等比数列及其前n项和 期末复习专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理等比数列单元知识体系，涵盖定义、等比中项、通项公式（累乘法推导）、项的性质、前n项和（错位相减法推导）、前n项和性质及判定证明七大要点，清晰呈现概念、公式与性质的内在逻辑，突出累乘法、错位相减法等核心方法，培养学生抽象能力与符号意识。 讲义亮点在于典例分类精准，含基本量求解、性质应用、判定证明及综合题型，如结合《增减算法统宗》故事的实际应用问题，通过具体情境培养数学思维中的推理能力与数学语言中的模型意识。基础题与综合题分层设置，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

等比数列及其前n项和 一．重要知识点梳理 1.定义 从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于固定常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，即递推关系式为(n≥2，q为常数)． 2.等比中项 a，A，b成等比数列，则A叫做a与b的等比中项，且有。 3.等比数列的通项公式（累乘法推导） 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为；其表达式一定是关于n的指数函数，单调性是由a1和q共同决定的，所以若等比数列{an}递增时，则有；所以若等比数列{an}递减时，则有； 4.等比数列项的性质 若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则； 5.等比数列的前n项和（错位相减法推导） 设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，其前n项和： ①当时，； ②当时，。 6.等比数列前n项和的常用性质 等比数列中依次k项之和组成公比为的等比数列（-1或n为偶数） 7.等比数列的判定与证明 (1)定义法：(q是不等于0的常数，n∈N*）⇔{an}是等比数列． (2)等比中项法：(an an＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． (3)前n项和法：⇔{an}是等比数列． 二．典例分类分析 （一）．等比数列的基本量求解 1．已知等比数列的前3项和为，则（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， ，， 解得， 所以. 故选：B 2.已知为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【详解】设公比为q，显然，由已知得，， 所以，故，即， 所以， 故选：C. 3．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 4．已知等比数列{an}中，，，则a4＝_________． 【答案】或 【分析】根据，列方程，解方程即可求. 【详解】解：， ∴， ∴或， 所以或． 故答案为：或. （二）．等比数列的重要性质 1.若数列成等比数列，则实数b的值为（ ） A．－3 B．3 C．±3 D．不能确定 【答案】A 【详解】 因为数列成等比数列，设等比数列的公比为， 则，解得， 所以. 故选：A. 2．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为等比数列，所以，故即， 所以，因为为递增数列，故解得. 设等比数列的公比为，则， 所以或（舍，因为为递增数列）. 故，B选项错误，， ， C选项正确，D选项错误， ，A选项错误. 故选：C 3．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A． B．8 C．7 D． 【答案】A 【分析】利用等比数列前n项和的性质求解. 【详解】∵为等比数列的前n项和， ∴，，，成等比数列 ∴， ∴，. ∴，. 故选：A 4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　) A．12 B.13 C．14 D．15 解析：选C　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3.所以bm＝4×3m－1. 令bm＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15＝324. 所以n＝14. 5.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 【详解】　由等比数列的性质可知，a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10·a11＝e5， 于是ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝10ln(a10·a11)＝10ln e5＝50. 答案　50 6设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝________. 【详解】由题意知＝＝＝＝logb5a5＝. 7.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________. 【详解】方法一　a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，① a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，② ②÷①：＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43 ＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)·(q16)10＝1·210＝1 024. 方法二　由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p， 设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8， ∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1 024. （四）．等比数列的判定 1．在数列中，，对任意正整数m，n，恒成立，为的前n项和，若，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】令可求出公比，得出等比数列前项和，进而得解. 【详解】令，由可得，即， 所以该数列为等比数列，， 所以， 令，解得. 故选：A 2．已知数列的前项和满足条件． (1)求证：数列成等比数列； (2)求通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）根据题意，数列满足①， 当时，有，所以， 当时，因为，所以②， ①-②得，即． 由，得，所以， 由等比数列定义知数列是首项，公比的等比数列. （2）由（1）可得：数列是首项，公比的等比数列， 则， 故数列的通项公式为. 3.在数列中，，且. 证明：是等比数列，并求的通项公式 【详解】由题意可得，因为，所以， 所以，所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以：， 所以 4．设数列的首项为常数，且． (1)判断数列是否为等比数列，请说明理由； (2)若数列是递增数列，求的取值范围． 【答案】(1)当时，数列不是等比数列； 当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列. (2) 【详解】（1）因为数列的首项为常数，且， 所以， 所以当时，，数列不是等比数列； 当时，，数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由(1)知：当时，显然满足题意； 当时，数列是以为首项，以为公比的等比数列.所以，则， 若数列是递增数列，则， 也即，解之可得：， 综上所述：的取值范围是. （五）．等比数列的综合应用 1.（多选）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A．此人第六天只走了5里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】BCD 【详解】 解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列． 所以，解得． 选项A：，故A错误， 选项B：由，则，又，故B正确． 选项C：，而，，故C正确． 选项D：， 则后3天走的路程为， 而且，D正确． 故选：BCD． 2．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B.a7·a9>1 C．Sn的最大值为S9 D．Tn的最大值为T7 【答案】AD 【详解】∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1，a8<1， ∴0<q<1，故A正确；a7a9＝a<1，故B错误； ∵a1>1,0<q<1，∴数列为递减数列，∴Sn无最大值，故C错误， 又a7>1，a8<1，∴T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确．故选A、D. 3.已知数列满足，设，为数列前n项和，若（为常数），则最小值为__________. 【答案】 【详解】时，， 因为① 所以② 得：，即（），不符合， 所以，， 所以③ ④ 得：. 化简得：， 因为，所以的最小值是. 故答案为：. 4．为平面直角坐标系的坐标原点，点.在轴正半轴上依次取中点，中点，中点，…，中点，…记，.则（1）数列的通项公式___________；（2）记，数列的最大值为___________. 【答案】 【详解】 解：（1）根据题意，有，即数列是首项为1，公比为的等比数列， 则； （2）根据题意，，则， 则， 若，即，解可得， 又由，则有， 即当，，数列递增，即， 当时，，数列递减，则有， 又， 故数列的最大值为； 故答案为：（1）；（2）． 5．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里． （1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （2）判断是否是等比数列，并说明理由； （3）至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】(1) (2) 是等比数列，理由见解析. (3) 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 【详解】 （1）由题意得， 所以； （2）由（1）得，∴， 所以是等比数列. （3）由（2）有，又，所以， ∴，即； ，即，两边取常用对数得： ，所以， ∴． ∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 6．已知数列的前n项和为，，，，其中为常数． (1)证明：； (2)若数列为等比数列，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）由消去等式中的，化简证明等式成立； （2）由（1），利用得到数列的递推关系，由条件为等比数列，所以，解出. 【详解】（1）证明：∵，， ∴．∴． ∵，∴，∴．∴． （2）由（1）知，，当时，， 两式相减，（，）， ∴数列从第二项起成等比数列，且公比． 又，即， ∴， ∴， ∴当时，数列是等比数列． 7.已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为. （2）由于，所以 对应的区间为：，则； 对应的区间分别为：，则，即有个； 对应的区间分别为：，则，即有个； 对应的区间分别为：，则，即有个； 对应的区间分别为：，则，即有个； 对应的区间分别为：，则，即有个； 对应的区间分别为：，则，即有个. 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列及其前n项和 一．重要知识点梳理 1.定义 从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于固定常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，即递推关系式为(n≥2，q为常数)． 2.等比中项 a，A，b成等比数列，则A叫做a与b的等比中项，且有。 3.等比数列的通项公式（累乘法推导） 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为；其表达式一定是关于n的指数函数，单调性是由a1和q共同决定的，所以若等比数列{an}递增时，则有；所以若等比数列{an}递减时，则有； 4.等比数列项的性质 若m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则； 5.等比数列的前n项和（错位相减法推导） 设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，其前n项和： ①当时，； ②当时，。 6.等比数列前n项和的常用性质 等比数列中依次k项之和组成公比为的等比数列（-1或n为偶数） 7.等比数列的判定与证明 (1)定义法：(q是不等于0的常数，n∈N*）⇔{an}是等比数列． (2)等比中项法：(an an＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． (3)前n项和法：⇔{an}是等比数列． 二．典例分类分析 （一）．等比数列的基本量求解 1．已知等比数列的前3项和为，则（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 2.已知为等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．15 B． C． D． 3．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 4．已知等比数列{an}中，，，则a4＝_________． （二）．等比数列的重要性质 1.若数列成等比数列，则实数b的值为（ ） A．－3 B．3 C．±3 D．不能确定 2．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ） A． B．8 C．7 D． 4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　) A．12 B.13 C．14 D．15 5.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 6设数列{an}、{bn}都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝________. 7.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________. （四）．等比数列的判定 1．在数列中，，对任意正整数m，n，恒成立，为的前n项和，若，则（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 2．已知数列的前项和满足条件． (1)求证：数列成等比数列； (2)求通项公式． 3.在数列中，，且. 证明：是等比数列，并求的通项公式 4．设数列的首项为常数，且． (1)判断数列是否为等比数列，请说明理由； (2)若数列是递增数列，求的取值范围． （五）．等比数列的综合应用 1.（多选）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（ ） A．此人第六天只走了5里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 2．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B.a7·a9>1 C．Sn的最大值为S9 D．Tn的最大值为T7 3.已知数列满足，设，为数列前n项和，若（为常数），则最小值为__________. 4．为平面直角坐标系的坐标原点，点.在轴正半轴上依次取中点，中点，中点，…，中点，…记，.则（1）数列的通项公式___________；（2）记，数列的最大值为___________. 5．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的 被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里． （1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （2）判断是否是等比数列，并说明理由； （3）至少经过几年，绿洲面积可超过？ 6．已知数列的前n项和为，，，，其中为常数． (1)证明：； (2)若数列为等比数列，求的值． 7.已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $