解｜题｜技｜巧 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【例题5】（24-25高二上·江苏镇江·期末）设为等差数列前n项和，若，则(    ) A．0 B．3 C．6 D．9 【变式5-1】（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，，则（    ） A．36 B．48 C．72 D．108 【变式5-2】（24-25高二下·江西萍乡·期末）已知等差数列的前项和为，若，则公差（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式5-3】（24-25高二下·河南鹤壁·期末）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．25 B．28 C．29 D．32 题型六 等差数列的判定与证明 解｜题｜技｜巧 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【例题6】（24-25高二上·广东茂名·期末）已知数列中，，若，且，则（    ） A． B． C． D．17 【变式6-1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【变式6-2】（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【变式6-3】（24-25高二上·海南海口·月考）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 题型七 等差数列的性质及应用 解｜题｜技｜巧 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【例题7】（24-25高二上·上海黄浦·期末）与的等差中项为 . 【变式7-1】（24-25高二下·广西河池·期末）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-2】（24-25高二下·河北·期末）已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式7-3】（24-25高二上·河南·月考）已知正项等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 题型八 等差数列前n项和的性质及应用 解｜题｜技｜巧 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【例题8】（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 【变式8-1】（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型九 等差数列前n项和的最值 解｜题｜技｜巧 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【例题9】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则当取得最小值时， . 【变式9-1】（24-25高二上·山西·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时， ． 【变式9-2】（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列，为其前n项和，且满足，，则当（    ）时，最大. A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型十 含绝对值的等差数列求和问题 解｜题｜技｜巧 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【例题10】（25-26高二上·黑龙江海林·月考）已知数列满足，，则数列的前12项和为（    ） A．108 B．28 C．62 D．80 【变式10-1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【变式10-2】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列中，，数列满足. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)令；求． 【变式10-3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 题型十一 等比数列基本量的计算 解｜题｜技｜巧 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 【例题11】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知是等比数列的前n项和，若，则（    ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【变式11-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（    ） A．1 B． C．1或2 D．1或 【变式11-2】（24-25高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式11-3】（24-25高二上·河南开封·期末）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则 . 题型十二 等比数列的判断与证明 解｜题｜技｜巧 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【例题12】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二上·广东惠州·期末）（多选）已知数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A．数列的首项不可能为0 B．当时，偶数项的符号相同 C．当时，一定是等比数列 D．当时，有可能是等比数列 【变式12-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）在数列中，，. (1)证明：为等比数列； (2)求的通项公式. 【变式12-3】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列的前n项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 题型十三 等比数列的性质应用 解｜题｜技｜巧 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【例题13】（24-25高二上·黑龙江绥化·期末）已知是公比为2的等比数列，若，则 . 【变式13-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等比数列中，，则公比（    ） A．2 B．4 C．16 D． 【变式13-2】（25-26高二上·广东·期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 题型十四 等比数列前n项和性质应用 解｜题｜技｜巧 等比数列前项和性质应用的核心技巧是先明确公比的取值（优先讨论），再结合分段求和公式与等比数列片段和性质解题． 解题时，优先利用“等比数列中，、、（或为奇数）仍成等比数列”的性质简化计算，避免复杂求和；若涉及与的关系，需注意时，时，，最后验证通项公式的一致性． 【例题14】（24-25高二下·江西·期末）已知是等比数列的前项和，，，则（    ） A．14 B．28 C．35 D．49 【变式14-1】（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（    ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式14-2】（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式14-3】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 题型十五 等差数列与等比数列的实际应用 解｜题｜技｜巧 解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和． 【例题15】（25-26高二上·河南·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式15-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多（    ） A．4钱 B．8钱 C．10钱 D．12钱 【变式15-2】（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【变式15-3】（24-25高二上·内蒙古护栏浩特·期末）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型十六 根据递推关系求数列的通项公式 解｜题｜技｜巧 1、对型用累加法，对型用累乘法，直接叠加或累乘消去中间项得通项； 2、对（）等线性递推型，用构造法配凑成的等比数列形式； 3、对分式、二阶等复杂递推，可先计算前几项归纳规律，或通过取倒数、作差等代数变形转化为熟悉模型． 【例题16】（24-25高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【变式16-2】（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式 . 【变式16-3】（24-25高二上·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 题型十七 分组并项求和法求数列的前n项和 解｜题｜技｜巧 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. （3）一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 【例题17】（24-25高二下·广东湛江·期末）若数列的满足，，则数列的前15项和为（    ） A．105 B．119 C．135 D．152 【变式17-1】（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【变式17-2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，求数列的前项和. 【变式17-3】（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 题型十八 裂项相消法求数列的前n项和 解｜题｜技｜巧 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例题18】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知数列满足，则数列前100项和为 ． 【变式18-1】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式18-2】（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知等差数列的前n项和为，且， (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前n项和 【变式18-3】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 题型十九 错位相减法求数列的前n项和 解｜题｜技｜巧 1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【例题19】（25-26高二上·甘肃·期末）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【变式19-1】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且． (1)求数列、的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【变式19-2】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【变式19-3】（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 题型二十 数学归纳法及其应用 解｜题｜技｜巧 严格遵循归纳步骤，利用递推关系实现从到的推导： 1、奠基步骤要精准：验证取第一个值（通常是或）时命题成立，这是后续归纳的基础，需确保计算无误差，避免初始值验证错误． 2、归纳假设要明确：假设（，）时命题成立，需清晰写出该假设的表达式，后续推导必须紧扣这个假设，不能凭空捏造条件． 3、递推证明是关键：证明时命题成立，核心是将的表达式拆分为含的形式，代入归纳假设进行化简，同时注意结合数列、不等式等相关知识（如因式分解、放缩法）完成推导，避免逻辑断层． 4、结论表述要完整：最后需总结“由1、2可知，对任意的正整数，命题成立”，确保步骤闭环． 【例题20】（24-25高二上·陕西榆林·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【变式20-1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【变式20-2】（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【变式20-3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知． (1)是否存在常数使得对任意的都成立？若存在，求出； (2)若（1）中存在，用数学归纳法证明． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·宁夏银川·期末）已知数列满足，，则数列的前9项和为（    ） A．6 B． C．3 D． 2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 3．（24-25高二上·广东潮州·期末）等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（    ） A．7 B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，根据下列条件不能求出的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西萍乡·期末）若递增数列的各项均是正整数，且满足，则 ， . 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设数列的前项和为，已知则 ． 5．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C．16 D．18 2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $