第1章 坐标平面上的直线（单元测试·基础卷）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第1章 坐标平面上的直线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线与直线之间的距离是 ． 2．直线的倾斜角为 . 3．设，若直线与直线垂直，则 ． 4．已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 5．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 6．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 7．直线与直线的夹角的余弦值为 ． 8．已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ． 9．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 10．我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 11．已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 12．新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 14．给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（   ） A． B． C． D． 15．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 18．（14分）已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 19．（14分）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 20．（18分）直线过点，且与轴， y轴正半轴分别交于，两点. (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； (3)如图，若，过点做平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 21．（18分）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第1章 坐标平面上的直线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线与直线之间的距离是 ． 【答案】 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 2．直线的倾斜角为 . 【答案】 【详解】将直线方程化为： 因此，斜率 . 直线倾斜角 满足：， 所以：. 故答案为： 3．设，若直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【详解】直线与直线垂直， 故，解得. 故答案为：2 4．已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 【答案】 【详解】已知直线与直线平行，则，解得：， 当时，直线方程为：，即与直线不重合，且平行，满足条件； 故答案为： 5．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 6．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 7．直线与直线的夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】设、的倾斜角分别为、，两直线夹角为， 则直线的斜率， 直线的斜率， 则， 则. 故答案为：. 8．已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图， ，, 因为直线l与线段AB相交， 所以， 故答案为： 9．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 【答案】 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形，所以. 故答案为： 10．我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 【答案】 【详解】图形的方程是，这是在轴上截距的绝对值都为4的封闭图形， 则图形为正方形，边长为， 点集，其图形是正方形往内外膨胀1个单位，可得到图形如下： 则其面积. 故答案为：. 11．已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【详解】    如图所示，当、到直线的距离相等时有两种情况， 情况一，直线经过中点，由点，可知点, 则直线为，化简得； 情况二，直线和直线平行，由点，可知， 则直线为，化简得； 故答案为：或 12．新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 【答案】或 【详解】设点到直线的距离为，因为圆关于直线的“秘钥数”是，且圆的半径为， 则根据题中定义可得，可得， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，点到直线的距离为，不合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 根据题意可得，解得或， 所以，直线的方程为或. 故答案为：或. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 14．给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，设过点且与直线垂直的直线斜率为， 由，得， 过点A(1,0)、斜率为1的直线方程是，即. 对A：代入：，不满足； 对B：代入：，满足； 对C：代入：，不满足； 对D：代入：，不满足. 故选：B 15．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：B. 16．四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【详解】（1）因为，所以，即，解得或， 所以实数的值为或.……（7分） （2）因为，所以，即，解得或， 当时，，即，此时与重合，不合题意； 当时，即，即，符合题意， 此时平行直线和之间的距离.……（14分） 18．（14分）已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 【详解】（1）设， 则点为，的中点， 所以，解得， 所以；……（7分） （2）设所求直线方程为， 代入点， 则有， 解得， 所以所求直线方程为：.……（14分） 19．（14分）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 【详解】（1）因为直线与直线平行，所以， 所以，解得，经检验两直线不重合，所以.……（5分） （2）由题意可得，， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为， 又是直线上的动点， 记直线与直线的交点为，直线与直线的交点为， 因为直线的方程为，令，可得，即， 因为直线的方程为，令，可得，即， 当在上移动时，线段与线段有公共点，故的取值范围为.……（14分）    20．（18分）直线过点，且与轴， y轴正半轴分别交于，两点. (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； (3)如图，若，过点做平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）由题意可得，直线的方程为，即， 令，解得，令，解得， 所以.……（6分） （2）设直线的斜率为（），直线的方程为， 令，解得，令，解得， 则， 由，得， 由，成立， 由，解得， 综上，.……（12分） （3）设，，因为，， 所以，可得，， ，则，， 梯形的面积为， 由题意，梯形的面积为6， 设，，可得，即， 当时，直线； 当时，直线的方程为， 将代入上式可得， 由，解得，所以直线过定点； 综上，直线过定点.……（18分） 21．（18分）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【详解】（1）由题意知：，； 直线经过点，斜率为， 直线方程为：，即； ，，又直线与线段均有交点， .……（6分） （2）由题意知：直线， 由得：，； 当时，，则轴， ，.……（12分） （3）由题意知：直线； 由得：，； ， ， ，设，则，， ， 在上单调递增，，， ，则可化为：， 令，则，， ， 在上单调递减，， ，即的取值范围为.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第1章 坐标平面上的直线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线与直线之间的距离是 ． 2．直线的倾斜角为 . 3．设，若直线与直线垂直，则 ． 4．已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 5．已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 6．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 7．直线与直线的夹角的余弦值为 ． 8．已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ． 9．设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 . 10．我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是 11．已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 12．新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 14．给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（   ） A． B． C． D． 15．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 18．（14分）已知点，直线l： (1)求点M关于点对称点的坐标 (2)求过点M与直线l平行的直线. 19．（14分）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 20．（18分）直线过点，且与轴， y轴正半轴分别交于，两点. (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； (3)如图，若，过点做平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点的坐标. 21．（18分）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第1章坐标平面上的直线·基础通关·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 2.arctan 3.24.-2 5.-2<k<1 6.25 7. 310 2 10 [-1,2] 9.5 10.32√2-4+π 11.3x-y+3=0或x-y-1=0 12y=3或y=号x-23 3t、 3 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个 正确选项。) 13 14 15 16 B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17.(14分) 【详解】(1)因为4⊥2，所以6t+4)+t-1)(1+6)=0,即2+11+18=0，解得1=-2或-9， 所以实数t的值为-2或-9.…(7分) (2)因为12，所以61+6)-(1+4)(t-1=0,即t2-3t-40=0,解得t=8或-5， 当t=8时，1：6x+7y-8=0,12:12x+14y-16=0即6x+7y-8=0,此时4与☑重合，不合题意； 当1=-5时，4：6x-6y-8=0即3.x-3y-4=0,12:-x+y-16=0即3x-3y+48=0,l2符合题意， 此时平行直线和4之间的距离d=4-485226互 V32+(-32323…(14分) 18.(14分) 【详解】(1)设N(a,b), 则点F(3,1为M(-1,2),N(a,b)的中点， a-1=3 2 所以 b21 解得 a=-7 b=01 所以N(7,0)；…(7分) 1/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设所求直线方程为2x+y+C=0, 代入点M(-1,2), 则有-2+2+C=0, 解得C=0, 所以所求直线方程为：2x+y=0.…(14分) 19.(14分) 【详解】(1)因为直线AC与直线BD平行，所以k4c=kD, m-3=-3+2 所以 2×2 0-3，解得m= ,经检验两直线不重合，所以m=2空… 6 .…(5分) 6 公》由题可有含3，o号-甘 直线AD的方程为y-3=-3×(x+2),即y=-3x-3, 1 所以直线BD的方程为y=。x-3, 3 又C行n是直线1：=上的动点， 记直线BD与直线I的交点为M,直线AD与直线I的交点为N, 图纹Bp的程为女3，令x可得名351片 117 6 即M 26 1 9 因为直线AD的方程为y=-3x-3,令x=2可得：=-3×2 当C在MN上移动时，线段AC与线段BD有公共点，故m的取值范围为2,6] [9171. …（14分) B N 20.(18分) 【详解】(1)由题意可得，直线1的方程为y-2=-2(x-3),即y=-2x+8, 令x=0,解得y=8,令y=0,解得x=-4, 2/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 所以S0s=2x8x4=16.…(6分) (2)设直线1的斜率为k(k<0),直线的方程为y-2=k(x-3), 令=0，解科y2-业，令70，解得=3-子 s-2-6引-42， 2k 由12≤5s75 ，得125-3k-2s75 2k 4 由9k2+12k+4=(3k+22≥0，k<0成立， 由9g2+k+4≤0，解得-8≤k≤- 3 61 …(12分) (3)设Aa,0),B(0,b),因为P(3,2),AP=2PB, 所以(3-a,2)=2(-3,b-2),可得a=9,b=6, M(0,2),则OM=2,PM=3, 榜形A0MP的面积为2×3+列-2， 由题意，梯形FOMP的面积为6， 设E(m,2,F(红，0，可得)x2m+m小=6，即m+n=6, 当m=n=3时，直线EF:x=3; 当m≠n时，直线EF的方程为y=2x-小， m-n 将n=6-m代入上式可得2my-1)-(2x+6y-12)=0, y-1=0 由6v+2x-12=0解得1所以直线EF过定点3，， x=3 综上，直线EF过定点(3,1…(18分) 21.(18分) 【详解】(1)由题意知：B(1,0),A(1,1: 3/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线MN经过点 P 11 24 斜率为k, 直线MN方程为：y-=kx,, 即4x-4y-2k+1=0; 4 101」 01 kop =4 02w 12 =2'又直线MN与线段04,4B均有交点， 4 1 1 2 …(6分) (2)由题意知：直线OA:y=x, y=x x= k-1 (1)得： k-4 .∴.M （2k-12k-1 y 2k-1, （4k-4'4k-4月 4k-4 当=0时，如[香》 则MPx轴， 111 (3)由题意知：直线AB:x=1; x=1 x= 24124） 4 ÷AW=1-2+1_3-2k 44 5=4Nx=x ×3-2kx2k-33-2 44k-4321-k1 e[引1-=，则引=1-. - 32t 32t 3 1-2s>0,则s2≥m1-25)可化为：m≤25” 1-25=则a引12 S2_(1-n2_2-2n+1_n+1-1 1-2S4n4n44n2 4/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 al 3 m≤兮，厚m的取值范围为 -0,3 …(18分) 5/5