第1章 坐标平面上的直线（单元测试·提升卷）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第1章 坐标平面上的直线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】由直线的一个法向量为，可直线的斜率为， 又由直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 2．直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或3 【详解】由直线与直线平行， 可得且，解得或． 故答案为：或3． 3．已知，两点到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【详解】因为，两点到直线的距离相等， 所以有或， 解得或. 故答案为：或 4．已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，得， 又，所以. 故答案为： 5．设，点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 6．直线，直线，若，则实数 . 【答案】 【详解】根据题意可知若两直线平行可得，即; 解得或； 经检验可知，当时，两直线均为，此时两直线重合，不合题意； 因此可得. 故答案为： 7．已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即 因为反射光线进过点，根据垂直平分线的性质，可得： . 故答案为：. 8．已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为 . 【答案】 【详解】直线恒过点， 则，， 直线为过点且与轴垂直的直线， 则直线从转到时，k的取值范围为， 直线从转到时，k的取值范围为， 则直线与线段PQ相交时k的取值范围为. 故答案为： 9．已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为 . 【答案】 【详解】根据题意可设直线的倾斜角为， 由易知直线： 的斜率为1，因此可得， 由可得直线：的斜率为，可得； 即，解得； 因此可知直线的斜率为， 又点为与的交点，联立，解得，即； 所以直线的方程为，即. 故答案为： 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，所以， 则，所以“将军饮马”的最短总路程为，    故答案为：. 11．在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【答案】 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 12．定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 【答案】8 【详解】由题意两定点与到直线的有向距离分别为 ，， 因为，所以， 即，化简得，则. 又由不全为零，则，且. 当时，可化为； 当时，可化为； 又因为在直线l的同侧， 则. 解得或. 所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形， 由，则该正方形的面积. 故答案为：.    二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 14．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 15．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 16．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，①正确； 对于②，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且， 不妨取，此时，故， 所以此时和，满足， 故存在点，有且仅有四条“直线”，②正确. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为.……（6分） （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. ……（14分） 18．（14分）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或.……（7分） （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为.……（14分） 19．（14分）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是，    (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 【详解】（1）因为为直角三角形，斜边在轴上，点B在点C的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线AC的斜率为k，点A的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为，……（7分） （2）由（1）点的坐标为，点的坐标为，又点B在点C的左侧， 所以，所以， 所以，又点A的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形ABC的面积最小，最小值为，此时点的坐标为.……（14分） 20．（18分）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为；……（6分） （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为.……（12分） （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． ……（18分） 21．（18分）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）易知，其法向量为，则， 所以，即该直线的斜率为，倾斜角为；……（4分） （2）设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 易知此时，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； ……（11分） （3）设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第1章 坐标平面上的直线·能力提升·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2.或3 3.或 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.8 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B C B A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为.……（6分） （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. ……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或.……（7分） （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）因为为直角三角形，斜边在轴上，点B在点C的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线AC的斜率为k，点A的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为，……（7分） （2）由（1）点的坐标为，点的坐标为，又点B在点C的左侧， 所以，所以， 所以，又点A的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形ABC的面积最小，最小值为，此时点的坐标为.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为；……（6分） （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为.……（12分） （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． ……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）易知，其法向量为，则， 所以，即该直线的斜率为，倾斜角为；……（4分） （2）设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 易知此时，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； ……（11分） （3）设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意.……（18分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第1章 坐标平面上的直线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 2．直线与直线平行，则实数 ． 3．已知，两点到直线的距离相等，则 . 4．已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为 ． 5．设，点在轴上，则的最小值为 ． 6．直线，直线，若，则实数 . 7．已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 8．已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为 . 9．已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为 . 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 11．在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 12．定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 15．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 18．（14分）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 19．（14分）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是，    (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 20．（18分）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 21．（18分）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第1章 坐标平面上的直线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 2．直线与直线平行，则实数 ． 3．已知，两点到直线的距离相等，则 . 4．已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为 ． 5．设，点在轴上，则的最小值为 ． 6．直线，直线，若，则实数 . 7．已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 8．已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为 . 9．已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为 . 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 11．在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 12．定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 15．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 18．（14分）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 19．（14分）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是，    (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 20．（18分）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 21．（18分）已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $