专题01 与直线的方程有关的七种题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题01 与直线方程有关的七种题型 题型一：直线倾斜角、斜率的相关计算 题型二：两直线的平行与垂直 题型三：直线方程的求法 题型四：直线与坐标轴围成三角形问题 题型五：直线交点问题 题型六：点到直线的距离 题型七：两平行线间的距离 题型一：直线倾斜角、斜率的相关计算 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 2．经过两点的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 3．过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 4．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C． D．4 6．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 9．经过两个不同的点，的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或2 B． C．2 D． 10．直线的倾斜角为（   ） A． B． C．1 D．不存在 11．已知三点共线，则实数的值为 . 12．已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角 . 13．一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 . 题型二：两直线的平行与垂直 1．已知两直线与，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为1 D．当时，直线与轴围成的三角形的面积为 2．已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 3．若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线：与：垂直，则实数k的值为 . 6．若直线与直线平行，则 . 7．若方程表示两条平行的直线，则的值为 . 8．已知直线，． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求的值，并求出此时直线与之间的距离． 9．已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 10．已知直线：与直线：互相垂直且交于点. (1)求的值及点的坐标； (2)若过点的直线与直线平行，求的直线方程. 11．已知直线的方程为. (1)若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程. 题型三：直线方程的求法 1．直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点和，则的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．已知点、，则线段的垂直平分线的方程为 . 6．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为2的直线的方程为 .（写成一般式） 7．已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 8．已知顶点，，. (1)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程； (2)求角的平分线所在直线的方程. 9．已知的顶点为. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程. 10．在中，. (1)求的平分线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的一般式方程. 11．已知直线． (1)求过点，且与垂直的直线的斜截式方程； (2)求过与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线的一般式方程（该直线的截距均不为0）． 题型四：直线与坐标轴围成三角形问题 1．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 2．满足经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为1，则 . 4．若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 5．已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为 （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为 ． 6．已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 7．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 8．已知过点的直线l被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上. (1)求直线l的方程； (2)若直线与直线l平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线的方程. 9．已知直线：（）. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程. 题型五：直线交点问题 1．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值不可能为（    ） A．0 B． C．1 D．4 3．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 4．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 5．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是 ． 6．若三条直线相交于一点，则m的值为 . 7．设直线与相交于一点. (1)求点的坐标； (2)求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 8．已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 9．设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 题型六：点到直线的距离 1．点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为 ． 5．已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为 ． 6．点关于直线的对称点的坐标为 . 7．一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 8．已知直线与直线（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为和. (1)求，，的方程； (2)求与的交点到的距离. 9．已知的两条边所在直线的方程分别是AB：，AD：，且它的对角线的交点是． (1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程； (2)求的面积． 10．已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求： (1)求点坐标； (2)求的面积. 题型七：两平行线间的距离 1．直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线平行，则两直线间的距离为 . 3．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 . 4．已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为 . 5．已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为 . 6．已知直线：，：. (1)若，求的直线方程（使用斜截式表示）； (2)若，求和的距离. 7．已知直线. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. 8．已知，，. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 9．已知直线，直线相交于点. (1)若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； (2)若直线，关于直线对称，求直线的方程. 10．已知直线． (1)若在两坐标轴上的截距为相反数，求的值； (2)已知直线，且，求与间的距离． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与直线方程有关的七种题型 题型一：直线倾斜角、斜率的相关计算 题型二：两直线的平行与垂直 题型三：直线方程的求法 题型四：直线与坐标轴围成三角形问题 题型五：直线交点问题 题型六：点到直线的距离 题型七：两平行线间的距离 题型一：直线倾斜角、斜率的相关计算 1．直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程求斜率，即可得倾斜角的大小. 【详解】由直线的斜率为，可知倾斜角是， 故选：D. 2．经过两点的直线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算即可. 【详解】由题意得，经过两点的直线斜率为. 故选：D 3．过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B    4．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 而， 因此， 故选：C 5．若经过，两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：C. 6．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的法向量得到直线的方向向量，进而求得直线的斜率，利用斜率与 倾斜角的关系求范围. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率，， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：A. 7．设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 8．已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，进而即得. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得. 故选：A. 9．经过两个不同的点，的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或2 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率公式和定义建立关于的方程，求出其值，验证即可. 【详解】由题意知，直线的斜率为， 所以，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意. 综上，. 故选：C 10．直线的倾斜角为（   ） A． B． C．1 D．不存在 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可求解. 【详解】直线垂直于轴，故倾斜角为． 故选：B 11．已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 12．已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角 . 【答案】或 【分析】设直线的斜率为，倾斜角为，由即可求解. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为， 由题意有：，当时，，又，所以， 当时，，又，所以， 故答案为：或. 13．一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，用反三角函数表示即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以. 故答案为：. 题型二：两直线的平行与垂直 1．已知两直线与，则下列说法正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为1 D．当时，直线与轴围成的三角形的面积为 【答案】D 【分析】利用平行、垂直的充要条件求出参数值判断AB；求出面积判断C；求出两直线交点坐标，进而求出面积判断D. 【详解】对于A，当时，显然，所以，解得，A错误； 对于B，当时，两直线分别为与， 此时不成立，B错误； 对于C，当时，直线交轴于点，交轴于点， 因此直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C错误； 对于D，当时，直线交轴于点， 直线交轴于点， 由，解得，则直线将于点， 因此直线与轴围成的三角形的面积为，D正确. 故选：D 2．已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于两直线平行， 所以， 解得. 故选：A 3．若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 4．已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直得出系数关系计算求参. 【详解】两直线垂直，，即解得． 故选：A. 5．已知直线：与：垂直，则实数k的值为 . 【答案】 【分析】根据直线垂直关系列方程求解即可. 【详解】因为直线：与：垂直， 所以，解得. 故答案为： 6．若直线与直线平行，则 . 【答案】 【分析】根据一般式下两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不符合题意； 综上可得. 故答案为： 7．若方程表示两条平行的直线，则的值为 . 【答案】2 【分析】将所给方程进行配凑化简，可得，由题意，两直线平行，求得，分别代入检验，即可得答案. 【详解】方程可化为， 即， 所以， 则或， 因为表示两条平行的直线， 所以，解， 当时，两直线为和，符合题意， 当时，两直线为和，即， 则两直线重合，不符合题意，所以的值为2. 故答案为：2 8．已知直线，． (1)当时，求直线与的交点坐标； (2)若，求的值，并求出此时直线与之间的距离． 【答案】(1) (2)；. 【分析】（1）直接联立方程并解方程组可得； （2）由平行可得的值，再由平行线间的距离公式可得. 【详解】（1）当时，联立直线与的方程，得解得. 所以直线与的交点坐标为． （2）当时，，，显然，不符合题意，舍去； 当时，，，显然与不平行，不符合题意，舍去， 故直线与的斜率都存在． 因为，所以， 由解得或；由解得且. 所以. 则，，即， 所以此时直线与之间的距离． 9．已知直线经过、两点． (1)求直线的方程； (2)设直线，若，求实数的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【详解】（1）直线经过、两点， ， 直线，即：． （2）由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 10．已知直线：与直线：互相垂直且交于点. (1)求的值及点的坐标； (2)若过点的直线与直线平行，求的直线方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据与垂直，由，再联立直线方程求交点； （2）根据直线与直线平行，设直线方程为，再将点P的坐标代入求解. 【详解】（1）因为与垂直，所以， 于是，即. 由有，所以. （2）由题意设：， 将代入可得：. 所以直线的方程为：：. 11．已知直线的方程为. (1)若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程； (2)若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由垂直关系可得直线的斜率，结合斜截式方程求解即可； （2）利用平行关系可设直线的方程为，由两条平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率为，又由，可得直线的斜率为，     又由直线在轴上的截距为，可得直线过点，     可得直线的方程为，整理为. 故直线的方程为. （2）由直线，可设直线的方程为，     又由直线与直线之间的距离为3，有，解得或-16.     故直线的方程为或. 题型三：直线方程的求法 1．直线被两条直线和截得的线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设与的交点坐标为，与的交点坐标为， ，即，， 由中点坐标公式得，， 即，解得，所以，， 则直线的方程为，即. 故选：C 2．已知直线经过点和，则的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出直线的两点式方程，化简可得直线的一般式方程. 【详解】由直线的两点式方程得，，整理得. 所以直线的一般式方程为. 故选：D. 3．已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过对截距的取值是否为进行分类，分别设直线方程为和，代入点，即可求解. 【详解】设直线的横截距为，纵截距为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，即， 当时，设直线的方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线的方程为； 当时，设直线的方程为，即， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为或. 故选：C 4．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】依次分析直线的斜率不存在、斜率小于零、斜率等于零或斜率大于零四种情况，可得到满足题意的直线方程. 【详解】如图，设，直线过和． ①当直线垂直于轴时，方程为，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在； ②当直线的斜率小于零时，设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，是等腰三角形．又由直线知其斜率为，所以， 所以为等边三角形，所以直线的斜率小于零时只有这一种情况，此时直线的倾斜角为，斜率为， 方程为，即； ③当直线的斜率为零时，直线平行于轴，不能与直线及x轴围成三角形.所以直线的斜率不为零； ④当直线的斜率大于零时，只有如图一种情况可使直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形. 设直线与轴负半轴相交于点，则，因为直线的斜率为，倾斜角为，可得， 所以，所以直线（即直线）的斜率为，对应方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 故选:A． 5．已知点、，则线段的垂直平分线的方程为 . 【答案】 【分析】利用垂直关系可求垂直平分线斜率，再求中点，最后用点斜式求直线方程. 【详解】由点、，可知中点坐标为，两点斜率为，则两点的垂直平分线斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为：， 整理为一般式：， 故答案为： 6．平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为2的直线的方程为 .（写成一般式） 【答案】 【分析】求出交点坐标，先设斜截式方程，再代入点坐标即可得到答案. 【详解】联立得，解得，则交点坐标为， 显然直线斜率不存在时不合题意，则可设， 代入得，解得， 则，即. 故答案为：. 7．已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. 【详解】（1）因为直线， 所以， 因为， 所以，解得， 所以对任意实数，直线都经过一个定点. （2）因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 8．已知顶点，，. (1)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程； (2)求角的平分线所在直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设的纵截距为，分和两种情况讨论即可； （2）由两角差的正切公式结合点斜式计算可得. 【详解】（1）设的纵截距为， 当时，则； 当时，则， 代入点可得，可得， 所以直线的方程为或. （2）设角的平分线所在直线为，其斜率为， 由题意可得，， 根据倾斜角的正切值表示的意义和两角差的正切公式可得： 直线到直线的角的正切为，直线到直线的角的正切为， 所以， 化简可得，解得或， 若，则直线的倾斜角为钝角，但，不符合题意， 所以， 所以由点斜式可得，即. 9．已知的顶点为. (1)求边所在直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程并化简； （2）根据两直线垂直，确定边上高的斜率，再根据点斜式写出边上的高的方程并化简． 【详解】（1））因为， 所以直线的方程为：即； （2）因为，所以边上的高的斜率为：， 所以边上的高所在的直线为：即． 10．在中，. (1)求的平分线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据已知点的坐标特征，判断，推得的平分线所在直线的倾斜角为，即可写出直线的斜截式方程； （2）先求出直线的斜率，利用垂直关系求出边上的高的斜率，由点斜式求得其方程，整理得直线的一般式方程. 【详解】（1）由，易得直线的斜率为0，故其方程为， 直线的斜率不存在，故其方程为，可得， 易知的平分线所在直线的倾斜角为，又经过点，则其方程为， 故的平分线所在直线的斜截式方程为. （2）由可得直线的斜率， 故边上的高所在直线的斜率， 又所求直线经过点，故其方程为， 故边上的高所在直线的一般式方程为. 11．已知直线． (1)求过点，且与垂直的直线的斜截式方程； (2)求过与的交点，且在两坐标轴上的截距和为0的直线的一般式方程（该直线的截距均不为0）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据斜率存在的情况下，互为垂直的直线的斜率乘积为，可设所求直线方程为，代入求解即可； （2）联立方程求出交点坐标，设直线方程为，得出方程组求解即可． 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线的斜截式方程为． （2）联立解得交点坐标为， 设直线方程为， 依题意， 解得， 所以所求直线的一般式方程为． 题型四：直线与坐标轴围成三角形问题 1．已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 2．满足经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意，经过点的直线斜率一定存在，且不为，设直线的斜率为 ，则直线方程为，求得直线与轴和轴的交点，再结合三角形面积公式，对斜率的取值，进行分类讨论，即可求解. 【详解】根据题意，经过点的直线斜率一定存在，且不为， 设直线的斜率为 ，则直线方程为，即， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积，即， 当时，，即，， 所以二次方程有两个不同的实数根， 即存在条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为； 当时，，即，， 所以二次方程不存在实数根， 即不存在直线与两坐标轴围成的三角形的面积为； 综上所述，经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线有条. 故选：B 3．已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为1，则 . 【答案】/ 【分析】计算直线与坐标轴的交点坐标，计算直角三角形的面积即可. 【详解】由题意可知，直线与坐标轴的交点为，且， 则直线与坐标轴正半轴围成的三角形的面积为，得. 故答案为： 4．若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，设出直线的截距式方程，进而求出该直线方程，再求出直线与坐标轴围成三角形面积. 【详解】依题意，直线不过原点，设的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为， 则在轴上的截距分别为4，2，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 故答案为：4 5．已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为 （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为 ． 【答案】 或． 4 【分析】先分两种情况讨论，当直线过原点，代入求出参数的值，当直线不过原点时，设出直线截距式，代点即可求解；利用三角形面积公式、基本不等式，求得面积的最小值． 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 6．已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 7．已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）直线，即. 由，解得. 所以直线过定点. （2）当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）由题，直线，且. 令，得，得； 令，得，得，即. 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为. 此时直线的方程为. 8．已知过点的直线l被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上. (1)求直线l的方程； (2)若直线与直线l平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设线段的中点为，进而根据点到与的距离相等并结合点到直线的距离解方程即可得，再根据两点式方程求解即可； （2）根据题意设直线的方程为，进而求得直线在坐标轴上的截距，再根据面积解方程求得，进而代入即可得答案. 【详解】（1）解：设线段的中点为， 因为点到与的距离相等， 故， 所以，则点. 直线的方程为，即. （2）解：设直线的方程为，， 令可得，即直线与轴的交点为， 令可得，即直线与轴的交点为， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积，解得：， 故直线的方程为或. 9．已知直线：（）. (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)最小值是4，方程为. 【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围； （2）根据（1）的结论，结合互相垂直两直线斜率的性质进行求解即可； （3）求出，两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值. 【详解】（1）直线方程为：：，它过定点，在第二象限， 因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； （2）由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为， 所以直线的一般式方程为. （3）易知，令得，令，得， 即，， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即. 题型五：直线交点问题 1．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 2．若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值不可能为（    ） A．0 B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】不能围成三角形可分为两种情况，一是三条直线交于同一个点，联立方程组即可求得的值.二是三条直线中有两条平行，由平行线斜率相等即可求得的值. 【详解】①三条直线交于同一点， 联立方程组得，解得，即. ②三条直线中由两直线平行， ，，， ∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴， 故选：A. 3．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 4．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为 ． 【答案】6 【分析】设直线与直线的交点分别为，且，则，代入直线，即可得点的坐标，则可算出和直线的方程，再求的交点到的距离，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】设直线与直线的交点分别为，且， 则由题意可知，点关于点的对称点在上, 可得，解得， 即，则，且直线， 联立的方程得，解得，即的交点坐标为， 则点到直线的距离， 所以这三条直线围成的三角形面积为． 故答案为：6． 5．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是 ． 【答案】 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即. 故答案为：. 6．若三条直线相交于一点，则m的值为 . 【答案】 【分析】先由求得交点坐标，代入即可求解. 【详解】由，解得 所以，点满足方程， 即. 所以. 故答案为： 7．设直线与相交于一点. (1)求点的坐标； (2)求经过点，且垂直于直线的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两直线方程联立，求出方程组的公共解，即可得出点的坐标； （2）求出直线的斜率，可得出垂线的斜率，然后利用点斜式方程可得出所求直线的方程，化为一般式即可. 【详解】（1）由，解得， 因此，点的坐标为； （2）直线的斜率为， 垂直于直线的直线斜率为， 则过点且垂直于直线的直线的方程为， 即：. 8．已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形，即两条直线平行或三线共点求参，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当不与和平行，且不过同一点时，，，三条直线可以围成三角形， 所以，且，且，             故的取值范围为. 9．设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）借助反证法证明即可得； （2）联立两直线可解出交点坐标，再借助两点间距离公式计算即可得证. 【详解】（1）假设直线与不相交，则直线与平行或重合，有， 又，得，此时无实数解，从而，即直线与相交； （2）设直线与的交点为点， 解方程组，得，则点， 设原点为， 则， 即直线与的交点到原点的距离为定值1． 题型六：点到直线的距离 1．点到动直线的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析直线经过定点，再利用两点间的距离求点到直线的距离的最大值. 【详解】对直线： ， 由 . 即直线经过定点. 所以点到点的距离就是点到动直线的最大值， 所以. 故选：C 2．光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 3．已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以，    所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故选：D 4．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将所求式子看成圆上的点到直线距离的5倍，进而转化为圆到直线的距离可得. 【详解】由 ，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 5．已知直线过点，且坐标原点到直线的距离为4，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑，斜率存在时，设直线方程，然后根据原点到直线的距离列方程，解方程即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离为3，不符合题意，所以直线的斜率存在． 因为直线过点，所以设直线的方程为． 因为点到直线的距离为4，所以，解得或． 所以直线的方程为或 故答案为：或 6．点关于直线的对称点的坐标为 . 【答案】 【分析】设所求点坐标为，进而根据对称性得，再解方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则与的中点在直线，且过与的直线与直线垂直， 因为直线的斜率为， 所以，即，解得， 所以，点关于直线的对称点的坐标为. 故答案为： 7．一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】由反射光线所在直线与入射光线所在直线关于轴对称，可知反射光线所在直线经过点关于轴对称的点，由此求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由入射光线和反射光线的对称性可知，反射光线所在直线经过点关于轴对称的点， 由和确定反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 8．已知直线与直线（）垂直，直线在轴和轴的截距分别为和. (1)求，，的方程； (2)求与的交点到的距离. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由，得到，求得，得到直线与的方程，再由直线在轴和轴的截距分别为和，结合直线的截距式方程，即可求解； （2）联立方程组，求得直线与的交点为，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）解：由直线和， 因为，则，即，解得或， 又因为，所以，可得，， 又由直线在轴和轴的截距分别为和，可得直线的方程为， 即. （2）解：联立方程组，解得，即直线与的交点为， 则与的交点到的距离. 9．已知的两条边所在直线的方程分别是AB：，AD：，且它的对角线的交点是． (1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程； (2)求的面积． 【答案】(1)这个平行四边其它两边所在直线的方程是和 (2) 【分析】（1）依题意，由方程组可解得的顶点A的坐标，再结合对角线的交点是，可求得C点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程. （2）由得，从而可得，再根据点线距离公式求得到的距离，最后根据面积公式即可求解. 【详解】（1）联立方程组，解得. 所以平行四边形的顶点. 设，由题意知点是线段的中点， 所以，解得，所以. 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即， 由已知，得直线的斜率，因为与平行， 所以直线的方程为，即， 故这个平行四边其它两边所在直线的方程是和； （2）由得，即，所以. 又到的距离为， 所以的面积. 10．已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求： (1)求点坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式及点在直线上即可求解； （2）根据（1）的结论及直线的斜率公式，利用直线的点斜式方程和两点间的距离公式，结合点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）设，根据中点公式结合点在直线上，点在直线上，则有 ，解得， 所以点坐标为. （2）由（1）知，， 所以, 所以直线方程为，即. 所以. 由，解得， 所以. 点到直线的距离为 ， 所以的面积为 题型七：两平行线间的距离 1．直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因两条直线平行，得的最小值就是两条平行线间的距离可得. 【详解】由直线：与：，，所以. 所以的最小值就是两条平行线间的距离，. 故选：C. 2．已知直线与直线平行，则两直线间的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据直线平行的判定列方程求参数值，注意验证，进而求平行线的距离. 【详解】由题设，可得或， 当，，，显然重合，不合题意， 当，，，满足题意， 综上，，此时两直线的距离为. 故答案为： 3．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 . 【答案】/ 【分析】先根据两直线平行的条件求出的值，再将两直线方程化为系数相同的形式，最后利用两平行线间的距离公式计算距离即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，所以直线可化为， 所以两平行直线间的距离是. 故答案为： 4．已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为 . 【答案】/ 【分析】先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故答案为：. 5．已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，分析可知当、、三点共线时，最小，设点，求出点的坐标，进而可得出直线的方程，再将该直线方程与直线的方程联立，即可得出点的坐标. 【详解】易知，均在直线的同侧； 作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则， 所以， 当、、三点共线时取等号，即、、三点共线时，最小. 设，则，解得，即. 因为，所以直线为， 由，得，即. 故答案为：. 6．已知直线：，：. (1)若，求的直线方程（使用斜截式表示）； (2)若，求和的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线方程可得斜率，结合垂直关系求得，即可得方程； （2）根据平行关系可得，将直线方程化为一般式，结合两平行线间距离公式运算求解. 【详解】（1）因为直线的斜率为，直线的斜率为， 且直线与直线垂直， 所以，解得， 所以的直线方程为：. （2）因为，所以，即， 所以，即：， 因为：， 所以两直线距离. 7．已知直线. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，求出两直线的交点坐标，根据点的位置可求得实数的取值范围.综合可得出实数的取值范围； （2）设为直线关于直线对称的直线上任意一点，求得关于直线的对称点坐标，代入的方程即可求得直线方程. 【详解】（1）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）当时，的直线方程为， 设为直线关于直线对称的直线上任意一点，关于关于直线的对称点坐标， 由题意可得，整理得， 解得，所以， 即，即. 8．已知，，. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程，并求出与直线之间的距离. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求直线的斜率，由求出直线的斜率，利用点斜式即可求解； （2）由求出的斜率，利用点斜式即可求的方程，利用两平行直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：，∵，∴， 所以直线的方程为，即， （2）由（1）知，，∴， 所以直线的方程为即， 的方程为，即， 所以与直线之间的距离. 9．已知直线，直线相交于点. (1)若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； (2)若直线，关于直线对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立两直线，求得交点，根据在轴上的截距为2，分析即可得答案. （2）方法1：直线上任取一点，由题意可得，该点到两直线距离相等，代入距离公式，即可得答案；方法2：设出直线方程，在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上，求出B点坐标，代入方程，即可得答案. 【详解】（1）联立，可得交点， 因为直线过点，且在轴上的截距为2， 所以直线的方程为； （2）方法1：在直线上任取一点，因为直线，关于直线对称， 所以，即， 所以直线的方程为：或. 方法2：因为直线，关于直线对称，所以直线必过点，易知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上， 所以，解得， 代入直线，得，解得或， 所以直线的方程为：或. 10．已知直线． (1)若在两坐标轴上的截距为相反数，求的值； (2)已知直线，且，求与间的距离． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）先求出截距，然后根据截距是相反数求出的值即可. （2）先根据两直线平行关系求出，然后根据两平行直线的距离公式求出结果. 【详解】（1）令，可得， 令，可得． 故，解得或． （2）因为，所以，解得， 所以，可化为． 与间的距离为． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $